L (1/2") Então o resto após 5 termos é, no máximo,

De modo geral,

T,.

= r•-1 + 2-•-2 + · · · =

2-•.

A condição:

T,. <e

leva-nos à desigualdade:

2"

_>

1/e,

_{de modo que}

n >

-

(log e/log 2);

então podemos escolher N(e) como sendo o menor inteiro n que satisfaz a esta desigualdade.

00

Teorema 23. Se a série L a. convergir pelo critério da integra/' do Teo- n= t

rema

14,

_{com a função f(x) decrescente para}

x

_{� c, então}

JR.J

<

f00f(x)dx

=

T,.

n

para n

5?;

_{c; a seqüência}

T,.

_{será monótona decrescente e convergirá para O.}

Demonstração. Este teorema segue . do 22, pois podemos interpretar a

integral impropria como sendo uma série:

temos então b,. =

r

f(x)dx; m-1

i

oo

i

n+p n+p f(x) dx = lim

f (x) dx

= lim L b,.. n p�oo n p-oo m=n+ 1

Cálculo Avançado

Como na demonstração do Teorema

14,

vale

de modo que

00

IR.I

< _{m=�+I bm}

= f(x)dx.

Exemplo 2. Para a série harmônica, de ordem p >

1,

temos

. 00

1 100 1

O<

R =

_"

_L

-<

-dx =

mP xP (p- l)np.,-1

m=n+l _n

Pelo Teorema 22, esse resultado pode ser usado agora para toda série cuja convergência decorre da comparação com uma série harmônica de ordem p. Se, por exemplo, p = 6, então

T,,

= 0,2 n-5; segue-se então que podemos escolher para N(e) o menor inteiro n tal que n5 > 0,2e-•. Em conseqüência, 5 termos são suficientes para éalcular-se a série harmônica de ordem 6 com um erro inferior a 10-4:

00

1 1 1 .1 1 .

•

�

1 n6 �

1

+ 26 + 36 +

46

+ 56

=

1

,0

1

73.

Teorema 24. Se

para n > n1 , de modo que a série :E a. converge pelo critério da razão, então

IRl�lª.+1l=T n�n.;

n -

1-r

•'

a seqüência

T,,

é monótona decrescente e converge para O. Se

lim

1

ª•+ 1

1

= L

< 1,

n-+oo an .

então r será no mínimo igual a L. Se

para n � n1 , então

1

>

1

ª•+Z

I

�

1

ª•+3

1

ª•+• ª•+2

a seqüência

r:

é monótona decrescente e converge para O.

(6-18)

Séries Infinitas

Deinonstração.

A primeira afirmação segue do Teorema

22

e do fato de que o critério da razão é uma comparação da série dada com uma série geo­

métrica. Assim, temos, como na demonstração do Teorema

17,

IR,.I � _la11+1I

₊

lan+2I

₊

··· � la .. +11(1 + r + ···)

= =

T,,.

A segunda afirmàção salienta o fato de que, se o quociente usado para o critério convergir par

à

_{L, então o quociente não poderá ser menor nem igual} a um número

r

menor que L. Portanto

r �

L. Podemos usar

r =

L somente quando

1 \ �

_L

para

n

> N, de sorte que o limite L é atingido por

baixo.

A terceira afirmação diz respeito ao caso em que os quocientes são cons­ tantemente

decrescentes

e portanto se aproximam de um limite L. Não podemos usar L num tal caso; contudo, sob as hipóteses feitas, podemos usar

r =

= la,.+2/a,.+1 I

para

n � n1,

de modo que

Isso estabelece a fórmula

(6-19).

Exemplo 3.

I n

+

1.

Verifica-se que o quociente para o critério é

n=l n·2"

n2

+

2n

1

n₂

+

2n

+

1 º2'

l

_.

ti

.

1

_{L d}

que converge para -, mas mantendo-se sempre m enor a

-·

ogo, po emos

2

.

2

1

usar

r = l

e temos, por exemplo,

Rs = 6 ·726

+ 7

-821

+

...

< 6

·726 ( 1

+ + ..

-) =

= 0,037.

oo

n

e'

Exemplo 4. I

·

Neste caso, o quociente

n=l (n

+

1)2"

n₂

+ 2n

+ 1 1

n2

+

2n

2

1.

.

1

.

'

.

