F(t) sofrem grande redução de amplitude O mecanismo é sensível principal­

mente a baixas freqüências. Isso pode ser predito numa base qualitativa (Prob. 4

abaixo).

PROBLEMAS

1. Calcule e esboce a solução tal que

x = O

_{para t}

= _O,

_{para as seguintes}

equações diferenciais: dx (a)

dt +X= )

dx

(b) )Q-

+X=

₁

dt

dx

(e)

-

+ x =

_{sen t}

dt

dx

(d) 10- + x

=

sent.

dt

Compare saída com entrada em cada caso e discuta o atraso.

2. (a) Mostre que, se a é uma constante positiva, então a solução geral da equação diferencial

é dada por

dx

a +

x

= A. sen wt

t

x =

_{A, sen (wt}

_{-ex) +}

_ce-•I•,

onde

A,

A=

,

s

1

+

_a2w2 tg

ex =

aw,

(b) Verifique os gráficos da Fig.

8-6.

3.

Ache a solução geral da equação diferencial

1

O� ex< _2n.

dx

₁ 00

a-+

x =

_{-a0 +}

_L

_{a11cos(nwt)

+ b.sen(nwt)},

dt

_{2 n=l}

Cálculo Avançado

onde a é constante e a série de Fourier à direita é uniformemente convergente para todo t

[

compare com os resultados acima - em particular com

(8-33)].

4.

Seja

F(t)

igual a 1 para O < t <

b,

a

-1

para

b

< t <

2b,

a

1

para

2b

< t <

3b,

a

-1

para

3b

< t <

4b,

etc., de modo que

F(t)

é uma "onda quadrada" de período 2b e amplitude

1.

Discuta os aspectos qualitativos das soluções da equação diferencial

dx

a- +

x

=

F(t)

dt

e sua dependência de a e

b.

Em particular, mostre que a razão das ampli­ tudes de saída e entrada decresce e avizinha-se de zero quando

b

decresce.

RESPOSTAS

1. (a)

1-e-•;

(b)

1-e-o,tr;

(d) (sen t-

10

cos t +

lOe-')/101.

(c)

t

(sent-cost

+e-');

8-8.

PROCESSOS GRÁFICOS E NUMÉRICOS PARA A EQUAÇÃO

DE PRIMEIRA ORDEM. A equação diferencial

y'

=

F(x, y)

determina a

inclinação da tangente à solução

y

=

.f(x)

no ponto

(x, y).

Assim, ainda que

as soluções não tenham sido encontradas, podemos traçar tangentes às soluções. Se traçarmos segmentos de tangentes muito pequenos, obteremos um diagrama como na Fig.

8-7,

para o qual a equação diferencial é

y'

=

-x/y;

por exemplo,

em

(1, 1)

a inclinação é

-1,

em

(3, 2)

é

-3/2,

etc. Se traçarmos muitos desses segmentos, as próprias soluções começarão a surgir como curvas lisas.

O processo para traçar o diagrama pode ser abreviado traçando ao mesmo tempo os segmentos com mesma inclinação, isto é, traçamos as curvas F(x,

y)

= m = const. para diferentes escolhas de m. Essas curvas não são as

soluções; elas são chamadas isóclinas. As tangentes às soluções pelos pontos da isóclina

F(x, y)

= m têm todas inclinação m. As isóclinas para a Fig.

8-7

são retas pela origem, enquanto que as soluções são círculos. y

Figura 8-7. Distribuição de retas para r' = -x/y

y

..

- x

Equações Diferenciais Ordinárias

·�

Se procuramos só uma solução por um ponto particular

(x0, y0)

(problema com valor inicial), então não precisamos traçar todo o campo de tangentes. Traçamos um pequeno segmento por

(x0 , y0)

com inclinação

F(x0, y0)

e o seguimos até um ponto próximo

(x1, y1)

e traçamos um segmento com essa inclinação por

(x1, y1)

indo até um ponto próximo

(x2 , y2).

Repetindo o pro­ cesso, obtém-se uma poligonal, como se vê na Fig.

8-8,

que é uma aproximação d

�

solução procurada.

É

claro que, quanto mais curtos os segmentos usados, mais precisa será a solução. O Teorema Fundamental da Sec.

8-3

pode, na verdade, ser provado, demonstrando que uma única solução por

(x0 , y0)

é obtida por passagem ao limite no processo descrito.

