Resultados principais

zi∈C

¯

ziU0 é a união disjunta de conexos abertos. Pela construção das vizinhanças, ϕ|_z¯iU0 : ¯z_iU₀ → ϕ(U₀) = V é bijeção. Como ϕ é contínua e aberta, segueϕ|_z¯iU0 é um homeomorfismo. Portanto, ϕé uma aplicação de recobrimento e é diferenciável.

Assim, a composiçãoξ_¯e◦ϕé uma aplicação de recobrimento diferenciável do espaço

simplesmente conexoG/˜ K˜ emG/K. 2

4.2 Resultados principais

Mantendo a notação anterior, continue considerando T um toro maximal de K, C(T) = {g ∈ G;gt = tg,∀t ∈ T} o centralizador de T em G, t e u às álgebras de Lie deT eC(T), respectivamente. Além disso, g = k⊕p, onde pé um complemento Ad(K)-invariante dekemg.

Para o próximo Teorema, considere a variedadeC(T)/(K∩C(T)) =C(T)/T. Con-forme mostrado por Helgason em [5], [ver Proposição 4.4, pág 125], C(T)/T é uma subvariedade deM. Ou seja, a aplicaçãoi:C(T)/T →M, dada pori(gT) =gK, é um mergulho. SejaM_T = i(C(T)/T) = C(T)¯e, onde ¯e ∈ M. Então,ié um difeomorfismo deC(T)/T emMT.

Observação 4.4. DadoX ∈u∩p, tem-se queexp(sX)∈C(T), para todos∈R. Logo, para qualquergK ∈ M_T, exp(sX)g ∈ C(T)e assim,X^∗(gK) = _∂s^∂(exp(sX)gK)|_s=0 ∈ T_gkM_T. Assim,X^∗ é um campo tangente aM_T.

Seja {X₁, ..., X_n} uma base de u∩ p. Conforme a notação do capítulo 3, ∇¯_X^∗

iX_j^∗(¯e) =

1

2[X_i^∗, X_j^∗](¯e)∈T_e¯M_T. Além disso,∇¯_X^∗

iX_j^∗(¯g) =dφ_g( ¯∇_(dφ⁻¹

g X_i^∗)(dφ⁻¹_g X_j^∗)(¯e))∈T_¯gM_T. Logo,∇¯X_i^∗X_j^∗ é um campo tangente aMT.

Teorema 4.5. SejamG, K, M eh·,·icomo na Proposição 4.1. SejamT um toro maximal deK eM_T =C(T)¯e. Então:

1. M_T é totalmente geodésica emM.

2. SeM tem dimensão par, entãoT é um toro maximal deG.

3. Se M tem dimensão ímpar, então ou C(T)/T tem dimensão 1ouC(T)/T é isomorfo à SU(2)ou àSO(3).

Demonstração: Sejaga álgebra de Lie deGe considereg=k⊕p, como na demonstração da Proposição 4.1. Sejam u e t às álgebras de Lie de C(T) e T, respectivamente. Se Lema 3.3 e a identidade de Jacobi, obtêm-se que

h[Z, U(X, Y)], Wi = −hU(X, Y),[Z, W]i elementos de u ∩ p estão identificados com os vetores de Te¯MT e estes campos em X(M_T), conclui-se queX^∗, Y^∗ ∈X(M_T)eU(X, Y)^∗ ∈X(M_T).

Assim,

Portanto,M_T é totalmente geodésica emM.

Se a dimensão deM é par, então o Lema 4.2, prova queC(T) = T. Assim,T é um toro maximal emG.

Agora, suponha que a dimensão de M é ímpar. Novamente pelo Lema 4.2, con-cluímos queC(T)6= T.Se a dimensão deC(T)/T é maior que1, entãoC(T)/T possui estrutura Riemanniana com curvatura estritamente positiva, uma vez que é uma sub-variedade deM. Seja(C(T^)/T)o grupo de recobrimento universal deC(T)/T. Apli-cando o Teorema de Wallach, concluímos queC(T^)/T é isomorfo aSU(2). Portanto, pelo Teorema 1.120,C(T)/T é isomorfo aSU(2)/Γ, ondeΓé um subgrupo central de SU(2). MasZ(SU(2)) ={1,−1}, assim,C(T)/T 'SU(2)ouC(T)/T 'SO(3).

