Análise de estabilidade do modelo não linear de um pulverizador agrícola do tipo torre

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ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

Cássio Luiz Mozer Belusso

ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO MODELO NÃO

LINEAR DE UM PULVERIZADOR AGRÍCOLA DO

TIPO TORRE

Ijuí

2011

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Cássio Luiz Mozer Belusso

ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO MODELO NÃO

LINEAR DE UM PULVERIZADOR AGRÍCOLA DO

TIPO TORRE

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Jorge Luis Palacios Felix

Ijuí

2011

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação

“ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO MODELO NÃO LINEAR DE UM

PULVERIZADOR AGRÍCOLA DO TIPO TORRE”

Elaborada por

CÁSSIO LUIZ MOZER BELUSSO

Como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática

Comissão Examinadora

_______________________________________________________ Prof. Dr. Jorge Luis Palacios Felix – UNIPAMPA (Orientador)

_______________________________________________________ Prof. Dr. José Manoel Balthazar – UNESP

_______________________________________________________ Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold – UNIJUÍ

Ijuí 2011

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A Deus, pelo amor incondicional e por proporcionar-me viver ao lado de pessoas maravilhosas que me ajudam a evoluir como pessoa.

A minha família pelo apoio, confiança e pelo amor que me fortalece nos momentos mais difíceis.

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AGRADECIMENTOS

Considero este instante uma espécie de ritual. Um momento de transição para mim como mestrando e que está dividido em etapas, marcando o término de uma fase e o início de outra. Trata-se de um ritual de muitas cerimônias, dentre as quais a cerimônia dos agradecimentos.

Meu sempre presente instinto de curiosidade sempre se debruçou em livros, dissertações ou teses, imaginando como a minha obra se constituiria. Espero estar fazendo direito, porque agora chegou a minha vez.

Fico me perguntando qual a melhor maneira de agradecer a todas as pessoas que estiveram comigo durante todo um processo que vai além da obtenção de mais um diploma acadêmico? Como agradecer a estas pessoas que foram parceiras, condutoras, acolhedoras? Apesar de não ser muito original, sei que posso encontrar neste limite de espaço um meio de dizer com palavras simples, porém sinceras: obrigado por sempre conseguirem, de um modo ou de outro, tornar fácil o que muitos consideram impossível.

Quero agradecer a todas as pessoas que estiveram sempre ao meu lado, que foram solidárias e que do fundo do coração torceram por mim. Porém, sei que agradecer é sempre difícil. Sei que posso cometer mais injustiças esquecendo pessoas que me ajudaram do que fazer jus a todas que merecem.

De qualquer modo, todos os que realizam um trabalho de pesquisa como este tem plena consciência de que não é possível fazer sozinho, embora haja momentos em que ficamos solitários em nossas leituras e na hora de escrever. O resultado de nossos estudos só se tornou possível graças à cooperação e ao esforço de outros que nos precederam. Por isso sinto que este trabalho não é só meu. Os autores que li, os professores com os quais tive aulas durante um ano, os colegas de mestrado que me fizeram aprender ainda mais com as infinitas conversas e discussões. Posso dizer que todos contribuíram com uma pequena fração de suas ideias para o bom desenvolvimento deste trabalho.

Em primeiro lugar, sempre, agradeço a Deus, que ao me presentear com características pessoais essenciais, me ensinou a importância de utilizá-las em proveito da evolução individual.

Queria agradecer a todos os professores do Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUÍ por terem propiciado a oportunidade de trocarmos experiências e juntos construirmos conhecimentos. Faço um agradecimento especial ao meu orientador, professor Dr. Jorge Luis

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Palacios Felix, antes de tudo pela paciência que teve comigo, pelos ensinamentos, dicas de pesquisa e pelas horas de leituras gastas ao longo deste trabalho, desde seu início no projeto, passando pelos artigos, até finalmente chegar à dissertação. Suas sugestões foram sempre úteis, sempre bem-vindas e acabaram por constituir-se neste trabalho.

Deixo também um agradecimento especial aos meus colegas de aula, ou melhor, meus verdadeiros amigos. Fossem nos melhores ou nos piores momentos, a descontração e o bate papo sempre estavam presentes. Aos colegas do MATLAB F.C., Anderson, Jotair, Leandro e Peterson pela parceria dentro e fora da sala de aula e nas inúmeras partidas de futebol que realizamos juntos. Aos alunos do Nível I do ano de 2010 do curso de Ciência da Computação, com os quais tive a felicidade de trabalhar durante meu estágio na graduação. À secretária Geni, minha grande amiga, parceira de chimarrão, pela qual desenvolvi profunda admiração pela sua competência e simplicidade. À Dona Zaida e ao Seu Artur por me receberem todos os dias em sua casa na hora do almoço sempre com um sorriso no rosto.

Minha família merece poucas palavras, mas aquelas que me são mais caras. Obrigado por vocês existirem. Obrigado por depositarem em mim a confiança para todas as horas. Sei que vocês se orgulham por eu ter atingido uma etapa que nenhum outro de nós tinha atingido antes. Transformarei este orgulho que sentem por mim numa obrigação de ser, a cada dia, mais digno de representá-los. Pai Celso, mãe Salete, irmã Cati, Dino, obrigado por vocês fazerem parte de minha vida, um grande abraço em cada um de vocês.

E a Simone, que por vezes deve ter detestado a mim e a este trabalho, pois ele sacrificou muitos momentos que poderíamos ter desfrutado juntos, mas sempre incentivou, sempre apoiou e, o melhor de tudo, sempre me cobrou para que eu continuasse e concluísse mais esta etapa de minha vida. Obrigado.

Por fim, agradeço à Instituição Capes pelo apoio financeiro durante todo o curso de Mestrado.

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“O homem do futuro é moldado

por suas batalhas atuais”.

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RESUMO

No presente trabalho analisa-se o comportamento dinâmico do modelo não linear de um pulverizador agrícola do tipo torre, constituído por duas torres dotadas de ventiladores que espalham os defensivos químicos na forma líquida através do fluxo de ar. O pulverizador é montado sobre uma carreta, a qual se encontra acoplada a um trator que trafega entre as fileiras das plantas, tornando possível o espalhamento dos produtos pelos ventiladores em ambos os lados, simultaneamente. Devido à grande altura da torre de pulverização, o sistema pode apresentar sinais de instabilidade em alguns pontos de sua estrutura. Sendo assim, a fim de verificar tais comportamentos, pretende-se também realizar carregamentos periódicos na suspensão veicular da carreta, na qual o pulverizador está inserido, através das ferramentas de análise de bifurcações que ocorrem nos pontos de equilíbrio de um sistema constituído por um pêndulo invertido flexível não linear acoplado a um sistema de suspensão com excitação periódica, provocando grandes oscilações na estrutura. O modelo matemático que governa o sistema carreta-pulverizador é representado por equações diferenciais ordinárias de segunda ordem não lineares com três graus de liberdade. As excitações do modelo proposto têm origem do solo, através do contato deste com os pneus da carreta acoplada ao trator. Cada pneu corresponde a excitações distintas, descritas por funções periódicas que representam o tipo ondulado de solo pelo qual a estrutura transita. As simulações numéricas do modelo matemático tornaram possível detectar diferentes tipos de comportamentos, dentre eles o caos, oriundos das crescentes frequências de excitação na suspensão da carreta.