O trabalho numérico envolvido no cálculo da particular· poligonal pode ser disposto numa tabela em quatro colunas, dando os valores de X,

y, F(x, y)

e

Ay.

O acréscimo

Ax

é escolhido à vontade, ao passo que

Ay

é caleulado if'da fórmula

A_r = F(x, y) Ax.

(Na realidade é

dy

que está sendo calculada, e usá-se a aproximação

Ay

�

dy.)

O acréscimo x pode ser variado a cada passo, embora seja mais simples man� tê-lo constante.

O exemplo

y' = x2 - y2,

com

x0 = 1, y0 = 1, Ax = 0,1,

está calculado na Tab.

8-1.

Tabela

8-1

X

y

y' = x2-y2

Ay

1

o o

1,1

0,21

0,021

1,2

1,021

0,40

0,040

1,3

1,061

O processo numérico descrito aqui é conhecido como

integração passo a

passo

da equação diferencial. Deve-se notar que, para a equação diferencial

y' = F(x),

o processo descrito é equivalente a integrar

F(x)

por uma fórmula retangular, com.o na Sec.

4-2,

pois o valor de

y

para

x = x0 + n Ax

na solução por

(x0, y0)

é dado exatamente por

fxo+nilx

y=

F(x)dx+y0;

Xo

o processo numérico acima dá

Y

=

Yo

+ F(x0) Ax + F(x0 + Ax) Ax +

· · ·

=

Yo

+ Ax{F(x0) + F(x0 +A.>)+

· · ·

+ F[x0 + (n-1) Ax]}.

Essa é exatamente a soma retangular com

F

calculado nas extremidades esquerdas.

Cálculo Avançado

De um modo geral, deve-se pensar na resolução de equações diferenciais como uma espécie de processo generalizado de integração. Existem aparelhos mecânicos e elétricos para resolver equações diferenciais que são compostos de "integradores"; estes executam o processo acima de integração passo a passo continuamente, isto é, na prática, passam ao limite para ôx -O.

A generalização da integração passo a passo a equações de ordem su­ perior é indicada nos Probs. 5 e 6 abaixo, Outros processos numéricos são descritos nos livros de Bennett, Milne e Bateman, Levy e Baggott, Milne, Morris e Brown, e Scarborough, citados no final do capítulo.

PROBLEMAS

1. Para cada uma das seguintes famílias de curvas faça um esboço (isto é, esboce um certo número de curvas da família) e ache a inclinação da curva da família por um ponto arbitrário (x, y ):

(a) y = 2x + e (d) y = ex + 1 (b) y = x2 + e (e) x2 + cy = O (c) x2 -y2 = e

(f)

_y = ce-x.

2. Trace um certo número de tangentes para cada uma das seguintes equações diferenciais:

. _y

(a) y' = -; (b) y' = x -y; (c) y' = x + y2•

X

Tente também esboçar algumas curvas-soluções em cada caso. Para (a) e (b) compare os resultados com as soluções gerais que são:

(a) y=cx, x-#0; (b) y=ce-x+x-1.

3. Usando a integração passo a passo com ôx = 0,1 ache o valor de y em . x = 1,5 sobre a solução de y' = x - y2 tal que y = 1 quando x = 1. Esboce a solução obtida como poligonal.

4. Usando a integração passo a passo com ôx = 0,1 ache o valor de y para x = 0,5 sobre a solução de y' =

J

1 -y2 tal que y = O para x = O. Com­ pare o resultado com a solução exata, que é y = sen x.

5. As equações

dy

dx = f (x, y, z), dz

dx = g(x, y, z)

são chamadas de um sistema de duas equações diferenciais ordinárias si­ multâneas. Por solução particular de tal sistema entende-se um par de funções y(x), z(x) satisfazendo identicamente às equações. O Teorema Fun­ damental da Sec. 8-3 pode ser estendido a esse caso e, sob hipóteses apr<?­ priadas, garante a existência de uma única solução y(x), z(x) satisfazendo a condições iniciais dadas

y(x0)

= y0, z(x0) = z0. Uma solução aproximada pode ser obtida por integração passo a passo como segue. Escolhe-se Lh e cakula-si: y1 = _r0 + ôy, z1 = z0 + ôz por meio de ôy =f(x0, y0, z0)ôs,

Equações .Diferenciais Ordinárias

�z = g(x0, y0, z0) �x. Esse processo pode ser então repetido com os novos valores iniciais x1 = x0 + �x, Yi> z1• Aplique o processo descrito,

com x0 =

O,

y0 = 1, z0 =

O,

�x = 0,5, às equações diferenciais

dy dz

dx = yz -x, dx = x + y. Calcule a solução y(x), z(x) até x = 3.

