universidade federal do rio grande do norte
centro de ciências exatas e da terra
departamento de física teórica e experimental
programa de pós-graduação em física
Estados Topológicos de Fônons em Quasicristais
Unidimensionais
José Roberto Moreira da Silva
Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos
natal-rn
2018
-José Roberto Moreira da Silva
Estados Topológicos de Fônons em Quasicristais
Unidimensionais
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Ex-perimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos
Natal-RN
2018
-Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Silva, José Roberto Moreira da.
Estados topológicos de fônons em quasicristais
unidimensionais / José Roberto Moreira da Silva. - 2018. 67 f.: il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Física. Natal, RN, 2018.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos. 1. Espectro de fônons - Dissertação. 2. Quasicristais unidimensionais - Dissertação. 3. Borboleta de Hofstadter - Dissertação. 4. Estados de borda - Dissertação. I. Vasconcelos, Manoel Silva de. II. Título.
José Roberto Moreira da Silva
Estados Topológicos de Fônons em Quasicristais
Unidimensionais
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Fe-deral do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para a obtenção do grau de Mestre em Física. BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos - Orientador (UFRN)
Prof. Dr. Dory Hélio Aires De Lima Anselmo (UFRN)
Prof. Dr. José de Miranda Henriques Neto (UFCG) Aprovada em: 30/09/2018
Para:
Meus estimados pais e a minha família.
Pensamento:
"One, remember to look up at the stars and not down at your feet. Two, never give up work. Work gives you meaning and purpose and life is empty without it. Three, if you are lucky enough to nd love, remember it is rare and don't throw it away." (Hawking, 2010)
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família, pelo apoio e compreensão em todas as horas, proporcionando-me um porto seguro.
Ao longo desta etapa várias pessoas contribuíram para minha formação. Alguns de forma técnica, outros como amigos que tornam mais fácil as batalhas e deixam nas conquistas ainda mais motivos para celebrar.
Quero agradecer a todos os professores do curso, que foram essenciais para minha formação acadêmica neste período. Agradeço também aos professores do CES-UFCG, onde iniciei os estudos nesta área de pesquisa e me direcionaram para este caminho.
Agradeço especialmente ao Prof. Dr Manoel Silva de Vasconcelos, pela orientação e dedi-cação na elaboração deste trabalho e ao longo de todo este meu percurso na pós-graduação. Aos amigos que conheci durante estes dois anos e que foram de grande apoio, em especial João Carlos, Renato, João e Allyson. No decorrer destes dois anos muitas coisas aconteceram, mas tive a honra de estar ao lado das melhores pessoas para enfrentar os desa os, muito obrigado.
RESUMO
Modelos teóricos para predição das propriedades de materiais quasicristalinos têm apresentado bastante interesse da comunidade cientí ca. No entanto eles se resumem princi-palmente a características ópticas e eletrônicas do sistema, sendo necessário ainda um estudo das oscilações elementares das redes quasicristalinas unidimensionais, tais como fônons. Tra-balhos publicados recentemente mostraram que as propriedades de localização do modelo de Harper podem ser modeladas em um quasicristal através do hamiltoniano de Aubry-André, considerando o potencial incomensurável com o parâmetro de rede. Este modelo apresenta-se como um isolante topológico, exibindo estados de borda e faapresenta-ses não triviais para o caso eletrônico. Motivados por esses resultados, neste trabalho, apresentamos um estudo sobre as propriedades vibracionais de quasicristais unidimensionais, destacando os estados topo-lógicos de borda. Para isso, modelamos um quasicristal unidimensional através do modelo de Aubry-André com o parâmetro de potencial de nido pela razão áurea (b = (1 +√5)/2). Efetuamos os cálculos a partir da diagonalização numérica exata do Hamiltoniano. Em nossos resultados, encontramos o espectro multifractal de frequências conhecido como bor-boleta de Hofstadter, que surge para o valor crítico de 1.0 na amplitude de modulação da constante de força adimensional, caracterizando uma transição de estados tipo metal-isolante. Também mostramos através do cálculo de deslocamentos individuais que os estados cruzando os gaps maiores do espectro (em função da fase φ) correspondem a estados de borda no sistema, onde apresenta propriedades de localização em sítios especí cos na rede. Palavras-chave: espectro de fônons em quasicristais unidimensionais, borboleta de Hofs-tadter, estados de borda.
ABSTRACT
Theoretical models for predicting the properties of quasicrystalline materials have been of considerable interest to the scienti c community recently. However, they are mainly related to the optical and electronic characteristics of the system, and a study of the ele-mentary oscillations, such as phonons, of odimensional quasicrystalline lattices is still ne-cessary. Recently published works have shown that the localization properties of the Harper model can be modeled in a quasicrystal through the Hamiltonian of Aubry-André, considering the immeasurate potential with the lattice parameter. This model proved to present itself as a topological insulator, exhibiting border states and nontrivial phases for the electronic case. Motivated by these results, in this work, we present a study on the vibrational properties of one-dimensional quasi-crystals, highlighting the topological edge states. For this, we model a one-dimensional quasicristal through the Aubry-André model with the potential parameter de ned by the golden ratio (b = (1 +√5)/2). We performed the numerical calculations from the exact numerical diagonalization of the Hamiltonian. In our results, we nd the multifractal frequency spectrum known as the "Hofstadter's butter y", which emerges as a critical state of a transition from metal-insulating type states to the value of modulation of the dimensionless spring constant equal to 1.0. We also show by calculating the wavelength, that there exist certain states that cross the largest gaps of the spectrum (as a function of the phi phase) and are edge states in the system, where there are state localizations in them. Keywords: phonon spectrum in quasicrystals 1d, Hofstadter's butter y, edge-states.
CONTEÚDO
Agradecimentos v
Resumo vi
Abstract vii
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xiv
1 Introdução 1
1.1 Quasicristais . . . 2
1.2 Motivação da Pesquisa . . . 3
1.3 Organização da Dissertação . . . 5
2 Estados topológicos da Matéria 6
2.1 Introdução . . . 6
2.2 Aproximação de tight-binding . . . 7
2.3 Efeito Hall Quântico . . . 10
2.4 O modelo de Aubry-André . . . 13
2.5 Conclusões. . . 23
3 Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 25 3.1 Introdução . . . 25
3.2 Modos vibracionais em uma rede periódica . . . 26
3.2.1 Cadeia linear monoatômica . . . 26
3.2.2 Cadeia linear diatômica . . . 28
3.3 Modulação quasiperiódica para fônons . . . 31
3.4 Espectro de fônons . . . 33
3.5 Conclusões. . . 44
4 Conclusões e Perspectivas 45
LISTA DE FIGURAS
1.1 Exemplos da distribuição atômica dos sólidos: a) cristalina , onde podemos ver os átomos dispostos em estrutura periódica e bem ordenada. b) material amorfo, com distribuição atômica em posições aleatórias por todo o material. 1
1.2 Figura de difração de elétrons de um quasicristal icosaédrico, onde podemos ver a presenta de pentágonos perfeitos a direita e a escala linear entre cada pentágono é dada pela razão áurea. . . 3
2.1 Esquema do potencial cristalino com cada átomo localizado no sítio tn, onde
a interação entre os orbitais atômicos e seu vizinhos de energia E0 formam as
bandas de energia. . . 8
2.2 Banda de energia dada pela equação (2.7) para o modelo tight-binding com um único orbital por sítio e interação entre os primeiros vizinhos. Consideramos γ = 1.0 e E0 = 2.0eV. . . 9