2

Corolário 4.6. SejamG, K, M eh·,·icomo na Proposição 4.1. Se a dimensão deMé par, então Gé simples.

Demonstração: Seja G˜ um grupo de recobrimento universal de G. SejaK˜ o subgrupo conexo deG˜ correspondente aK. Conforme mostrado na Proposição4.3, existe uma aplicação diferenciável de recobrimento,ρ : ˜M = ˜G/K˜ →M =G/K. Isso implica que a curvatura deM˜ é estritamente positiva, uma vez queM tem curvatura estritamente positiva, por hipótese. Pelo Teorema 4.5,Gé semi-simples. Suponha por absurdo que Gnão é simples. Escrevag=g₁⊕g₂,ondeg₁,g₂são semi-simples. Então,G˜ = ˜G₁×G˜₂, ondeG˜_ipossui álgebrag_i, parai= 1,2. Assim,G˜_ié semi-simples e comoG˜é compacto,

tem-se queG˜_i também será compacto, comi= 1,2.

Afirmação: A igualdadeK˜ = ( ˜K∩G˜₁)×( ˜K∩G˜₂)é satisfeita.

Para provar a igualdade acima, é equivalente mostrar quek= (k∩g₁)⊕(k∩g₂). A inclusãok∩g₁⊕k∩g₂ ⊂ké imediata.

Denote por π₁, π₂ as projeções de g em g₁ e g₂, respectivamente. Seja t ⊂ k uma subálgebra de Cartan. Pelo Teorema 4.5,ttambém é subálgebra de Cartan deg, ou seja, té abeliana maximal emg. Note quet ⊂ π₁(t)⊕π₂(t), assim, para obter a igualdade,

Então, pelo item(2)do Teorema 1.90, pode-se escreverk = S

X∈k

(t_X), ondet_X é uma subálgebra de Cartan que contémX. Dessa forma,

k= [

O que prova a afirmação feita.

Agora, pode-se escreverM˜ = ˜G/K˜ = ˜G₁/K˜₁×G˜₂/K˜₂ = ˜M₁×M˜₁, ondeK˜₁ = ˜K∩G˜₁ eK˜₂ = ˜K ∩G˜₂.Para i = 1,2, considere a decomposição g_i = k_i ⊕p_i, onde k_i denota a álgebra de Lie deK˜_i ep_i é um complementoAd( ˜K_i)-invariante dek_iem g_i. Observe que os complementosp₁ ep₂, são tambémAd( ˜K)−invariantes. Denote porV o espaço vetorial deg. Aplicando a Proposição 1.51 na representaçãoAd( ˜K) → Gl(V), obtêm-se que V = V₁ ⊕... ⊕ V_n é uma soma direta, de forma que os subespaços V_i⁰s são dois a dois ortogonais. Considere os subespaços W₁ e W₂ correspondentes a p₁ ep₂, respectivamente. Como W₁ e W₂ são subespaços invariantes pela Ad( ˜K), segue que W₁ = P respectivamente. Como a estrutura de M˜ é G˜-invariante, em particular, a aplicação

f =φ_p⁻¹ : ˜M →M˜ é uma isometria. Assim, hu, vi_pK˜ = hdf_pK˜(u), df_pK˜(v)i_e

= hdf_pK˜(dπ₁(u) +dπ₂(u)), df_pK˜(dπ₁(v) +dπ₂(v))i_e

= hdf_pK˜(dπ₁(u)), df_pK˜(dπ₁(v))i_e+hdf_pK˜(dπ₂(u)), df_pK˜(dπ₂(v))i_e

= hdπ₁(u), dπ₁(v)i_p

1K˜ +hπ₂(u), π₂(v)i_p

2K˜.

Logo,T_pK˜M˜ =T_p1K˜1

M˜1⊕T_p2K˜2

M˜2, para todopK˜ ∈M. Assim,˜ M˜ = ˜M1×M˜2possui a estrutura do produto Riemanniano. Então, a conexão Riemanniana∇deM˜ é dada por

∇_Y1+Y2(X₁+X₂) =∇¹_Y1X₁+∇²_Y2X₂,

ondeX₁, Y₁ ∈X( ˜M₁), X₂, Y₂ ∈ X( ˜M₂)e∇¹,∇² são as conexões Riemannianas deM₁ e M2, respectivamente.