6. Uma equação de segunda ordem: y" = F(x, y, y') é equivalente a um par de equações: dy dx = z, dz -1 = F (x, y, z), IX

onde z = y'. Assim, pode-se aplicar o processo de integração passo a passo

como no Prob. 5. Determine por esse processo a solução da equação

y" = yy' +X,

tal que y = 1 e y' = O para

x

=

O.

Use �x = 0,5 e calcule a solução até

X= 3. RESPOSTAS 1. (a) y' = 2, (b) y' = 2x, (c) y' = _:_, y (e)

y'

= 2y ,

(f)

y' = -y. X (d)y'=(y-1) , X 3. 1 ,082. 4. 0,4850. 5. y = 27,1, z = 10,8 quando x = 3. 6. y = 5,00 quando x = 3.

8-9. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM ARBI­ TRÁRIA. Uma equação diferencial linear ordinária de ordem n é uma equação

diferencial da forma

Suporemos aqui que os coeficientes a0(x), a1(x), ... , a.(x) e o segundo membro

Q(x)

são funções definidas e contínuas num intervalo a

;_;;

x

;_;; b

do eixo x e que

a0(x)

# O nesse intervalo.

As seguintes equações são exemplos:

y" + y = sen 2x,

x2

y"' -xy' + ex y = log x (x >

O),

d 5 y d 3 y 3 dy --x-+x -- =

O

dx5 dx3 dx ' y" + y =O, dy - +

x2

y =e"'. dx (a) (b) (c) (d) (e)

511

Cálculo Avançado

Se Q(x) =O, _{a equação}

(8-34)

é _{chamada homogênea (com relação a y e} suas derivadas). Assim, nos exemplos acima, (c) e (d) são homogêneas; as demais são não-homogêneas.

Se Q(x) for substituído por O numa equação geral

(8-34),

obtém-se uma nova equação, dita a equação homogênea correspondente à _{equação difere11cial} dada.

. Se os coeficientes a0(x), a1(x), ... , a.(x) são todos constantes, Jogo, inde­ pendentes de x, diz-se que a Eq.

(8-34)

_{tem coeficientes constantes, mesmo que}

Q(x) dependa de x. Assim, (a) e (d) têm coeficientes constantes; os demais exem­

plos não.

É

conveniente escrever-se a Eq.

(8-34)

em forma "operacional":

[

d" d

J

ao(x) dx" + _{... + ª•-t(x) dx} + _{a.(x) [y]} = Q(x)

ou, com a abreviação,

d" d

L = ªo(x) dx" + ... + ª•-1 dx + a.(x),

(8-35)

simplesmente como segue:

L[y] = Q(x).

Por exemplo, a equação: xy" + _{2xy' - 3y} =

5

seria abreviada: L[y] =

5,

L = x(d2/dx2) + 2x(d/dx)-3.

Das regras básicas de diferenciação, concluímos que L é um· operador linear (Sec.

3-6);

isto é,

L(c1y1(x) + _c2yif.x)] = c, L[y1] + c2L[y2],

(8-36)

onde y1(x) e y2(x) são funções tendo derivadas até ordem n para a � x � b e c" c2 são constantes. Daí resulta: se y1(x) e y2(x) são soluções da equação'

homogênea L[y] =O, então c1 y1(x) + c2y2(x) também é. Logo, de soluções

conhecidas y1(x), ... , Y.(x) da equação homogênea, podemos construir so­ luções y = c1y1(x) + · · · + c.y.(x) contendo n constantes arbitrárias. Isso pa­

rece ser uma solução geral. No entanto poderia acontecer que Y.(x), por exemplo, fosse uma combinação linear de .r1(x), ... , Y.-1(x):

Y.(x) = k1y1(x) + ··· + k._1y._1(x), a� X� b,

oµde k1, • • . , k,,_ 1, são constantes. A pretensa solução geral. então, envolveria

na verdade só n -J constantes:

y = (c1 + c.k1)y1(x) + · · · + (c._1 + c.k._1) y._1(x)

e não se poderia esperar que fosse a solução geral. Para eliminar essa possi­ bilidade, supomos que as funções y1(x), ... , Y.(x) são linearmente independentes (Secs.