2.3 a) Resistividade em verde e resistência Hall em vermelho como função do campo magnético aplicado. b) Esquema da corrente eletrônica nas bordas do material sobre a ação de um intenso campo magnético. . . 11
2.4 Ilustração dos estados da matéria e relação com os números de Chern. Nas guras de (a-c) observamos um sistema cristalino com gap de energia caracte-rizando o isolante e uma esfera como seu equivalente topológico em que g = 0. Em (d-f) temos uma ilustração dos estados Hall, com elétrons se movimen-tando na frequência de ciclotron e a estrutura de bandas com energias bem de nidas caracterizando uma mudança de fase para g = 1. Os números de Chern são uma maneira de representar esta distinção, semelhante ao g neste exemplo. . . 12
2.5 Espectro de energia para o modelo diagonal de Auby-André como função de β para diferentes valores de λ com N = 400 átomos da rede. Para o valor onde λ = 2.0 é reproduzida a borboleta de Hofstadter indicando a estrutura multifractal. . . 15
2.6 Autovalores como função do parâmetro λ e b = β. A gura da direita está reescalada para destacar o comportamento no ponto crítico λ = 2.0. . . 16
2.7 Modelo de Aubry-André para λ = 2.0 e o β = (1+√5)/2com destaque para a natureza fractal do espectro de energia, onde cada grá co ao lado corresponde a uma ampliação do quadrado em destaque. Apresentamos apenas os dados onde o parâmetro é β − 1 pois a rede tem periodicidade unitária.. . . 17
2.8 Espectro de Aubry-André com o valor ϕ = 0 xo em torno de b = β, desta-cando os estados que cruzam os gaps maiores. No painel superior temos um espectro altamente fragmentado devido a λ ser o valor crítico. . . 18
2.9 Espectro de energia para o modelo diagonal de AA, calculado para 1000 valores de ϕ entre 0 e 2π, com o N = 100, λ = 1.0 e t = 1.0, as linhas coloridas representam os estados de borda. No grá co ao lado temos os valores de |ψ|2
em função do sítio da rede para cada valor marcado no grá co. . . 19
2.10 Autovalores calculados em função da fase ϕ a medida que variamos a precisão de b na terceira casa decimal, com os parâmetros λ = 1.0, N = 100 e t = 1.0. 20
2.11 IPR para alguns valores de λ entre 0 e 4 para N = 200 com valores de energia em torno de 0 e b = β. . . 21
2.12 Espectro de energia em função da fase ϕ com 200 sítios da rede λ = 1.0 e β = (1 +√5)/2. A escala de cores indica o IPR calculado para cada estado correspondente. . . 22
2.13 Espectro de energia em função da amplitude do potencial λ com 200 sítios da rede ϕ = 0. O esquema de cores representam os valores de IPR em todo espectro. . . 23
3.1 Cadeia monoatômica linear com N átomos separados por uma distância a. . 27
3.2 Relação de dispersão (3.4) para fônons em uma cadeia linear monoatômica na primeira zona de Brillouin, onde Ω = p4K/m.. . . 28
3.3 Cadeia linear com dois átomos de base separados entre si pela distância a. . 29
3.4 Fônons ópticos e acústicos para a primeira zona de Brilloiun em uma cadeia linear diatômica onde os modos de oscilação são dados pela equação (3.14). . 30
3.5 Ilustração para os modos de vibração ópticos e acústicos de uma rede diatômica linear. Os átomos oscilam no mesmo sentido nos modos acústicos enquanto que no modo óptico os sentidos de oscilação são contrários. . . 31
3.6 Diagrama esquemático para a interação do potencial incomensurável com uma rede unidimensional de átomos, simulando as interações de um sistema quasi-periódico. . . 32
3.7 Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em três intensidades para o potencial quasicristalino com n = 100 e ϕ = 0. Podemos notar que em λ = 1, 0 o espectro apresenta uma quantidade considerável de bandas separadas por gaps cada vez mais estreitos caracterizando o multifractal. . . 35
3.8 Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em um quasicristal como função do parâmetro b. Utilizamos N = 400, ϕ = π/2 e λ = 1.0. Em destaque vemos a ampliação para a região onde b ≈ 0, 618 para evidenciar o padrão de replicação das frequências, onde o espectro se repete de maneira similar. . . 36
3.9 Espectro de frequências em torno de b = 1, 618 para λ = 0, 5 e λ = 1, 0 modi cando a quantidade de sítios na rede. Podemos ver que a localização dos estados que cruzam os gaps é modi cada aumentando a quantidade de sítios e as bandas se estreitam a medida que modi camos λ. . . 37
3.10 Frequências encontrada para o espectro de fônons no nosso modelo. Os pa-râmetros utilizados foram: N = 100, λ = 0, 5. Ao lado apresentamos os autovetores encontrados nos pontos demarcados com um X vermelho do es-pectro. . . 38
3.11 Frequências em função da fase ϕ e obtidas para alterações no valor de b na terceira casa decimal com n=100 e λ = 0, 5. . . 39
3.12 Dispersão de frequência em função do parâmetro de amplitude λ, com 100 átomos na rede considerando a fase inicial ϕ = 0. Podemos ver que para valores maiores que 1.0 o espectro se apresenta em estreitas bandas dispersas, caracterizando este como um ponto de transição.. . . 40
3.13 Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 0.5 em uma rede com 100 átomos.. . . 41
3.14 Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 1.0 em uma rede com 100 átomos.. . . 42
3.15 Inverso da taxa de participação para os deslocamentos com N=100 com frequên-cias no gap (1.7 até 3.0 ), mostrando uma transição entre os deslocamentos mais generalizada para valores de λ maior que 1.0. . . 43
LISTA DE TABELAS
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Os avanços tecnológico tem se desenvolvido nos últimos anos com base na compreensão do comportamento de elétrons e fótons, permitindo a construção dos mais diversos disposi-tivos. O estudo destes elementos fundamentais do sistema atômico possibilita a predição de propriedades e controle dos materiais em que interagem com os mesmos.
Figura 1.1: Exemplos da distribuição atômica dos sólidos: a) cristalina , onde podemos ver os átomos dispostos em estrutura periódica e bem ordenada. b) material amorfo, com distribuição atômica em posições aleatórias por todo o material.
Capítulo 1. Introdução 2 Os materiais podem ser divididos com relação a disposição atômica em: cristalinos e amor-fos. Os sistemas cristalinos possuem uma estrutura completamente ordenada de modo que os átomos possuem completa simetria e replicação a partir de uma célula unitária, enquanto o nível de completa desordem é composto por materiais amorfos, como ilustrado na gura (1.1). A de nição nestas duas classes se mostrou insu ciente para caracterizar a estrutura dos sólidos com a descoberta de Shechtman et al em seus estudos com difração de elétrons num cristal icosaédrico [1]. A gura de difração indicava propriedades presentes em estru-turas amorfas como também cristalina. Os seus trabalhos lhe renderam o Prêmio Nobel de Química de 2011 pela descoberta dos quasicristais [2].
1.1 Quasicristais
A nova classe corresponde aos materiais quasicristalinos, descobertas no trabalho publi-cado em Novembro de 1984 pelos pesquisadores Shechtman et al [1] em guras de difração. Shechtman estudou uma liga de Alumínio e Manganês resfriada muito rapidamente, de forma que alterou a organização entre os átomos formando a gura de difração (1.2) (Adaptado de [2]). Neste espectro podemos ver que os pontos mais brilhantes formam pentágonos regulares, mas lados dos pentágonos vizinhos com tamanho diferente. Os quasicristais apresentam a estrutura com uma ordem de longo alcance em um experimento de difração mas não pos-suem periodicidade translacional como os cristais. Em vez disso os quasicristais apresentam a propriedade de auto-similaridade por escalonamento. Para quasicristais icosaédricos e de-cagonais a auto-similaridade está relacionada ao escalonamento por propriedades da razão áurea (1+√5)/2, de modo que as posições sucessivas entre cada átomo na rede correspondem a termos da sequência de Fibonacci. Os quasicristais apresentam-se como materiais rígidos e quebradiços com características de transporte incomum [3] e energias super ciais muito baixas podendo ser utilizados como bons isolantes térmicos, com propriedades fotônicas [4] e como materiais termoelétricos, dentre outras aplicações [5, 6, 7].