1

o

Novamente, o imite

-

, mas o quociente e sempre ma10r que

-·

s quo-

2

2

cientes sucessivos são decrescentes, pois um cálculo algébrico mostra que

n2

+

2n + 1 1

(n

+

1)2

+

2(n

+

1)

+

1 1

·

'>

·-·

n2 + 2n

2

�

(n

+

1)2

+

2(n

+

1)

2

Cálculo Avançado

Logo, podemos aplicar a desigualdade (6-19) (para n � 1) e obtemos, por e­ xemplo,

6 9

Rs = + ... < = 329 = 0,027.

Teorema 25. Se

pata n >

n1 ,

de modo que a série :Eª• converge pelo critério da raiz, então

Se

lim

�

=R< 1,

n�oo

então r será pelo menos igual a R. Se

l >

lan+1ll/(n+l)

�

lan+211/(n+2)

para n � n1 , então

IR 1

n < = 1

-l

a

lan+1 I ·

11/(n+l)

=

r:,

n+l

(6-20) (6-21)

As seqüências T,, e

r:

são monótonas decrescentes e convergem para O. As demonstrações seguem de perto as do Teorema 24, pois, mais uma vez, o critério é baseado na comparação com uma série geométrica.

00

1

Exemplo 5.

L -

1 )

"

· A raiz para o critério é

n=2

( ogn

Ela é decrescente e menor que 1 para n = 3, 4, .... Assim, temos, por exemplo, 1 1

(log6)6

Rs = (log 6)

6

+ (log 7)7 + ... � = 0,06 ... Jog 6

Teorema 26. Se a série

00

a1 -a2

+ a3-a4 + · · · =

L (-l)"+1an,

ª•>O

Séries i"nfinitas convergir pelo critério para séries alternadas, então

Conseqüentemente, flOder-se-á escolher para

N(e)

o menor inteiro n tal que ªn+l

<e.

O teorema pode ser enunciado em palavras do seguinte modo: quando uma série converge pelo critério para séries alternadas, o erro cometido ao se tomarem apenas os n primeiros termos é, em valor absoluto, menor que primeiro termo desprezado.

Demonstração do Teorema 26. Corno vimos na demonstração. do critério para séries alternadas (Teorema

18).

valem as desigualdades

S2

<

S4

<

.

.

·

<

S2.

<

· · ·

<

S2.-1

<

· · ·

<

S3

<

S

1

·

Segue-se que a sorna Sé compreendida entre cada duas somas parciais consecuti­ vas (uma ímpar, uma par):

Logo,

ou seja,

O<

R2n = S-S2.

<

S2n+1 -S2. = ª2n+1 •

O> R2n-1

= S-Szn-1

>

S2.-S2n-1

=

-a2.;

Isso mostra que, para cada n, vale

mas, na realidade, isso revela mais:

R.

é positivo se n é par, e

R.

é negativo se n é ímpar.

co (-1)"+1

Exemplo 6.

L

---·Aqui, as somas parciais são S1

= 1,

S2 =

1-i

=

n=l n

=

t.

S3 =

�.

S4 = ... O teorema acima afirma que:

IR1 I < t. IR

2

1 < t.

IR3I < -,t, .

.

.

ou, mais precisamente:

-t < R1 <O, O< R2 < t, -± < R3 <O.

Assim, em particular, se forem usados 3 termos, a soma é compreendida entre

i

e

i-i =

172. Se quisermos calcular a soma com um err-0 inferior a

10-2,

pre­ cisaremos de 100 termos, pois o

101.º

termo

(1/101)

é o primeiro termo menor que 10-2.

PROBLEMAS

1.

Determinar o número de termos suficientes para calcular-se a soma com o erro dado

e

permitido e achar a soma até esse grau de precisão:

00 1 (a)

L

2,

e=

1 n=l n 00

(-1)"+1

(b)

"L

_{e= 0,1}

n=l n

373

Cálculo Avançado "' _n (c)

l:

__ , n=ln3 + 5 00 ₁ (d) n

�

l n2 + 1 '

e=

_0,2

e=

_0,5 a) 1 (e)

l:

-;•

e=

0,01 n=l n 00 1

(f) L; I'

e=

_0,01 n=l n. 00 (-1)"+1 (g) n

�

l

(

2n-

l)

!

'

e

= 0,001 (h)

I

(-l)"

,

e =

0,5 n=Z n log n 00 ₁ (i)

l:

e =

0,5 n=2n logn • <X) 2"

U)

_n

_�

_{l 3" + 1} '

e =

_O,l.

