2.4.1
Ideais diferencais. Teorema de Frobenius
Seja M uma variedade de dimens˜ao n e consideremos a ´algebra exterior (ou de Grassmann) das formas diferenciais em M:
Ω(M) def= ⊕nk=0Ωk(M)
Um sistema diferencial em M ´e uma colec¸c˜ao {ω1, ω2, · · · } = {ωi}
i∈I de formas difer-
enciais em M. Uma subvariedade imersa S ,→ M, ser´a uma variedade integral desse sistema se todas as formas se anulam em S: ωi|
S = 0, ∀i ∈ I. Note que neste caso
tamb´em ´e verdade que (ωi∧ η)|
S = 0, qualquer que seja a forma diferencial η ∈ Ω(M),
mesmo que η n˜ao perten¸ca ao sistema diferencial {ωi}
i∈I. Por isso em vez de considerar
{ωi}
i∈I, devemos considerar todo o ideal de Ω(M) gerado por {ωi}i∈I.
♣ Defini¸c˜ao 2.5 ... Um ideal exterior I em M, ´e uma colec¸c˜ao de formas difer-
enciais em M tais que:
• se ω, ω0 s˜ao k-formas em I, tamb´em ω + ω0 est´a em I.
• se ω ∈ I, ent˜ao ω ∧ η ∈ I, ∀η ∈ Ω(M)
Uma subvariedade imersa S ,→ M, diz-se uma variedade integral do sistema diferencial determinado pelo ideal exterior I, se e s´o se I se anula em S, i.e., ω|S = 0, ∀ωI.
Dado um ideal exterior I, designemos por I(k) = {ω ∈ I : deg ω = k} = I ∩ Ωk(M),
k = 0, 1, · · · , n, a sua componente homog´enea de grau k, de tal forma que I = ⊕n
k=0I(k).
´
E f´acil ver que uma subvariedade imersa S ,→ M de dimens˜ao s ≤ n, ´e uma variedade integral de I, se e s´o se I(s) se anula em S.
Diz-se que um conjunto de formas diferenciais {ω1, ω2, · · · } = {ωi}
i∈I gera o ideal
exterior I, se toda a forma ω ∈ I se pode escrever como uma combina¸c˜ao linear finita do tipo ω = Pi ηi∧ ωi, onde ηi s˜ao formas arbitr´arias tais que deg ω = deg ηi+ deg ωi.
Claramente que, neste caso, S ´e uma variedade integral de I, se e s´o se cada gerador ωi
se anula em S. Nas aplica¸c˜oes, em geral I ser´a finitamente gerado.
Seja I um ideal exterior e suponhamos que S ,→ M ´e uma variedade integral de I, de dimens˜ao s ≤ n. Para cada x ∈ S o espa¸co tangente TxS ´e um subespa¸co de TxM. As
formas diferenciais em I anulam-se em S se e s´o se, quando vistas como formas exteriores em TxM, elas se anulam no subespa¸co TxS, i.e.:
ωx(v1, · · · , vk) = 0, ∀ω ∈ I(k), ∀v1, · · · , vk∈ TxS
Portanto uma condi¸c˜ao necess´aria para que um certo subespa¸co de TxM seja um poss´ıvel
candidato a espa¸co tangente de uma variedade integral de I, ´e que ele seja um elemento integral de I, de acordo com a seguinte defini¸c˜ao:
♣ Defini¸c˜ao 2.6 ... Um subespa¸co E ⊆ TxM, de dimens˜ao s ≤ n, diz-se um ele-
mento integral de I se todas as forma em I se anulam em E, i.e.:
ωx(v1, · · · , vk) = 0, ∀ω ∈ I(k), ∀v1, · · · , vk∈ E ⊆ TxM (2.4.1)
Portanto uma subvariedade imersa S ,→ M ´e uma variedade integral de I, se e s´o se TxS
´e um elemento integral de I, ∀x ∈ S.