A descobertas de estruturas quasicristalinas representou um novo campo de crescente pesquisa, emergindo um campo de pesquisa extremamente amplo com uma nova classe de
Capítulo 1. Introdução 3
Figura 1.2: Figura de difração de elétrons de um quasicristal icosaédrico, onde podemos ver a presenta de pentágonos perfeitos a direita e a escala linear entre cada pentágono é dada pela razão áurea.
materiais com propriedades no limite entre a de estruturas periódicas e amorfas. O crescente estudos sobre materiais quasicristalinos possibilitou a síntese cada vez mais controlada de materiais com átomos dispostos em uma sequência não periódica. Os trabalhos de Levine sintetizando um quasicristal de nido pela sequência de Fibonacci [8] inspirou Merlin et al para criação do primeiro quasicristal unidimensional [9]. Desde então quasicristais unidimen-sionais tem gerado bastante interesse na comunidade cientí ca resultando diversos trabalhos teóricos e experimentais [10, 11, 12, 13, 14, 15]. As pesquisas tem mostrado propriedades de fractalidade em seus espectros e transição de fase não trivial (como a fase metal-isolante [16, 17]), apenas ajustando alguns parâmetros da sequência de geração e possibilitando o controle nas propriedades dos materiais, visto que representa uma estrutura com disposição atômica intermediária entre um cristal e materiais amorfos.
1.2 Motivação da Pesquisa
Os modelos teóricos para predição das propriedades de materiais quasicristalinos tem apresentado bastante interesse da comunidade cientí ca. No entanto eles se resumem
prin-Capítulo 1. Introdução 4 cipalmente a características ópticas e eletrônicas do sistema, sendo necessário ainda um tra-tamento mais aprofundado para entender o comportra-tamento das oscilações elementares das redes quasicristalinas unidimensionais.
Os trabalhos publicados sobre quasicristais unidimensionais mostraram que as propriedade de localização do modelo de Harper [18] podem ser encontradas em um quasi-cristal através do hamiltoniano de Aubry-André considerando o potencial incomensurável com o parâmetro de rede [19] [20] [21]. Este modelo provou se apresentar como um isolante topológico, exibindo estados de borda e fases não triviais, como apresentados nos trabalhos de Yaacov et al [22], onde utilizaram guias de onda para o espectro de frequências em um quasicristal indicando a existência de um gap fotônico [23][24]. A grande maioria dos trabalhos utilizam super-redes, mostrando um espectro de energia fragmentado da famosa "borboleta de Hofstadter"a nível eletrônico, como também para o caso óptico [25].
Estudos relacionados a outras quasi-partículas ainda são necessários para compreender como se dá a dinâmica do sistema composto pelos quasicristais. Os fônons, por exemplo, são vibrações coletivas de átomos com energia quantizada em uma rede, semelhante ao que ocorre com partículas. No entanto o estudo de sistemas fonônicos é muito di cultado devido a não possuir carga ou fonte geradora coerente para produzí-los, como ocorre com os fótons. Esta problemática geral di culta seu estudo, diferentemente dos fótons e elétrons. A localização de fônons em redes unidimensionais já foi estudadas para o potencial de Frankel-Kontorova e Lenard Jones [26], como também em sistemas quasiperiódicos pelo formalismo da matriz transferência [27], no entanto nossa proposta consiste em estudar esta localização com a interação quasiperiódica do tipo Aubry-André [28]. Alguns artigos fazem este paralelo [29] [30], mas se resume a fractalidade do espectro de energia/frequências em cada sítio [30] [29], não proporcionando uma visão mais geral do espectro de frequência para oscilações de um quasicristal.
Capítulo 1. Introdução 5
1.3 Organização da Dissertação
Este trabalho consiste em um modelo teórico-computacional para estudar quasicristais unidimensionais. Efetuamos uma pesquisa teórica e simulação numérica baseada no modelo de tight-binding para encontrar as propriedades eletrônicas e vibracionais e adaptar o sistema. No segundo capítulo apresentamos o formalismo do método tight-binding para encontrar as auto-energias de um sistema. Destacamos a condutância anômala no efeito Hall e a participação da topologia neste processo. Simulamos computacionalmente o hamiltoniano de um sistema quasi-cristalino para encontrar as características do sistema eletrônico de nido pelo hamiltoniano de Aubry-André, que reproduz o espectro fractal.
O terceiro capítulo consiste na abordagem das vibrações de um sistema quasicristalino, onde a incomensuralidade é dada por alterações na constante de força. Iniciamos com um sistema clássico de fônons em uma rede periódica e estendemos este conceito para tratar um sistema quasicristalino, comparando os resultados com o caso eletrônico.
CAPÍTULO 2
ESTADOS TOPOLÓGICOS DA MATÉRIA
2.1 Introdução
A in uência da topologia nos estados da matéria tem despertado grande interesse da comunidade cientí ca, desde a observação do Efeito Hall Quântico (EHQ) em 1980 [31]. As propriedades dos estados topológicos consistem na veri cação de características singulares que determinados materiais apresentam devido ao comportamento dos elétrons dentro do material e na superfície, tais como transporte eletrônico e térmico.
Neste capítulo apresentaremos o formalismo do modelo de Aubry-André que simula as características eletrônicas de um sistema quasiperiódico. Analisaremos o espectro de energia e estados de borda presentes na inclusão de uma fase ao sistema como também a sensibilidade dos estados de borda em função dos parâmetros do potencial e rede.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 7
2.2 Aproximação de tight-binding
As propriedades eletrônicas de um material podem ser de nidas pelas funções de onda e correspondentes níveis de energia na presença de um potencial característico do sistema. A natureza e forma deste potencial de ne o modo como os estados eletrônicos estão distribuídos no material.
O problema consiste em encontrar auto-funções Ψ(~r, t) e auto-energias E que satisfaçam a equação de Schrödinger [32] em (2.1).Para demostração é su ciente considerar a sua forma unidimensional e independente do tempo, visto que estamos interessados nas características de um potencial unidimensional. −h¯ 2 2m d2 dx2 + V (x) ψ(~x) = Eψ(~x) (2.1)
O termo da esquerda corresponde ao hamiltoniano do sistema, reduzindo o problema a en-contrar autovetores ψn(x)e autovalores En que satisfação a equação (2.2):
Hψn(x) = Enψ(x) (2.2)
Esta equação tem soluções analíticas apenas para formas especí cas de potencial, visto a com-plexidade dos sistemas eletrônicos1. Soluções numéricas para estes sistemas são encontradas
mediante aproximações. Um dos métodos mais utilizados é a aproximação tight-binding [33], que consite em propor o hamiltoniano de um cristal como a soma do hamiltoniano de um único átomo com todas as interações do potencial cristalino.
Neste sistema, o elétron pode tunelar através do potencial periódico constituído por N átomos, como mostra a gura (2.1).
Os átomos estão dispostos em posições tn = na, onde a representa a distância interatômica
e os elétrons são descritos por funções de onda ψna, de modo que o valor esperado da energia 1Por exemplo, um sólido cristalino com N átomos possui no hamiltoniano termos de energia cinética dos N núcleos e NZ elétrons juntamente com potenciais do núcleo e de interação entre elétron-núcleo cuja a forma é desconhecida e que impedem a solução analítica.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 8
Figura 2.1: Esquema do potencial cristalino com cada átomo localizado no sítio tn, onde a interação entre os orbitais atômicos e seu vizinhos de energia E0formam as bandas de energia.
entre os sítios ψa(x − tn) e ψa(x − tn±1) são dados por;
hψa(x − tn)| H |ψa(x − tn)i = E0 hψa(x − tn)| H |ψa(x − tn±1)i = γ (2.3)
onde γ corresponde a energia da região entre os átomos.
Para que as funções de onda propostas neste sistema sejam sicamente aceitáveis elas devem satisfazer o teorema de F.Bloch [34]. Este teorema a rma que as funções de onda, para uma partícula submetida ao potencial periódico consiste no produto de uma função u(x)por uma onda plana ei~k.~c com a periodicidade da rede.
