Geralmente as equações diferenciais que regem o movimento de sistemas dinâmicos não lineares são complexas e não geram solução exata. Muitas vezes é preciso fazer uso da teoria de sistemas lineares para o estudo dos sistemas não lineares, a fim de identificar características importantes de suas soluções sem resolvê-los.
Na análise de estabilidade de sistemas isso pode ser feito examinando o comportamento das soluções cujas condições iniciais encontram-se na vizinhança de um ponto de equilíbrio de comportamento conhecido. A este tipo de estabilidade dá-se o nome de estabilidade de uma solução estacionária, representada no retrato de fases por um ponto de equilíbrio estável ou instável.
Na teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de estabilidade é de suma importância e pode ser entendido através de uma perturbação no sistema, pois está associado à característica de determinada solução. Caso esta perturbação não afete tal solução de forma significativa, então esta é considerada estável. Do contrário, ela é dita instável.
2.3.1 Determinação e classificação dos pontos de equilíbrio
Os pontos de equilíbrio, pontos fixos ou soluções estacionárias de um sistema, correspondem aos pontos em que o sistema permanece parado na medida em que o tempo evolui, ou ainda, são os pontos da trajetória onde o movimento cessa.
Dado o seguinte sistema não linear:
̇ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) (2.13) Cujo ponto de equilíbrio corresponde à solução estacionária. Portanto, para ser um ponto de equilíbrio de um sistema dinâmico, deve atender à seguinte condição:
A análise da vizinhança de um ponto de equilíbrio propicia um entendimento local do comportamento do sistema, ou seja, através da natureza do ponto fixo é possível determinar se as outras soluções próximas a este ponto serão estáveis ou instáveis. Isso se dá através da linearização feita no campo vetorial próximo à solução estacionária. Assim, o sistema não linear (2.13) pode ser linearizado em torno de , para que seja possível estudar a estabilidade do sistema linear escrito na forma:
̇ (2.14)
Onde é a matriz Jacobiana ⁄ de ( ) ( ( ) ( ) ( )) .
Tratando-se de sistemas dinâmicos, a estabilidade de certa solução pode ser definida seguindo um critério. Lyapunov, no final do século XIX, definiu estabilidade para uma solução de uma equação diferencial ordinária, originando as definições de estabilidade no sentido de Lyapunov, descritas a seguir:
Um ponto é assintóticamente estável se a resposta a uma pequena perturbação na condição inicial ( ) aproxima-se de , à medida que .
Um ponto é chamado estável se a resposta do sistema a uma pequena perturbação em permanece pequena quando .
O ponto de equilíbrio é dito instável se a resposta do sistema à perturbação em cresce, quando .
O método mais comum de estudar a estabilidade de um sistema é através dos autovalores da matriz do sistema linearizado (2.14) no ponto de equilíbrio. Na linearização em torno de um ponto de equilíbrio, calcula-se a matriz Jacobiana do sistema nesse ponto, sendo esta definida por:
( ) [ ]
Os autovalores de são obtidos através da igualdade ( ) , sendo a matriz identidade. Esta condição dá origem a um polinômio característico, do qual surgirão os autovalores de cada ponto de equilíbrio correspondente.
A estabilidade de um ponto de equilíbrio é estabelecida pelo sinal da parte real dos autovalores da matriz Jacobiana. Se todas as partes reais têm sinal negativo ( ) , então o ponto de equilíbrio é assintóticamente estável.
Os autovalores podem ser números reais ou complexos, influenciando na estabilidade do ponto fixo. A parte real de também altera a classificação de . Se ( ) , é dito ponto fixo hiperbólico. Quanto à estabilidade, os pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser classificados como atratores, repulsores e selas. Quanto ao domínio das raízes, os atratores classificam-se em foco e nó estáveis; os repulsores podem ser foco e nó instáveis. Caso ( ) , é não hiperbólico e pode ser classificado de três formas: marginalmente estável, instável ou centro.
2.3.2 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, também conhecido como método R-H, é utilizado para investigar a estabilidade absoluta de sistemas dinâmicos, independente da complexidade. O método torna-se ainda mais atrativo para sistemas de grandes dimensões, pois não exige tantos cálculos computacionais, resultando numa significativa redução de custo.
