2.6 Aplica¸c˜oes
3.1.4 Espa¸cos com produto interno (V, β) Grupos ortogonais O(V, β)
No que se segue V indica um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita sobre o corpo K = IR, C ou IH. Consideremos uma “forma biaditiva”:
β : V × V → K
em V , i.e., β(u + v, w) = β(u, w) + β(v, w) e β(u, v + w) = β(u, v) + β(u, w). Nestas condi¸c˜oes, β diz-se: • “IR ou C-bilinear” se β(λv, w) = β(v, λw) = λβ(v, w). • “C-sesquilinear” se β(λv, w) = λβ(v, w) e β(v, λw) = λβ(v, w). • “IH-sesquilinear” se β(v h, w) = hβ(v, w) e β(v, w h) = β(v, w)h ∀h ∈ IH. • “sim´etrica” se β(v, w) = β(w, v). • “anti-sim´etrica” se β(v, w) = −β(w, v). • “C ou IH-hermitiana” se β(v, w) = β(w, v). • “C ou IH-anti-hermitiana” se β(v, w) = −β(w, v).
• “n˜ao degenerada” se β(u, v) = 0, ∀v ⇒ u = 0 e β(u, v) = 0, ∀u ⇒ v = 0. ♣ Defini¸c˜ao 3.2 ... Um “espa¸co com um produto interno” ´e um par (V, β) onde
V ´e um K-espa¸co vectorial de dimens˜ao finita, e β ´e uma forma biaditiva n˜ao degenerada em V , bilinear ou sesquilinear, e que ´e (anti-) sim´etrica ou (anti-) hermitiana.
Um K-automorfismo ϕ : V → V , diz-se uma “isometria” de (V, β) se:
β(ϕ(u), ϕ(v)) = β(u, v) ∀u, v ∈ V (3.1.13)
As isometrias de (V, β) constituem um grupo, dito o “grupo ortogonal” de (V, β), e nota-se por Oβ(V ) ou por O(V, β).
Consideramos agora os seguintes tipos de produto interno β, os respectivos “espa¸cos- modelo” e os correspondentes grupos ortogonais:
• Produto interno β: IR-bilinear sim´etrico.
Espa¸co-modelo: IRn(p,q) (p+q=n), com o produto interno (pseudo-euclideano de assinatura (p, q)): β(x, y) = x1y1+ · · · + xpyp− xp+1yp+1− · · · − xnyn = xt · 1p 0 0 −1q ¸ y (3.1.14)
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= O(p, q) - o grupo ortogonal real em dimens˜ao
• Produto interno β: IR-bilinear anti-sim´etrico, ou IR-simpl´etico.
Espa¸co-modelo: IR2n = IRn× IRn, com o produto interno (forma simpl´etica):
β((x, y), (x0, y0)) = x1y01− y1x01+ · · · + xny0n− ynx0n = · x y ¸t· 0 1n −1n 0 ¸ · x0 y0 ¸ (3.1.15)
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= Sp(2n, IR) - o grupo simpl´etico real em
dimens˜ao 2n. ´E um subgrupo de G`(2n, IR).
• Produto interno β: C-bilinear sim´etrico. Espa¸co-modelo: Cn, com o produto interno:
β(z, w) = z1w1 + · · · + znwn
= zt1
nw (3.1.16)
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= O(n, C) - o grupo ortogonal complexo em
dimens˜ao n. ´E um subgrupo de G`(n, C).
• Produto interno β: C-bilinear anti-sim´etrico, ou C-simpl´etico.
Espa¸co-modelo: C2n = Cn× Cn, com o produto interno (forma simpl´etica):
β((z, w), (z0, w0)) = z1w01− w1z01+ · · · + znw0n− wnz0n = · z w ¸t· 0 1n −1n 0 ¸ · z0 w0 ¸ (3.1.17)
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= Sp(2n, C) - o grupo simpl´etico complexo em
dimens˜ao 2n. ´E um subgrupo de G`(2n, C).
• Produto interno β: C-sesquilinear hermitiano.
Espa¸co-modelo: Cn
(p,q) (p+q=n), com o produto interno:
β(z, w) = z1w1+ · · · + zpwp− zp+1wp+1− · · · − znwn = z† · 1p 0 0 −1q ¸ w (3.1.18) onde z†= zt.
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= U(p, q) - o grupo unit´ario complexo em
dimens˜ao n e assinatura (p, q), com (p + q = n). ´E um subgrupo de G`(n, C).
Espa¸co-modelo: IHn
(p,q) (p+q=n), com o produto interno:
β(u, v) = u1v1+ · · · + upvp− up+1vp+1− · · · − unvn = u† · 1p 0 0 −1q ¸ v (3.1.19)
onde u†= ut, e u representa conjuga¸c˜ao quaterni´onica.
