Novos trabalhos

Em trabalhos futuros, em uma possível fase de doutoramento, pretende-se propor um tipo de suspensão, juntamente com alguma técnica de controle para diminuir ainda mais as oscilações da estrutura, principalmente da torre de pulverização. Planeja-se, também, levar em consideração o líquido e seu movimento dentro do reservatório, considerando a variação da massa que acontece entre o instante inicial, quando o tanque está cheio, até o momento final, quando não há mais líquido dentro do reservatório.

Na perspectiva de se encontrar novos comportamentos, tem-se também o objetivo de verificar a possível existência de ciclo limite por meio do critério de Bendixson, e, caso tal existência se comprove, ainda pretende-se verificar a sua estabilidade. Além disso, como complemento aos resultados obtidos no item 5.3 desta dissertação, deseja-se novamente detectar a presença de comportamento caótico, porém, desta vez, variando-se o parâmetro da amplitude dos sinais de excitação.

Por fim, planeja-se desenvolver, com auxílio de um software gráfico, uma animação capaz de representar o equipamento real, na qual, após a variação de determinado parâmetro, seja possível visualizar instantaneamente seus efeitos sobre os movimentos realizados pela estrutura.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Apêndice A

Diagrama de bifurcação

Para que se possa mostrar o comportamento das soluções de equilíbrio à medida que há variação no parâmetro de bifurcação, faz-se uma representação gráfica denominada diagrama de bifurcação. Os diagramas de bifurcação são ferramentas poderosas capazes de identificar os efeitos da variação de na resposta de um sistema, proporcionando uma visão global destes efeitos. Através destes, é possível detectar parâmetros específicos para os quais o sistema exibe comportamento caótico.

Existem diferentes maneiras para se construir um diagrama de bifurcação. Uma delas consiste em simular diferentes valores do parâmetro que está sendo analisado, avaliando o tipo de resposta obtida na seção de Poincaré. Outra técnica visa reduzir um sistema dinâmico na forma normal de uma bifurcação através de uma mudança de coordenadas, porém tal técnica é menos utilizada devido a sua alta complexidade. A figura A.1 é resultado de um método simples de construção de um diagrama de bifurcação, desenvolvido através de um gráfico onde o eixo horizontal é composto pelos valores de ; o eixo vertical corresponde aos valores da variável dependente .

O procedimento para a confecção das linhas do diagrama pode ser resumidamente descrito da seguinte forma: através de uma condição inicial qualquer, gera-se a trajetória correspondente do sistema para cada valor de , marcando no gráfico os valores de presentes na trajetória. Devem ser considerados os últimos pontos da trajetória para que esta esteja no seu estado final, o qual pode ser periódico ou caótico.

Na figura A.1, por exemplo, apenas uma linha surge no diagrama para o intervalo inicial de . Neste caso, as trajetórias se aproximam de um ponto fixo estável, cujo valor está determinado no eixo . No intervalo entre e , a linha do diagrama, que antes era única, sofre uma bifurcação e a trajetória passa a ter período 2. Estas, por sua vez, também bifurcam no intervalo seguinte, e com isso o atrator passa a ter período 4, ou seja, para cada valor de tem-se 4 valores de correspondentes.

Após inúmeras e sucessivas alterações no parâmetro, infinitas bifurcações vão surgindo, formando uma espécie de cascata e os valores de tornam-se cada vez mais próximos. Neste momento, não é mais possível visualizar tais bifurcações, por isso o comportamento do sistema pode alternar entre o estável e o caos, conforme se observa na figura A.2.

Apêndice B

Programas derivada_ok.m e finalderivada_ok.m para a simulação do modelo matemático não autônomo presente no capítulo 5.

derivada_ok.m

% Autor: Cássio Luiz Mozer Belusso

% Dissertação de Mestrado em Modelagem Matemática, UNIJUÍ % Programa desenvolvido em junho de 2010.