ψ(x + a) = u(x)ei~k.~c (2.4)
Desta forma, necessitamos considerar Ψa como uma combinação linear de orbitais atômicos
do tipo: Ψ(k, x) = 1 N n X N exp(−iktn)ψa(x − tn) (2.5)
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 9 De modo que a dispersão de energia no sistema é dada pela soma de todos os estados aces-síveis, resultando na seguinte relação:
hΨ(x, k)| H |Ψ(x, k)i = 1 N n,j X N exp(−ik(tj− tn)) hψa(x − tj)| H |ψa(x − tn)i (2.6) = n X N exp(iktn) hψa(x − tj)| H |ψa(x − tn)i = hψa(x − tn)| H |ψa(x − tn)i + 2 hψa(x − tn)| H |ψa(x − tn+1)i
Onde consideramos tj = 0 pois representa a posição do átomo central, desconsideramos N e
os elementos da matriz H foram dados como mostra (2.3). Assim a dispersão de energia se torna
E(k) = E0+ 2γ cos(ka) (2.7)
indicando que os níveis elementares dos N estados degenerados são espalhados em uma banda contínua de largura 4γ, como representado na gura (2.2).
Figura 2.2: Banda de energia dada pela equação (2.7) para o modelo tight-binding com um único orbital por sítio e interação entre os primeiros vizinhos. Consideramos γ = 1.0 e E0= 2.0eV.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 10 modi cam são os vetores de onda de Bloch ~k e os parâmetros γ da rede [33].
E(k) = E0+ 2γ(a) cos(kxa) + 2γ(b) cos(kyb) (2.8)
O método tight-binding e suas modi cações são amplamente utilizadas atualmente, pois exige um custo computacional relativamente baixo e permite a análise muito próxima do sistema real para energias mais profundas. O modelo de Anderson [18], por exemplo, utiliza a aproximação tight-binding para simular o hamiltoniano de elétrons em metais prevendo o comportamento na presença de imperfeições e potencial aleatório.
2.3 Efeito Hall Quântico
A estrutura de bandas de ne os estados acessíveis aos elétrons para determinado mate-rial, apresentando características como condução e transporte eletrônico. Um exemplo de condução não usual é dada pelo efeito Hall, proporcionando uma condutividade em funçao do campo magnético aplicado. Um caso ainda mais interessante ocorreu com a descoberta do Efeito Hall Quântico (EHQ) em 1980 [31], consistindo no primeiro exemplo de topolologia não trivial. Nos estados do EHQ um material bidimensional sujeito a um campo magnético externo intenso tem sua condutividade de nida apenas nas bordas do material. Os elétrons na borda sujeitos a este campo magnético apresentam uma condutividade quiral, conforme representado na gura (2.3), juntamente com os valores encontrados para a resistência Hall em função do campo magnético [35].
Experimentalmente, para a surpresa da comunidade cientí ca na época, a condutividade Hall admite apenas valores quantizados como a relação a seguir [35]:
σxy =
e2
hν (2.9)
para ν inteiro, onde e corresponde a carga do elétron e h a constante de Planck. Uma vez que a quantização se dá na condutividade do material, seus efeitos podem ser medidos de maneira macroscópica e portanto a ordem topológica que o material apresenta in uencia
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 11
Figura 2.3: a) Resistividade em verde e resistência Hall em vermelho como função do campo magnético aplicado. b) Esquema da corrente eletrônica nas bordas do material sobre a ação de um intenso campo magnético.
signi cativamente na maneira que este conduz a corrente elétrica quiral. Posteriormente foi descoberto que ν poderia assumir também valores racionais especí cos2.
Os materiais que apresentam condutividade através do efeito Hall Quântico possuem estados isolantes no interior com capacidade de transporte de carga na superfície ou borda do material devido a interação spin-órbita. Isto caracteriza uma nova fase da matéria de acordo com a sua topologia, como pode ser visto nos trabalhos de Thoules et al [39], motivando diversos estudos sobre predição de estados isolantes topológicas e observação em materiais sintetizados [40, 41,42, 22].
Uma estrutura de bandas 2D corresponde ao mapeamento do momento cristalino ~k dentro de um Hamiltoniano. Estruturas de bandas com gaps podem ser classi cadas topologicamente pela equivalência entre as classes do seu hamiltoniano, contanto que permaneçam com os gaps de energia. Estas classes são diferenciadas entre si por um número n, inteiro que é topologicamente invariante, de nido pelos números de Chern. Estes números podem ser entendidos sicamente como fases de Barry associados a funções de onda de Bloch [43]. Os
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 12 invariantes de topológicos Chern é o uxo de Berry total na zona de Brillouin [42].
nm =
1 2π
Z
d2~k(∇ × Am) (2.10)
onde, Am corresponde as fases de Barry de nidas pela integral de linha hum| ∇k|umi e o
somatório n =
N
X
m=1
nm sobre todas as bandas ocupadas, apresentando-se invariante sempre
que há degenerescência entre elas, proporcionando uma distinção topológica entre bandas ocupadas e vazias. Desta forma o número de Chern é um invariante topológico, ou seja, não muda quando o hamiltoniano varia de maneira suave e pode assumir apenas valores inteiros, ajudando a entender a signi cativa quantização de σxy.
Figura 2.4: Ilustração dos estados da matéria e relação com os números de Chern. Nas guras de (a-c) observamos um sistema cristalino com gap de energia caracterizando o isolante e uma esfera como seu equivalente topológico em que g = 0. Em (d-f) temos uma ilustração dos estados Hall, com elétrons se movimentando na frequência de ciclotron e a estrutura de bandas com energias bem de nidas caracterizando uma mudança de fase para g = 1. Os números de Chern são uma maneira de representar esta distinção, semelhante ao g neste exemplo.
Os números de Chern nos permitem classi car os estados da matéria, de acordo com sua topologia. Na gura (2.4) observamos um exemplo da analogia entre classe dos
materi-Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 13 ais. Considere uma superfície em duas ou três dimensões, que pode ser classi cada quanto ao número de buracos g, em (2.4) c temos g = 0 e em (2.4) f temos g = 1. Contanto que a super-fície fechada englobe o mesmo número de buracos, este é invariante sobre a curvatura. Desta forma, podemos classi car todos os isolantes atômicos, semicondutores e vácuo na mesma classe topológica (a classe dos isolantes triviais). A fronteira entre duas classes distintas se apresenta quando aparece um estado condutor, visto que um gap deve se fechar para permitir a transição. Estas transições de fase não triviais são encontradas nos materiais quasicrista-linos, tanto teórica [13] quanto experimentalmente [22, 25], possibilitando uma manipulação nas propriedades dos materiais através de alteração apenas em alguns parâmetros.
2.4 O modelo de Aubry-André
O modelo de sistema eletrônico proposto por Serge Aubry e Gilles André que corresponde a uma adaptação para o modelo de Harper, onde se apresenta uma forma para o hamiltoniano de um sistema eletrônico na presença de um campo magnético perpendicular [44]. O modelo unidimensional para este potencial é conhecido por modelo de Aubry-André (AA) [45], com um potencial que tem sido muito estudado devido a presença de localização nos estados e uma transição de fase metal-isolante, tanto no caso eletrônico [20] [22] quanto fotônico[25] [14]. Neste modelo as energias obedecem a uma modulação periódica mas incomensurável do potencial com o parâmetro de rede, devido ao valor de β em (2.12) que corresponde a razão áurea 3. O limite de precisão é aproximado para um número racional sem afetar os
resultados como descrito por [22].
Deste modo, o modelo de AA possui a seguinte forma em Tight-Binding:
EnΨn = t(Ψn+1+ Ψn−1) + ViΨn (2.11)
Onde o potencial tem a seguinte modulação:
Vi = λ cos(2πβn + ϕ) β =
1 +√5
2 (2.12)
3O espectro fractal de um quasicristal só se apresenta para valores irracionais deste parâmetro [22], neste caso β = (1 +√5)/2com precisão de 16 casas decimais.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 14 Aqui t corresponde a amplitude do holping e adotamos t = 1, para nossos cálculos, λ é a amplitude de modulação do potencial, n representa o sítio de cada átomo, β é o inverso do período, correspondendo a razão áurea. O potencial varia em função de ϕ, que é a fase de nida no início da rede, quando n = 0.
A nossa matriz base para diagonalizar o problema tem a forma tridiagonal: V1 t 0 0 0 t V2 t 0 0 0 ... ... ... t 0 0 0 t VN ψ0 ψ1 : ψN = E ψ0 ψ1 : ψN (2.13)
Nesta matriz a diagonal superior e inferior são formadas pelos termos de holping e os ele-mentos da diagonal principal de nidos pelo potencial (2.12). O problema se resume em diagonalizar a matriz para encotrar os seus autovalores e correspondentes autovetores. A di-mensão da matriz é de nida pela quantidade N de átomos dispostos na rede e os autovalores nos dão a energia permitida em cada sítio.
