Espectro de fônons

A partir da diagonalização da matriz do sistema de fônons (3.19), encontramos o espectro de frequência para estudar a propagação de fônons em meios quasiperiódicos. Nos trabalhos de You, J. Q et al foi estudado este modelo para o caso em que as massas dos sucessivos átomos obedecem a uma sequência de Fibonaci, utilizando o formalismo da matriz de trans- ferência [30]. Eles mostraram que o espectro é truncado em um fractal para uma quantidade maior de átomos também evidenciado nos trabalhos de Kohomoto et al [60] e nos trabalhos de F. Salazar et al [27], que propõem uma modulação na equação de movimento. Em nosso modelo, utilizamos o pacote computacional do Gnu Scientic Library (GSL), implementados

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 34 em rotinas c++ para encontrar as propriedades do espectro de fônons em meios quasipe- riódicos a partir de uma modulação do tipo senoidal na constante de força entre os átomos vizinhos, variando com uma fase ϕ.

O sistema considerado aqui, como função dos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio e frequências de oscilação apresenta um espectro semelhante ao caso eletrônico em função do inverso do período b. Na equação (3.18) temos que o espectro de um quasicristal é mostrado apenas para valores em que b = β, aqui consideremos valores arbitrários para b. Como podemos ver na gura (3.7) a borboleta de Hofstadter para três diferentes valores da amplitude do potencial λ.

A forma do espectro para valores menores que λ = 0.5 apresentam-se em bandas muito próximas enquanto que para λ = 1.0 temos o parâmetro crítico. Neste valor de λ as frequên- cias permitidas são denidas por diversas bandas compostas de intervalos cada vez mais estreitos localizados entre os quatro gaps maiores. Para maiores valores de λ há uma defor- mação entre os gaps e o espectro perde as características do multifractal, uma vez que os gaps maiores se deformam quando λ = 3, 0, portanto a interação se torna muito forte.

Os estados que cruzam os gaps maiores são sensíveis ao número de átomos na rede, uma vez que representam limitações no espectro de frequências. Em nossa comparação utilizamos N = 100 sítios a rede, apresentando determinadas frequências cruzando os autovalores. Na gura (3.8) calculamos o espectro de frequências em função do inverso do período b, obtendo mais denição na borboleta de Hofstadter. Podemos ver que variações em b apresenta uma característica similaridade no espectro de frequências, mantendo a estrutura composta pelos gaps maiores e alguns modos cruzados. Na região em destaque vemos que os três gaps maiores são replicados e o espectro de frequências segue o mesmo padrão. O limite para esta replicação consiste na precisão do passo b, onde consideramos um incremento de 10−3 _para

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 35

Figura 3.7: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em três intensidades para o potencial quasicristalino com n = 100 e ϕ = 0. Podemos notar que em λ = 1, 0 o espectro apresenta uma quantidade considerável de bandas separadas por gaps cada vez mais estreitos caracterizando o multifractal.

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 36

Figura 3.8: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em um quasicristal como função do parâmetro b. Utilizamos N = 400, ϕ = π/2 e λ = 1.0. Em destaque vemos a ampliação para a região onde b ≈ 0, 618 para evidenciar o padrão de replicação das frequências, onde o espectro se repete de maneira similar.

Para as energias em torno da razão áurea a quantidade de bandas que cruzam os gaps depende do números de sítios na rede e parâmetro λ, diferentemente do caso eletrônico onde encontramos uma dependência apenas na quantidade de sítios. Na gura (3.9), apresentamos este espectro para diferentes valores de λ, que é alterado a medida que adicionamos mais átomos. Para N = 100 as bandas cruzam apenas os gaps menores, independente do parâmetro λ enquanto que para 206 sítios as bandas se estreitam e estes estados cruzam todos os gaps. Para os valores de λ = 1, 0 e N = 100 da gura (3.9) vericamos a presença de bandas proibidas para qualquer valor de aproximação para b = β − 1 dentro do intervalo analisado (1, 615 até 1, 62).

A fase ϕ também modica a forma do espectro, como mostrado na gura (3.10), onde consideramos uma rede com 100 átomos e λ = 0, 5. Podemos notar que as frequências se

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 37

Figura 3.9: Espectro de frequências em torno de b = 1, 618 para λ = 0, 5 e λ = 1, 0 modicando a quantidade de sítios na rede. Podemos ver que a localização dos estados que cruzam os gaps é modicada aumentando a quantidade de sítios e as bandas se estreitam a medida que modicamos λ.

distribuem em quatro intervalos separados com gaps maiores. Os intervalos de frequências proibidas são cruzados por apenas alguns modos com uma dispersão quase senoidal.