%Parâmetros de Simulação

function xdot = derivada_ok(t,x) xdot = zeros(6,1); % Parâmetros de Simulação A=1; %Variar w=2; %Variar rho=pi/9; Kt=45000; %Variar C1=5600; C2=5600; B1=0.85; B2=0.85; Ct=50000; K1=465000; K2=465000; g=9.81; m1=6500; m2=800; L1=0.2; L2=2.4; I1=6850; I2=6250;

% Termos Lineares e Não Lineares

phi1=x(3); phi2=x(5); senphi1=sin(x(3)); senphi2=sin(x(5)); senphi2_phi1=sin(x(5)-x(3)); cosphi1=cos(x(3)); cosphi2=cos(x(5)); cosphi2_phi1=cos(x(5)-x(3)); % Matrizes M1=[m1+m2 -m2*L1*senphi1 -m2*L2*senphi2];

M2=[-m2*L1*senphi1 I1+m2*(L1^2) m2*L1*L2*cosphi2_phi1]; M3=[-m2*L2*senphi2 m2*L1*L2*cosphi2_phi1 I2+m2*(L2^2)]; M=[M1;M2;M3];

inversa=inv(M); s=simplify(inversa);

matriz_C1_1=[0 -m2*L1*cosphi1 -m2*L2*cosphi2]; matriz_C1_2=[0 0 -m2*L1*L2*senphi2_phi1]; matriz_C1_3=[0 -m2*L1*L2*senphi2_phi1 0];

matriz_C1=[matriz_C1_1;matriz_C1_2;matriz_C1_3]; mhi1=s*matriz_C1;

matriz_C2_1=[C1+C2 (C2*B2-C1*B1)*cosphi1 0]; matriz_C2_2=[(C2*B2-C1*B1)*cosphi1 Ct+((C1*B1^2+C2*B2^2)*(cosphi1^2)) -Ct]; matriz_C2_3=[0 -Ct Ct]; matriz_C2=[matriz_C2_1;matriz_C2_2;matriz_C2_3]; mhi2=s*matriz_C2; Q2=simplify(mhi2); matriz_K1_1=[K1+K2 0 0]; matriz_K1_2=[(K2*B2-K1*B1)*cosphi1 Kt -Kt]; matriz_K1_3=[0 -Kt Kt]; matriz_K1=[matriz_K1_1;matriz_K1_2;matriz_K1_3]; mhi3=s*matriz_K1; Q3=simplify(mhi3); matriz_g1_1=[((K2*B2-K1*B1)*senphi1)+((m1+m2)*g)]; matriz_g1_2=[((K1*(B1^2)+K2*(B2^2))*senphi1*cosphi1)-(m2*g*L1*senphi1)]; matriz_g1_3=[-m2*g*L2*senphi2]; matriz_g1=[matriz_g1_1;matriz_g1_2;matriz_g1_3]; g1=s*matriz_g1; Q4=simplify(g1); g2_1=[ K1 ; (-K1)*B1*cosphi1 ; 0 ]; invg2_1=s*g2_1; g2_2=[ K2 ; K2*B2*cosphi1 ;0]; invg2_2=s*g2_2; g2_3=[ C1 ; (-C1)*B1*cosphi1 ; 0]; invg2_3=s*g2_3; g2_4=[ C2 ; C2*B2*cosphi1 ; 0]; invg2_4=s*g2_4; % Equações de Estado xdot(1)=x(2); xdot(2)=(invg2_1(1,1)*A*sin(w*t))+(invg2_2(1,1)*A*sin(w*t+rho))... +(invg2_3(1,1)*A*w*cos(w*t))+(invg2_4(1,1)*A*w*cos(w*t+rho))... -(Q4(1,1))... -(Q3(1,1)*x(1))-(Q3(1,2)*x(3))-(Q3(1,3)*x(5))... -(Q2(1,1)*x(2))-(Q2(1,2)*x(4))-(Q2(1,3)*x(6))... -(Q1(1,1)*(x(2)^2))-(Q1(1,2)*(x(4)^2))-(Q1(1,3)*(x(6)^2)); xdot(3)=x(4); xdot(4)=(invg2_1(2,1)*A*sin(w*t))+(invg2_2(2,1)*A*sin(w*t+rho))... +(invg2_3(2,1)*A*w*cos(w*t))+(invg2_4(2,1)*A*w*cos(w*t+rho))... -(Q4(2,1))... -(Q3(2,1)*x(1))-(Q3(2,2)*x(3))-(Q3(2,3)*x(5))... -(Q2(2,1)*x(2))-(Q2(2,2)*x(4))-(Q2(2,3)*x(6))... -(Q1(2,1)*(x(2)^2))-(Q1(2,2)*(x(4)^2))-(Q1(2,3)*(x(6)^2)); xdot(5)=x(6); xdot(6)=(invg2_1(3,1)*A*sin(w*t))+(invg2_2(3,1)*A*sin(w*t+rho))... +(invg2_3(3,1)*A*w*cos(w*t))+(invg2_4(3,1)*A*w*cos(w*t+rho))... -(Q4(3,1))... -(Q3(3,1)*x(1))-(Q3(3,2)*x(3))-(Q3(3,3)*x(5))... -(Q2(3,1)*x(2))-(Q2(3,2)*x(4))-(Q2(3,3)*x(6))... -(Q1(3,1)*(x(2)^2))-(Q1(3,2)*(x(4)^2))-(Q1(3,3)*(x(6)^2)); end

