Estacionariedade e cointegração

Para que os resultados obtidos a partir do modelo Vector Autoregression (VAR)

sejam válidos as séries de dados utilizadas devem ser estacionárias. Como destaca Enders (1995), nas análises utilizando-se o VAR assume-se que as variáveis são estacionárias.

Assim, o primeiro passo para o emprego deste modelo é verificar se as séries são estacionárias e obter sua ordem de integração, o que pode ser realizado pelo teste de raiz unitária Dickey-Fuller Aumentado (ADF) ou pelo teste de estacionariedade KPSS.

Pelo procedimento padrão, utiliza-se o modelo VAR com as variáveis em nível quando as séries são estacionarias e utilizar o VAR em primeiras diferenças quando as séries são não estacionárias em nível e não são cointegradas. Porém, quando as séries são não estacionárias e cointegradas deve-se utilizar o modelo VAR com correção de erro, denominado modelo Vetorial de Correção de Erro (VEC).

De acordo com Gujarati (2000), regressões entre séries temporais não estacionárias não geram resultados estatísticos confiáveis uma vez que, mesmo para grandes amostras, as distribuições da série não seguem as distribuições t e F, sendo as regressões estimadas

espúrias, com tendência a apresentarem altas estatísticas t e F e alto coeficiente de

determinação, mesmo não existindo relações econômicas entre as variáveis. No entanto, mesmo sendo as séries não estacionárias, os coeficientes e os testes estatísticos t e F da

regressão são confiáveis caso as séries sejam integradas de mesma ordem e sincronizadas, ou seja, cointegradas.

A grande vantagem desse resultado é que mesmo séries com raízes unitárias podem ser trabalhadas em nível, mantendo-se assim as informações de longo prazo, pois, caso

contrário, seria necessário estimar regressões em diferenças, trabalhando-se com informações de curto prazo.

Entre os testes utilizados para determinação da ordem de integração das séries, tem- se o teste de raiz unitária Dickey-Fuller Aumentado (ADF), que difere do teste Dickey- Fuller (DF) por incorporar na equação de teste defasagens para eliminação do problema de autocorrelação dos resíduos. A equação de teste de raiz unitária, em sua forma completa, com os componentes intercepto e tendência, é representada por:

t m i i t i t t t Y Y Y = β + β + δ +α Δ +ε Δ

∑

= − − 1 1 2 1 (54)

em que Δ é o operador de diferença da variável em estudo, no caso Y_t; β₁ eβ₂ , os parâmetros intercepto e tendência, respectivamente; δ , o parâmetro da variável defasada;

∑

= − Δ m i i t i Y 1

α , o termo de diferenças defasadas para evitar e retirar problemas de autocorrelações existentes nos resíduos, cujas defasagens podem ser indicadas por critérios de informação univariados; e ε_t, o erro aleatório.

O teste ADF é utilizado para analisar a significância estatística do parâmetro δ , estimado na equação (54), da seguinte forma:

0 : 0 : 1 1 0 0 ≠ = δ δ H H (55)

De acordo com Enders (1995), caso a hipótese nula testada seja rejeitada, isto é, se a estatística τ (tau) calculada for tal que τ >τ_τ , em valor absoluto maior que a estatística tabelada (τ_τ), conclui-se que a série não possui raiz unitária, sendo estacionária.

Entretanto, caso a hipótese nula não for rejeitada, ou seja, τ <τ_τ , deve-se analisar a significância estatística dos termos intercepto e tendência determinística na equação de teste, uma vez que o teste de raiz unitária é sensível à presença desses termos. Para a equação de teste, com intercepto e sem tendência, a estatística tabelada passa a ser a τ_μ, e para a equação sem intercepto e sem tendência, τ (ENDERS, 1995).

Porém o teste ADF tende a não rejeitar a hipótese nula de existência de raiz unitária em séries econômicas, possuindo baixo poder de teste (BUENO, 2008). Por isso, segundo esse autor, vêm-se desenvolvendo novos testes, como o KPSS4 (KWIATKOWSKI et al., 1992). Conforme Vieira (1995), por exemplo, para raízes próximas de 1, esses testes

4

tendem frequentemente a indicar existência de raiz unitária nas séries. No teste KPSS, a hipótese nula é de que a série é estacionária, testando a variância de passeio aleatório. Caso a variância seja nula, a série é estacionária (BUENO, 2008).

Conforme Bueno (2008), o teste pode ser entendido a partir da equação:

t t t x u

y = + (56)

em que x_t =x_t−1 +v_t, )v_t ~i.i.d.(0,σ2 (independentes e igualmente distribuídos) e u um _t

processo estacionário x . A equação de teste pode incorporar também os termos constante _t

e tendência; logo:

t t

t t x u

y =β₁ +β₂ + + (57)

em que β₁ eβ₂ são os parâmetros de intercepto e tendência. Então, testa-se a variância de passeio aleatório na forma:

0 : 0 : 2 1 2 0 > = σ σ H H (58)

Caso não se rejeite a hipótese nula, a série é estacionária, ou seja, não se rejeita a hipótese nula: H₀ : y_t ~ I(0)contra a hipótese alternativa: H_a :y_t ~ I(1).