Ao lado, mostramos os deslocamentos innitesimais calculados para os modos que cruzam à esquerda (u1) e à direita (u2) que estão muito localizados nas bordas do sistema

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 38

Figura 3.10: Frequências encontrada para o espectro de fônons no nosso modelo. Os parâmetros utilizados foram: N = 100, λ = 0, 5. Ao lado apresentamos os autovetores encontrados nos pontos demarcados com um X vermelho do espectro.

O valor do inverso da frequência no potencial altera consideravelmente as frequências permitidas no espectro de energia em função da fase do potencial, conforme é mostrado na gura (3.11). Desta forma, podemos ver que os estados permanecem cruzando os gaps no entanto ocorre a translação nos modos e uma deformação suave.

Na gura (3.10) apresentamos os autovalores calculados em função da fase do potencial ϕ, onde podemos notar alguns modos cruzando os gaps de bandas maiores e menores. Es- tes estados corresponde a deslocamentos em sítios localizados nas bordas do sistema, como podemos ver ao lado os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio para átomos que oscilam nas frequências entre os gaps.

Na gura (3.12) apresentamos a dispersão de frequência em função da amplitude do potencial incomensurável, onde a escala de cores representa o inverso da taxa de participação

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 39

Figura 3.11: Frequências em função da fase ϕ e obtidas para alterações no valor de b na terceira casa decimal com n=100 e λ = 0, 5.

de cada deslocamento para a frequência total. Podemos ver que para λ < 1, 0 as frequências apresentam-se em sistema de bandas separadas por intervalos maiores enquanto que em λ > 1, 0o espectro se resume a modos de vibração em frequências especícas e bem denidas.

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 40

Figura 3.12: Dispersão de frequência em função do parâmetro de amplitude λ, com 100 átomos na rede considerando a fase inicial ϕ = 0. Podemos ver que para valores maiores que 1.0 o espectro se apresenta em estreitas bandas dispersas, caracterizando este como um ponto de transição.

Os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio estão localizados apenas para alguns modos de oscilação especícos, não apresentando uma transição de fase mais generalizada como o que ocorre para o caso eletrônico. Isto acontece devido aos átomos vibrarem em frequências muito especícas mas em conjunto, apresentando uma pequena taxa de locali- zação quando o parâmetro é maior que 1,0. Para valores superiores de frequência, o ramo superior, temos a presença de uma intensa localização.

A localização dos deslocamentos no espectro de fônons também é modicada em função da fase adicionada no potencial senoidal, como podemos notar na gura (3.13) onde adicionamos a escala de cores para um sistema com 100 sítios e λ = 0, 5. Os estados que cruzam o

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 41 segundo gap maior apresenta localização mais intensa entre os sítios enquanto o restante está totalmente estendido, representando oscilações pequenas e generalizadas por toda a rede. Ao

Figura 3.13: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 0.5em uma rede com 100 átomos.

variarmos o parâmetro de λ para o valor crítico (λ = 1, 0), as bandas se estreitam e os estados que cruzam os gaps maiores são mais localizados, como visto na gura (3.14). O intervalo que os gaps se localizam é uma fase ϕ muito próxima que a da gura (3.13) principalmente no gap superior.

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 42

Figura 3.14: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 1.0em uma rede com 100 átomos.

Nesta escala de cores, temos um aumento considerável na localização de frequência entre os gaps, indicando que apenas alguns átomos vibram neste modo com uma amplitude de oscilação consideravelmente elevada. Notamos também que o número de gaps aumentam para frequências menores e o espectro se torna mais fragmentado devido ao parâmetro do potencial. Para valores de frequência menores que 0, 5 não temos localização considerável dos deslocamentos por sítio, no entanto o espectro se repete com gaps e estados isolados quebrados por alguns modos, representando modos normais de vibração da cadeia atômica.

Esta característica de localização para intervalos de frequência dentro do gap superior depende fortemente do parâmetro λ. Na gura (3.15) apresentamos o inverso da taxa de par-

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 43

Figura 3.15: Inverso da taxa de participação para os deslocamentos com N=100 com frequências no gap (1.7 até 3.0 ), mostrando uma transição entre os deslocamentos mais generalizada para valores de λ maior que 1.0.

ticipação para os valores de frequência localizados dentro do gap maior (valores de frequência superior a 1, 7). Podemos ver que em função do parâmetro λ o IPR apresenta uma transição nas oscilações dos deslocamentos na rede. Para valores menores que λ = 1, 0 os desloca- mentos são generalizados, não apresentando localização em determinado sítio mas a medida que aumentamos o valor de λ o IPR mostra uma intensa localização, representando uma transição nas oscilações innitesimais do sistema.

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 44

3.5 Conclusões

O sistema que estudamos aqui consiste numa adaptação para a interação incomensurável do parâmetro de rede para um sistema de fônons. Como a equação do autovalor para o caso fonônico consiste no sistema acoplado das oscilações em cada rede, interagindo por uma constante de força dada na acoplando com os átomos vizinhos, implementamos nela o potencial incomensurável de Aubry-André para representar interações com um potencial quasi-cristalino na rede.