finalderivada_ok.m

% Autor: Cássio Luiz Mozer Belusso

% Dissertação de Mestrado em Modelagem Matemática, UNIJUÍ % Programa desenvolvido em junho de 2010.

% Condições Iniciais

x=[0 0 0 0 0 0]';

[T,Y]=ode45(@derivada_ok,[0 300],x);

% Figuras da Evolução no Domínio Tempo

figure(1)

plot(T,Y(:,1)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Deslocamento vertical da carreta [m]'); figure(2)

plot(T,Y(:,2)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Velocidade vertical da carreta [m/s]'); figure(3)

plot(T,Y(:,3)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Deslocamento angular da carreta [rad]'); figure(4)

plot(T,Y(:,4)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Velocidade angular da carreta [rad/s]'); figure(5)

plot(T,Y(:,5)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Deslocamento angular da torre [rad]'); figure(6)

plot(T,Y(:,6)); xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Velocidade angular da torre [rad/s]');

% Retratos de Fases

figure(7)

plot(Y(:,1),Y(:,2));

xlabel('Deslocamento vertical da carreta [m]'); ylabel('Velocidade vertical da carreta [m/s]'); figure(8)

plot(Y(:,3),Y(:,4));

xlabel('Deslocamento angular da carreta [rad]'); ylabel('Velocidade angular da carreta [rad/s]'); figure(9)

plot(Y(:,5),Y(:,6));

xlabel('Deslocamento angular da torre [rad]'); ylabel('Velocidade angular da torre [rad/s]');

Apêndice C

Programa pontos_equil_autonomo.m para o cálculo dos pontos de equilíbrio do sistema autônomo presente no capítulo 6.

pontos_equil_autonomo.m

% Autor: Cássio Luiz Mozer Belusso

% Dissertação de Mestrado em Modelagem Matemática, UNIJUÍ % Programa desenvolvido em março de 2011.

clear all, close all

% Variáveis syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 % Parâmetros de Simulação A=0.5; w=2; rho=pi/9; m1=6500; m2=800; L1=0.2; L2=2.4; I1=6850; I2=6250; C1=5600; C2=5600; B1=0.85; B2=0.85; Ct=50000; K1=465000; K2=465000; g=9.81; Kt=45000; phi1=x3; phi2=x5; senphi1=sin(x3); senphi2=sin(x5); senphi2_phi1=sin(x5-x3); cosphi1=cos(x3); cosphi2=cos(x5); cosphi2_phi1=cos(x5-x3); % Matrizes M1=[m1+m2 -m2*L1*senphi1 -m2*L2*senphi2];

M2=[-m2*L1*senphi1 I1+m2*(L1^2) m2*L1*L2*cosphi2_phi1]; M3=[-m2*L2*senphi2 m2*L1*L2*cosphi2_phi1 I2+m2*(L2^2)]; M=[M1;M2;M3];

inversa=inv(M); s=simplify(inversa);

matriz_C1_1=[0 -m2*L1*cosphi1 -m2*L2*cosphi2]; matriz_C1_2=[0 0 -m2*L1*L2*senphi2_phi1]; matriz_C1_3=[0 -m2*L1*L2*senphi2_phi1 0];

matriz_C1=[matriz_C1_1;matriz_C1_2;matriz_C1_3]; mhi1=s*matriz_C1;