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ABSTRACT

In this paper analyzes the dynamic behavior of the nonlinear model of an agricultural spray tower type, consisting of two towers equipped with fans that spread the defensive chemicals in liquid form through the air flow. The sprayer is mounted on a cart, which is coupled to a tractor that travels between the rows of plants, making possible the spread of the products by fans on both sides simultaneously. Due to the great height of the spray tower, the system may show signs of instability in some points of its structure. Thus, to verify such behavior, we intend to also perform periodic loads in the suspension vehicle of the trailer, in which the spray is inserted through the tools of analysis of bifurcations that occur at the point of equilibrium of a system consisting of a flexible inverted pendulum nonlinear coupled to a suspension system with periodic excitation, causing large swings in the structure. The mathematical model that governs the system spray-cart is represented by ordinary differential equations of second order non-linear with three degrees of freedom. The excitations of the model come from the soil, through contact with the tires of the trailer coupled to the tractor. Each tire corresponding to different excitations, described by periodic functions that represent the kind of undulating ground that the structure moves. The numerical simulations of the mathematical model made it possible to detect different types of behaviors, including chaos, from the increasing frequency of excitation in the suspension of the trailer.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Atrator de Lorenz ... 31

Figura 2.2 – Dinâmica dos expoentes de Lyapunov ... 32

Figura 2.3 – Bifurcação de período no retrato de fases. Em (I) período 1, em (II) período 2, em (III) período 4, em (IV) comportamento caótico ... 41

Figura 2.4 – Esquema do pêndulo: (à esquerda) pêndulo simples; (à direita) pêndulo invertido ... 42

Figura 3.1 – Pulverizadores do tipo torre fabricados por Ledebuhr Industries, Inc. (à esquerda) e Croplands (à direita). ... 48

Figura 3.2 – Arbus 4000 Multisprayer com oito ventiladores (à esquerda); com seis ventiladores (à direita) ... 49

Figura 3.3 – Arbus 4000 Multisprayer: equipamento real e seus componentes ... 50

Figura 3.4 – Modelo simplificado do pulverizador agrícola do tipo torre ... 51

Figura 5.1 – Deslocamento vertical da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 73

Figura 5.5 – Deslocamento vertical da carreta em função de , com mudança na frequência de excitação em ( ) e ( ) ... 75

Figura 5.6 – Deslocamento angular da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 76

Figura 5.10 – Deslocamento angular da carreta em função de , com mudança na frequência de excitação em ( ) e ( ) ... 78

Figura 5.11 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 79

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Figura 5.12 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 79 Figura 5.13 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 80 Figura 5.14 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à direita). . Sinais de excitação ( ) e ( ) ... 80 Figura 5.15 – Deslocamento angular da torre em função de , com mudança na frequência de excitação em ( ) e ( ) ... 81 Figura 5.16 – Deslocamento vertical da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases

(à direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 83 Figura 5.17 – Deslocamento vertical da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases

(à direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 83 Figura 5.18 – Deslocamento angular da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases

(à direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 84 Figura 5.19 – Deslocamento angular da carreta. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases

(à direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 84 Figura 5.20 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à

direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 85

Figura 5.21 – Deslocamento angular da torre. Evolução no domínio tempo (à esquerda); retrato de fases (à

direita). Frequência de excitação . , ( ) e ( ) ... 85

Figura 5.22 – Resposta da amplitude dos deslocamentos , e com frequência de excitação variando entre e . Sinais de excitação ( ) e ( ). ... 86 Figura 6.1 – Dinâmica dos expoentes de Lyapunov para os parâmetros , e

... 102 Figura 6.2 – Dinâmica dos expoentes de Lyapunov para os parâmetros , e

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Figura 6.6 – Dinâmica dos expoentes de Lyapunov para os parâmetros , e ... 105 Figura 6.7 – Dinâmica dos expoentes de Lyapunov para os parâmetros , e

... 107 Figura A.1 – Diagrama de bifurcação ... 115 Figura A.2 – Diagrama de bifurcação ... 116

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LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Características técnicas do Arbus 4000 Multisprayer ... 50

Tabela 3.2 – Descrição dos parâmetros do modelo simplificado ... 52

Tabela 3.3 – Descrição das variáveis do modelo simplificado ... 52

Tabela 5.1 – Valores dos parâmetros fixos utilizados para as análises e simulações ... 71

Tabela 5.2 – Amplitude máxima atingida pelos deslocamentos após mudança da amplitude nos sinais de excitação ( ) e ( ). , , ... 88

Tabela 6.1 – Coeficientes e determinantes da matriz de Hurwitz para ... 98

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NOMENCLATURA

Letras Latinas

Amplitude de excitação [rad]

Coeficientes da equação característica

Distância da linha central até o pneu esquerdo [m] Distância da linha central até o pneu direito [m] Amortecimento do pneu esquerdo [N s/m] Amortecimento do pneu direito [N s/m] Amortecimento torsional da torre [N m s/rad]

Aceleração da gravidade [m/s²]

Matriz de Hurwitz Matriz identidade

Momento de inércia da carreta [kg m²] Momento de inércia da torre [kg m²] Matriz Jacobiana

Rigidez do pneu esquerdo [N/m]

Rigidez do pneu direito [N/m]

Rigidez da junção torsional [N m/rad]

Distância do centro de gravidade da carreta até a junção [m] Distância da junção ao centro de gravidade da torre [m]

Massa da carreta [kg]

Massa da torre [kg]

Dimensão do sistema dinâmico

Tempo [s]

Ponto de equilíbrio do sistema dinâmico ⃗ Vetor de estado do sistema

⃗ Vetor das condições iniciais

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Deslocamento horizontal da torre [m]

̇ Velocidade horizontal da torre [m/s]

̈ Aceleração horizontal da torre [m/s²]

Deslocamento vertical da carreta [m]

̇ Velocidade vertical da carreta [m/s]

̈ Aceleração vertical da carreta [m/s²]

Deslocamento vertical da torre [m]

Deslocamento vertical do pneu esquerdo [rad] ̇ Velocidade vertical do pneu esquerdo [rad/s] Deslocamento vertical do pneu direito [rad] ̇ Velocidade vertical do pneu direito [rad/s]

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Letras Gregas

Codimensão de uma bifurcação Determinantes da matriz de Hurwitz Autovalores da matriz Jacobiana Expoentes de Lyapunov

Maior expoente de Lyapunov

Ângulo de fase [rad]

Parâmetro de bifurcação

Valor crítico do parâmetro de bifurcação

Deslocamento angular da carreta [rad] ̇ Velocidade angular da carreta [rad/s] ̈ Aceleração angular da carreta [rad/s²] Deslocamento angular da torre [rad] ̇ Velocidade angular da torre [rad/s] ̈ Aceleração angular da torre [rad/s²] Frequência de excitação [rad/s]

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 18 1.1 Objetivos da dissertação ... 20 1.2 Esquema da dissertação ... 21 2 FUNDAMENTOS BÁSICOS ... 23 2.1 Sistemas dinâmicos ... 23