Utilizamos a aproximação tight-binding e o método de diagonalização para encontrar os deslocamentos innitesimais e as frequências de oscilação permitidas. O seu espectro é modicado em função do parâmetro de interação λ, apresentando a forma da borboleta de Hofstadter para o valor crítico de λ = 1, 0, mantendo a simetria e os gaps maiores largos em um formato próximo ao obtido no caso eletrônico. O número de átomos na rede inuencia na quantidade de gaps que cruzam este espectro em torno de b = 1, 618 e λ possibilita o controle das faixas de frequência.

A interação com este potencial quasi-cristalino pode ser modulada pela fase ϕ, fazendo que os átomos de borda vibrem com a frequência modulada entre os gaps. Os deslocamentos individuais nos mostra que a oscilação não é generalizada para todos o espectro e sim para valores de λ maiores que 1.0, como podemos ver a contribuição no cálculo do IPR. A transição de fase não ocorre em todo o sistema para o caso fonônico, constituindo apenas valores críticos especícos em λ = 1, 0. Mas há presença desta transição quando consideramos frequências maiores no sistema com ponto crítico λ = 1.0. Para este valor de λ, vemos que representa uma extrema localização entre os gaps em função de ϕ o que não se verica com tanta intensidade em λ = 0, 5.

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Neste trabalho efetuamos um estudo de sistemas quasicristalinos dado pela aproximação tight-binding do ponto de vista eletrônico e de fônons. Os resultados foram obtidos com base na simulação computacional destes sistemas, onde a equação matricial dos auto-valores foi resolvida através do método de diagonalização exata com base de rotinas na biblioteca Gnu Scientic Library(GSL).

Inicialmente efetuamos uma revisão teórica sobre o método de tight-binding e como adaptá- lo para um sistema quasicristalino. A forma do hamiltoniano de Aubry-André demostrou estas propriedades, com uma energia dada pelo espectro multi-fractal e o potencial incomen- surável com o parâmetro de rede. As propriedades do quasicristal são totalmente denidas pelos parâmetros do potencial, aparecendo estados de borda em determinados valores da fase φ, que é sensível a quantidade de átomos considerados na rede e a precisão do inverso do período β. O espectro de energia multifractal se apresenta no limite em que λ = 2.0, como constatado na literatura. O parâmetro de amplitude λ é importante também para localização dos estados da função de onda. O cálculo do IPR nos mostra que neste ponto temos uma transição de fase onde o sistema evolui de completamente estendido para localizado.

Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 46 A partir do hamiltoniano de Aubry-André também formulamos um sistema de fônons com interações incomensuráveis, modelando a constante de força entre os átomos do quasicristal. Semelhante ao que ocorre para o caso eletrônico as auto-frequências se apresentam como um espectro fractal da "Hofstadter Buttery" em casos que a amplitude do potencial λ se aproxima do parâmetro crítico. Para valores maiores ou menores que 1, 0 as gura se modica consideravelmente, desfazendo-se dos quatro gaps característicos. Mostramos também que estados cruzando os gaps em torno de β são sensíveis a variações na quantidade de átomos na rede. A modicação da fase do potencial também permite controlar os auto-estados para alguns valores especícos. Cada estado representa um deslocamento individual nas bordas do material, havendo uma taxa de localização considerável para modos de vibração especícos. Os sistemas tratados aqui, tanto eletrônicos quanto fonônicos apresentam estados de borda com uma localização em determinado parâmetro crítico. Calculamos o espectro de frequência ou energia para ambos os casos, mostrando as características fractal destes sistemas estendido para o caso de fônons. O sistema eletrônico apresenta uma transição de fase muito clara para λ = 2 enquanto para o caso de fônons esta transição ocorre apenas para as frequências maiores. O papel da fase φ no potencial permite também a abertura e controle de um gap em ambos os casos, onde a condução ou transmissão se dá exclusivamente por estados de borda. Deste modo os sistemas propostos podem ser controlados para representar características especícas a partir da modulação desta fase.

A partir deste trabalho podemos observar o espectro de fônons no sistema quasi- cristalino unidimensional. Obtivemos um controle no surgimento dos estados de borda para o sistema de fônons a partir da alteração de alguns parâmetros no modelo, o que permite diversas outras análises. Este modelo pode ser utilizado para entender como se apresenta a condução do calor, capacidade térmica e entropia em quasicristais, estendendo os resultados para caso da transição dos modelos de Harper e Fibonnacci no quasicristal unidimensional. Outra possibilidade consiste em vericar a condução de uma corrente de spin e identicar a quais fases de Barry está relacionado o espectro de frequências juntamente com os respectivos números de Chern.

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