Sejaσ(x, y)⊂T_(p1,p2)M˜₁ ×M˜₂ um plano, tal quex∈T_p1M˜₁ ey∈T_p2M₂. Então, hx, yi=hdπ1(x), dπ1(y)i+hdπ2(x), dπ2(y)i=hx,0i+h0, xi,

ou seja,xeysão ortogonais. Sem perda de generalidade, tomexeyvetores unitá-rios,X = _|x|^x eY = _|y|^y . Assim,

K(σ) = R(X, Y, Y, X)

1 =hR(X, Y)Y, Xi.

Usando a conexão Riemanniana apresentada acima, é fácil ver queR(X, Y)Y = 0.

Logo, K(σ) = 0. O que contraria o fato de M˜ ter curvatura estritamente positiva.

Portanto,Gé simples. 2

Corolário 4.7. SejamG, K, M eh·,·icomo na Proposição 4.1.

1. Se a dimensão deM é par, entãoGé simples e posto(K) =posto(G).

2. Se a dimensão deM é ímpar, então ouGé semi-simples ouGtem centro unidimensional e posto(G) =posto(K) + 1.

Demonstração:

1. Segue imediatamente do Teorema 4.5 e do Corolário 4.6.

2. Pela Proposição 4.1, ou G é semi-simples ou dimZ(G) = 1. No caso em que dimZ(G) = 1, tem-se queg=z(g)⊕g⁰, ondedimz(g) = 1eg⁰ é semi-simples.

Como feito anteriormente, existe uma cópia isomorfa de k em g⁰. Em ter-mos de grupos, existe uma cópia isomorfa de K em G⁰, onde K = hexp(k)i e G⁰ = hexp(g⁰)i. Assim, como dimM = G/K é ímpar, segue queM⁰ =G⁰/K tem dimensão par, poisdimG⁰ = dimG−1. Pelo item anterior, posto(G⁰) =posto(K), onde posto(G⁰)é a dimensão da subálgebra de Cartantdeg⁰. Mas então,z(g)⊕t satisfaz a Definição 1.56, ou seja, é uma subálgebra de Cartan deg.

Portanto, posto(G) = dim(z(g)⊕t) = dimz(g) + dimt= 1+posto(K). 2

C LASSIFICAÇÃO DOS ESPAÇOS HOMOGÊNEOS COM DIMENSÃO PAR

5.1 Lema principal para dimensão par

Definição 5.1. Seja∆um sistema de raízes deg. Diz-se que∆₁é um subsistema de∆, quando

∆1 ⊂∆satisfaz:

(1) Seα∈∆₁, então−α∈∆₁.

(2) Seα, β ∈∆₁ eα+β ∈∆, entãoα+β ∈∆₁.

SejaGum grupo de Lie compacto, conexo e K um subgrupo fechado e conexo de G. Suponha que K não contém subgrupos normais deG, além do subgrupo triviale. Esta hipótese, é equivalente, pela Proposição 1.100, a supor que a ação natural deGem G/Ké efetiva.

SejaM = G/Ke sejah·,·iuma estrutura RiemannianaG−invariante emM. Assu-mimos queM tem curvatura estritamente positiva e que dimensão deM é par. Então, pelo Corolário 4.7, tem-se queGé simples e os toros maximais deK, também são toros maximais emG. Escolha um toro maximal deKe denote porT.

Considereg,ketas álgebras de Lie deG, KeT, respectivamente. Denote porg_C,k_C e t_C as suas complexificações, ou seja, g_C = g +ig e o mesmo vale para as demais álgebras.

Sejapo complementoAd(K)−invariante dekemg.

Considere também∆o sistema de raízes de g_Cem relação at_C. Por um abuso de notação, o espaço de raízes(g_C)_α ={X ∈g_C; [H, X] =α(H)X,∀H ∈t_C}será denotado apenas porg_α, comα ∈∆.

Seja ∆⁺ um conjunto de raízes positivas de ∆ e ∆₁ o subsistema dado por ∆₁ = {α∈ ∆;g_α ⊂k_α}. Definak_α = (g_α+g−α)∩g, paraα ∈ ∆₁ ∩∆⁺ ep_α = (g_α +g−α)∩g, paraα∈Φ = (∆⁺−∆₁).

Lema 5.2. No contexto acima, se α, β ∈ ∆−∆₁ e α 6= ±β, então α+β ou α −β é um elemento de∆.