1-5, 3-9, 7-10);

isto é, que nenhuma delas pode ser expressa como com­ binação linear das demais, óu, equivalentemente, que uma identidade

Equações Diferenciais Ordinárias só pode valer se as constantes c1, • • • , e. são todas nulas. Se isso ocorre, então

y = e 1 y1{x) + · · · + c.y.(x) é de fato a solução geral:

Teorema A. Existem n soluçõc>s linearmente independentes da equação di­ ferencial homogênea L[y] =O no intervalo dado a � x �

b.

_{Se y1{x), ... ,} Y.(x) são soluções linearmente independentes da equaçllo L[y] =O para a� x

� b,

_{então y = c1y1{x)} + · · · + c.y.(x) é a solução geral.

Para a demonstração, referimos o Cap. 16 do livro Agnew citado na lista de referências.

A solução geral da equação não-homogênea L[y] = Q(x) pode ser cons­ truída a partir da solução geral c1y1(x) + · · · + c.y.(x) de L[y] =O e uma solução particular y*(x) de L[y] = Q, ou seja, como

y = y*(x) + c1y1(x) + · · · + c.y.(x),

(8-37)

pois, por linearidade,

L[y] = L[y* + c1y1 + · ·· + c.Y.] = L[y*] + c1L[y1] + · · · + c.L[y,,] = L[y*] + O = Q(x);

além disso, se y(x) é qualquer solução de L[y] = Q, então L[y-y*] = L[.v]­

-L[.r*] = Q-Q = O. Logo y- y* é uma solução da equação homogênea e r tem a forma

(8-37):

Teorema 8. Existe uma solução da equação não-homogênea L[y] = Q(x) no

intervalo dado a� x

� b.

_{Se y*(x)} é uma tal solução e c1 y1(x) + · · · + c.y.(x) é a solução geral de L[y] =O, então y = y*(x) + c1y1(x) + · · · + c.y.(x) é a solução geral de L[y] = Q(x) para a� x �

b.

Para uma prova da existência de uma solução particular y*(x) novamente citamos o livro de A"gnew. De um modo geral, a existência de soluções 0 ga­ rantida pelo Teorema Fundamental da Sec.

8-3;

no entanto precisamos ta 111 hém

mostrar que cada solução é definida em todo o intervalo dado a

�

.\

� b.

8-10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES A COEFICIENTES

CONSTANTES. CASO HOMOGeNEO. A discussão da seção precedente nada diz sobre como achar as funções y1(x), ... ,y.(x) e y*(x). Para a equação linear geral, is o é bem dificil, embora as séries de potências ajudem muito; isso será discutido na Sec.

8-14.

No caso especial de co�ficientes constantes o problema está completamente resolvido. Nesta seção damos a solução no caso homogêneo.

Seja

d"y dy

L[y] = ª0 dx" + ... + ª•-l dx + ª•Y =O,

(8-38)

a equação diferencial dada, onde a0, ···.a,, são constantes e a0 # O. Por subs­ tituição direta temos

L[e'x] = e'x(a0r" + ··· + a._1 r +a.)= f(r)e'x,

f(r)

= ªor" + · · · + ª·-1' + ª··

Cálculo Avançado

Logo, e'x será uma solução, desde quer satisfaça à equação algébrica de grau n:

f(r)

= O. A equação

f(r)

= O chama-se a

e11uação característica,

associada com (8-38). Se a equação tem n raízes reais distintas,

r1,

• • • , r., então as funções

Yt = er1x, Y2 = erix, ... , Yn = e'"X

são todas soluções para todo

x

e são linearmente independentes (conforme Prob. 3 abaixo). Logo, nesse caso,

(8-39) é a solução geral de (8-38).

Embora se prove que uma equação algébrica de grau n tem raízes (Sec. 0-3), algumas das n raízes podem ser complexas e algumas podem ser iguais. Ve­ remos que (8-39) pode ser modificada apropriadamente para cobrir esses casos.

Por exemplo, a equação

y"

+ y =O tem a equação característica

r2

+ 1 = O,

com raízes

±i.

Operando formalmente, obteríamos as "soluções'.'

éx

e e-ix.

