O filtro de Kalman ilustrado no diagrama de blocos da Figura 5.1 consiste de um algoritmo usado para estimar a TCO ( ˆR) e a concentração de OD ( ˆc), baseado no modelo linear do sistema em espaço de estados, nas medições de concentração de OD e na entrada do sistema (Brown et al. 1992).
O modelo linear em espaço de estados pode ser obtido a partir de (3.5), (3.7) e (5.1), como segue: x(k) = Fx(k − 1) + Gu(k − 1) + w(k − 1), (5.13) y(k) = Hx(k) + v(k), (5.14) com x(k) = c(k) R(k) y(k) , (5.15) F = 1 −h 0 0 1 0 h τy 0 1 − h τy , (5.16) G = hKmax 0 0 , (5.17) H =0 0 1 . (5.18)
O termo v descreve um ruído de medição com média zero e variância σ2y e o vetor w descreve um ruído de processo Gaussiano com média zero e matriz de covariância Q dada por Q = σ2c 0 0 0 σ2R 0 0 0 σ2y . (5.19)
5.4. SÍNTESE DO CAPÍTULO 33
O procedimento para a estimação dos estados usando o filtro de Kalman pode ser descrito pela alternância de duas fases: “predição” e “correção”.
Na fase de “predição”, os estados e a covariância do erro são preditos, usando os valores do passo anterior, respectivamente como:
ˆxk/k−1= Fˆxk−1/k−1+ Gu(k − 1), (5.20) Pk/k−1= FPk−1/k−1FT + Q. (5.21)
Na fase de “correção”, o ganho ótimo do filtro de Kalman é calculado e usado com os valores oriundos da medição e da fase de “predição” para atualizar os estados e a covariância do erro, respectivamente como:
Kk= Pk/k−1HT(HPk/k−1HT+ σ2y)−1, (5.22) ˆxk/k= ˆxk/k−1+ Kk(y(k) − Hˆxk/k−1), (5.23)
Pk/k= (I − KkH)Pk/k−1. (5.24)
O desempenho do filtro de Kalman depende principalmente da variância do ruído de medição σ2y e da variância do ruído de processo σ2R, na matriz de covariância Q. A pri- meira pode ser encontrada por meio do processamento dos dados de medição do sensor de OD, entretanto, a determinação da segunda não é direta e, em geral, seu valor é escolhido empiricamente.
Valores elevados para os elementos diagonais de Q fazem com que o filtro de Kal- man seja capaz de rastrear mudanças repentinas nos estados, resultando em um tempo de resposta mais curto. Entretanto, valores muito grandes podem resultar em variações desnecessárias nos estados estimados e, portanto, em um aumento dos efeitos do ruído (aumento da incerteza).
Por outro lado, valores muito pequenos para esses elementos diagonais resulta em um rastreamento mais lento (aumento no tempo de resposta), mas reduz os efeitos do ruído.
A escolha desses valores, em geral, tem que ser testada considerando o compromisso entre sensibilidade a mudanças repentinas no mensurando e rejeição de ruído.
No presente caso, um valor suficientemente elevado de σ2R na matriz Q pode ser es- colhido para que o filtro seja capaz de rastrear variações abruptas da TCO em testes res- pirométricos usando compostos orgânicos prontamente biodegradáveis. Por outro lado, um pequeno valor de σ2R pode ser escolhido durante a operação regular de uma estação de tratamento de águas residuais, onde é esperado que a TCO não varie rapidamente, de modo a reduzir os ruídos de medição e estimação dos estados.
5.4
Síntese do capítulo
Nesse capítulo foi apresentado o método proposto para o controle da concentração de OD e os procedimentos adotados para o projeto do controlador proporcional.
34CAPÍTULO 5. CONTROLE DA CONCENTRAÇÃO DE OD E ESTIMAÇÃO DA TCO
Também foi proposto e apresentado um método para a estimação da taxa de consumo de oxigênio baseado no filtro de Kalman.