matriz_C2_1=[C1+C2 (C2*B2-C1*B1)*cosphi1 0]; matriz_C2_2=[(C2*B2-C1*B1)*cosphi1 Ct+((C1*B1^2+C2*B2^2)*(cosphi1^2)) -Ct]; matriz_C2_3=[0 -Ct Ct]; matriz_C2=[matriz_C2_1;matriz_C2_2;matriz_C2_3]; mhi2=s*matriz_C2; Q2=simplify(mhi2); matriz_K1_1=[K1+K2 0 0]; matriz_K1_2=[(K2*B2-K1*B1)*cosphi1 Kt -Kt]; matriz_K1_3=[0 -Kt Kt]; matriz_K1=[matriz_K1_1;matriz_K1_2;matriz_K1_3]; mhi3=s*matriz_K1; Q3=simplify(mhi3); matriz_g1_1=[((K2*B2-K1*B1)*senphi1)+((m1+m2)*g)]; matriz_g1_2=[((K1*(B1^2)+K2*(B2^2))*senphi1*cosphi1)-(m2*g*L1*senphi1)]; matriz_g1_3=[-m2*g*L2*senphi2]; matriz_g1=[matriz_g1_1;matriz_g1_2;matriz_g1_3]; g1=s*matriz_g1; Q4=simplify(g1); g2_1=[ K1 ; (-K1)*B1*cosphi1 ; 0]; invg2_1=s*g2_1; g2_2=[ K2 ; K2*B2*cosphi1 ; 0]; invg2_2=s*g2_2; g2_3=[ C1 ; (-C1)*B1*cosphi1 ; 0]; invg2_3=s*g2_3; g2_4=[ C2 ; C2*B2*cosphi1 ; 0]; invg2_4=s*g2_4; x9=cos(rho)*x7+(sin(rho)/w)*x8;% sin(wt+rho) x10=cos(rho)*x8-w*sin(rho)*x7; % cos(wt+rho) % Equações de Estado F=x2; G=(invg2_1(1,1)*A*x7)+(invg2_2(1,1)*A*x9)+(invg2_3(1,1)*A*x8)... +(invg2_4(1,1)*(A/w)*x10)... -(Q4(1,1))-(Q3(1,1)*x1)-(Q3(1,2)*x3)-(Q3(1,3)*x5)... -(Q2(1,1)*x2)-(Q2(1,2)*x4)-(Q2(1,3)*x6)... -(Q1(1,1)*(x2^2))-(Q1(1,2)*(x4^2))-(Q1(1,3)*(x6^2)); H=x4; I=(invg2_1(2,1)*A*x7)+(invg2_2(2,1)*A*x9)+(invg2_3(2,1)*A*x8)... +(invg2_4(2,1)*A*x10)... -(Q4(2,1))-(Q3(2,1)*x1)-(Q3(2,2)*x3)-(Q3(2,3)*x5)... -(Q2(2,1)*x2)-(Q2(2,2)*x4)-(Q2(2,3)*x6)... -(Q1(2,1)*(x2^2))-(Q1(2,2)*(x4^2))-(Q1(2,3)*(x6^2)); J=x6; K=(invg2_1(3,1)*A*x7)+(invg2_2(3,1)*A*x9)+(invg2_3(3,1)*A*x8)... +(invg2_4(3,1)*A*x10)... -(Q4(3,1))-(Q3(3,1)*x1)-(Q3(3,2)*x3)-(Q3(3,3)*x5)... -(Q2(3,1)*x2)-(Q2(3,2)*x4)-(Q2(3,3)*x6)... -(Q1(3,1)*(x2^2))-(Q1(3,2)*(x4^2))-(Q1(3,3)*(x6^2)); L=x8; M=-(w^2)*x7;

% Vetor das Equações

Dz=[F;G;H;I;J;K;L;M];