Para verificar se um certo subespa¸co E ⊆ TxM, de dimens˜ao s ≤ n, ´e um ele-
mento integral de I, ´e suficiente verificar que as s-formas de I se anulam em E, i.e., que ωx(v1, · · · , vs) = 0, ∀ω ∈ I(s), ∀v1, · · · , vs ∈ E. Por outro lado, se conhecermos
um conjunto de geradores de I, ´e suficiente verificar que E ´e anulado pelos geradores de grau quando muito igual a s.
♣ Defini¸c˜ao 2.7 ... Seja I um ideal exterior. Define-se o rank de I num ponto
x ∈ M, como sendo a dimens˜ao r(x) do subespa¸co de T∗
xM gerado por todas as 1-formas
em I:
r(x) = dim hωx ∈ Tx∗M : ω ∈ I(1)iIR
♣ Defini¸c˜ao 2.8 ... Um ideal diferencial ´e por defini¸c˜ao um ideal exterior I que
´e fechado, isto ´e, tal que:
dI ⊆ I
Quando I ´e finitamente gerado por {ω1, · · · , ωr}, ent˜ao o seu fecho cl(I) (i.e., o ideal
gerado por todas as formas em I e pelas respectivas derivadas exteriores), tamb´em ´e finitamente gerado, por {ω1, · · · , ωr} e por {dω1, · · · , dωr}. Em particular I ´e fechado
se e s´o se I contem a derivada exterior dωi de cada um dos seus geradores ω1, · · · , ωr.
Particularmente importantes nas aplica¸c˜oes s˜ao os chamados sistemas de Pfaff P,
isto ´e, ideais diferenciais finitamente gerados por um conjunto {ω1, · · · , ωr} de 1-formas (ou formas de Pfaff)
em M. Um sistema de Pfaff P ´e fechado sse as derivadas exteriores das 1-formas geradoras pertencerem ao ideal P, e portanto puderem ser escritas na forma:
dωi = r X j=1 ηi j ∧ ωj, i = 1, · · · , r
para certas 1-formas ηi
j ∈ Ω1(M).
Analizemos agora a dualidade natural entre distribui¸c˜oes (no sentido de Frobenius (ver sec¸c˜ao 1.9)) e ideais exteriores gerados por uma colec¸c˜ao de 1-formas.
Seja D uma distribui¸c˜ao de rank k em M. Consideremos o conjunto ID(1) de todas as 1-formas que se anulam em D, isto ´e:
ID(1) = {ω ∈ Ω1(M) : ω(X) = 0 ∀X|inΓ(D) }
e seja ID o ideal gerado por ID(1). A ID chamamos o ideal dual `a distribui¸c˜ao D. Se
D ´e (localmente) gerado por k campos de vectores X1, · · · , Xk ∈ Γ(D), que s˜ao linear-
ω1· · · , ωn−k, que s˜ao tamb´em linearmente independentes em cada ponto. Em particular
o rank do ideal ID ´e igual ao corank de D.
Rec`ıprocamente, se I ´e um ideal exterior gerado por uma colec¸c˜ao de 1-formas, ent˜ao a distribui¸c˜ao dual DI define-se como sendo a distribui¸c˜ao gerada por todos os campos de
vectores que s˜ao anulados por todas as 1-formas diferenciais em I. Portanto X ∈ Γ(D) se e s´o se ω(X) = 0, ∀ω ∈ I(1). A proposi¸c˜ao) seguinte ´e clara:
♣ Proposi¸c˜ao 2.4 ... Seja D uma distribui¸c˜ao de rank k em M, e ID o ideal dual
associado, de rank n − k. Uma subvariedade imersa S ,→ M ´e uma variedade integral do ideal ID se e s´o se fˆor uma variedade integral da distribui¸c˜ao D.
A condi¸c˜ao an´aloga `a condi¸c˜ao de involu¸c˜ao, ´e a de fecho do ideal dual:
♣ Proposi¸c˜ao 2.5 ... Uma distribui¸c˜ao D de rank k em M ´e involutiva se e s´o se o
respectivo ideal dual ID fˆor fechado, i.e.:
dID ⊆ ID
e portanto fˆor um ideal diferencial.