2.1.1 Sistemas não lineares ... 24

2.1.2 Sistemas autônomos e não autônomos ... 26

2.1.3 O espaço de estados ou espaço de fases ... 27

2.2 A teoria do caos ... 28

2.2.1 Atratores ... 30

2.2.2 Expoentes de Lyapunov ... 31

2.3 Estabilidade ... 34

2.3.1 Determinação e classificação dos pontos de equilíbrio... 34

2.3.2 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz ... 36

2.3.3 Ciclo limite ... 38

2.4 Bifurcações ... 39

2.4.1 Análise de parâmetros ... 40

2.5 Pêndulo invertido não linear ... 41

2.6 Suspensão veicular ... 43

3 DESCRIÇÃO FÍSICA DO PULVERIZADOR AGRÍCOLA DO TIPO TORRE .... 47

3.1 Princípio de funcionamento da pulverização ... 47

3.2 Características do Arbus 4000 Multisprayer ... 48

4 MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA ... 54

4.1 Modelo matemático ... 54

4.2 Construção do modelo adaptado ... 54

4.3 Modelo em variáveis de estado ... 68

5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS ... 71

5.1 Análise mediante variação da rigidez da junção torsional ... 72

5.2 Análise mediante variação da frequência nos sinais de excitação ... 82

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6 ANÁLISE DA ESTABILIDADE ... 89

6.1 Classificação da estabilidade segundo o critério de Routh-Hurwitz ... 89

6.2 Determinação dos expoentes de Lyapunov ... 101

7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 108

7.1 Conclusões ... 108

7.2 Dificuldades encontradas ... 110

7.3 Novos trabalhos ... 111

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 112

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1 INTRODUÇÃO

Ao longo dos últimos anos, diferentes técnicas de pulverização agrícola vêm sendo desenvolvidas, cada qual com algumas características particulares. Novos equipamentos surgem em curtos intervalos de tempo e com um objetivo comum: a otimização de desempenho. A constante evolução torna-se um fator de extrema necessidade para a agricultura, pois faz com que esta possa aumentar seu nível de competitividade e participação na economia, quando comparada aos demais segmentos.

É notória a crescente exigência do mercado quando o assunto é eficiência e baixo custo financeiro. As novas tecnologias estão buscando realizar as atividades no menor tempo possível através do aumento das velocidades de tráfego dos pulverizadores. Além disso, permitem uma redução da quantidade de defensivos aplicados devido ao aumento da precisão e da qualidade no instante da aplicação. Dessa forma, ainda se obtém um “ganho” ambiental, pois o resultado alcançado é a significativa redução da contaminação do ar e do solo.

Dentre os diversos tipos de implementos encontrados no campo da pulverização agrícola encontram-se os pulverizadores do tipo torre, bastante utilizados em plantações compostas por árvores de grande porte. Com eles é possível ampliar a área de alcance no momento da aplicação dos defensivos agrícolas através de ventiladores que podem alcançar até as copas das árvores, resultando num efetivo combate às diversas pragas e doenças existentes, diminuindo assim o risco de prejuízo financeiro.

Contudo, é importante salientar um dos principais desafios encontrados no momento da elaboração de um projeto para desenvolver um pulverizador do tipo torre. Devido à altura elevada da torre de pulverização, o sistema pode apresentar sinais de instabilidade em alguns de seus componentes. Além disso, deve-se considerar que tais implementos transitam, quase que todo o tempo, em terrenos agrícolas muito irregulares, o que acaba provocando grandes oscilações na parte superior da torre quando a estrutura na qual ela está montada se depara com pedras, buracos e até mesmo os próprios galhos das árvores que estão recebendo o tratamento, dificultando muito a tarefa do operador em manter a estabilidade da estrutura e impossibilitando um aumento na sua velocidade de transição por entre as plantas.

Sendo assim, esta pesquisa torna-se de fundamental importância, pois trata-se de um equipamento que se encontra apto a ser otimizado, buscando uma melhora no desempenho funcional e mecânico. Os resultados aqui obtidos podem contribuir para uma melhor

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compreensão da estrutura e do princípio de funcionamento deste implemento agrícola essencial para o controle de pragas em lavouras com árvores de grande porte.

Com o intuito de verificar o comportamento deste tipo de equipamento, o presente trabalho pretende realizar a análise dinâmica do modelo não linear de um pulverizador agrícola do tipo torre, constituído por duas torres dotadas de ventiladores que espalham os defensivos químicos na forma líquida através do fluxo de ar. O pulverizador encontra-se instalado sobre uma carreta acoplada a um trator que trafega entre as fileiras das plantas, tornando possível o espalhamento dos defensivos em ambos os lados simultaneamente.

Este estudo planeja também realizar carregamentos periódicos na suspensão da carreta na qual o pulverizador está inserido. Desta forma, é possível analisar as bifurcações que ocorrem nos pontos de equilíbrio do sistema constituído por um pêndulo invertido flexível não linear acoplado a um sistema de suspensão excitado periodicamente.

Toda essa análise baseia-se em um modelo matemático de três graus de liberdade composto por um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares. Atualmente sabe-se que a modelagem matemática tornou-sabe-se uma ferramenta vital e vem sabe-sendo explorada com maior intensidade por diversos campos de pesquisa nas diferentes áreas do conhecimento. Através dela, novos experimentos podem ser orientados a partir de conhecimentos já existentes, graças à sua capacidade de permitir testes com o auxílio de ferramentas computacionais, tornando-se fundamental para estimar e entender o comportamento de diversos sistemas com diferentes características.

Na engenharia e na agricultura os conhecidos modelos matemáticos fazem com que a matemática se torne um importante instrumento, devido aos inúmeros problemas onde vários elementos se relacionam entre si, na maioria das vezes de forma complexa, possibilitando assim a solução de problemas-chave. Neste estudo, o modelo proposto dá ênfase à dinâmica dos sistemas não lineares, pois a interação dinâmica de vibrações é significativa no acoplamento de equipamentos. Neste caso, trata-se da acoplagem entre um pulverizador do tipo torre e uma suspensão veicular, levando em consideração grandes oscilações neste sistema.

O interesse pelo estudo dos fenômenos não lineares vem se intensificando mediante um aumento considerável de pesquisadores que vem se dedicando à observação dos sistemas dinâmicos. Durante muito tempo buscou-se explicações acerca de modelos lineares por entender-se que estes poderiam representar de maneira satisfatória os fenômenos relacionados às diversas áreas onde a modelagem matemática está inserida. As não linearidades que compõem essas formulações proporcionam uma maior variabilidade nos tipos de soluções

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presentes no sistema. Buscando a descoberta das riquezas que cercam os fenômenos não lineares, a ciência agora investiga meios para estudar e compreender as características do fenômeno não linear, com ênfase no caos. Os sistemas caóticos aguçam a curiosidade dos estudiosos devido ao seu exclusivo e rico comportamento, sem depender do nível de complexidade das equações.

A fascinação pelo caos ocorre graças à impossibilidade prática de prever o comportamento desse tipo de sistema. Isso se deve a uma particularidade dos sistemas que apresentam caos, que é a chamada sensibilidade às condições iniciais. Monteiro (2002) define esta característica como,

A sensibilidade às condições iniciais significa que sistemas caóticos amplificam exponencialmente quaisquer incertezas em suas condições iniciais de forma que, após um período arbitrário de tempo, a incerteza do estado de um sistema caótico será da ordem da própria amplitude do movimento.