% Derivadas

dFdx1=diff(F,x1); dFdx2=diff(F,x2); dFdx3=diff(F,x3); dFdx4=diff(F,x4); dFdx5=diff(F,x5); dFdx6=diff(F,x6); dFdx7=diff(F,x7); dFdx8=diff(F,x8); dGdx1=diff(G,x1); dGdx2=diff(G,x2); dGdx3=diff(G,x3); dGdx4=diff(G,x4); dGdx5=diff(G,x5); dGdx6=diff(G,x6); dGdx7=diff(G,x7); dGdx8=diff(G,x8); dHdx1=diff(H,x1); dHdx2=diff(H,x2); dHdx3=diff(H,x3); dHdx4=diff(H,x4); dHdx5=diff(H,x5); dHdx6=diff(H,x6); dHdx7=diff(H,x7); dHdx8=diff(H,x8); dIdx1=diff(I,x1); dIdx2=diff(I,x2); dIdx3=diff(I,x3); dIdx4=diff(I,x4); dIdx5=diff(I,x5); dIdx6=diff(I,x6); dIdx7=diff(I,x7); dIdx8=diff(I,x8); dJdx1=diff(J,x1); dJdx2=diff(J,x2); dJdx3=diff(J,x3); dJdx4=diff(J,x4); dJdx5=diff(J,x5); dJdx6=diff(J,x6); dJdx7=diff(J,x7); dJdx8=diff(J,x8); dKdx1=diff(K,x1); dKdx2=diff(K,x2); dKdx3=diff(K,x3); dKdx4=diff(K,x4); dKdx5=diff(K,x5); dKdx6=diff(K,x6); dKdx7=diff(K,x7); dKdx8=diff(K,x8); dLdx1=diff(L,x1); dLdx2=diff(L,x2); dLdx3=diff(L,x3); dLdx4=diff(L,x4); dLdx5=diff(L,x5); dLdx6=diff(L,x6); dLdx7=diff(L,x7); dLdx8=diff(L,x8); dMdx1=diff(M,x1); dMdx2=diff(M,x2); dMdx3=diff(M,x3); dMdx4=diff(M,x4); dMdx5=diff(M,x5); dMdx6=diff(M,x6); dMdx7=diff(M,x7); dMdx8=diff(M,x8);

% Matriz Jacobiana

D2z=[dFdx1 dFdx2 dFdx3 dFdx4 dFdx5 dFdx6 dFdx7 dFdx8; dGdx1 dGdx2 dGdx3 dGdx4 dGdx5 dGdx6 dGdx7 dGdx8; dHdx1 dHdx2 dHdx3 dHdx4 dHdx5 dHdx6 dHdx7 dHdx8; dIdx1 dIdx2 dIdx3 dIdx4 dIdx5 dIdx6 dIdx7 dIdx8; dJdx1 dJdx2 dJdx3 dJdx4 dJdx5 dJdx6 dJdx7 dJdx8; dKdx1 dKdx2 dKdx3 dKdx4 dKdx5 dKdx6 dKdx7 dKdx8; dLdx1 dLdx2 dLdx3 dLdx4 dLdx5 dLdx6 dLdx7 dLdx8; dMdx1 dMdx2 dMdx3 dMdx4 dMdx5 dMdx6 dMdx7 dMdx8]; % Condições Iniciais x0=[0;0;0;0;0;0;1;1]; % Número de Iterações N=10;

% Cálculo do Ponto de Equilíbrio

for i=1:N Dz0=subs(Dz,[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8],[x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5), x0(6),x0(7),x0(8)]); D2z0=subs(D2z,[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8],[x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5), x0(6),x0(7),x0(8)]); xnew=x0-inv(D2z0)*Dz0; x0=xnew; end % Ponto de Equilíbrio xmax = xnew

Apêndice D

Publicações do Autor

1. Artigo completo aceito para publicação no periódico internacional Journal of Computational and Nonlinear Dynamics.

BELUSSO, Cássio Luiz Mozer; DOICO, Cíntia Morgana; FELIX, Jorge Luis Palacios; BALTHAZAR, José Manoel. On the Appearance of Regular and Chaotic Motions, in the Tower Orchard Sprayer, Modelled by an Inverted Pendulum with Vehicular Suspension.

2. BELUSSO, Cássio Luiz Mozer; DOICO, Cíntia Morgana; FELIX, Jorge Luis Palacios; BALTHAZAR, José Manoel. Dinâmica Caótica do Sistema Pulverizador-Torre com Suspensão Veicular. In: 9th Brazilian Conference on Dynamics, Control and their Applications, 2010, Serra Negra - SP. Anais do DINCON, 2010. p. 487-495.

3. BELUSSO, Cássio Luiz Mozer; FELIX, Jorge Luis Palacios. Dinâmica Caótica de Um Sistema Pêndulo Invertido com Suspensão Veicular. In: XXXIII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, 2010, Águas de Lindóia - SP. Anais do CNMAC, 2010. v. 3. p. 952-953.