• Demonstra¸c˜ao... Como ID´e gerado por 1-formas, ´e suficiente verificar que dω ∈ ID, ∀ω ∈ ID(1). A prova resulta agora imediatamente da identidade j´a conhecida:
dω(X, Y ) = X · ω(Y ) − Y · ω(X) − ω([X, Y ])
onde θ ∈ Ω1(M ) e X, Y ∈X(M ),
¤
.Podemos finalmente enunciar a segunda vers˜ao do Teorema de Frobenius:
♣ Teorema 2.8 Teorema de Frobenius - 2.a vers˜ao... Seja I um ideal exterior
de rank n − k, gerado (localmente) por uma colec¸c˜ao de 1-formas {ω1, · · · , ωn−k}, em M.
Ent˜ao I ´e k-integr´avel se e s´o se uma das seguintes condi¸c˜oes equivalentes se verifica: • I ´e um ideal diferencial.
• dωj∧ ω1∧ · · · ∧ ωn−k = 0, j = 1, · · · , n − k
Exemplo... Em M = IR3 considere o ideal I gerado por uma 1-forma:
ω = P dx + Q dy + R dz
que nunca se anula em qualquer ponto. I ser´a fechado sse dω ∈ I, i.e., sse dω = η ∧ ω para algum η ∈ Ω1(IR3). ´E f´acil ver que esta condi¸c˜ao ´e equivalente `a seguinte dω ∧ ω = 0, o que conduz `a seguinte condi¸c˜ao de integrabilidade:
2.4.2
A T´ecnica do Gr´afico de E. Cartan
Vamos agora discutir uma t´ecnica, devida a E. Cartan, que nos permite, em determinadas circunstˆancias, construir uma aplica¸c˜ao a partir do seu gr´afico, quando este ´e uma var- iedade integral de um certo ideal diferencial. Esta t´ecnica do gr´afico tem importantes aplica¸c˜oes em geometria diferencial, como veremos por exemplo no cap´ıtulo sobre grupos de Lie, e ainda na sec¸c˜ao 4.5.
Suponhamos ent˜ao que F : N → M ´e uma aplica¸c˜ao C∞, e que {ωi}
i∈I ´e uma qualquer
colec¸c˜aoˆEde formas diferenciais em M. Representemos por:
πN : N × M → N e πM : N × M → M
as projec¸c˜oes naturais em N e M, respectivamente. Para cada i ∈ I, consideremos a forma diferencial em N × M:
ηi = π∗
NF∗ωi− πM∗ ωi ∈ Ω(N × M), i ∈ I (2.4.2)
e seja I o ideal em Ω(N × M), gerado pelas formas {ηi} i∈I.
Por defini¸c˜ao, o gr´afico de F : N → M ´e a subvariedade de dimens˜ao n = dim N, em
N × M:
gr F = {(x, y) ∈ N × M : y = F (x), x ∈ N} Consideremos a aplica¸c˜ao:
G : N ,→ N × M, G : x 7→ (x, F (x)
e demonstremos que o gr´afico de F : N → M ´e uma variedade integral do ideal I. De facto, basta mostrar que G∗ηi = 0, ∀i ∈ I. Mas π
N ◦ G = IdN e πM ◦ G = F , e portanto: G∗ηi = G∗¡π∗ NF∗ωi− π∗Mωi ¢ = (F ◦ πN ◦ G)∗ωi− (πM ◦ G)∗ωi = F∗ωi− F∗ωi = 0, ∀i ∈ I
Resumindo: se come¸camos com uma aplica¸c˜ao F : N → M e uma qualquer colec¸c˜aoˆEde formas em M, demonstramos que o gr´afico de F ´e uma variedade integral de um certo ideal em Ω(N × M).