Grupo Ortogonal: Oβ(V ) def= Sp(p, q) ou HU (p, q) - o grupo simpl´etico
ou grupo hiper-unit´ario com assinatura (p, q). ´E um subgrupo de G`(n, IH) onde
n = p + q.
♣ Exerc´ıcio 3.1 ... Seja β um produto interno C-sesquilinear hermitiano (com assinatura
(p, q)), num espa¸co vectorial complexo VJ= (V, J) com estrutura complexa J.
(i). Mostre que a parte real g = Re β ´e um produto interno IR-sim´etrico (com assinatura
(2p, 2q)), e que ω = −Im β ´e um produto interno IR-simpl´etico em V .
(ii). Mostre que:
g(x, y) = ω(Jx, y) e ω(x, y) = g(Jx, y) (3.1.20)
e ainda que J ´e uma isometria de g e ω:
g(Jx, Jy) = g(x, y) e ω(Jx, Jy) = ω(x, y)
∀x, y ∈ V .
(iii). Calcule expl`ıcitamente g e ω quando β ´e o produto interno modelo (3.1.18), e deduza que:
G`(n, C) ∩ Sp(n, C) = O(2p, 2q) ∩ Sp(n, C) = G`(n, C) ∩ O(2p, 2q) = U (p, q) (3.1.21)
♣ Exerc´ıcio 3.2 ... Seja β um produto interno C-sesquilinear hermitiano (com assinatura
(p, q)), num espa¸co vectorial quaterni´onico V (os escalares actuam `a direita). Seja:
β = µ + j σ a decomposi¸c˜ao usual, onde µ e σ tomam valores em C.
(i). Mostre que µ ´e um produto interno C-sesquilinear hermitiano, e que σ ´e um produto interno C-simpl´etico em V .
(ii). Mostre que:
µ(u, v) = σ(u, v j) e σ(u, v) = −µ(u, v j) (3.1.22)
e ainda que:
µ(u j, v j) = µ(u, v) e σ(u j, v j) = σ(u, v) ∀u, v ∈ V .
(iii). Calcule expl`ıcitamente µ e σ quando β ´e o produto interno modelo (3.1.19), e deduza que:
G`(n, IH) ∩ Sp(n, C) = U (2p, 2q) ∩ Sp(n, C) = G`(n, IH) ∩ U (2p, 2q) = HU (p, q) = Sp(p, q)
Dado um espa¸co com produto interno (V, β), o facto de β ser uma forma bilinear (ou sesquilinear) n˜ao degenerada implica a existˆencia de um IR-isomorfismo “bemol”(1):
[ : V −→ V∗ x ∈ V 7→ x[∈ V∗ (3.1.24) dado por:
x ∈ V 7→ [(x) def= x[ ∈ V∗ tal que x[(y) = β(x, y) ∀x, y ∈ V
o que permite definir da maneira habitual o adjunto A∗ de um endomorfismo A ∈
EndK(V ), atrav´es de:
V∗ ←− VA∗ ∗
[↑ ↑[
V −→ VA
isto ´e:
β(y, Ax) = β(A∗y, x), ∀x, y ∈ V (3.1.25)
´
E f´acil verificar as propriedades seguintes:
A∗ ∈ End
K(V ), (AB)∗ = B∗A∗, (A∗)∗ = A (3.1.26)
i.e., ∗ ´e uma anti-involu¸c˜ao da ´algebra End
K(V ). Al´em disso:
β(Ax, Ay) = β(x, y) ⇐⇒ A∗A = Id ⇐⇒ A∗ = A−1 (3.1.27)
e portanto cada um dos grupos ortogonais Oβ(V ) pode tamb´em ser descrito na forma:
Oβ(V ) def= {A ∈ EndK(V ) : A∗A = Id} (3.1.28)
´
E claro que o adjunto A∗ depende do produto interno β. Para cada tipo haver´a um
processo expl´ıcito para calcular A∗. Assim por exemplo:
• se β ´e IR-sim´etrico definido positivo (caso (3.1.14) com p = n) ou C-sim´etrico (caso
(3.1.16), ent˜ao A∗ def= At (transposta de A).
• se β tem assinatura (p, q) (casos (3.1.14), (3.1.18) e (3.1.19)), decompˆomos Kn
(p,q)∼=
Kp⊕ Kq o que induz uma decomposi¸c˜ao de M ∈ End
K(V ) em blocos: M = · A B C D ¸ Ent˜ao: · A B C D ¸∗ def = · A† −C† −B† D† ¸ (3.1.29) onde A† = At ´e a C ou IH-conjugada transposta. Em particular no caso definido
positivo (ou negativo) A∗ = A† = At.