No capítulo seguinte serão apresentadas as simulações e os experimentos e serão dis- cutidos os resultados obtidos.
Capítulo 6
Resultados e Discussões
Nesse capítulo serão apresentadas algumas simulações utilizadas para comparar o mé- todo proposto com o método padrão e o método PWM, e avaliar o desempenho de cada um deles.
Também serão descritos alguns experimentos que foram utilizados para a validação do modelo proposto para a função transferência de oxigênio. E finalmente, serão apresen- tados os resultados experimentais utilizados para avaliar o desempenho do controlador e do método de estimação proposto em um sistema real.
6.1
Resultados de simulação
Nesta seção, os resultados de simulação são apresentados para avaliar o método pro- posto para o controle da concentração de OD e estimação da TCO, o qual está represen- tado na Figura 5.1.
Os resultados obtidos são compatíveis com os obtidos em Catunda et al. (1999) e com o método padrão para cálculo da TCO, descrito na seção 4.3, evidenciando as vantagens do método proposto.
Os valores para os parâmetros usados na simulação são mostrados na Tabela 6.1 e estão de acordo com os dados observados no sistema real.
Tabela 6.1: Parâmetros de simulação.
Parâmetro Valor Parâmetro Valor
csat 8 mg/l Kp 3.6
Kmax 25 h-1 P0 0.1I3
τy 10 s σc 0.005 mg/l
yre f 2.5 mg/l σR 1 mg/l/h
h 1 s σy 0.015 mg/l
Na Tabela 6.1, o controlador Kpfoi calculado usando (5.10), o período de amostragem e do sinal PWM foram definidos para 1 s. A matriz I3 representa uma matriz identidade 3x3. O valor de σc não pode ser medido e foi assumido ser igual a um terço de σy.
36 CAPÍTULO 6. RESULTADOS E DISCUSSÕES
A escolha da matriz de covariância do processo Q, particularmente o parâmetro σ2R, representa um compromisso entre o ruído obtido na estimação da TCO e o tempo de resposta do filtro. Um valor muito pequeno para σ2R resulta em uma TCO estimada com baixo nível de ruído e um tempo de resposta mais longo, e possivelmente em um erro na estimação, uma vez que o filtro de Kalman não será capaz de seguir as variações reais da TCO.
Por outro lado, um valor muito grande de σ2R resulta em estimativas da TCO mais ruidosas e um tempo de resposta mais curto.
As curvas na Figura 6.1, obtidas por simulação, ilustram esse compromisso e foram consideradas na escolha do valor de σR usado no filtro de Kalman. Nela, é possível observar a relação entre σRe o desvio padrão da TCO estimada pelo filtro de Kalman (σRˆ) por meio da reta em cor preta. Também é possível observar, na mesma figura, a relação entre σRe o tempo de resposta obtido com o filtro de Kalman (curva de cor âmbar), para uma mudança do tipo degrau no valor atual da TCO.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 R (mg/l/h) ^ R (m g /l /h ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 T em po de re sposta (s)
Figura 6.1: Relação entre os valores de σR e o desvio padrão da TCO estimada (σRˆ) (preto) e o tempo de resposta da estimação da TCO (âmbar) para uma mudança do tipo degrau no valor atual da TCO.
O método proposto foi simulado, juntamente com o método padrão e o método pro- posto em Catunda et al. (1999) (método PWM), ambos descritos no capítulo 2, sob as mesmas condições e usando os valores da Tabela 6.1.
O tempo total de simulação foi 60 min e a TCO foi simulada como uma função pulso, com um valor inicial de 20 mg/l/h e um aumento e diminuição abruptos de 30 mg/l/h aos 20 min e 40 min, respectivamente.