Dessas soluções a valores complexos, podemos formar combinações lineares que são reais:

eix + e-ix

cosx = 2 ,

como resulta da identidade (Sec. 6-19)

sen x =

ei.< = cos x + i sen

x.

(8-40)

(8-41)

As funções

y1(x).

= cos

x

e

y

2(

x

) = sen x são de fato soluções linearmente

independentes da equação dada: y" + y =O, e

y =

c 1

cos

x

+

c 2

sen x

é a solução geral.

Uma análise .semelhante aplica··Se a raízes complexas em geral. Tais raízes aparecem em pares a +

bi

(complexas conjugadas). Das duas funções

e(•±bilx = e"x(cos

bx ± i

sen

bx)

obtemos as duas funções reais

e•x cos

bx,

eªx sen

bx

como soluções da equação diferencial.

Se a equação tem uma raiz real múltipla r, de multiplicidade k, então

pode-se mostrar (Prob. 9 abaixo) que as funções e'X,

xe'x, ... , xk-

I e'x são so·­

luções. Se a ±

bi

é um par de raízes complexas múltiplas, então obtemos so­

luções eªx cos

bx,

e"x sen

bx, x

e"x cos

bx. xeªx

sen

bx, ... , xk-I eªx

cos bx, xk- i

é''-'

sen hx.

Resumimos os resultados. Depois de achar as n raízes da equação carac­ terística, associa-se:

(1)

a cada ra ,z real simples r _{a função}

e'"-';

Equações Diferenciais Ordinárias

(II)

a cada pa; a ±

oi

cie raízes complexas simples as funções e"·' cos bx.

e"·' sen bx;

(III) a cada raiz real r de multiplicidade k as funções e'X, xe'x, .... xk-1 e''. (IV) a cada par a ± bi de raízes complexas de multiplicidade k as fun­

ções e"x cos hx, e"x sen hx. xe"' cos hx

,

xe"x sen hx, ... , xk-I e"x cos hx.

xk-I e"x sen bx.

Se as n funções y1 (x) .... , y,,(x) assim obtidas são multiplicadas por constantes

arbitrárias e somadas, a solução geral de

(8-38)

é obtida na forma

Exemplo 1. y" - y = O. A equa�·ào característica

r2

_-

1 =O

tem as raízes distintas e

-

1. Logo. a solução geral é

Exemplo 2. y'" - y" + y'

-

y = O. A equação característica

r3 - r2 + r

-

1 = O tem as raízes distintas 1, i, -i. Logo. a solução geral é

Exemplo 3. y" + y' + y =O. A equação característica é

r2 + r + 1 =O,

1

.J3

com raízes

-2

±

Ti.

Logo, por (II) a solução geral é

ou

y = e-11 ')-'·

(c1

cos

.J3

x + c2 sen

.J3

x

)

·

2 2

d6 y d4 y d2 r

Exemplo 4. -

6

+

8

-4 + 16

-

"

,

= O. A equação característica é

dx dx d:c

r6 + 8r4 + J 6r2 = O,

As raízes são O, O, ±2i, ±2i. Por (III) e (IV), a solução geral é y = c1 +

c:2x

+ c3cos2x + c4sen2x + c5xcos2x + c6xsen2x. Assim, parece que a equação linear homogênea a coeficientes constantes está completamente resolvida; uma vez que se tenha resolvido uma certa equação

Célculo Avançado

algébrica, podem-se escrever todas as soluções da equação diferencial. No entanto, para a prática, isso não basta, pois a resolução de uma equação algé­ brica pode não ser simples. Para maiores informações sobre isso, mencionamos o livro de Willers e Scarborough, .citado no fim deste capítulo.

PROBLEMAS

1. Verifique que a função y = c1x-2 + c2x-1, x >O, satisfaz à equação diferencial

x2 y" + 4xy' + 2y =O

para toda escolha de c1 e c2, e que c1 e c2 podem ser escolhidas, de modo único, de forma que y satisfaça às condições iniciais y = y0 e y' = y� para

x = x0(x0 > 0). Logo y = c,x-2 + c2x-1 é a solução geral para x >O.

2. Verifique que a função

. y = x2 + e-x(c1 cos 2x + c2 sen 2x) sn tis faz à equação diferencial

y" + 2y' + 5y = 5x2 + 4x + 2

para todo x, e que c1 e c2 podem ser escolhidas de modo único, de forma que y satisfaça às condições iniciais y = y0, y' = y� para x = x0• Logo

a expressão dada é a solução geral.

