area indesej´avel de ru´ıdo que os une. Em A vemos a imagem original com o ru´ıdo. Em B a imagem ap´os a execu¸c˜ao de eros˜ao, quando foi removido o ru´ıdo. E finalmente em C a imagem ´e reconstitu´ıda, agora sem o ru´ıdo, atrav´es de uma dilata¸c˜ao.
Figura 7: Exemplo esquem´atico de aplica¸c˜ao de morfologia matem´atica. Em A vˆe-se a imagem original, com ru´ıdo. O resultado da eros˜ao est´a em B. E C mostra a imagem ap´os a aplica¸c˜ao de dilata¸c˜ao
2.5 Espa¸ cos de Escalas e Filtragem com Hessianas
No mundo f´ısico, uma propriedade inerente a todos os objetos ´e que eles apenas fazem sentido, enquanto uma entidade, quando analisados dentro de uma determinada faixa de escalas. Um exemplo did´atico cl´assico ´e o do galho de uma ´arvore, cuja observa¸c˜ao faz sentido apenas em uma escala entre poucos cent´ımetros a, no m´aximo, alguns metros.
A an´alise desse objeto perderia completamente o sentido a uma escala em n´ıveis de, por exemplo, nanˆometros ou quilˆometros. No n´ıvel de escala de nanˆometros faria mais sentido analisar as mol´eculas que comp˜oem o caule e as folhas da ´arvore, enquanto na escala de quilˆometros ´e poss´ıvel apenas a an´alise da floresta em que a ´arvore se localiza (LINDE-BERG, 1998).
A teoria do Espa¸co de Escalas ´e um arcabou¸co concebido para a representa¸c˜ao de uma imagem, ou um sinal, em m´ultiplas escalas, ou aberturas (WITKIN, 1983). Sua motiva¸c˜ao vem da semelhan¸ca com os campos receptores do sistema visual humano e tem como objetivo a representa¸c˜ao de um objeto em m´ultiplas escalas simultaneamente, obe-decendo certos axiomas como linearidade, invariˆancia de deslocamento espacial, isotropia e invariˆancia de escala (FLORACK et al., 1992).
Com base na teoria do espa¸co de escalas (KOENDERINK, 1984) e (FRANGI et al., 1998) desenvolveram uma abordagem multiescala para o uso dos autovalores da matriz Hessiana para determinar localmente a probabilidade de um pixel ser considerado, ou n˜ao, parte de um vaso sangu´ıneo. Esta abordagem concebe o realce dos vasos como um processo de filtragem que busca estruturas geom´etricas que possam ser consideradas de formato tubular.
O princ´ıpio ´e que, dado um ponto x0 em uma imagem, se expande a aproxima¸c˜ao na vizinhan¸ca da estrutura, at´e a segunda ordem, em uma S´erie de Taylor como mostrado na Equa¸c˜ao 2.25:
L(x0+δx0, s)≈L(x0+x0, s) +δxT0∆0,s+δxT0H0,sδx0 (2.25) onde ∆0,s ´e o vetor gradiente, computado em x0 na escala s e H representa a matriz Hessiana, uma matrix 2x2 contendo a segunda derivada parcial de uma fun¸c˜ao, aqui re-presentada pela Equa¸c˜ao (2.26), neste caso aplicada em uma imagem 2DI(x, y). A matriz Hessiana cont´em tamb´em toda a informa¸c˜ao necess´aria para extrair contraste e dire¸c˜ao de um pixel da imagem pela obten¸c˜ao de seus autovalores e dire¸c˜ao dos autovetores.
H(x, y) =
Assim como uma matriz representando uma imagem I, a Hessiana tamb´em ´e uma
fun¸c˜ao discreta e pode ser aproximada por uma fun¸c˜ao cont´ınua usando o filtro Gaussiano res-pectivamente e tamb´em atrav´es da propriedade de diferencia¸c˜ao de convolu¸c˜ao conforme
H(x, y)≈G∗ de convolu¸c˜ao, ∂ e ∂2 correspondem a primeira e segunda derivadas de x e y na imagem I(x, y).
