e que essa função satisfaz a todas as condições colocadas [Veremos opor tunamente que f (x) = e " ]

RESPOSTAS 00

3. (a)

_L(-l)"(x- 1)", O< x < 2;

n=O C 00

(-1)"3" n

5 ().�o sn+T"x'

-3 < x < 3;

_x"

(b) n_�

(-1)" 2.+

-2 <X < 2;

(-1)"3n

5

11 (x-l)n

--<x<-· 3

3'

"'

(-l)"a"

(e)

_L(

+ b)"+

(x -cf,

n=O

ac

lac+bl

<x<c+

(f)

L _x2",

-1 < x <

1; n=O "'

( 1

1 )

(g)

_�

2•+! - 3n+I x", -2 <X< 2

401

Cálculo 'Avança!Jo 00 (h) I (-l)"(n + l)(x- 1)", O

<

x < 2; (₁') (-1)"3"(n + _gn+2

1)

( _X

- l)"

_' n=O

_2-_<x<!!.

(j)

1 +

_f

(-l)" k(k+l)··· (k+n-1) a"(x-c)" , 3 3' (ac+W •=1 1·2···n (ac+b)"+k b

l

< x < c + b

l

4.

(b) f(O) =O, f(l) = 1,29, f'(O) = 1, J'(l) = 1,63, f"(O) =

!;

, C() _xn (c) J (x) = I ---, n=O (n +

l)"·

J"( ) x -_ n + 1 " + 2)"+1 x .

6-17. A FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO. A discussão acima concentrou-se mais em séries de potências que nas funções que elas representam. A posição inversa é, também, de grande importância, e a primeira pergunta que se coloca é esta: dada uma função f (x), com a

<

b, pode essa função ser representada por uma série de potências nesse intervalo? Quando f(x) é sus cetível de tal representação, diz-se que f (x) é analítica no intervalo dado. De modo mais geral, f (x) é chamada analítica em a

<

b se, para cada x0 desse intervalo, f (x) pode ser representada por uma série de potências em algum intervalo x0 -ô

<

x0 + 8. A maior parte das funções familiares (poli

nômios, funções racionais, eX, sen x, cos x, log x,

fx),'

e as· funções construí das a partir delas por operações algébricas e substituições são analíticas em todo intervalo onde a função examinada é contínua. As exceções não são muito dificeis de reconhecer. Por exemplo,

J0

= 1x1 é contínua para todo x, mas possui uma derivada descontínua em x = O. Então a função não pode ser ana lítica num intervalo contendo esse valor. A função f (x) = e-11x2 é definida e contínua para todo x diferente de O. Se definirmosf(O) como sendo O, a função é contínua para todo x e pode-se, de verdade, mostrar que ela possui derivadas de todas as ordens, para todo x (Prob. 5 abaixo). Todavia a função não é ana lítica em qualquer intervalo contendo x = O. Por exemplo, mostra-se que, para essa função, f (O) = O, f'(O) = O, ... ,

p

(

O) = O, ... , de tal sorte que a série de Maclaurin seria identicamente nula. A série converge, mas não repre senta a função.

É

possível desenvolver facilmente uma teoria satisfatória de funções ana líticas usando-se variáveis complexas. Para maiores informações, consultar o Cap. 9. Contudo o teorema que segue é bastante útil para estabelecer a analí ticidade de uma função, sem apelo para números complexos.

Teorema

41.

(Fórmula de Taylor com resto). Sejaf(x) uma função definida e contlnua em a -r 0

<

x < a + r 0 , possuindo nesse intervalo derivadas

contínuas até a ordem (n + 1). Então, para todo x desse intervalo, exceto x =a, vale

f'(a) JCnl(a) J<" + ll(x )

f(x) = f(a) + -(x-a) + · · · + --(x -a)" + 1 (x-a)"+1

1 n ! (n + 1) !

Séries Infinitas

Deve-se observar que, para n = O, o teorema reduz-se ao teorema da média (Sec.

0-8):f(x) =f(a)

_f'(x1)(x-a).

_{Para um}_n_{geral, o teorema fornece uma} expansão idêntica à série de Taylor até o termo em

(x -a)",

sendo o restante da série substituído por um único termo.