3. Mostre que as funções ex, e2x, e3x são linearmente independentes para todo x. [Sugestão: se vale uma identidade

derive duas vezes. Isso dá 3 equações para c1 , c2, c3 cuja única solução é c1 =O, c2 =O, c3 =O.]

4. Mostre que as funções seguintes são linearmente independentes para todo x

(conforme Prob. 3):

(a) x, x2, x3

( b) sen x, cos x, sen 2x

(e) eX, xeX, senh x (d) �. e-x.

5. Determine quais dos seguintes conjuntos de funções são linearmente inde­ pendentes para todo x:

(à) senh x, ex, e-x

(b) cos 2x, cos2 x, sen2 x

6. Ache a solução geral:

(a) y" -4y =O (b) y" + 4y' = o

(e) y'" - 3y" + 3y' - y =O

(c) 1 + x, 1 + 2x, x2

Equações Diferenciais Ordinárias d5 y d3 y dy (e) -1 5 + 2-3 + -= O t x dx dx dx

(f)

t d + 3x = O d2x dx (g) -d 2 + -d + 7x = O t ' t dsy ( h) dxs =O,

7 . Ache a solução particular da equação diferencial satisfazendo à condição inicial dada para cada um dos casos seguintes:

(a) y" + y = O, y = 1 e y' =O para x = O;

d2x dx dx

(b) dt2

+ dt -3x = O, x =O e

dt

= 1 para t = O,

8. Ache uma solução particular da equação satisfazendo às condições de fronteira dadas em cada um dos casos seguintes:

(a) y" -y' - 6y = O, y = 1 para x ₌ O, y = O para x = 1;

( b)

y" + y = O, y = 1 para x = O, ( c) y" + y = O, y = O para x = O, n v = 2 para x = -· - 2 , y = O para x = n.

9. (a) Prove que, se r 1 é uma raiz dupla da equação característica f(r) = O, então xe"x é uma solução da correspondente equação diferencial linear homogênea. [Sugestão: se f(r) = (r-r1)2(a0r"-2 +···)então J(r1) =O e f'(r 1) = O. Agora e'x pode ser considerada como função de r e x e da regra

\

para uma tal função concluímos que

[

a

J

a a

L[xe'x] = L -e'x = -L[e'-'] = -[f(r)e'x] = f'(r)e'x + xf(r)e'x,

ar ar ar

Agora , faça r = r 1 .]

(b)

Generalize o resultado da parte (a) para o caso de uma raiz de mul­ tiplicidade k.

RESPOSTAS

5. (a),

(b),

(d) são linearmente dependentes, (c) é um conjunto linearmente

independente.

6, (a) c1 e2x + c2e-2\ . ·

(b)

c1 + c2e-

4

x;

(e) c1

ex+ c2xex + c3x2ex;

o. 2)/2i[ 1 t

)

-(! 2>J2i( 1

(d) e c1 + c2 sen +e c3 cos +

+ c4 sen <t

_fi

x)];

(e) e,+ C2COSX + C3Senx + C4XCOSX + C5XSenx;

(f)

cle-3';

(g) e-<112J•[c1 cos(t3

_../3

t) + c2 sen(t3

_.j3

t)];

(h)

c1 + c2x + c3x2 +

+ C4X3 + C5X4.

Cálculo Avançado

7. (a) cos x; (b)

e-11

�" senh

(tjl31).

1

8. (a)

(e3x

- es

-is);

-e

(b) cosx + 2scnx: (c) e sen x.

8-11. EQUAÇÕES DIFE

R

ENCIAIS LINEARES, CASO NÃO-HOMO­ GÊNEO. Em vista do Teorema B da Sec. 8-9, a solução de uma equação linear não-homogênea

L[y]

= a0

(

x

)y'

"' + · · · + a,,_ 1

(x)y'

+ a

,,

(x)

y

= Q(x) (X-42)

reduz-se a dois problemas distintos: (a) determinação da solução geral da equação homogênea correspondente

L[.1']

= O: (b) determinação de uma so­ lução particular

y*(x)

da equação não-homogênea

L[y]

= Q.

A solução de (a) é da forma

J,(x) = c1 y1(x) + · · · + c11y11(x). 18-43)

dependendo de x e 11 constantes arbitrúrias: chamamos

.r.(x)

de funçào com­

ple1111'11/11r. Quando os coeficientes são cnnstantes

.