A decomposi¸c˜ao dos autovalores da Hessiana nos fornece trˆes eixos ortonormais que s˜ao invariantes a um fator de escala quando mapeado pela matriz Hessiana. Neste caso, uma vizinhan¸ca esf´erica centrada em x0, com raio 1, ser´a mapeada pela Hessiana H0 em um elipsoide cujos eixos correspondem `as dire¸c˜oes dadas pelos autovetores da Hessiana e os correspondentes semi-eixos s˜ao as magnitudes dos respectivos autovalores. Localmente, esta elipsoide descreve a estrutura de segunda ordem e por isso ´e aqui chamada de elipsoide de segunda ordem e est´a esquematizada na Figura 8.
Figura 8: Esquema da elipsoide de segunda ordem e seus autovaloresλx (FRANGI et al., 1998)
Sejam |λ1| ≤ |λ2| dois autovalores calculados da matriz Hessiana e sejam u1 e u2 os correspondentes autovetores.
Uma vez que|λ1|´e o valor de menor magnitude, ele corresponde ao vetoru1 apontando na dire¸c˜ao de menor curvatura, e |λ2| corresponde ao autovetoru2 apontando na dire¸c˜ao de maior curvatura.
Em termos de vasos sangu´ıneos, de formato tubular, isto significa que u1 ´e paralelo ao eixo longitudinal do vaso, e |λ1| ∼= 0 enquanto u2 ´e paralelo ao eixo radial.
Com a obten¸c˜ao desses valores, duas medidas foram criadas para avaliar a anisotropia e o contraste do pixel, s˜ao baseados na elipsoide de segunda ordem. Essas medidas s˜ao calculadas pelas seguintes equa¸c˜oes:
Ra = Maior Se¸c˜ao Transversal/π
(Maior Semi-Eixo )2 = |λ1|
|λ2| e (2.29)
Rb = Volume/(4π / 3)
(Maior Se¸c˜ao Transversal /π)32 =p
|λ1|2+|λ2|2. (2.30)
Na Equa¸c˜ao (2.29), Ra ´e a medida de limiar do filtro que indica estruturas planas, mas n˜ao distingue entre estruturas lineares e estruturas em forma de disco, enquanto na Equa¸c˜ao 2.30, o valor de Rb ´e essencial para distinguir as estruturas em forma de disco das estruturas em forma de linha (FRANGI et al., 1998).
A Tabela 1 mostra os poss´ıveis padr˜oes assumidos pela combina¸c˜ao dos valores ordena-dos ordena-dos autovalores ordenaordena-dos pelos valores absolutos (|λ1|<|λ2|) para uma imagem 2D, como considerada neste trabalho. Cada autovalor pode assumir um valor mais alto (Alto, na tabela), mais baixo ( Baixo, na tabela) ou ru´ıdos randˆomicos infinitesimais (Ru´ıdo).
Os sinais + e− indicam o sinal dos autovalor.
Tabela 1: Poss´ıveis padr˜oes em 2D para autovaloresλk (FRANGI et al., 1998).
Autovalores
λ1 λ2 Padr˜ao de Orienta¸c˜ao
Ru´ıdo Ru´ıdo Ruido, sem uma dire¸c˜ao preferida Baixo Alto- Estrutura tubular clara em rela¸c˜ao ao fundo Baixo Alto+ Estrutura tubular escura em rela¸c˜ao ao fundo Alto- Alto- Estrutura de um blob claro em rela¸c˜ao ao fundo Alto+ Alto+ Estrutura de um blob escuro em rela¸c˜ao ao fundo
Durante o processo de classifica¸c˜ao de um dado pixel, quanto menor Ra maior a
probabilidade deste pixel ser considerado parte de um vaso. Rb ser´a baixo se ambos autovalores s˜ao pequenos pela falta de contraste, de forma que quanto maior forRb maior ser´a a probabilidade do pixel ser considerado parte de um vaso uma vez que esta rela¸c˜ao denota uma maior se¸c˜ao transversal do elipsoide.
Para imagens em que os vasos tˆem uma tonalidade mais clara que o fundo da imagem, o que significa que esses vasos s˜ao representados como vales, a curvatura ser´a negativa e, portanto, obteremos λ2 <0, como mostrada na Tabela 1.
Essas conclus˜oes conduziram ao desenvolvimento de uma fun¸c˜ao de probabilidade
tamb´em conhecida comvesselness equationem cada escalas, mostrada na Equa¸c˜ao (2.31) (FRANGI et al., 1998): ondeαeβ s˜ao limiares que controlam a sensibilidade do filtro de linha para as medidas Ra e Rb.
Neste documento, λk representa o autovalor de k-´esima menor magnitude ( |λ1| <
|λ2|<|λ3|).