O espectro de energia no modelo de Aubry-André tem sido estudado em diversos trabalhos teóricos [45, 41, 13, 22, 46, 47]. Para entender a forte in uência da amplitude do potencial esboçamos as características do espectro de energia em função do inverso do período b para três valores de λ , mostrados na gura (2.5). Desta forma podemos entender melhor a forte in uência para b = β, ou seja, a razão áurea no espectro de Aubry-André. O valor de λ indica a intensidade do potencial que interage com a rede, podemos notar que na primeira gura onde λ = 0.5 o espectro se organiza em bandas cada vez mais estreitas separadas por minigaps semelhante ao que ocorre para λ = 4.0. Quando λ = 2.0 temos ao valor crítico para a amplitude do potencial, formando a estrutura de uma borboleta de Hofstadter [48] que caracteriza um espectro de energia multifractal e indica o hamiltoniano de um elétron dentro de um cristal na presença de um campo magnético intenso. A existência deste espectro indica uma mudança drástica na forma do Hamiltoniano do sistema, consistindo em um indicador de transição.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 15
Figura 2.5: Espectro de energia para o modelo diagonal de Auby-André como função de β para diferentes valores de λ com N = 400 átomos da rede. Para o valor onde λ = 2.0 é reproduzida a borboleta de Hofstadter indicando a estrutura multifractal.
A distribuição das bandas em função de β apresenta detalhes que caracterizam o espectro fractal para determinados parâmetros do potencial. As energias permitidas em função de λ são mostrados na gura (2.6). Podemos ver que para λ se aproximando de 2.0 os gaps de energia se estreitam com o valor crítico, se alargando após este ponto que é exatamente 2.0.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 16
Figura 2.6: Autovalores como função do parâmetro λ e b = β. A gura da direita está reescalada para destacar o comportamento no ponto crítico λ = 2.0.
O ponto onde o espectro mais se aproxima de um fractal, onde os gaps de energia são mais espaçados e de nidos correspondem ao valor crítico de λ. Desta forma analisamos os valores de energias para β equivalente a razão áurea expre λ crítico na gura (2.7), onde reescalamos os valores para β − 1 devido a periodicidade apresentada pela equação de Schrödinger no espectro deste modelo4 e em recentes estudos [47] [28] [50]. O modelo de Harper apresenta
características diferentes do espectro para valores racionais e irracionais de β, onde destaca-mos o caso em que se aproxima da razão áurea. Para estes cálculos consideradestaca-mos 400 sítios na rede com fase ϕ nula. O espectro de energia se repete a medida que reescalamos a energia em um fator 1/10, indicando que o elétron sujeito a este tipo de potencial ocupa níveis de energia característico de um sistema quasiperiódico.
Na gura (2.7) temos o espectro de energia bastante estudado pela comunidade cientí ca, provando ser auto-similar e desta forma possui a característica de se repetir por ampliação. Portanto as suas propriedades podem ser descritas utilizando o formalismo da geometria multifractal. A estrutura é tão fragmentada quanto o número de átomos presentes na cadeia
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 17
Figura 2.7: Modelo de Aubry-André para λ = 2.0 e o β = (1 +√5)/2com destaque para a natureza fractal do espectro de energia, onde cada grá co ao lado corresponde a uma ampliação do quadrado em destaque. Apresentamos apenas os dados onde o parâmetro é β − 1 pois a rede tem periodicidade unitária.
(em nosso caso N=400), com níveis de energia aparecendo em sub-bandas concentrados em um grande número de estados separados por gaps consideravelmente grandes [51].
A borboleta de Hofstadter é mostrada gura (2.8) para o intervalo de 1, 60 < b < 1, 63 em duas diferentes quantidades de átomos na rede. Podemos ver que três bandas cruzam os gaps maiores quando N = 100, mas à medida que aumentamos para N = 206 o número de bandas também aumenta. No grá co superior temos o espectro para λ crítico, mostrando as energias altamente fragmentadas da gura (2.7). Os estados claramente cruzam o centro da banda (E = 0) para ambos os casos e os gaps maiores não mudam de posição.
A origem das bandas cruzando os gaps é a conservação do número de partículas, apresentando-se proporcional a quantidade de átomos na cadeia e o passo em b escolhido. Desta forma é
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 18
Figura 2.8: Espectro de Aubry-André com o valor ϕ = 0 xo em torno de b = β, destacando os estados que cruzam os gaps maiores. No painel superior temos um espectro altamente fragmentado devido a λ ser o valor crítico.
possível regularmos também a quantidade de átomos para controlar os gaps de energia com o estado condutor-isolante bem de nido pelos parâmetros do potencial na rede [14].
Para estudar a natureza dos estados que cruzam os gaps maiores, esboçamos na gura (2.9) as autoenergias permitidas em função da fase ϕ do potencial na rede com n variando entre −49até 49 para uma rede com N = 100 átomos. Devido a característica incomensurável do potencial, ou seja, o potencial apresenta valores diferentes mais consideravelmente próximos para cada átomo na rede. O espectro é quebrado em bandas e gaps selecionados para apenas alguns valores da fase ϕ [48].
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 19
Figura 2.9: Espectro de energia para o modelo diagonal de AA, calculado para 1000 valores de ϕ entre 0 e 2π, com o N = 100, λ = 1.0 e t = 1.0, as linhas coloridas representam os estados de borda. No grá co ao lado temos os valores de |ψ|2em função do sítio da rede para cada valor marcado no grá co.
As bandas de energia quase não mudam com a alteração da fase ϕ, exceto por alguns modos localizados em sítios especí cos. Estes estados referem-se ao contorno do sistema caracterizam a borda do quasicristal e como consideramos um sistema nito, observamos a presença de duas bordas em sentidos diferentes. Na gura (2.9) a direita, analisamos os autovetores para determinado ϕ e E dentro do gaps (Ψ3), na borda direita e esquerda (Ψ1
e Ψ2, respectivamente) e podemos ver que os estados que cruzam o gap se concentram nas
bordas do sistema, enquanto no centro das bandas a função de onda apresenta-se estendida sobre todos os sítios n. Desta forma um quasicristal descrito pelo hamiltoniano de Aubry-André pode apresentar estados condutores ou isolantes a medida que variamos a fase ϕ.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 20 Na gura (2.10), modi camos os valores de β em torno da razão áurea e podemos ver que os estados que cruzam o gap se deslocam e modi cam a sua forma. Podemos constatar também que a classe topológica é invariante sobre os valores do inverso de período mostrados na gura, pois permanece o mesmo espectro com dois gaps maiores e poucas bandas que cruzam, caracterizando mesmas propriedades do Hamiltoniano.
Figura 2.10: Autovalores calculados em função da fase ϕ a medida que variamos a precisão de b na terceira casa decimal, com os parâmetros λ = 1.0, N = 100 e t = 1.0.
A natureza da função de onda pode se apresentar distribuída sobre todos os sítios ou localizada em apenas alguns. Deste modo podemos obter um parâmetro que mede o quanto as funções de onda em determinadas faixas de energia se concentram nos sítios para determi-nados parâmetros. A localização dos estados pode ser obtida por um parâmetro observável
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 21 que consiste no inverso da taxa de participação (IPR)[52]. O IPR para um dado estado ψk é
de nido como: IPRk = P l|ψk,l| 4 (P l|ψk,l|2) 2 (2.14)
onde o índice l representa o somatório sobre todos os sítios da rede. O IPR nos indica o inverso do número de sítios L ocupados pela função de onda, deste modo quando o sistema estiver igualmente distribuído o número máximo de sítios estão ocupados e o IPR≈ 1/L, o caso contrário de extrema localização quando a função de onda está localizada em um único sítio temos que IPR≈ 1. Na gura (2.11) esboçamos o IPR em função da amplitude do potencial.