Em 1874, Edward John Routh (1831-1907) estabeleceu um primeiro critério para que um polinômio tivesse raízes com parte real negativa. Para Routh, bastavam apenas serem positivos os coeficientes do polinômio para que tal condição fosse satisfeita. Porém, em 1895, Adolf Hurwitz (1859-1919) classificou esta condição como necessária, mas não suficiente, visto o caso do polinômio ( ) , o qual possuía, de um total de três raízes ( ), duas delas com parte real igual a zero.
Sendo assim, Hurwitz desenvolveu a chamada matriz de Hurwitz ou matriz . O novo critério passou a estabelecer que, além do polinômio precisar ter todos os seus coeficientes positivos, fazia-se necessário que todos os determinantes da matriz , construída através dos coeficientes do polinômio, também fossem positivos.
Para que o método R-H possa ser usado na análise de estabilidade em sistemas dinâmicos, primeiramente é necessária a determinação dos pontos de equilíbrio do sistema composto por equações diferenciais de primeira ordem. Para cada ponto deve-se escrever a matriz Jacobiana correspondente e determinar seus autovalores. Com isso, é possível conhecer os sinais dos autovalores na vizinhança de um ponto de equilíbrio sem determiná-los.
Seja o polinômio característico na sua forma geral:
( )
(2.15)
Através de (2.15) pode-se construir a matriz , de mesma ordem do polinômio, procedendo da seguinte forma:
[ ]
Sabe-se que, para serem obtidos pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis, faz- se necessário que a parte real das raízes de (2.15) (autovalores) seja negativa, sem ser necessário o cálculo explícito destas raízes. De acordo com a primeira condição do método R-H, para que isso aconteça todos os coeficientes ( ) de (2.15) devem ser positivos. Caso um deles for zero ou negativo, juntamente com pelo menos um coeficiente positivo, então há no mínimo uma raiz com parte real positiva. Isso basta para o ponto de equilíbrio do sistema não ser estável. A segunda condição determina que os determinantes de
também devem ser positivos, ou seja,
[ ]
Acerca da matriz nota-se que a primeira e a segunda linha da matriz são formadas pelos coeficientes ímpares e pares, respectivamente. O termo par deve ser igual a , o que já encontra-se pré-determinado na matriz. Também é possível perceber que os elementos da diagonal principal da matriz são os coeficientes do polinômio característico.
2.3.3 Ciclo limite
Um assunto de particular interesse em sistemas dinâmicos não lineares é a existência de trajetórias que resultam em movimento periódico. Trata-se de uma trajetória fechada e isolada que geralmente aparece no retrato de fases de sistemas não lineares, denominada ciclo limite.
Os ciclos limite são movimentos de equilíbrio no qual o sistema possui movimento periódico, podendo atrair ou repelir soluções próximas. Um ciclo limite é instável se as soluções próximas se afastam dele à medida que o tempo passa; é assintoticamente estável se tais soluções se aproximam dele por todos os lados; quando as soluções se afastam por um lado e se aproximam pelo outro, o ciclo é semi-estável.
Saber da existência de ciclo limite no retrato de fases através de uma expressão analítica não é tarefa fácil. Por isso existem alguns critérios que podem ajudar na descoberta do local onde se localiza o ciclo limite no plano bidimensional, caso ele exista. Dois destes critérios, devidos a Poincaré e Bendixson, são:
Teorema de Poincaré-Bendixson: Seja D um domínio finito que não contém pontos
estacionários e do qual não partem trajetórias. Então D contém um ciclo limite.
Critério de Bendixson: Dado o sistema de equações diferenciais ordinárias ̇ ( ), ̇ ( ). Se a expressão ⁄ ⁄ não é identicamente nula e não muda o sinal em um domínio D, então a equação diferencial não apresenta órbitas fechadas em D.
Os sistemas que possuem ciclos limite estáveis são muito importantes cientificamente, pois exibem oscilações autossustentadas, ou seja, estes sistemas oscilam mesmo na ausência de uma força externa periódica, resultando em uma oscilação normal de período, frequência e amplitude preferenciais. Se o sistema sofrer pequenas perturbações, ele sempre retorna para o ciclo normal.