Confirmada a hipótese de não estacionariedade da série, esta deve ser diferenciada e testada novamente, sendo realizadas d diferenciações até que o teste de raiz unitária ou de não estacionariedade sejam rejeitados, em que a ordem de integração da série seja indicada por I(d).

Caso as variáveis sejam estacionárias, I(0), deve-se estimar o modelo VAR com as variáveis em nível; se não estacionárias e não cointegradas, deve-se utilizar o modelo VAR em diferenças; e se não estacionárias e cointegradas, o modelo indicado é o de VEC.

Assim, sendo as séries não estacionárias deve-se realizar um teste de cointegração para definir o modelo vetorial a ser estimado: VAR em primeiras diferenças ou VEC. Para isso, pode-se utilizar o teste de cointegração de Johansen (1988) e Johansen e Juselius (1990). O primeiro passo para verificar a cointegração entre séries de dados é observar a ordem de integração das séries, I(d), pois, segundo Enders (1995), caso as variáveis sejam integradas de diferentes ordens, elas não são cointegradas.

Pela definição de cointegração, o vetor y_t =(y_1t,y_2t,...,y_nt)' é dito cointegrado de ordem d, b, denotado por yt ~CI(d,b), se todas as variáveis pertencentes ao vetor y t forem integradas de ordem d, I(d), e existe um vetor β =(β₁,β₂,...,β_n) tal que a combinação linear βy_t =(β₁y_1t +β₂y_2t +...+β_ny_nt) é integrada de ordem (d-b), em que b>0 e β é o vetor de cointegração (ENDERS, 1995).

O modelo de teste de cointegração de Johansen (1988) e Johansen e Juselius (1990) parte da versão reparametrizada de um modelo VAR (p), dado em termos de diferença na forma: t t t p t p t t y y y d e y =ΓΔ + +Γ Δ +Π + + Δ 1 ₋1 ... ₋1 _{− +}1 ₋1 ϕ (59) sendo

∑

+ = − = Γ p i j j i 1 θ e ( ) 1 1

∑

∑

= = − − = − = Π p i i k p i i I I θ

θ , em que y é um vetor de k variáveis; _t

p, a defasagem; Δ , o operador de diferenças; et ~ N(0,

∑

); e dt, um vetor de variáveis exógenas (ENDERS, 1995).

O teste de cointegração consiste em testar o número de raízes características diferentes de zero na matriz Π , o que pode ser realizado aplicando o teste estatístico do traço, λtraço, e do autovalor, λmax, comparando o valor do logaritmo da função de

verossimilhança do modelo com restrição e sem restrição (ENDERS, 1995).

Caso o rank(Π) seja igual a k (rank(Π)=k), existem k combinações lineares estacionárias entre as variáveis, sendo as linhas de Π linearmente independentes e as variáveis estacionárias; se rank(Π) =0, não existe relação de cointegração; por fim, caso

k r rank Π = <

< ( )

0 , há 0 < r < k combinações lineares independentes estacionárias, ocorrendo r relações de cointegração, sendo r o número de raízes características diferentes de zero, s=k-r combinações lineares não estacionárias e Πy_t−1 combinações lineares estacionárias (ENDERS, 1995).

Entretanto, para se utilizar o modelo VEC, as séries devem ser não estacionárias, integradas de mesma ordem e cointegradas. Segundo Enders (1995), para haver cointegração, todas as séries devem ser integradas de mesma ordem; caso estas sejam integradas de diferentes ordens, elas não podem ser cointegradas.

Assim, quando em um conjunto de séries pelo menos uma é não estacionária, as diferenças são indicadas, porque uma das pressuposições do modelo VAR é de que as variáveis sejam todas estacionárias. Todavia, ao contrário das séries em nível, as diferenças perdem as informações de longo prazo. Com o objetivo de superar o referido problema, pode-se utilizar o modelo VEC. Esse modelo, embora estimado com as séries em

diferenças, possui um vetor que recupera as informações de longo prazo perdidas com a diferenciação.

No entanto, como ressaltam Schmidt e Lima (2004), a análise de cointegração é geralmente aplicada apenas quando as séries são não estacionárias e com mesma ordem de integração. Segundo esses autores, Rahbek e Mosconi (1999) mostraram que, mesmo quando algumas variáveis sejam não estacionárias de mesma ordem de integração (N) e outras estacionárias (M), os resultados dos testes envolvendo análises de cointegração podem não se alterar, desde que a maioria do conjunto das variáveis sejam não estacionárias e de mesma ordem de integração (M<N).

No documento Transmissão de preços e da volatilidade na comercialização da carne suína (páginas 56-60)