Figura 2.11: IPR para alguns valores de λ entre 0 e 4 para N = 200 com valores de energia em torno de 0 e b = β.
Este parâmetro é extremamente sensível a natureza da função de onda, tornando-se um bom indicativo para estudar a localização dos autovetores. Como podemos ver na gura
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 22 (2.11) para λ = 2.0 o valor de IPR muda entre estados estendidos e localizados, indicando o parâmetro crítico entre os dois estados.
Ao modi carmos a fase ϕ do potencial de Aubry-André obtemos bandas que cruzam os gaps maiores, representando estados de borda no material.O IPR destes autovalores nos mostra que todos os auto-estados cruzando os gaps maiores são localizados, como podemos ver na gura (2.12). As bandas central, superior e inferior os estados se distribuem por todos
Figura 2.12: Espectro de energia em função da fase ϕ com 200 sítios da rede λ = 1.0 e β = (1 +√5)/2. A escala de cores indica o IPR calculado para cada estado correspondente.
os sítios (IPR< 0, 05) exceto por alguns estados que cruzam os gaps menores.
Na gura (2.13), esboçamos os autovalores com os IPRs correspondentes a cada autoes-tado. Podemos ver claramente a distinção entre os estados estendidos e localizados em torno de λ = 2.0.
O IPR representado no sistema de cores indica que em valores maiores a função de onda está totalmente localizada enquanto para menores de λ = 2.0, permanece distribuída em
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 23
Figura 2.13: Espectro de energia em função da amplitude do potencial λ com 200 sítios da rede ϕ = 0. O esquema de cores representam os valores de IPR em todo espectro.
todo espectro. Esta transição é sensível a alteração dos holppings da equação (2.12), como mostrado por Biddle et al [19], que analisou o espectro de Aubry-André para diferentes holppings.
2.5 Conclusões
Neste trabalho, utilizamos o método de diagonalização exata do hamiltoniano para es-tudar as propriedades do sistema eletrônico caracterizado por uma rede unidimensional de átomos, cujo hamiltoniano foi expresso pelo modelo de Aubry-André na aproximação tight-binding. Este modelo possui elementos de matriz que simulam o potencial de um sistema quasiperiódico para valores especí cos de β, que consiste na razão áurea e resultando em um potencial incomensurável em relação ao parâmetro de rede.
Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 24 As características do potencial de nem totalmente a natureza do sistema. Efetuamos um ajuste nos parâmetros de amplitude λ e encontramos os valores esperados para a transição entre os estados para λ = 2.0 em que a energia em função de λ apesenta uma variação na forma de dispersão, começando a se espalhar. Neste ponto, as bandas tornam-se muito es-treitas e fragmentadas. O espectro de energia em função do inverso do período (b) representa uma estrutura multifractal, conhecida como a famosa borboleta de Hofstadter, indicando que é in nitamente fragmentado em gaps e bandas que cruzam os mesmos com um padrão de repetição quasiperiódico. Para valores maiores e menores de λ, constatamos que a energia se abre em gaps e o espectro fractal se desfaz. A borboleta de Hofstadter foi obtida para este potencial com o método de diagonalização exata, podemos ver que realmente se trata de um espectro multifractal no limite da precisão computacional para tratar β como número irra-cional. Encontramos também que o tamanho do sistema considerado (valor de n) in uencia na quantidade de estados que cruzam os gaps do espectro de energia, indicando uma forte correlação com o espectro multifractal.
Neste modelo de Aubry-André, encontramos estados de borda localizados que cruzam os gaps maiores em função da fase ϕ implementada no potencial. Para valores especí cos de ϕ as funções de onda estão bem localizadas nos sítios da borda do sistema e podemos movê-los a medida que alteramos o valor de b em pequenas casas decimais, possibilitando o controle na aparição destes estados. Podemos constatar que estes estados localizados, com o cálculo do IPR, apresentam a transição de fase em λ = 2.0, como esperado e constatado na literatura. A junção destes valores com o espectro de energia em escala de cores, nos apresenta um grá co de transição de fase que permite constatar a predominância dos estados estendidos para λ < 2.0 e localizados para λ > 2.0, como esperado e encontrado na literatura.
CAPÍTULO 3
ADAPTAÇÃO DO MODELO DE
AUBRY-ANDRÉ PARA FÔNONS
3.1 Introdução
Um sólido apresenta diversos átomos dispostos em uma estrutura característica, seja ela cristalina, amorfa ou quasi-periódica. Admitindo-se que estes átomos estejam livres para oscilar em torno da posição de equilíbrio temos uma faixa de frequência de oscilação possíveis, que caracterizam os fônons, que correspondem aos quanta de vibração da rede [53].
A análise de como um sistema admite frequências de oscilação é de estrema importância para entender fatores como as propriedades térmicas de um material, visto que a energia está diretamente relacionada com os estados vibracionais da rede. Considerando um sis-tema atômico composto por vários osciladores acoplados em uma dimensão, temos a energia quantizada no modelo do Sólido de Eistein:
n = n + 1 2 ¯ hω (3.1) 25
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 26 onde ω representa a frequência do modo elástico dos fônons.
Neste capítulo, apresentaremos o formalismo para estudar um sistema fonônico dispos-tos em redes unidimensionais. A partir desta análise, adaptaremos as interações para as oscilações dos átomos no sistema quasi-periódico.
3.2 Modos vibracionais em uma rede periódica
Os modos vibracionais correspondem as frequências de oscilação do sistema atômico. Quando uma rede possuí periodicidade cristalina, podemos calcular mais facilmente as frequên-cias permitidas para vibrações do sistema, visto que a rede possui um vetor de translação característico. Estudaremos como os modos vibracionais se apresentam em cadeias unidimen-sionais para uma rede com base de um e dois átomos com o objetivo de destacar os aspectos relevantes para o estudo dos fônons em sistemas quasi-cristalinos.
3.2.1 Cadeia linear monoatômica
Consideremos uma rede unidimensional formada por um átomo de base, como mostra a gura (3.1). Esta rede possui um número N de átomos de massa m e com as mesmas características que estão distribuídos ao longo do eixo z com vetor de translação ~R = naˆz. Cada átomo pode vibrar em torno da posição de equilíbrio zn= na, de forma que sua posição
é un, e consequentemente o movimento de um afeta os outros pelas interações potenciais entre
eles. A força sobre o átomo n tem principais contribuições de seus vizinhos mais próximos, deste modo a equação de Newton para o sistema é dada pelos deslocamentos provocados em relação a cada átomo vizinho na rede,
m ¨un = K[(un+1− un) − (un− un−1)] (3.2)
onde K é uma constante de força elástica entre os íons que depende da natureza das ligações atômicas como se os átomos estivessem ligados por "molas". A equação (3.2) consiste numa equação diferencial que descreve o movimento dos átomos na rede, deste modo podemos
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 27
Figura 3.1: Cadeia monoatômica linear com N átomos separados por uma distância a.
propor soluções do tipo ondas planas que obedecem a condição de Bloch (2.4).
un= u exp(i(kna − ωt)) (3.3)
Substituindo esta relação na equação (3.2) temos a dispersão de frequências: ω2 = 2K
m (1 − cos(ka)) = 4K
m sin
2(ka/2) (3.4)
e a razão entre dois deslocamentos sucessivos é dada por: un+1
un
= exp(ika) (3.5)
desta forma os deslocamentos podem sempre ser descritos por um vetor de onda dentro da primeira zona.
Podemos ver que as frequências permitidas tem periodicidade ka e os vetores com resul-tados físicos estão situados na primeira zona de Brillouin, como mostrado na gura (3.2), onde Ω = p4K/m é a frequência fundamental. No limite em que ka tende a zero a ω é proporcional a função |ka| e nas fronteiras da zona de Brillouin temos que a velocidade de grupo tende a zero, visto que é de nida como a inclinação desta curva v = dω/dk.
Podemos também generalizar este resultado para adicionar a interação de todos os átomos da rede e não apenas seus vizinhos mais próximos, obtendo uma relação de dispersão dada pelo somatório em todos os p átomos.