1Quando V ´e um espa¸co vectorial direito sobre IH (os escalares actuando `a direita de V ), define-se o
dual V∗ como sendo o espa¸co vectorial direito sobre IH, constitu´ıdo pelas formas IH-lineares f : V → IH, com os escalares actuando `a direita de V∗ atrav´es de (f h)(v) def= h f (v), v ∈ V, h ∈ IH.
• se β ´e IR ou C-simpl´etico (casos (3.1.15) e (3.1.17)) e se M = · A B C D ¸ ´e a decom- posi¸c˜ao adaptada `a soma directa K2n = Kn⊕ Kn (K = IR, C), ent˜ao:
· A B C D ¸∗ def = · Dt −Bt −Ct At ¸ (3.1.30)
O nosso pr´oximo objectivo ´e provar que cada um dos grupos ortogonais Oβ(V ) atr´as
considerados, ´e um grupo de Lie. Mais exactamente, provaremos que Oβ(V ) ´e uma sub-
variedade do espa¸co vectorial real Mn(K) ∼= Kn ∼= IRN, das matrizes n × n de entradas
em K. Para isso definamos o subespa¸co vectorial real Sβ(n, K), que consiste das matrizes
de Mn(K) que s˜ao β-sim´etricas:
Sβ(n, K) def= {S ∈ Mn(K) : S∗ = S} (3.1.31)
e ainda o subespa¸co vectorial real Aβ(n, K), que consiste das matrizes de Mn(K) que s˜ao
β-anti-sim´etricas:
Aβ(n, K) def= {ξ ∈ Mn(K) : ξ∗ = −ξ} (3.1.32)
♣ Teorema 3.1 ... Seja (V, β) um dos espa¸cos com produto interno (3.1.14) at´e (3.1.19), e consideremos o correspondente grupo ortogonal:
Oβ(V ) = {A ∈ Mn(K) : AA∗ = Id}
Ent˜ao Oβ(V ) ´e uma subvariedade real do espa¸co vectorial real Mn(K), com dimens˜ao:
dimIROβ(V ) = dimIRAβ(n, K) (3.1.33)
Al´em disso o espa¸co tangente na unidade e = 1 ∈ Oβ(V ) ´e dado por:
Te(Oβ(V )) def = oβ(V ) = Aβ(n, K) = {ξ ∈ Mn(K) : ξ∗ = −ξ} (3.1.34) • Demonstra¸c˜ao... Consideremos a fun¸c˜ao: Φ : Mn(K) ∼= IRN → Sβ(n, K) ∼= IRM definida por Φ(X) = XX∗ Como: Oβ(V ) = Φ−1({1})
para provar que Oβ(V ) ´e uma subvariedade real do espa¸co vectorial real Mn(K), podemos
aplicar os resultados da sec¸c˜ao 1.7, provando que 1 ´e valor regular de Φ, isto ´e que a diferencial de Φ em cada ponto A ∈ Oβ(V ) ´e sobrejectiva. Se assim fˆor ficar´a provado que Oβ(V ) ´e uma subvariedade real em Mn(K), de codimens˜ao dimIRSβ(n, K), como se
Mas (com identifica¸c˜oes ´obvias) dΦA: Mn(K) → Sβ(n, K) ´e dada por: dΦA(ξ) = dtd|t=0Φ(A + tξ) = dtd|t=0(A + tξ)(A + tξ)∗= ξA∗+ Aξ∗
e ´e sobrejectiva ∀A ∈ Oβ(V ). De facto, se S ∈ Sβ(n, K) ent˜ao pondo ξ = 12SA, vemos
que: dΦA(ξ) = dΦA(1 2SA) = 1 2SAA ∗+ A¡ 1 2SA ¢∗ = S uma vez que AA∗ = Id e S = S∗.
Por outro lado:
Te(Oβ(V )) = ker(dΦe)
e como dΦe(ξ) = ξ + ξ∗= 0 implica que ξ = −ξ∗, fica provado (3.1.34).