Com relação à estabilidade de sistemas, Guilherme (2004) afirma que,

Na teoria de vibrações mecânicas costuma-se expressar as condições de estabilidade e instabilidade dinâmica dos sistemas relacionando as frequências de excitação externa e as frequências naturais do sistema, definindo uma região no espaço de parâmetros denominada região de ressonância. Nessa região ocorrem movimentos diferenciados que dependem do tipo de excitação externa aplicada ao sistema e às características intrínsecas ao problema.

Neste trabalho far-se-á uso das características mencionadas nas teorias tanto das vibrações mecânicas quanto dos sistemas não lineares, pois se trata da análise de estabilidade de um modelo não linear, o qual busca melhor representar o comportamento dinâmico de um pulverizador agrícola do tipo torre.

1.1 Objetivos da dissertação

O presente trabalho tem motivação oriunda do trabalho de Sartori Junior (2008). O intuito é continuar a investigação, com enfoque na matemática aplicada, realizando uma análise tanto qualitativa quanto quantitativa do comportamento dinâmico de um modelo matemático composto por equações diferenciais ordinárias de segunda ordem não lineares, as quais representam o princípio de funcionamento de um pulverizador agrícola do tipo torre.

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Fazendo uso deste modelo matemático é possível analisar a estabilidade desta estrutura, considerando-se os movimentos lateral, vertical e rotacional sobre um plano.

De modo mais específico, os objetivos podem ser sistematizados da seguinte forma:

 Analisar a estabilidade do modelo não linear, identificando condições de instabilidade na estrutura.

 Estudar e aplicar a teoria do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

 Classificar os movimentos do sistema utilizando as ferramentas de análise da dinâmica não linear, como a evolução no domínio tempo, o retrato de fases e o cálculo dos expoentes de Lyapunov.

 Analisar o sistema completo considerando os termos não lineares no amortecimento e rigidez da estrutura.

 Verificar o comportamento do sistema mediante uma excitação harmônica na suspensão do conjunto carreta-pulverizador.

1.2 Esquema da dissertação

Esta dissertação está organizada em sete capítulos, os quais destacam a importância, a motivação e as ferramentas de análise necessárias a este estudo.

O capítulo 2 é composto por alguns tópicos básicos referentes à dinâmica de sistemas não lineares, tais como conceitos de estabilidade, teoria do caos e ocorrência de bifurcações. Também é feita uma análise sucinta sobre o princípio de funcionamento de um pêndulo invertido não linear, juntamente com uma breve revisão acerca de suspensão veicular.

Os capítulos 3 e 4 estão relacionados ao pulverizador agrícola do tipo torre. No primeiro é feita uma descrição do principal objeto deste estudo, destacando suas características principais e seus componentes. O segundo fornece o modelo matemático que rege o princípio de funcionamento deste equipamento na forma de um sistema de equações diferenciais ordinárias e também em variáveis de estado.

O capítulo 5 apresenta as simulações numéricas realizadas para verificar o nível de adequação do modelo apresentado. São variados alguns parâmetros do modelo não linear, tais como a amplitude e a frequência dos sinais de excitação e a rigidez da junção torsional, a fim de avaliar o comportamento do sistema mediante tais alterações.

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A análise da estabilidade do modelo é feita no capítulo 6 por meio do critério de Routh-Hurwitz e também através da determinação dos expoentes de Lyapunov.

Finalmente, no capítulo 7, estão expostas as conclusões, as considerações finais, as dificuldades encontradas durante a elaboração desta dissertação e as sugestões para estudos futuros. Logo após são encontradas as referências bibliográficas utilizadas, seguidas ao final pelos apêndices que complementam o trabalho.

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2 FUNDAMENTOS BÁSICOS

Neste capítulo são descritas informações de suma importância referentes ao estudo da dinâmica dos sistemas não lineares. Toda esta teoria não está exposta com formalidades, pois o intuito principal não é enunciar teoremas e definições, mas sim transcrever para o leitor, em linguagem simples, a base teórica que sustenta a compreensão dos capítulos seguintes.

2.1 Sistemas dinâmicos

Em meados do século XVI já havia indícios de sistemas dinâmicos dentro da mecânica celeste, quando Isaac Newton (1643-1727) introduziu o conceito de equações diferenciais ordinárias na área. Porém, há cerca de cem anos, os estudos do matemático Jules Henri Poincaré (1854-1912) deram uma nova abordagem à teoria de sistemas dinâmicos, causando uma espécie de modernização desta teoria. Poincaré foi responsável por introduzir aspectos como estabilidade e periodicidade, cujos conceitos estão relacionados ao estudo qualitativo das equações diferenciais. Isso permitiu uma análise das propriedades assintóticas das soluções de uma equação diferencial, sem ser necessário determiná-las.

Sistemas dinâmicos são objetos matemáticos utilizados para modelar fenômenos físicos. Trata-se de representações matemáticas que permitem realizar uma descrição do comportamento de determinado sistema ao longo do tempo. As aplicações são abundantes em diversas áreas do conhecimento, como na Matemática, na Física, na Engenharia, entre outras. Muitos modelos matemáticos são compostos por sistemas dinâmicos, graças a sua grande capacidade de previsão de eventos em curto e em longo prazo.

A evolução de um sistema dinâmico descreve que os estados futuros de um sistema podem ser determinados através do estado atual, sem considerar estados anteriores. Na maioria das vezes, os sistemas dinâmicos são descritos por equações diferenciais ordinárias, cujo objetivo é caracterizar qualitativa e quantitativamente suas soluções. Dentre as formulações existentes para se descrever um sistema dinâmico, a mais utilizada é a representação de estados. Um dado momento de um sistema dinâmico pode ser representado

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por um ponto no espaço de estados. Caso este sistema possa ser resolvido, é possível determinar todos os seus pontos seguintes formando uma espécie de trajetória.

O desenvolvimento da tecnologia promoveu um grande passo no estudo dos sistemas dinâmicos. Há pouco tempo atrás as mais sofisticadas técnicas matemáticas só eram aplicáveis em sistemas simples, onde uma trajetória era suficiente para predizer seu comportamento. Hoje, existem inúmeros métodos numéricos em diferentes softwares que são capazes de simplificar o trabalho de encontrar as trajetórias de um sistema dinâmico, independente de sua complexidade. Geralmente, é mais importante conhecer o tipo de trajetória do que uma em particular, pois enquanto algumas delas são periódicas, as outras podem passar por diferentes estados do sistema.

Um sistema dinâmico pode ser classificado de diferentes maneiras. Quanto à variável tempo, o sistema pode ser contínuo, onde é descrito por equações diferenciais e o tempo varia continuamente, ou discreto, onde o estado do sistema somente muda em intervalos de tempo determinados de acordo com equações de diferenças. Quanto ao tipo de modelo, o sistema pode ser linear ou não linear. Existem também outras classificações analisando-se os parâmetros e a memória do sistema.

Neste trabalho, há um total interesse nos sistemas dinâmicos não lineares. Seu comportamento imprevisível, que pode aparecer até em sistemas quase triviais, faz com que apareça uma das ramificações mais admiráveis da teoria de sistemas dinâmicos não lineares, o caos.