Demonstração: Tem-se que [pα,pβ] ⊂ pα+β +p|α−β|, com a compreensão que pα = 0, seα /∈ Φ. De fato, conforme o Teorema de Weyl 1.88, p_α = span{A_α, S_α}, ondeA_α = Xα−X−α eSα =i(Xα+X−α). Da mesma forma,pβ é gerada por{Aβ, Sβ}.

SejamX ∈p_αeY ∈p_β. Para mostrar que[X, Y]∈p_α+β+p|α−β|, é suficiente mostrar isso considerando apenas os elementos das bases dep_α ep_β.

Ainda pelo Teorema de Weyl, os colchetes são dados por

• [A_α, A_β] =m_α,βA_α+β +m−α,βAα−β.

• [S_α, S_β] =−m_α,βA_α+β −mα,−βAα−β.

• [Aα, Sβ] =mα,βSα+β +mα,−βSα−β.

• [A_β, S_α] =m_β,αS_β+α+mβ,−αSβ−α.

Suponha que|α−β| = α−β. Neste caso, é fácil ver que[Aα, Aβ],[Sα, Sβ] e[Aα, S−α] pertencem ap_α+β+p|α−β|. Além disso,Sβ−α =i(Xβ−α+X−(β−α)) =i(Xα−β+X−(α−β)) = Sα−β, logo[Aβ, Sα]também satisfaz o desejado. No caso em que|α−β| =β−α, basta notar queAα−β =−Aβ−α, daí segue análogo ao mostrado acima.

Portanto,[X, Y]∈pα+β +p|α−β|.

Agora, suponha queα, β ∈Φeα+β, α−βnão são raízes deg. SeX ∈p_αeY ∈p_β, então[X, Y] = 0,pois neste caso,pα+β = 0ep|α−β|= 0.

EscrevendoU eRcomo no Capítulo 3, segue do Lema 3.4, que

hR(X, Y), Y, Xi=hU(X, Y), U(X, Y)i − hU(X, X), U(Y, Y)i.

O item(1) do Lema 1.62, implica quehp_γ,p_δi = 0, seγ, δ ∈ Φeγ 6= δ. Usando isto será demonstrado que:

(i) U(X, X) = 0, para todoX ∈p_α.

De fato, tomeZ ∈p_γ. Pelo Lema 3.3, vale que hU(X, X), Zi= 1

2h[Z, X], Xi+ 1

2h[Z, X], Xi=h[Z, X], Xi.

Conforme mostrado acima, [Z, X] ∈ p_γ+α +p|γ−α|. No caso em que γ = α, o colchete [Z, X] = 0. Além disso, noteγ+α 6=α, pois0não é raiz. E|γ−α| 6=α, pois caso contrário,γ−α=αouα−γ =α, ou seja,γ = 2αouγ = 0. Isso também não ocorre, em virtude do item(3)do Lema 1.62.

Portanto,h[Z, X], Xi= 0e consequentemente,U(X, X) = 0. (ii) ParaX ∈p_αeY ∈p_β, tem-se queU(X, Y) = 0.

Novamente, sejaZ ∈p_γ. Então, pelo Lema 3.3, hU(X, Y), Zi= 1

2hX,[Z, Y]i+1

2hY,[Z, X]i.

No caso em queγ =α, o colchete[Z, X] = 0e seγ =β, então[Z, Y] = 0.

Assim, sehU(X, Y), Zi 6= 0,então pelo menos uma das igualdades,α=β+γ, α=

|β−γ|, β =α+γ, β=|α−γ|, deve ser verdadeira.

Veja que seα =β+γ, entãoα−β =γ ∈∆. Seα=|β−γ|, entãoα−β =−γ ∈∆ ouα+β =γ ∈ ∆. Seβ =α+γ, obtêm-se queα−β =−γ ∈∆. Seβ = |α−γ|, obtêm-seα−β =γ ∈∆ouα+β =γ ∈∆.

Assim, as hipóteses de que α +β e α −β não são raízes de g, implicam que nenhuma das igualdades é verdadeira.

Logo,hU(X, Y), Zi= 0, para todoZ ∈p_γ. Então, concluímos queU(X, Y) = 0.

Desta forma, supondo queα+β eα−βnão são raízes deg, obtêm-se que

hR(X, Y)Y, Xi = 0, o que é uma contradição, pois M possui curvatura estritamente positiva.

Portanto,α+β ∈∆ouα−β∈∆. 2