2. Seja L ª• a série geométrica 1 + r +

r2

+ · · · .

(a) Determinar o número d e termos necessários para calcular-se a soma com um erro inferior a 10-2, quando r

= t.

r = 0,9, r = 0,99.

(b) Mostrar que, para todo

e

positivo, tem-se

JR.I <e

_quando log

e(l

-

_r)

n > log

lrl

'-1 < r

<

1,

e que nenhum valor inferior de n serve.

(c) Mostrar que, à medida que r aproxima-se de 1, o número de termos

necessários para calcular-se a soma com um erro inferior a um

e

fixo tende ao infinito.

3. Mostrar que, para p > O, a soma da série 1 -l/2P + l/3P - · · · é positiva. RESPOSTAS

1. (a) 1 termo; 1; (b) 3 termqs; 0,86; (c) 5 termos; 0,51; (d) 2 termos; 0,70; (e) 3 termos; 1,287; (f) 4 termos; 1,709; (g) 3 termos; 0,8417; (h) 1 termo; 0,72; (i) 1 termo; 0,18;

(i)

8 termos; 1,70.

2. (a) 8 termos; 66 termos; 918 termos.

6-10. OPERAÇÕES SOBRE SÉRIES. Já vimos (Teorema 8) que séries convergentes podem ser somadas e subtraídas termo a termo:

n=l n=l n=l

00 <X) <X)

l:

a.-

l: b. = _{l: (a.-b.),}

n=l n=l n=l

e que podemos multiplicar uma série convergente por uma constante: 00 00

k l:

ª•

=

l: (ka.).

n=l n=l

Na presente seção, vamos considerar três outras operações: multiplicação, grupamento e rearranjo.

Consideremos primeiro a operação de grupamento, isto é, a introdução de parênteses numa série L ª• . Por exemplo, poderíamos substituir a série

Séries Infinitas

L ª• pela série (a1

+

a2 )

+

· · · + (a2._ 1

+

a2.)

+

· · · , ou seja, pela série L b", onde _bn = ª2n-_l

+

ª2n.

00

Teorema 27. Se a série L ª•for convergente, então a introdução de pa- n= 1

rênteses produzirá uma nova série convergente cuja soma será a mesma que

00 00

a de L ª• . Se L a.for propriamente divergente, a introdução de parên- n= 1 rr=l

teses produzirá uma série propriamente divergente.

Demonstração. A introdução de parênteses tem o efeit0 de omitir certas somas parciais. Por exemplo, as somas parciais da série

são as somas parciais S2, S4, S6, ... , S2., ... da série La •. Se s. convergir para S, então a nova seqüência obtida omitindo-se certas somas também deve convergir para S; se lim s. =

+

oo, então a seqüência obtida omitindo-se certas somas também deve divergir para

+

oo, donde segue o téorema.

Como uma série com termos positivos ou é convergente ou é propriamente divergente, podemos inserir parênteses sem afetar nem a sua convergência nem a sua soma. Isso pode ser aproveitado para provarmos a divergência da série harmônica, pois temos

cada bloco contribui com pelo menos

t,

de sórte que o termo geral da série com parênteses não converge para zero.

No caso de séries divergentes com sinais variáveis, a introdução de pa­ rênteses pode, às vezes, produzir uma série convergente. Por exemplo, a série L (-1)•+ 1 transforma-se em

(1 -1) + (1 - 1) +

· · ·

+ (1 -1) +

· · · = O,

quando os parênteses são introduzidos do modo indicado. Portanto, quando se testa a convergência de uma série com sinais variáveis, não se devem intro­ duzir parênteses.

00 00

Diz-se que uma série L

tJ

m _{é um rearranjo de uma série L ª• quando}

m=l n =1

existe uma correspondência biunívoca entre os índices n e m tal que ª• = bm para índices correspondentes. Por exemplo, as séries

1+t+

l+t+

+t+

+i+

+

+

+

+

+ ... ,

+ ...

375

Cálculo Avançado

são rearranjos uma da outra. A série

1

+ t + t + !

+

i

+

Í

+

!

+ +

+ �

+ · · · também é um rearranjo da série harmônica.

Teorema 28.

Se

E a.

é

absolutamente convergente e

f: bm

é

um rear-

\ n= 1 1"=1

00 00

No documento Kaplan W. - Cálculo Avançado Vol II (1996) (páginas 36-43)