ω2 = 2 m
X
p>0
Kp(1 − cos(kpa)) (3.6)
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 28
Figura 3.2: Relação de dispersão (3.4) para fônons em uma cadeia linear monoatômica na primeira zona de Brillouin, onde Ω = p4K/m.
3.2.2 Cadeia linear diatômica
Os átomos na célula primitiva na cadeia monoatômica eram idênticos entre si, oscilando de acordo com a mesma equação de movimento do sistema. Quando consideramos uma rede com dois átomos na base da célula primitiva, como ilustrado na gura (3.3), a rede possui 2N átomos com massa m1 e m2 intercalados em um sistema linear periódico com a constante
de força elástica K. As equações de movimento para os dois tipos de átomos apresentam a mesma forma da equação anterior, com uma pequena diferença.
m1u¨n = K[(vn− un) − (un− vn−1)] (3.7)
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 29
Figura 3.3: Cadeia linear com dois átomos de base separados entre si pela distância a.
As duas equações anteriores estão acopladas, de modo que podemos procurar soluções na forma de onda progressiva com amplitudes diferentes.
un= uei(kna−ωt) vn = vei(kna−ωt) (3.9)
Substituindo estas relações nas equações de movimento temos as condições a seguir para a frequência:
−m1ω2u = Kv(1 + e−ika) − 2Ku (3.10)
−m2ω2v = Ku(1 + e−ika) − 2Kv (3.11)
O sistema acima admite soluções não triviais apenas quando o determinante formado pelos coe cientes u e v se anula. 2K − m1ω2 −K(1 + e−ika) −K(1 + eika) 2K − m 2ω2 = 0 (3.12)
Deste modo, temos a seguinte relação:
m1m2ω4− 2K(m1+ m2)ω2+ 2K2(1 − cos(ka)) = 0
ω4− 2(Ω1+ Ω2)ω2+ 4Ω1Ω2sin2(ka/2) = 0 (3.13)
onde zemos Ωi = K/mi e utilizamos a relação sin2(θ) = (1 + cos(2θ))/2.
Os valores de frequências que satisfazem esta equação resultam na seguinte expressão: ω±2 = Ω1+ Ω2 ±
q
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 30
Figura 3.4: Fônons ópticos e acústicos para a primeira zona de Brilloiun em uma cadeia linear diatômica onde os modos de oscilação são dados pela equação (3.14).
A partir desta relação, podemos ver que no término de cada zona (ka = ±π) as soluções para a equação (3.14) se resume a 2K/m1 e 2K/m2. Para regiões próximas ao centro da zona
(ka → 0), temos que as duas soluções são aproximadamente :
ω+2 = 2(Ω1+ Ω2) (Ramo óptico) (3.15)
ω−2 = (Ω1+ Ω2) 2 (ka)
2 (Ramo acústico) (3.16)
A dispersão de frequência se divide em dois ramos que são ilustrados na gura (3.4). O ramo inferior tem a mesma forma para o caso de uma cadeia monoatômica unidimensional ( gura (3.2)).
Para uma rede linear diatômica a dispersão de frequências não admite valores reais para o intervalo de 2√Ω1 até 2
√
Ω2, formando uma lacuna (gap) de frequências. O ramo inferior
é conhecido como ramo acústico devido a frequência ser proporcional a ka para valores pequenos, observado na equação (3.16) que é característico de ondas sonoras (ω = vk). O
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 31
Figura 3.5: Ilustração para os modos de vibração ópticos e acústicos de uma rede diatômica linear. Os átomos oscilam no mesmo sentido nos modos acústicos enquanto que no modo óptico os sentidos de oscilação são contrários.
ramo superior é conhecido como ramo óptico devido à alta frequência de oscilação da onda transversal. Nos cristais iônicos este ramo interage com a radiação eletromagnética pois os átomos estão vibrando em direções opostas não alterando a posição do centro de massa. Podemos veri car isto substituindo a equação (3.15) em (3.10), obtendo a relação entre os deslocamentos u = −(m2/m1)v. Este movimento é ilustrado na gura (3.5), onde os modos
se propagam na mesma direção com destaque para o sentido da oscilação dos átomos na cadeia.
3.3 Modulação quasiperiódica para fônons
A propagação de vibrações numa rede é de nida pela constante de força entre os átomos vizinhos, de modo que podemos simpli car o sistema como de molas acopladas e os átomos vibrando em torno da posição de equilíbrio. Para um sistema cristalino, consideramos as distâncias entre os planos de átomos periódicas e o mesmo tipo de ligação entre eles e assim a constante de força é permanece a mesma para cada rede e a interação é dada apenas pelos vizinhos mais próximos. No entanto, em sistemas reais as forças de interação sofrem outras
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 32 interferências devido ao tipo de ligação química e fatores da rede atômica, de modo que é necessário adicionar um potencial que englobe estas interações para sistemas mais complexos. Um dos primeiros modelos propostos para este tipo de formulação para sistemas atômicos é o de Frenkel-Kontorova [54], onde formula-se um potencial quasiperiódico para simular a di-nâmica de cadeias não-lineares e discretas de uma forma mais simples, correspondendo a uma rede cristalina na vizinhança de um núcleo de deslocamento [55]. Este modelo foi estudado posteriormente por Serge Aubry, exibindo propriedades de localização para determinados parâmetros do potencial incomensurável com a rede[56, 57].
Figura 3.6: Diagrama esquemático para a interação do potencial incomensurável com uma rede unidimensi-onal de átomos, simulando as interações de um sistema quasiperiódico.
Consideremos o sistema unidimensional de átomos dispostos numa rede, como mostrado na gura (3.6). Cada átomo possui massa mn, conectados por molas de constantes de força
Kn, dada por: Kn = C mn (1 + λcos(2πβn + ϕ)) β = 1 + √ 5 2 (3.17)
O termo senoidal de Knprovém da interação com o potencial externo de amplitude λ sobre a
constante de força C para o caso independente do potencial. O potencial interage de maneira diferente para os átomos em cada sítio n quando o inverso do período é racional ou irracional [58, 59] e a fase ϕ corresponde ao primeiro sítio, quando n = 0
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 33 Na equação de movimento para este sistema temos uma forma semelhante de (3.2), onde admitimos pequenas variações na constante de rede C, dadas pela interação com o potencial [30].
ω2un = −Kn+1un+1− Knun−1+ Vnun onde Vn= Kn+1+ Kn (3.18)
Onde ω corresponde as frequências e Vn = Kn+1 + Kn foi substituído para simpli car a
notação.
A equação de movimento na forma matricial dos N átomos neste sistema corresponde a: V0 −Kn 0 0 −Kn V1 −Kn+1 0 0 ... ... : 0 0 −KN +1 VN u0 u1 : uN = ω2 u0 u1 : uN (3.19)
Aqui os valores un representam a posição dos sucessivos átomos na cadeia em determinado
sítio n, vibrando em torno do estado de equilíbrio com frequência ω, o que indica a energia de cada fônon na rede. Os resultados numéricos foram obtidos a partir da diagonalização desta equação e análise dos seus resultados para diferentes parâmetros do potencial, considerando C = 1 e um sistema com massa unitária (mn= 1).
3.4 Espectro de fônons
A partir da diagonalização da matriz do sistema de fônons (3.19), encontramos o espectro de frequência para estudar a propagação de fônons em meios quasiperiódicos. Nos trabalhos de You, J. Q et al foi estudado este modelo para o caso em que as massas dos sucessivos átomos obedecem a uma sequência de Fibonaci, utilizando o formalismo da matriz de trans-ferência [30]. Eles mostraram que o espectro é truncado em um fractal para uma quantidade maior de átomos também evidenciado nos trabalhos de Kohomoto et al [60] e nos trabalhos de F. Salazar et al [27], que propõem uma modulação na equação de movimento. Em nosso modelo, utilizamos o pacote computacional do Gnu Scienti c Library (GSL), implementados
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 34 em rotinas c++ para encontrar as propriedades do espectro de fônons em meios quasipe-riódicos a partir de uma modulação do tipo senoidal na constante de força entre os átomos vizinhos, variando com uma fase ϕ.