2.1.1 Sistemas não lineares

Os modelos não lineares, de modo geral, descrevem de maneira mais efetiva os fenômenos físicos do que os modelos ou técnicas lineares. Por isso, afirma-se que a natureza é não linear em toda a sua essência. Muitos estudos são realizados no campo da dinâmica não linear a fim de tratar sistemas dinâmicos descritos por modelos matemáticos considerados simples, porém donos de uma resposta complexa e muito interessante.

A falta de uma propriedade unificadora faz com que a sistematização dos sistemas não lineares possua um maior grau de dificuldade quando comparado aos sistemas lineares, que, por sua vez, satisfazem a um princípio característico, denominado princípio da superposição de efeitos, obtido através da combinação entre o princípio da aditividade e o

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princípio da proporcionalidade entre excitação e resposta. O princípio da sobreposição pode ser escrito analiticamente da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) (2.1)

Onde e são constantes; ( ) e ( ) são a entrada e saída do sistema, respectivamente. A teoria dos sistemas não lineares não é tão desenvolvida como a dos sistemas lineares. Em razão disso, é normal haver uma concentração maior no estudo de modelos lineares que possuem um bom comportamento, tendo em vista as diversas dificuldades inerentes encontradas nos problemas não lineares, como seu comportamento desequilibrado e aperiódico, porém de riqueza exuberante. Trata-se de um sistema imprevisível, onde o seu estado futuro depende de seu estado presente, podendo ser alterado significativamente através de sensíveis mudanças na atual condição. Tais mudanças são frutos da principal característica dos sistemas dinâmicos não lineares, que é a sensibilidade às condições iniciais.

A dinâmica não linear constitui o estudo de sistemas de equações diferenciais não lineares. Entretanto, não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equação, pois os métodos numéricos conhecidos apresentam alguns problemas. Sendo assim, a análise gráfica no retrato de fases torna-se uma ferramenta de fundamental importância, sendo capaz de fornecer muitas informações acerca do comportamento do sistema não linear.

O comportamento caótico é uma das inúmeras possibilidades que podem ocorrer na dinâmica de sistemas não lineares. Além dele, outros fenômenos só ocorrem neste tipo de sistema, dentre os quais se destacam as bifurcações, a ocorrência de ciclo limite, a grande dependência dos parâmetros, a presença de múltiplos pontos de equilíbrio, a não unicidade da solução e o tempo de escape finito.

Os sistemas não lineares são chamados assim porque existe algum componente ou subsistema não linear presente nas equações que o compõem. Estas não linearidades podem ser naturais, quando são próprias do sistema e estão intimamente associadas a ele, ou artificiais, quando são intencionalmente introduzidas com o intuito de controlar ou melhorar o comportamento dos sistemas.

No estudo de problemas descritos por sistemas não lineares, costuma-se realizar dois tipos distintos de análise. A análise qualitativa visa entender o comportamento global de um dado sistema, enquanto a análise quantitativa procura avaliar a evolução deste sistema no tempo. Geralmente, a análise qualitativa utiliza técnicas geométricas, dificultando a análise de sistemas com muitos graus de liberdade.

(27)

2.1.2 Sistemas autônomos e não autônomos

Os sistemas dinâmicos classificam-se em autônomos e não autônomos observando-se a dependência ou não do tempo, denominada variável independente. Um sistema dinâmico é dito autônomo, no espaço -dimensional, quando não depende explicitamente do tempo, ou seja,

̇ ( ) (2.2)

Fisicamente, pode-se dizer que um sistema autônomo evolui da mesma maneira, independentemente do instante inicial. Geometricamente, as curvas integrais de um sistema autônomo formam famílias de curvas idênticas, deslocadas na direção do eixo horizontal. Se for deslocado no eixo do tempo, o campo de direções é invariante.

Em um sistema dinâmico classificado como não autônomo existe uma dependência explícita do tempo. Logo,

̇ ( ) (2.3) Um sistema dinâmico não autônomo pode ser convertido em autônomo, desde que haja um acréscimo na dimensão do espaço, introduzindo-se uma variável a mais associada ao tempo.

Dado o sistema não autônomo -dimensional escrito na seguinte forma:

{ ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) (2.4)

Para que o sistema (2.4) se torne autônomo, considera-se o tempo como mais uma variável de estado, introduzindo uma equação diferencial trivial para a derivada de . O sistema passa de dimensão para uma dimensão ( ).

(28)

{ ̇ ( ( )) ̇ ( _{( )}) ̇ ( _{( )}) ̇ ( _{( )}) ̇( ) (2.5)

Deste modo, o sistema não autônomo -dimensional (2.4) é reescrito em (2.5) como um sistema autônomo de dimensão ( ), através da inclusão da variável ( ) .

2.1.3 O espaço de estados ou espaço de fases

Dentre as possíveis formulações para expor o comportamento de um sistema dinâmico, destaca-se a representação em espaço de estados, também conhecido como espaço de fases. O espaço de estados é um conjunto de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que regem, ao mesmo tempo, o comportamento das variáveis dependentes escolhidas que representam as dimensões do sistema, denominadas variáveis de estado. Por exemplo, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem é substituído por um sistema de equações diferenciais, todas de primeira ordem.

Seja a equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem de um oscilador de Van der Pol, onde é o parâmetro de amortecimento:

̈ ( ) ̇ (2.6)

A equação (2.6) é de segunda ordem, então o sistema em variáveis de estado será composto por duas equações diferenciais de primeira ordem. Atribuindo as igualdades e ̇ , é possível reescrever esta equação na forma de espaço de estados.

{ ̇ ( )

(29)

Um ponto no espaço de fases define um estado do sistema. À medida que o tempo passa, esse ponto se move de acordo com as equações diferenciais de primeira ordem que regem tal evolução temporal, dando origem a outro ponto no espaço. Os pontos que especificam o estado de um sistema dependem da função iterativa deste e das condições iniciais. A especificação de um ponto não ajuda apenas a descrever a posição atual do sistema, mas também a determinar sua evolução futura.

Um vetor de estado está associado ao espaço de estados, geralmente , e é formado pelo conjunto das variáveis de estado do sistema. A evolução do vetor de estado, ou seja, o conjunto de pontos de diferentes estados, gera um percurso no qual a solução percorre no espaço de fases chamado trajetória, que representa a solução do conjunto das equações diferenciais. No sistema (2.7) o vetor de estado ⃗ é formado pelas variáveis de estado e , escrito na forma ⃗ ( ).

O retrato de fases ou fluxo de um sistema dinâmico contém muitas informações acerca de seu comportamento. Trata-se de uma representação geométrica de todas as trajetórias (soluções) obtidas através da evolução do sistema a partir de um conjunto de condições iniciais, onde cada trajetória representa uma condição inicial diferente, ou ainda, é o espaço formado pelas variáveis dependentes de um sistema dinâmico. Por exemplo, um sistema com resposta periódica gera no retrato de fases uma curva fechada, indicando que os estados representados se repetem ao longo do tempo.

A configuração das curvas no espaço de fases revela informações sobre a possível existência de atratores, repulsores e ciclos limite. Através de uma análise no retrato de fases é possível determinar quantas e quais são os tipos de convergências para onde o sistema tende quando . Em meio a algumas topologias especiais que surgem no espaço de fases de sistemas dinâmicos existem a circunferência, o cilindro e o toro. Para cada um desses sistemas dinâmicos, as trajetórias evoluem na superfície do espaço de estados.