6.1. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 37
definidas como 2 e 3 mg/l, respectivamente. Os resultados de simulação podem ser ob- servados na Figura 6.2. Os gráficos na parte superior apresentam os valores medidos de concentração de OD para os métodos padrão (ysm) e PWM (yf b), e o valor de concentra- ção de OD estimado pelo método proposto (ck f). Os gráficos na parte inferior apresentam a TCO verdadeira (R) e a TCO estimada pelos métodos padrão ( ˆRsm), PWM ( ˆRf b) e pro- posto ( ˆRk f). 0 10 20 30 40 50 60 Tempo (min) 2 2.5 3 Concentra ção de OD (m g/l) y sm yfb ckf 0 10 20 30 40 50 60 Tempo (min) 10 20 30 40 50 60 T CO (m g/l/h) ^ Rf b ˆ Rkf R ˆ Rsm
Figura 6.2: Resultados de simulação. Parte superior: concentração de OD medida para os métodos padrão (ysm) e PWM (yf b), e concentração de OD estimada ( ˆck f). Parte inferior: TCO verdadeira (R) e TCO estimada pelos métodos padrão ( ˆRsm), proposto ( ˆRkf), e PWM ( ˆRfb).
A partir dos resultados apresentados na Figura 6.2, para o método padrão, é possí- vel observar o típico perfil dente de serra da concentração de OD. O intervalo para a estimação da TCO e a incerteza variam de acordo com o valor atual da TCO: cerca de 300 s (5 minutos) com σRˆ ≈ 0.06 mg/l/h para R = 20 mg/l/h, e 150 s (2.5 minutos) com σRˆ ≈ 0.4 mg/l/h para R = 50 mg/l/h.
Para os métodos PWM e proposto, o intervalo para a estimação da TCO é fixo e igual ao intervalo de amostragem, isto é 1 s no presente caso. Ambos os métodos apresentaram aproximadamente o mesmo tempo de resposta (dentro da faixa de 2% do valor final) e a mesma constante de tempo, cerca de 150 s e 40 s, respectivamente. Entretanto, o método proposto apresentou uma incerteza na estimação da TCO menor que o método
38 CAPÍTULO 6. RESULTADOS E DISCUSSÕES
PWM: cerca de 0.7 mg/l/h contra 1.3 mg/l/h, o que corresponde, aproximadamente, a uma redução pela metade.
Além disso, o método proposto é capaz de estimar a concentração de OD com uma incerteza menor que a medição realizada pelo método PWM: cerca de 0.007 mg/l contra 0.015 mg/l, o que também corresponde, aproximadamente, a uma redução pela metade. Um sumário com os resultados de simulação está apresentado na Tabela 6.2.
Tabela 6.2: Sumário dos resultados de simulação.
Parâmetro Método Proposto PWM Padrão σRˆ (mg/l/h) 0.7 1.3 0.06 – 0.4 σcˆ (mg/l) 0.007 0.015 0.015 Intervalo de amostragem (s) 1 1 150 - 300 Tempo de resposta (s) 150 150 150 - 300
6.2
Resultados experimentais
Nessa seção serão apresentados a composição experimental e os procedimentos utili- zados para os testes de validação do modelo da função de transferência de oxigênio apre- sentado na seção 3.2. Também serão apresentados os procedimentos e os testes realizados para a estimação da taxa de consumo de oxigênio.
Os resultados obtidos com os testes também serão apresentados e discutidos.
6.2.1
Composição experimental
Uma visão esquemática da composição experimental usada nos experimentos está re- presentada na Figura 6.3. Ela consiste de um reator de 6 litros, um agitador, uma bomba de aquário (aerador), um controlador, um sensor de oxigênio dissolvido, e um computa- dor.
O controlador mantém o agitador ligado, para garantir uma mistura homogênea den- tro do reator em termos de oxigênio e microrganismos (principalmente bactérias, fungos e protozoários), enquanto aciona a bomba de aquário de acordo com as medições da con- centração de oxigênio dissolvido obtidas por meio do sensor de OD. Um difusor de ar é usado para melhorar o processo de transferência de oxigênio para a fase líquida.
O computador, conectado ao controlador, coleta os dados de concentração de OD e executa os algoritmos para o controle da concentração de oxigênio dissolvido e para a estimação do coeficiente de transferência de oxigênio e da TCO.
6.2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 39