Suponhamos agora que come¸camos com uma variedade M de dimens˜ao m, e com um co-referencial {ωi ∈ Ω1(M), i = 1, · · · , m} em M, i.e., com um conjunto de m formas
de grau 1 em M, linearmente independentes em cada ponto (estamos a supˆor que um tal co-referencial existe, o que nem sempre acontece!...). Suponhamos que temos tamb´em uma variedade N de dimens˜ao n e uma colec¸c˜ao de m = dim M formas de grau 1,
{αi ∈ Ω1(N), i = 1, · · · , m} em N. O problema que se p˜oe ´e o de construir uma
aplica¸c˜ao F : N → M, tal que:
Como vimos antes, se uma tal aplica¸c˜ao existe o seu gr´afico ser´a uma variedade integral de um certo ideal em Ω(N × M). Por isso vamos tentar construir primeiro esse gr´afico como variedade integral desse ideal. Para isso definimos 1-formas diferenciais em N × M, pondo:
ηi = π∗
Nαi− πM∗ ωi ∈ Ω(N × M), i = 1, · · · , m (2.4.4)
e consideramos o ideal I em Ω(N × M), gerado por essas formas. Vamos mostrar o seguinte teorema fundamental:
♣ Teorema 2.9 ... Seja M uma variedade de dimens˜ao m e suponhamos que (ex- iste) {ωi ∈ Ω1(M), i = 1, · · · , m} ´e um co-referencial em M. Considermos ainda
uma variedade N de dimens˜ao n e uma colec¸c˜ao de m = dim M formas de grau 1, {αi ∈ Ω1(N), i = 1, · · · , m} em N.
Se o ideal I, em Ω(N × M), gerado por:
ηi = π∗
Nαi− πM∗ ωi ∈ Ω(N × M), i = 1, · · · , m (2.4.5)
fˆor um ideal diferencial, ent˜ao, para cada xo ∈ N e yo∈ M, existe uma vizinhan¸ca U
de xo em N, e uma aplica¸c˜ao F : U ⊆ N → M, tal que F (xo) = yo) e:
F∗ωi = αi¯¯
U, i = 1, · · · , m (2.4.6) • Demonstra¸c˜ao...
Supondo ent˜ao que I ´e um ideal diferencial. Como I ´e gerado por m formas de grau 1 em N × M , o Teorema de Frobenius garante que existe (localmente) uma ´unica variedade integral S ,→ N ×M , conexa de dimens˜ao n = (n+m)−m, que passa em (xo, yo) ∈ N ×M .
Seja s ∈ S. Vamos provar que dπN|TsS ´e injectiva.
De facto, suponhamos que v ∈ TsS e que dπN(v) = 0. Como TsS ´e elemento integral de I, sabemos que ηi
s(v) = 0, e de (2.4.5) deduzimos que ωi(dπM(v)) = 0, ∀i, e como os ωi
formam um co-referencial, dπM(v) = 0 tambem, isto ´e v = 0, j´a que ambos dπN(v) = 0 e
dπM(v) = 0. Portanto dπN|TsS´e injectiva, e pelo teorema da invers˜ao local πN|S : S → N
´e um difeomorfismo local. Existem pois vizinhan¸cas V de (xo, yo) em S e U de xo em N ,
tais que πN|V : V ⊆ S → U ⊆ N ´e um difeomorfismo. Definimos ent˜ao F : U ⊆ N → M atrav´es de:
F = πM ◦ ( πN|V)−1 (2.4.7)
´
E claro que F (xo) = yo, que o gr´afico de F ´e uma subavarieadae aberta de S e ainda que: F∗ωi= αi¯¯U, i = 1, · · · , m
De facto, se v ∈ TxN , ent˜ao por (2.4.5) vem que:
0 = ηi ³ d ( πN|V)−1(v) ´ = αi(v) − ωi ³ dπM ◦ d ( πN|V)−1(v) ´ = αi(v) − F∗(ωi)(v) (2.4.8) como se pretendia,