.r, pode ser achada explici­ tamente pelos métodos da Sec. li-1 O.

Esta seção tratará do método da rariaçâo de parâmetros pelo qual uma solução particular

.r*(x)

pode ser achada. sempre que a função complementar seja conhecida. O método aplica-se pois quer os coeficientes sejam constantes quer não. sempre com a condição de podermos determinar a função comple­ mentar. :'vlétodos para determinar essa função quando os coeficientes são variúvcis serão descritos na Sec. li-14. Outros métodos para achar .r*(x) quando os cpcficirntcs são constante.; sãll descritos nos Probs. 5 e 6 abaixo.

Seja dada a Eq. (8-42) com função complementar

y.(x)

conhecida. Então procuraremos uma solução

.r*(.x)

de (8-42), da forma

r*(xJ

=

r1(x)y1(x)

+ · · · + v,,(x)yJx). (8-44)

Assim as constantes (ou "parâmetros") e 1 • • • • • e" em (8-43) foram substituídas por funções r1(x) . . . . • r,,(x). As r devem ser escolhidas de modo que (8-44) satisfaça a (li-42), isto é. uma condição e /1 funções. Assim, devemos impor mai.s 11- I cond içõcs adicionais.

Escolhemos como tais 11-l condições as seguintes equações:

y 1 r'1 + · · · + y11 v;, = O,

y'1 v'1

+ · · · +

y� v;,

= O, ...

,

(8-45)

y1;i-2'v'1

+ ... +

Y::1-2•v;,

=O.

Elas são escolhidas de modo que as deriradas sucessivas até ordem n-1 da função

(8-44)

dependam de v1 (x), .

.

. , v,,(x) e

mio

das derivadas das v.

De fato,

y*' =

V1l1

+ . .. +

v,,.y;,

+

.\'1V'1

+ ... +

YnV�

=

V1l1

+ . .. +

vny;,.

por causa da primeira das (8-45). De um modo geral,

y*1k1

=

V1 y�k1

+ ... +

v,,.l':,k1

(k

= 1, ... . /1 ·-· l ),

y*<"l =

V1Yi"

+ ... +

VnY�11

+

y<;_'-l!v'1

+

.

.

.

-t-

.\'::1-11v;,.

(8-46) (8-47)

Equações Diferenciais Ordinárias

Dessas relações, resulta que

L[y*] = V1L[yJ

+

···

+

_vnL[ynJ

+

_{a0(J'i"-llv'1}

+

···

+

_{Y�,n-l>v;,) =}

pois

L[y 1]

=

O, .

.

.

, L

[Yn]

= O. Portanto, substituindo

(8-44)

em

(8-42),

obtemos

(8-48)

Essa é a n-es1ma condição snhre as v.

Em suma, então, exigimos que as funções

v1(x), ... , v"(x)

satisfaçam às

n

equações

y

1

v'1

+ y 2

V�

+ . . . +

y n V� = O,

y'1 V�

+

y � V�

+ .

.

. +

y � V�

= 0,

Y. ;�.:2>v' 1

1 + ... +

y(n-2>v' =O n

11

'

y(n- l>v'

_J

1

+

.

. . +

n y<n- l)v' = Q(x). n ao(X)

(8-49)

São essas as

n

equações para as derivadas

v'1,

.

.. , v �

. Elas podem ser resolvidas por determinantes (Sec. 0-3). Assim, achamos

,

DI

V1

=

[)'

onde

Y1

_�

Yn

y'1 y�

y�

D=

Yi"-uy�-u.

Y�n-1)

,

D2

V =-,···

i

_D

,

o o

D1=

Q

ªº

v' n =-, D" _D

(

8-5

0

)

Y2

Yn

y�

y�

,

.

..

(8-51)

y�-1). y�-1)

Conhecidas

v'1, ... , v�,

achamos v1, ..

. , v"

por integração. Substituindo em

(8-44),

obtemos a solução particular procurada.

Deve-se observar que o determinante

D

não pode ser

O,

pois mostra-se que, se

D

= O num ponto do intervalo dado, então as funções

y1(x), ... , Yn(x)

são linearmente dependentes. Uma prova é dada nas págs.

325-327

do livro de Agnew citado no final do capítulo. O determinante

D

chama-se

determinante

No documento Kaplan W. - Cálculo Avançado Vol II (1996) (páginas 174-186)