2.2 A teoria do caos

O estudo de fenômenos relacionados com a teoria do caos vem crescendo exponencialmente nos últimos anos. Geralmente, quando o assunto é o caos, a primeira impressão é a de uma ciência de extrema complexidade caracterizada por comportamentos

(30)

imprevisíveis e desordenados, o que não deixa de ser verdadeiro. Entretanto, no contexto científico, o caos é muito mais do que isso.

O caos tem origem no século XIX, quando Poincaré buscava resolver um sistema de equações que descrevia o conhecido problema dos três corpos. Ele descobriu, ao contrário do que se imaginava, que as soluções não eram regulares e possuíam um comportamento totalmente imprevisível. Poincaré desenvolveu uma base matemática necessária para realizar tal estudo, porém não deu prosseguimento devido à falta de recursos tecnológicos na época.

Aproximadamente um século mais tarde, Edward Norton Lorenz (1917-2008) encontrou o mesmo comportamento antes visto por Poincaré em um sistema de equações composto por três equações diferenciais e três variáveis que descreviam um modelo meteorológico, descrito em (2.8). Foi com o auxílio de computadores que Lorenz calculou as soluções aproximadas de seu sistema e detectou o fenômeno da sensibilidade às condições iniciais. Todos esses cálculos deram origem a um atrator cuja forma lembra uma borboleta, o qual se tornou um dos primeiros atratores estranhos a ser desvendado, conhecido como Atrator de Lorenz. { ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ (2.8)

Além da conhecida dependência às condições iniciais, os sistemas caóticos também possuem algumas outras características importantes. Deve-se salientar que o caos é um comportamento típico de sistemas não lineares e, para que ele possa aparecer, é necessário que o sistema dinâmico possua, no mínimo, três dimensões. Uma resposta caótica de um sistema dinâmico possui infinitas trajetórias periódicas e não periódicas, além de uma possibilidade infinita de atratores.

Em sistemas não lineares estáveis, as pequenas variações nas condições iniciais resultam em pequenas mudanças na resposta. Por outro lado, nos sistemas caóticos as condições iniciais crescem exponencialmente ao longo do tempo, provocando uma divergência nas trajetórias, tornando-se inviável a realização de previsões em longo prazo. Por isso, pode-se dizer então que as palavras mudança e tempo representam a base do caos.

(31)

2.2.1 Atratores

Um atrator é uma região do espaço de fases para o qual as trajetórias de um sistema dinâmico dissipativo migram com o passar do tempo para um conjunto de condições iniciais diferentes, denominado bacia de atração. Sistemas dissipativos e conservativos caracterizam-se, respectivamente, pela contração e preservação de um volume no espaço de fases sob a evolução do tempo.

Dentre algumas características dos atratores está o fato de eles não possuírem dimensão pré-estabelecida, podendo possuir um número de dimensões de acordo com o número de variáveis que influenciam no seu sistema.

Um sistema dinâmico pode ter um atrator do tipo estranho ou periódico. Os atratores estranhos também são conhecidos por atratores caóticos e caracterizam-se pela sensibilidade às condições iniciais. Os atratores periódicos representam soluções periódicas, ou seja, aquelas que se repetem em um dado intervalo de tempo denominado período e caracterizam-se pelo bom comportamento e previsibilidade. São formados pelos atratores cujos movimentos periódicos tendem para um ponto fixo, os quais não dependem do tempo, pelos movimentos periódicos, representados por ciclos limite, e pelos movimentos quase periódicos, representados por uma superfície toroidal -dimensional, sendo .

Da mesma forma que existem os atratores periódicos formados por regiões limitadas do espaço de fases para onde as trajetórias convergem, os sistemas caóticos possuem atratores estranhos em seus espaços de fases. Talvez isso aconteça pelo fato de que os atratores estranhos parecem ser muito comuns em sistemas não lineares. Os sistemas que exibem atratores estranhos podem apresentar comportamentos irregulares ou caóticos.

O estudo dos atratores estranhos, que na década de 60 nem possuíam este nome, pois eram apenas considerados complicados, teve um grande avanço durante as décadas de 70 e 80 com o aperfeiçoamento de técnicas computacionais específicas que tornaram possível a descoberta de um rico comportamento das soluções de um sistema dinâmico. Porém, tais técnicas também aumentaram as incertezas acerca deste comportamento em um período de tempo suficientemente grande.

Os atratores estranhos normalmente possuem uma estrutura que não é simples, levando erroneamente a um aspecto de desorganização no interior do atrator. São regiões no espaço de fases onde ficam concentradas as trajetórias formadas pelos valores das variáveis de um sistema dinâmico caótico ao longo do tempo. A complexidade deste tipo de sistema

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também se deve ao fato de que uma trajetória não passa por um ponto mais de uma vez, tornando-se única. Dentre os atratores estranhos mais conhecidos está o Atrator de Lorenz, representando pela figura 2.1, um sistema não linear e tridimensional que exibe comportamento caótico.

Figura 2.1 – Atrator de Lorenz.

2.2.2 Expoentes de Lyapunov

A teoria dos expoentes de Lyapunov foi proposta pelo matemático Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) e é muito utilizada para determinar a estabilidade local de soluções em regime permanente. Através do cálculo dos expoentes de Lyapunov, pode-se avaliar a dependência sensitiva de um sistema às condições iniciais, tornando-o um dos critérios de maior importância para definir o caos em sistemas dinâmicos.

Os expoentes de Lyapunov descrevem a taxa exponencial média com a qual uma perturbação na trajetória do sistema se altera durante o passar do tempo numa determinada região do espaço de fases, ou ainda, um expoente de Lyapunov é o valor da taxa de expansão ou contração da distância entre dois pontos, que deveriam evoluir através de sucessivas iterações, examinando a divergência exponencial das trajetórias vizinhas.

O comportamento dinâmico de um sistema pode ser previsto através dos sinais dos expoentes de Lyapunov. Um expoente positivo indica uma possível separação das trajetórias quando estas migram para determinada direção. Por outro lado, um expoente negativo indica

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que há uma aproximação destas trajetórias. Por meio da determinação desses expoentes, podem-se analisar também outros invariantes do sistema, o que destaca ainda mais a importância de calculá-los precisamente. Em poucos casos é possível calcular os expoentes de Lyapunov de forma analítica, tendo então que fazer uso de métodos numéricos precisos.

Através dos expoentes de Lyapunov é possível apontar em um sistema a presença de pontos fixos, movimentos periódicos, quase periódicos e caos. Para isso, primeiramente, será introduzida a ideia de como tais valores são obtidos. Sendo assim, supõe-se um sistema dinâmico contínuo composto por equações diferenciais ordinárias da forma:

̇ ( ) (2.9)

Segundo Ferrara e Prado (1995), a evolução do sistema (2.9) se dá partir de duas condições iniciais em estados vizinhos, e , em uma esfera -dimensional de raio ( ), onde . Tem-se então,

| | ( ) (2.10)

À medida que o tempo passa, a esfera se torna um elipsoide -dimensional, conforme a figura 2.2.

(34)

Desta forma, os expoentes de Lyapunov definidos em termos do comprimento dos eixos principais ( ) , podem ser obtidos através da expressão:

₍ ₎ ₍( )₎ (2.11)

Da qual se obtém:

( ) ( ) (2.12)

Através de (2.12) podem ser feitas algumas conclusões mediante interpretação dos expoentes de Lyapunov. Geralmente, tais conclusões são baseadas somente no maior destes valores. Sabe-se, por exemplo, se o comportamento do sistema dinâmico é caótico ou não.