O sistema considerado aqui, como função dos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio e frequências de oscilação apresenta um espectro semelhante ao caso eletrônico em função do inverso do período b. Na equação (3.18) temos que o espectro de um quasicristal é mostrado apenas para valores em que b = β, aqui consideremos valores arbitrários para b. Como podemos ver na gura (3.7) a borboleta de Hofstadter para três diferentes valores da amplitude do potencial λ.
A forma do espectro para valores menores que λ = 0.5 apresentam-se em bandas muito próximas enquanto que para λ = 1.0 temos o parâmetro crítico. Neste valor de λ as frequên-cias permitidas são de nidas por diversas bandas compostas de intervalos cada vez mais estreitos localizados entre os quatro gaps maiores. Para maiores valores de λ há uma defor-mação entre os gaps e o espectro perde as características do multifractal, uma vez que os gaps maiores se deformam quando λ = 3, 0, portanto a interação se torna muito forte.
Os estados que cruzam os gaps maiores são sensíveis ao número de átomos na rede, uma vez que representam limitações no espectro de frequências. Em nossa comparação utilizamos N = 100 sítios a rede, apresentando determinadas frequências cruzando os autovalores. Na gura (3.8) calculamos o espectro de frequências em função do inverso do período b, obtendo mais de nição na borboleta de Hofstadter. Podemos ver que variações em b apresenta uma característica similaridade no espectro de frequências, mantendo a estrutura composta pelos gaps maiores e alguns modos cruzados. Na região em destaque vemos que os três gaps maiores são replicados e o espectro de frequências segue o mesmo padrão. O limite para esta replicação consiste na precisão do passo b, onde consideramos um incremento de 10−3 para
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 35
Figura 3.7: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em três intensidades para o potencial quasicristalino com n = 100 e ϕ = 0. Podemos notar que em λ = 1, 0 o espectro apresenta uma quantidade considerável de bandas separadas por gaps cada vez mais estreitos caracterizando o multifractal.
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 36
Figura 3.8: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em um quasicristal como função do parâmetro b. Utilizamos N = 400, ϕ = π/2 e λ = 1.0. Em destaque vemos a ampliação para a região onde b ≈ 0, 618 para evidenciar o padrão de replicação das frequências, onde o espectro se repete de maneira similar.
Para as energias em torno da razão áurea a quantidade de bandas que cruzam os gaps depende do números de sítios na rede e parâmetro λ, diferentemente do caso eletrônico onde encontramos uma dependência apenas na quantidade de sítios. Na gura (3.9), apresentamos este espectro para diferentes valores de λ, que é alterado a medida que adicionamos mais átomos. Para N = 100 as bandas cruzam apenas os gaps menores, independente do parâmetro λ enquanto que para 206 sítios as bandas se estreitam e estes estados cruzam todos os gaps. Para os valores de λ = 1, 0 e N = 100 da gura (3.9) veri camos a presença de bandas proibidas para qualquer valor de aproximação para b = β − 1 dentro do intervalo analisado (1, 615 até 1, 62).
A fase ϕ também modi ca a forma do espectro, como mostrado na gura (3.10), onde consideramos uma rede com 100 átomos e λ = 0, 5. Podemos notar que as frequências se
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Figura 3.9: Espectro de frequências em torno de b = 1, 618 para λ = 0, 5 e λ = 1, 0 modi cando a quantidade de sítios na rede. Podemos ver que a localização dos estados que cruzam os gaps é modi cada aumentando a quantidade de sítios e as bandas se estreitam a medida que modi camos λ.
distribuem em quatro intervalos separados com gaps maiores. Os intervalos de frequências proibidas são cruzados por apenas alguns modos com uma dispersão quase senoidal.
Ao lado, mostramos os deslocamentos in nitesimais calculados para os modos que cruzam à esquerda (u1) e à direita (u2) que estão muito localizados nas bordas do sistema
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Figura 3.10: Frequências encontrada para o espectro de fônons no nosso modelo. Os parâmetros utilizados foram: N = 100, λ = 0, 5. Ao lado apresentamos os autovetores encontrados nos pontos demarcados com um X vermelho do espectro.
O valor do inverso da frequência no potencial altera consideravelmente as frequências permitidas no espectro de energia em função da fase do potencial, conforme é mostrado na gura (3.11). Desta forma, podemos ver que os estados permanecem cruzando os gaps no entanto ocorre a translação nos modos e uma deformação suave.
Na gura (3.10) apresentamos os autovalores calculados em função da fase do potencial ϕ, onde podemos notar alguns modos cruzando os gaps de bandas maiores e menores. Es-tes estados corresponde a deslocamentos em sítios localizados nas bordas do sistema, como podemos ver ao lado os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio para átomos que oscilam nas frequências entre os gaps.
Na gura (3.12) apresentamos a dispersão de frequência em função da amplitude do potencial incomensurável, onde a escala de cores representa o inverso da taxa de participação
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Figura 3.11: Frequências em função da fase ϕ e obtidas para alterações no valor de b na terceira casa decimal com n=100 e λ = 0, 5.
de cada deslocamento para a frequência total. Podemos ver que para λ < 1, 0 as frequências apresentam-se em sistema de bandas separadas por intervalos maiores enquanto que em λ > 1, 0o espectro se resume a modos de vibração em frequências especí cas e bem de nidas.
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Figura 3.12: Dispersão de frequência em função do parâmetro de amplitude λ, com 100 átomos na rede considerando a fase inicial ϕ = 0. Podemos ver que para valores maiores que 1.0 o espectro se apresenta em estreitas bandas dispersas, caracterizando este como um ponto de transição.
Os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio estão localizados apenas para alguns modos de oscilação especí cos, não apresentando uma transição de fase mais generalizada como o que ocorre para o caso eletrônico. Isto acontece devido aos átomos vibrarem em frequências muito especí cas mas em conjunto, apresentando uma pequena taxa de locali-zação quando o parâmetro é maior que 1,0. Para valores superiores de frequência, o ramo superior, temos a presença de uma intensa localização.
A localização dos deslocamentos no espectro de fônons também é modi cada em função da fase adicionada no potencial senoidal, como podemos notar na gura (3.13) onde adicionamos a escala de cores para um sistema com 100 sítios e λ = 0, 5. Os estados que cruzam o
Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 41 segundo gap maior apresenta localização mais intensa entre os sítios enquanto o restante está totalmente estendido, representando oscilações pequenas e generalizadas por toda a rede. Ao
Figura 3.13: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 0.5em uma rede com 100 átomos.
variarmos o parâmetro de λ para o valor crítico (λ = 1, 0), as bandas se estreitam e os estados que cruzam os gaps maiores são mais localizados, como visto na gura (3.14). O intervalo que os gaps se localizam é uma fase ϕ muito próxima que a da gura (3.13) principalmente no gap superior.
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Figura 3.14: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para λ = 1.0em uma rede com 100 átomos.
Nesta escala de cores, temos um aumento considerável na localização de frequência entre os gaps, indicando que apenas alguns átomos vibram neste modo com uma amplitude de oscilação consideravelmente elevada. Notamos também que o número de gaps aumentam para frequências menores e o espectro se torna mais fragmentado devido ao parâmetro do potencial. Para valores de frequência menores que 0, 5 não temos localização considerável dos deslocamentos por sítio, no entanto o espectro se repete com gaps e estados isolados quebrados por alguns modos, representando modos normais de vibração da cadeia atômica.
Esta característica de localização para intervalos de frequência dentro do gap superior depende fortemente do parâmetro λ. Na gura (3.15) apresentamos o inverso da taxa de
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Figura 3.15: Inverso da taxa de participação para os deslocamentos com N=100 com frequências no gap (1.7 até 3.0 ), mostrando uma transição entre os deslocamentos mais generalizada para valores de λ maior que 1.0.
ticipação para os valores de frequência localizados dentro do gap maior (valores de frequência superior a 1, 7). Podemos ver que em função do parâmetro λ o IPR apresenta uma transição nas oscilações dos deslocamentos na rede. Para valores menores que λ = 1, 0 os desloca-mentos são generalizados, não apresentando localização em determinado sítio mas a medida que aumentamos o valor de λ o IPR mostra uma intensa localização, representando uma transição nas oscilações in nitesimais do sistema.