Vamos provar o teorema para n

= 1,

deixando o caso geral como exer

cício (Prob. 3 abaixo). Seja

x2

um número fixo do intervalo dado, com

x2

_a,

e seja

F (x) =f(x2)-f(x)-(x2-x)f'(x)-(X

�

x)2 _{[f(x2)-f(a)- (x2-a)f'(a)].}

x2-a

Então,

F

é definida e contínua para todo

x

no intervalo dado e

F(a)

= O,

F(x2) =

O. _{Então, pelo teorema da média,}

_{F'(x1) =}

O _{para algum}

_x1

_entre

_a

x2

• Mas um cálculo mostra que

,

2(x -x)

F (x) = ( 2 )2 {f (x2)-f(a)- (x2 -a)f'(a)-!-f"(x)(x2 -a)2}.

x2-a

Assim sendo, a equação

F'(x1) =

O _{se escreve}

Substituindo agora

x2

por uma variável

x,

chegamos ao resultado desejado:

f(x)

f(a)

(x-a)f'(a)

!-f"(x1)(x--;a)2•

" ·'·

Consideremos agora uma função

f (x)

possuindo derivadas de todas as ordens no intervalo dado, de sorte que podemos formar todos os termos da série de Taylor (hipotética) de

f

em tôrno de

x = a.

Embora essa série possa não convergir, salvo para

x

a,

e, mesmo que ela convirja, possa não ter

f(x)

como soma, podemos, não obstante, escrever para cada n:

f'(a)

j<•>(a)

f(x) =f(a)

_-(x-a)

+ · · · + +

Rn,

1 !

n. onde

R.

é o resto :

f(n+ 1)( )

R = _•

_X1( - )"+ 1

(

n +

1)

! X

a

.

(6-45)

Como

x1

não é dado explicitamente, não se pode calcular o resto de modo explicito. Contudo, freqüentemente, pode-se usar a Eq.

(6-45)

para obter uma

estimativa superior

para

JR.J.

A _{partir dessa estimativa, podemos mostrar}

que

para todo

x

do intervalo escolhido. Feito isso, concluímos que

f'(a)

J<•>(a)

f(x) =f(a)

+ + · · · + + · · · ,

Cálculo Avançado

ou seja, quef(x) é representada por uma série de Taylor no intervalo dado e é analítica; ao mesmo tempo, demonstramos que a série é convergente.

Exemplo. Seja f (x) = e". Então, para a = O e x > O, temos

Donde

e"x•+ 1 O<R •

(n + 1) !

Isso implica que R. é inferior ao n-ésimo termo da série 00 exxn+ 1

í:

,

n=l (n + l)!

que, pelo critério da razão, é convergente para todo x. Assim sendo, temos

e, conseqüentemente, lim R. = O. Vale um argumento semelhante para x <O. Concluímos, então, que e" pode ser representado por uma série de Taylor:

X x2 x• 00 x"

e"= 1 + - + -+ · · · + -+ · · · =

L

-, para todo x. (6-46)

1 ! 2 ! n ! n=o n ! (Lembramos que O ! = 1, por definição.)

De modo análogo, pode-se provar que são válidas as seguintes expansões: x x3 xs (-l)"+1x2.-1 sen x = ---+ -+ .. · + + _._._· para todo x ( 6-4

7)

1 ! 3 ! 5 ! (2n-1) ! ' x2 x4 (-l)"x2"

cosx=l--+-+ .. ·+---+··· para todo x; (6-48)

2 ! 4 ! (2n) ! '

m m(m- 1) m(m-l)"·(m-n + 1)

(1 + xr = 1 + -X + X2 + ' · ' + X" + ' ' ',

1! 2! · n!

-1 < x < 1, para todo número real m. (6-49) Muitas outras expansões podem ser obtidas mediante substituições e combi nações oportunas. A série (6-49) transforma-se na série geométrica tomando-se .

m = -1 e substituindo-se x por -x. Essa série pode ser usada, como indicado no Prob. 3 da Sec. 6-16, para obterem-se expansões de outras funções racionais. Em seguida, chega-se a novos resultados mediante derivação e substituição. Exemplo 1. Quando m = -1 ex é substituído por x2, a Eq. (6-49) é escrita

--- = 1-x2 + ... + (-l)"x2" + . . ., -1<x<1.