A dependência das condições iniciais está associada à divergência das trajetórias vizinhas. Se elas divergem, tem-se um expoente de Lyapunov positivo e, consequentemente, o sistema é caótico. Nas soluções periódicas e quase periódicas, os deslocamentos das trajetórias tendem a diminuir em direção perpendicular ao movimento e não se alterar ao longo da trajetória . Resumidamente, um sistema dinâmico, analisando o maior expoente de Lyapunov ( ), pode ser classificado em:

 Periódico ou quase periódico, quando .

 Ponto fixo, quando .

 Caótico, quando .

No espaço tridimensional, um atrator pode ter sua forma identificada através dos sinais dos expoentes de Lyapunov. A eles correspondem três expoentes , e , capazes de classificar um atrator nas seguintes formas, conhecidas como espectros de Lyapunov:

 Se tem-se um ponto fixo pra onde todas as trajetórias convergem.

 Se e é caracterizado um ciclo limite, onde uma direção é nula ao longo da trajetória.

 Se e o atrator é um toro bidimensional, onde há deslocamentos em duas direções.

 Se , e existe a presença de um atrator estranho, onde a condição garante a sensibilidade às condições iniciais. Para que se tenha um atrator estranho também é necessário que o sistema seja dissipativo, dado pela condição ∑ , de acordo com os expoentes de Lyapunov.

(35)

2.3 Estabilidade

Geralmente as equações diferenciais que regem o movimento de sistemas dinâmicos não lineares são complexas e não geram solução exata. Muitas vezes é preciso fazer uso da teoria de sistemas lineares para o estudo dos sistemas não lineares, a fim de identificar características importantes de suas soluções sem resolvê-los.

Na análise de estabilidade de sistemas isso pode ser feito examinando o comportamento das soluções cujas condições iniciais encontram-se na vizinhança de um ponto de equilíbrio de comportamento conhecido. A este tipo de estabilidade dá-se o nome de estabilidade de uma solução estacionária, representada no retrato de fases por um ponto de equilíbrio estável ou instável.

Na teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de estabilidade é de suma importância e pode ser entendido através de uma perturbação no sistema, pois está associado à característica de determinada solução. Caso esta perturbação não afete tal solução de forma significativa, então esta é considerada estável. Do contrário, ela é dita instável.

2.3.1 Determinação e classificação dos pontos de equilíbrio

Os pontos de equilíbrio, pontos fixos ou soluções estacionárias de um sistema, correspondem aos pontos em que o sistema permanece parado na medida em que o tempo evolui, ou ainda, são os pontos da trajetória onde o movimento cessa.

Dado o seguinte sistema não linear:

̇ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) (2.13) Cujo ponto de equilíbrio corresponde à solução estacionária. Portanto, para ser um ponto de equilíbrio de um sistema dinâmico, deve atender à seguinte condição:

(36)

A análise da vizinhança de um ponto de equilíbrio propicia um entendimento local do comportamento do sistema, ou seja, através da natureza do ponto fixo é possível determinar se as outras soluções próximas a este ponto serão estáveis ou instáveis. Isso se dá através da linearização feita no campo vetorial próximo à solução estacionária. Assim, o sistema não linear (2.13) pode ser linearizado em torno de , para que seja possível estudar a estabilidade do sistema linear escrito na forma:

̇ (2.14)

Onde é a matriz Jacobiana ⁄ de ( ) ( ( ) ( ) ( )) .

Tratando-se de sistemas dinâmicos, a estabilidade de certa solução pode ser definida seguindo um critério. Lyapunov, no final do século XIX, definiu estabilidade para uma solução de uma equação diferencial ordinária, originando as definições de estabilidade no sentido de Lyapunov, descritas a seguir:

 Um ponto é assintóticamente estável se a resposta a uma pequena perturbação na condição inicial ( ) aproxima-se de , à medida que .

 Um ponto é chamado estável se a resposta do sistema a uma pequena perturbação em permanece pequena quando .

 O ponto de equilíbrio é dito instável se a resposta do sistema à perturbação em cresce, quando .

O método mais comum de estudar a estabilidade de um sistema é através dos autovalores da matriz do sistema linearizado (2.14) no ponto de equilíbrio. Na linearização em torno de um ponto de equilíbrio, calcula-se a matriz Jacobiana do sistema nesse ponto, sendo esta definida por:

( ) [ ]

(37)

Os autovalores de são obtidos através da igualdade ( ) , sendo a matriz identidade. Esta condição dá origem a um polinômio característico, do qual surgirão os autovalores de cada ponto de equilíbrio correspondente.

A estabilidade de um ponto de equilíbrio é estabelecida pelo sinal da parte real dos autovalores da matriz Jacobiana. Se todas as partes reais têm sinal negativo ( ) , então o ponto de equilíbrio é assintóticamente estável.

Os autovalores podem ser números reais ou complexos, influenciando na estabilidade do ponto fixo. A parte real de também altera a classificação de . Se ( ) , é dito ponto fixo hiperbólico. Quanto à estabilidade, os pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser classificados como atratores, repulsores e selas. Quanto ao domínio das raízes, os atratores classificam-se em foco e nó estáveis; os repulsores podem ser foco e nó instáveis. Caso ( ) , é não hiperbólico e pode ser classificado de três formas: marginalmente estável, instável ou centro.

2.3.2 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, também conhecido como método R-H, é utilizado para investigar a estabilidade absoluta de sistemas dinâmicos, independente da complexidade. O método torna-se ainda mais atrativo para sistemas de grandes dimensões, pois não exige tantos cálculos computacionais, resultando numa significativa redução de custo.

Em 1874, Edward John Routh (1831-1907) estabeleceu um primeiro critério para que um polinômio tivesse raízes com parte real negativa. Para Routh, bastavam apenas serem positivos os coeficientes do polinômio para que tal condição fosse satisfeita. Porém, em 1895, Adolf Hurwitz (1859-1919) classificou esta condição como necessária, mas não suficiente, visto o caso do polinômio ( ) , o qual possuía, de um total de três raízes ( ), duas delas com parte real igual a zero.

Sendo assim, Hurwitz desenvolveu a chamada matriz de Hurwitz ou matriz . O novo critério passou a estabelecer que, além do polinômio precisar ter todos os seus coeficientes positivos, fazia-se necessário que todos os determinantes da matriz , construída através dos coeficientes do polinômio, também fossem positivos.

(38)

Para que o método R-H possa ser usado na análise de estabilidade em sistemas dinâmicos, primeiramente é necessária a determinação dos pontos de equilíbrio do sistema composto por equações diferenciais de primeira ordem. Para cada ponto deve-se escrever a matriz Jacobiana correspondente e determinar seus autovalores. Com isso, é possível conhecer os sinais dos autovalores na vizinhança de um ponto de equilíbrio sem determiná-los.

