Modos vibracionais em uma rede periódica

Os modos vibracionais correspondem as frequências de oscilação do sistema atômico. Quando uma rede possuí periodicidade cristalina, podemos calcular mais facilmente as frequên- cias permitidas para vibrações do sistema, visto que a rede possui um vetor de translação característico. Estudaremos como os modos vibracionais se apresentam em cadeias unidimen- sionais para uma rede com base de um e dois átomos com o objetivo de destacar os aspectos relevantes para o estudo dos fônons em sistemas quasi-cristalinos.

3.2.1 Cadeia linear monoatômica

Consideremos uma rede unidimensional formada por um átomo de base, como mostra a gura (3.1). Esta rede possui um número N de átomos de massa m e com as mesmas características que estão distribuídos ao longo do eixo z com vetor de translação ~R = naˆz. Cada átomo pode vibrar em torno da posição de equilíbrio zn= na, de forma que sua posição

é un, e consequentemente o movimento de um afeta os outros pelas interações potenciais entre

eles. A força sobre o átomo n tem principais contribuições de seus vizinhos mais próximos, deste modo a equação de Newton para o sistema é dada pelos deslocamentos provocados em relação a cada átomo vizinho na rede,

m ¨un = K[(un+1− un) − (un− un−1)] (3.2)

onde K é uma constante de força elástica entre os íons que depende da natureza das ligações atômicas como se os átomos estivessem ligados por "molas". A equação (3.2) consiste numa equação diferencial que descreve o movimento dos átomos na rede, deste modo podemos

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 27

Figura 3.1: Cadeia monoatômica linear com N átomos separados por uma distância a.

propor soluções do tipo ondas planas que obedecem a condição de Bloch (2.4).

un= u exp(i(kna − ωt)) (3.3)

Substituindo esta relação na equação (3.2) temos a dispersão de frequências: ω2 = 2K

m (1 − cos(ka)) = 4K

m sin

2_{(ka/2) (3.4)}

e a razão entre dois deslocamentos sucessivos é dada por: un+1

un

= exp(ika) (3.5)

desta forma os deslocamentos podem sempre ser descritos por um vetor de onda dentro da primeira zona.

Podemos ver que as frequências permitidas tem periodicidade ka e os vetores com resul- tados físicos estão situados na primeira zona de Brillouin, como mostrado na gura (3.2), onde Ω = p4K/m é a frequência fundamental. No limite em que ka tende a zero a ω é proporcional a função |ka| e nas fronteiras da zona de Brillouin temos que a velocidade de grupo tende a zero, visto que é denida como a inclinação desta curva v = dω/dk.

Podemos também generalizar este resultado para adicionar a interação de todos os átomos da rede e não apenas seus vizinhos mais próximos, obtendo uma relação de dispersão dada pelo somatório em todos os p átomos.

ω2 = 2 m

X

p>0

Kp(1 − cos(kpa)) (3.6)

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 28

Figura 3.2: Relação de dispersão (3.4) para fônons em uma cadeia linear monoatômica na primeira zona de Brillouin, onde Ω = p4K/m.

3.2.2 Cadeia linear diatômica

Os átomos na célula primitiva na cadeia monoatômica eram idênticos entre si, oscilando de acordo com a mesma equação de movimento do sistema. Quando consideramos uma rede com dois átomos na base da célula primitiva, como ilustrado na gura (3.3), a rede possui 2N átomos com massa m1 e m2 intercalados em um sistema linear periódico com a constante

de força elástica K. As equações de movimento para os dois tipos de átomos apresentam a mesma forma da equação anterior, com uma pequena diferença.

m1u¨n = K[(vn− un) − (un− vn−1)] (3.7)

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 29

Figura 3.3: Cadeia linear com dois átomos de base separados entre si pela distância a.

As duas equações anteriores estão acopladas, de modo que podemos procurar soluções na forma de onda progressiva com amplitudes diferentes.

un= uei(kna−ωt) vn = vei(kna−ωt) (3.9)

Substituindo estas relações nas equações de movimento temos as condições a seguir para a frequência:

−m1ω2u = Kv(1 + e−ika) − 2Ku (3.10)

−m2ω2v = Ku(1 + e−ika) − 2Kv (3.11)

O sistema acima admite soluções não triviais apenas quando o determinante formado pelos coecientes u e v se anula.       2K − m1ω2 −K(1 + e−ika) −K(1 + eika_{) 2K − m} 2ω2       = 0 (3.12)

Deste modo, temos a seguinte relação:

m1m2ω4− 2K(m1+ m2)ω2+ 2K2(1 − cos(ka)) = 0

ω4− 2(Ω1+ Ω2)ω2+ 4Ω1Ω2sin2(ka/2) = 0 (3.13)

onde zemos Ωi = K/mi e utilizamos a relação sin2(θ) = (1 + cos(2θ))/2.

Os valores de frequências que satisfazem esta equação resultam na seguinte expressão: ω_±2 = Ω1+ Ω2 ±

q

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 30

Figura 3.4: Fônons ópticos e acústicos para a primeira zona de Brilloiun em uma cadeia linear diatômica onde os modos de oscilação são dados pela equação (3.14).

A partir desta relação, podemos ver que no término de cada zona (ka = ±π) as soluções para a equação (3.14) se resume a 2K/m1 e 2K/m2. Para regiões próximas ao centro da zona

(ka → 0), temos que as duas soluções são aproximadamente :

ω₊2 = 2(Ω1+ Ω2) (Ramo óptico) (3.15)

ω₋2 = (Ω1+ Ω2) 2 (ka)

2 _{(Ramo acústico) (3.16)}

A dispersão de frequência se divide em dois ramos que são ilustrados na gura (3.4). O ramo inferior tem a mesma forma para o caso de uma cadeia monoatômica unidimensional (gura (3.2)).

Para uma rede linear diatômica a dispersão de frequências não admite valores reais para o intervalo de 2√Ω1 até 2

√

Ω2, formando uma lacuna (gap) de frequências. O ramo inferior

é conhecido como ramo acústico devido a frequência ser proporcional a ka para valores pequenos, observado na equação (3.16) que é característico de ondas sonoras (ω = vk). O

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 31

Figura 3.5: Ilustração para os modos de vibração ópticos e acústicos de uma rede diatômica linear. Os átomos oscilam no mesmo sentido nos modos acústicos enquanto que no modo óptico os sentidos de oscilação são contrários.

ramo superior é conhecido como ramo óptico devido à alta frequência de oscilação da onda transversal. Nos cristais iônicos este ramo interage com a radiação eletromagnética pois os átomos estão vibrando em direções opostas não alterando a posição do centro de massa. Podemos vericar isto substituindo a equação (3.15) em (3.10), obtendo a relação entre os deslocamentos u = −(m2/m1)v. Este movimento é ilustrado na gura (3.5), onde os modos

se propagam na mesma direção com destaque para o sentido da oscilação dos átomos na cadeia.