¤
.A subvariedade G def= O(V, β) definida impl`ıcitamente pelo teorema anterior,
atrav´es da condi¸c˜ao X ∈ Mn(K) ∼= IRN : Φ(X) = XX∗ = 1, pode tamb´em ser descrita
param`etricamente. Como veremos mais detalhadamente na pr´oxima sec¸c˜ao, a aplica¸c˜ao
`A : G → G, definida pela multiplica¸c˜ao `a esquerda por A ∈ G:
`A(B) = AB B ∈ G
´e um difeomorfismo de G tal que `A(1) = A. Por isso basta construir uma carta local na
vizinhan¸ca da identidade e = 1 ∈ G. Como ´e sabido a s´erie: 1 + ξ + ξ 2 2! + ξ3 3! + ξ4 4! + · · · (3.1.35)
onde ξ ∈ Mn(K) ∼= IRN, converge para uma matriz exp(ξ) = eξ (a exponencial de ξ),
sendo a convergˆencia uniforme em qualquer compacto de Mn(K), o que implica que as
entradas de eξ s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas das entradas de ξ, isto ´e, a fun¸c˜ao:
exp : Mn(K) −→ Mn(K)
´e anal´ıtica. Note ainda que exp(0) = 1.
♣ Teorema 3.2 ... Seja (V, β) um dos espa¸cos com produto interno (3.1.14) at´e (3.1.19), e consideremos o correspondente grupo ortogonal:
G = Oβ(V ) = {A ∈ Mn(K) : AA∗ = Id}
Ent˜ao a aplica¸c˜ao:
exp : TeG −→ G (3.1.36)
onde TeG = Aβ(n, K) ´e o espa¸co tangente na unidade e = 1, dado por (3.1.34), ´e um
• Demonstra¸c˜ao...
Se ξ ∈ Aβ(n, K), ent˜ao eξ∈ G, uma vez que (eξ)(eξ)∗ = eξeξ
∗
= eξe−ξ = eξ−ξ = e0 = 1. Por outro lado, a diferencial de exp em 0 ´e dada por:
d(exp)0(ξ) = dtd|t=0etξ = ξ
e resta aplicar o teorema da fun¸c˜ao inversa para concluir.
¤
.Se U ´e um aberto de TeG = Aβ(n, K) ∼= IRM, que contem 0 e onde exp |U ´e um
difeomorfismo sobre a imagem V ⊆ G, ent˜ao (V, φ) = (V, exp |U)−1) ´e uma carta local que
contem e = 1, dita uma carta exponencial. As coordenadas locais associadas dizem-se coordenadas can´onicas de G.
Os “grupos especiais lineares” s˜ao definidos por:
S`(n, IR) def= {A ∈ G`(n, IR) : detIRA = 1} especial linear real
S`(n, C) def= {A ∈ G`(n, C) : detCA = 1} especial linear complexo
S`(n, IH) def= {A ∈ G`(n, IH) : detIRA = 1} especial linear quaterni´onico
SO(p, q) def= {A ∈ O(p, q) : detIRA = 1} especial ortogonal real de assinatura (p, q)
SO(n, C) def= {A ∈ O(n, C) : detCA = 1} especial ortogonal complexo
SU(p, q) def= {A ∈ U(p, q) : detCA = 1} especial unit´ario (3.1.37)
Portanto em geral os grupos especiais lineares s˜ao obtidos resolvendo a equa¸c˜ao detKX =
1, onde K = IR ou C. Suponhamos que A ∈ SL(n, K) e calculemos a diferencial da fun¸c˜ao detK no ponto A: d(detK)A(ξ) = d dt|t=0detK(A + tξ) = d dt|t=0detK ¡ (1 + tξA−1) A¢ = d dt|t=0 ³
detK(1 + tξA−1) detK(A)
´
= trK(ξA−1)detK(A) (3.1.38)
= trK(ξA−1) (3.1.39)
onde em (3.1.38), utilizamos o facto de que det (1 + tC) = 1 + t tr(C) + · · · + tndet (C).
Vemos ent˜ao que d(detK)Atem caracter´ıstica 1 se K = IR e igual a 2 se K = C. O teorema
da fun¸c˜ao impl´ıcita permite concluir que os grupos especiais linerares s˜ao subvariedades, cujo espa¸co tangente na unidade e = 1 ´e dado pelo ker d(detK)A, isto ´e, por {ξ ∈ Mn(K) :
trK(ξ) = 0}. Portanto:
TeSL(n, IR) def= sl(n, IR) = {ξ ∈ Mn(IR) : trIRξ = 0}
TeSL(n, C) def= sl(n, C) = {ξ ∈ Mn(C) : trCξ = 0}
♣ Exerc´ıcio 3.3 ... Verificar as inclus˜oes seguintes: G`+(2n, IR)
↑
G`+(n, IR) → G`(n, IR) → G`(n, C) → G`(n, IH) → G`(2n, C)
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
SO(n) → O(n) → U (n) → Sp(n) → Sp(n, C)
↓ ↓
SO(2n) U (2n)
e provar ainda que G`(n, C) ∩ SO(2n) = U (n) e que G`(n, IR) ∩ U (n) = O(n).