Seja o polinômio característico na sua forma geral:

( )

(2.15)

Através de (2.15) pode-se construir a matriz , de mesma ordem do polinômio, procedendo da seguinte forma:

[ ]

Sabe-se que, para serem obtidos pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis, faz-se necessário que a parte real das raízes de (2.15) (autovalores) faz-seja negativa, faz-sem faz-ser necessário o cálculo explícito destas raízes. De acordo com a primeira condição do método R-H, para que isso aconteça todos os coeficientes ( ) de (2.15) devem ser positivos. Caso um deles for zero ou negativo, juntamente com pelo menos um coeficiente positivo, então há no mínimo uma raiz com parte real positiva. Isso basta para o ponto de equilíbrio do sistema não ser estável. A segunda condição determina que os determinantes de

também devem ser positivos, ou seja,

[ ]

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Acerca da matriz nota-se que a primeira e a segunda linha da matriz são formadas pelos coeficientes ímpares e pares, respectivamente. O termo par deve ser igual a , o que já encontra-se pré-determinado na matriz. Também é possível perceber que os elementos da diagonal principal da matriz são os coeficientes do polinômio característico.

2.3.3 Ciclo limite

Um assunto de particular interesse em sistemas dinâmicos não lineares é a existência de trajetórias que resultam em movimento periódico. Trata-se de uma trajetória fechada e isolada que geralmente aparece no retrato de fases de sistemas não lineares, denominada ciclo limite.

Os ciclos limite são movimentos de equilíbrio no qual o sistema possui movimento periódico, podendo atrair ou repelir soluções próximas. Um ciclo limite é instável se as soluções próximas se afastam dele à medida que o tempo passa; é assintoticamente estável se tais soluções se aproximam dele por todos os lados; quando as soluções se afastam por um lado e se aproximam pelo outro, o ciclo é semi-estável.

Saber da existência de ciclo limite no retrato de fases através de uma expressão analítica não é tarefa fácil. Por isso existem alguns critérios que podem ajudar na descoberta do local onde se localiza o ciclo limite no plano bidimensional, caso ele exista. Dois destes critérios, devidos a Poincaré e Bendixson, são:

Teorema de Poincaré-Bendixson: Seja D um domínio finito que não contém pontos

estacionários e do qual não partem trajetórias. Então D contém um ciclo limite.

Critério de Bendixson: Dado o sistema de equações diferenciais ordinárias ̇ ( ), ̇ ( ). Se a expressão ⁄ ⁄ não é identicamente nula e não muda o sinal em um domínio D, então a equação diferencial não apresenta órbitas fechadas em D.

Os sistemas que possuem ciclos limite estáveis são muito importantes cientificamente, pois exibem oscilações autossustentadas, ou seja, estes sistemas oscilam mesmo na ausência de uma força externa periódica, resultando em uma oscilação normal de período, frequência e amplitude preferenciais. Se o sistema sofrer pequenas perturbações, ele sempre retorna para o ciclo normal.

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2.4 Bifurcações

A teoria das bifurcações é fundamental para a análise de sistemas não lineares, visto que, do mesmo modo em que é útil classificar os diferentes tipos de movimentos de um sistema, também se torna importante identificar as formas como tais movimentos podem se modificar no retrato de fases.

O termo bifurcação refere-se à mudança qualitativa na natureza do comportamento de um sistema dinâmico quando há variação de um dos parâmetros do qual o retrato de fases do sistema é dependente, denominados parâmetros de bifurcação. O ponto no retrato de fases onde ocorre uma bifurcação é chamado de ponto de bifurcação.

De acordo com Guilherme (2004),

Poincaré introduziu a palavra bifurcação em 1885 para expressar uma divisão das soluções de equilíbrio. Tal fenômeno ocorre caso o sistema apresente perdas em sua estabilidade estrutural, cujo conceito está intimamente ligado à ideia de bifurcação. Quando uma bifurcação ocorre, significa dizer que o sistema dinâmico perde sua estabilidade estrutural, ocorrendo mudança qualitativa na solução do sistema.

Segundo Monteiro (2002), o conceito de estabilidade estrutural pode ser expresso pela seguinte definição:

Definição 2.1: Seja o fluxo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗_⃗⃗⃗( ⃗), que depende dos parâmetros

⃗ ( ). Para um valor fixo dos parâmetros ⃗ ⃗ , o fluxo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗_⃗⃗⃗ ( ⃗) é estruturalmente estável se há um valor tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗_⃗⃗⃗( ⃗) é topologicamente equivalente a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗), para todos os valores de ⃗ tais que ‖ ⃗ ⃗ ‖ .

Um sistema dinâmico é estruturalmente estável se a topologia do seu retrato de fases é preservada mediante algum tipo de perturbação pequena nas suas equações, oriunda da variação dos parâmetros de bifurcação ⃗ em torno de um valor crítico ( ), fazendo com que a versão perturbada possua características topológicas equivalentes à versão não perturbada. Se houver mudança no retrato de fases, então o sistema dinâmico é estruturalmente instável para aquele valor crítico do parâmetro.

As bifurcações podem indicar uma possível presença de resposta caótica do sistema, isto é, nem todo sistema que contenha bifurcações vai resultar em comportamento caótico. Tal afirmação se deve ao fato de que o fenômeno da bifurcação está intensamente relacionado

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com a presença de caos em um sistema dinâmico. Caso o sistema não apresente algum tipo de bifurcação, consequentemente não apresentará uma resposta caótica.

Outro aspecto importante, dentro da teoria das bifurcações, é o conceito de codimensão. A codimensão de uma bifurcação nada mais é do que o número de parâmetros que são variados com o intuito de se obter a bifurcação em questão. Além disso, ela indica quantos autovalores com parte real igual a zero terá a matriz Jacobiana associada ao sistema. Quando as bifurcações são oriundas de um único parâmetro de bifurcação, estas são classificadas como de codimensão um; quando produzidas por parâmetros, possuem codimensão . Existem também os pontos de retorno que podem coincidir com um ponto de bifurcação, os quais, geralmente, surgem aos pares, provocando o fenômeno de salto.

As bifurcações em sistemas dinâmicos podem ser classificadas em bifurcações locais e bifurcações globais. As bifurcações locais são aquelas que tratam das mudanças qualitativas de um sistema dinâmico nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio ou de uma órbita fechada, e, na maioria das vezes, esse estudo local é realizado através da determinação dos autovalores. Nas bifurcações globais pode ocorrer uma variação na estrutura das órbitas, por isso não podem ser deduzidas a partir de uma análise local.

Além disso, as bifurcações também podem ser contínuas ou descontínuas, dependendo de como o espaço de estados do sistema varia mediante variação do conjunto de parâmetros ⃗. Nas bifurcações contínuas, à medida que varia, o ponto fixo evolui para outro conjunto de soluções de forma contínua. Nas bifurcações descontínuas, é variado através dos pontos de bifurcações, provocando um salto no estado do sistema, podendo resultar em comportamento caótico.

2.4.1 Análise de parâmetros

Ao variar um parâmetro de bifurcação , outras características do sistema podem ser alteradas, como a matriz Jacobiana, os autovalores e os autovetores, pois as soluções passam a depender não só do tempo, mas também de . Em um ponto de bifurcação, a matriz Jacobiana de um sistema contínuo tem pelo menos um autovalor com parte real igual a zero. Em sistemas discretos, este autovalor pertence ao círculo unitário.

À medida que é alterado, podem ocorrer mudanças tanto na posição como nas características dos pontos de equilíbrio. Tais mudanças podem originar novos pontos de