Séries Infinitas Integrando, obtemos (-l)"x2•+ t arc tgx=x-.!.x3+···+ + ··· -l<x<l. 3 2n +

1 '

Exemplo 2. Sendo cosh x = t(ex + _{e-x), temos} cosh x =

_!__ [(

1 +

�

+ x2 + · · · + x" + · · ·

)

2 1 _! _{2 !} _{n !} + 1--+-+···+

(

x x2

--

(-l)"x" +···

)]

1

! _2! _n! xz xz• =

1

₊

-

+ _·· · +

--

+ · · · -00 < X < 00. 2 ! _{(2n) !} _'

Exemplo 3. _{Visto que sen x cos x = t sen 2x, temos}

{

2x _23x3 (-l)"-122n-1x2.-1

}

sen x cos x =

T TI-�

+ · · _·+

(ln_

1)

_! + · · · •

(6-51)

(6-52)

-00 < _X< 00. _(?-53)

Observação. Como a fórmula do resto fornece um método de estimàtiva para R. _{, podemos usá-la para determinar o erro cometido no cálculo da soma} de uma série de potências. Por exemplo, se f (x) for analítica num intervalo dado e, se nesse intervalo, valer

iJ<•+l>(x)I

�

_Mn+l

para uma certa constante M" + 1 , teremos então,

1 1

R. < = _{M.+1lx-ai•+1.}

(n + _{1) !}

Essa fórmula pode ser acrescentada às desenvolvidas na Sec. 6-9.

(6-54) Conforme mostra o Teorema 41, não é preciso que a funçãof(x) seja ana iítica para se poder aplicar a fórmulá do resto; só se requer que f(x) possua derivadas contínuas até a ordem (n + _{1). Na verdade, é preciso apenas que}

a derivada de ordem

(n

₊

1)

_{exista entre a e x, sendo dispensável sua conti}

nuidade. Assim, em princípio, podemos usar a fórmula como método de de terminação de uma f(x) não-analítica por meio de uma série finita, sendo a estimativa do resto determinada por (6-54).

6-18. OUTRAS OPERAÇÕES SOBRE SÉRIES DE POIBNCIAS. Os teoremas seguintes descrevem quatro outras operações que nos permitirão obter outras séries de Taylor.

Teorema 42. Pode.m-se multiplicar duas séries de potências convergentes uma pela outra; em outras palavras, se

00 00

f (x) =

L

c.(x - a)", F(x) =

L

c.(x - a)"

n=O n=O

Cálculo Avançado

são séries de potências co_m raios de convergência r� e r!, respectivamente,

com

< r� � r! , então

onde

f(x)F(x)

L k.(x-a)", a-r� < x <a+ r�

n=O

k.

= c0 __ Cn

+.c1C._1 + c2 C._2 +

· · ·

+ c;,_1_C1 + c.C0•

Esse resultado não é senão uma. aplicação da regra do produto de Cauchy (Sec.

e que essa função satisfaz a todas as condições colocadas [Veremos opor­ tunamente que f (x) = e " ]

3. (a)

L (-l)"(x- 1)", O< x < 2;

(-1)"3" n

5

().�o sn+T"x'

-3 < x < 3;

x"

(b) n�

(-1)" 2.+

-2 <X < 2;

(-1)"3n

5

11

(x-l)n

--<x<-· 3

3'

"'

(-l)"a"

(e)

L (

+ b)"+

(x -cf,

ac

lac+bl

lac+bl

<x<c+

(f)

L x2",

-1 < x <

( 1

1

)

(g)

�

2•+! - 3n+I x", -2 <X< 2

401

<

1)

- l)"

_2-_<x<!!.

(j)

f

l

l

4.

!;

l)"·

<

<

<

<

<

<

fx),'

J0

p

(

É

41.

<

0-8):f(x) =f(a)

f'(x1)(x-a).

(x -a)",

= 1,

x2

x2

a,

F (x) =f(x2)-f(x)-(x2-x)f'(x)-(X

x)2 [f(x2)-f(a)- (x2-a)f'(a)].

x2-a

F

x

F(a)

F(x2) =

F'(x1) =

x1

a

x2

,

e que essa função satisfaz a todas as condições colocadas [Veremos opor tunamente que f (x) = e " ]

_L(-l)"(x- 1)", O< x < 2;

_x"

(b) n_�

_L(

L _x2",

_�

_f

_f'(x1)(x-a).

_a,

x)2 _{[f(x2)-f(a)- (x2-a)f'(a)].}

_{F'(x1) =}

_x1

_a

_-(x-a)

R = _•

_X1( - )"+ 1