Estimativa do Fluxo de Calor e dos Parˆ ametros Envolvidos na

7.3 Problema Inverso

7.3.2 Estimativa do Fluxo de Calor e dos Parˆ ametros Envolvidos na

volvidos na Formula¸c˜ao

Observa-se na figura 7.17 a solu¸cão exata e o estado inicial para estimativa do fluxo de calor para uma fun¸cão rampa. A informa¸cão a priori adotada foi uma fun¸cão constante com valor inicial de 50% do valor máximo esperado.

FUNC¸ ˜AO RAMPA

Como o algoritmo de Metropolis-Hastings necessita calcular o problema direto várias vezes, foi utilizado o método de parâmetros concentrados na solu¸cão do problema inverso, objetivando redu¸cão no tempo computacional.

Na estimativa da fun¸c˜ao foi realizado o acompanhamento de quatro cadeias para avaliar a convergˆencia da estimativa para τ = 32, τ = 64, τ = 96 e τ = 128.

Observa-se nas figuras 7.18, 7.19, 7.20 e 7.21 o acompanhamento de algumas cadeias e a distribui¸c˜ao a posteriori do fluxo de calor para a fun¸c˜ao rampa.

Figura 7.18: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 32) - Rampa

Figura 7.20: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 96) - Rampa

Figura 7.21: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 128) - Rampa Para a estimativa da fun¸c˜ao rampa foram adotados 30.000 estados.

A convergência da cadeia foi alcan¸cada após 10.000 a qual representa o aquecimento da cadeia. A média e o desvio padrão da cadeia foram obtidas desprezando as amostras de aquecimento. O valor adotado para o aquecimento foi estabelecido a partir de observa¸cões nas cadeias e escolhido de modo a atender a totalidade das cadeias estimadas.

Foi realizada a estimativa e avalia¸cão do parâmetro de regulariza¸cão ψreg no

problema inverso em termos de distribui¸cões de Rayleigh e os valores dos números de Biot Bi e Bisup com distribui¸cões gaussianas com médias em µBi=0,01941 e

µBisup=0,06795, com 3% de desvio padr˜ao.

Nas figuras 7.22, 7.23 e 7.24 podem ser observados as cadeias e as distribui¸c˜oes a posteriori dos parˆametros estimados simultaneamente com o fluxo de calor.

Figura 7.22: Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Rampa

Figura 7.24: Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Rampa

Na tabela abaixo pode-se observar os resultados de todas as estimativas realizadas para a fun¸c˜ao rampa.

Tabela 7.6: Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Rampa.

Tempo de CPU 15,91 segundos Estados Totais 30.000 Estados Aceitos 8.985

Aceita¸c˜ao (%) 29,95% Aquecimento 10.000 Valor Esperado ψreg 0,00001

Valor Inicial ψreg 0,00002

Valor M´edio Estimado ψreg 0,00000949

Desvio Padr˜ao para ψreg 0,00000743

Valor Esperado Bi 0,01941 Valor Inicial Bi 0,00971 Valor M´edio Estimado Bi 0,01930 Desvio Padr˜ao paraBi 0,00056 Valor Esperado Bisup 0,06795

Valor Inicial Bisup 0,03397

Valor M´edio Estimado Bisup 0,06673

Desvio Padr˜ao para Bisup 0,00173

Considerando os resultados das estimativas para a fun¸cão rampa, observou-se que o método de inferência foi capaz de estimar a fun¸cão fluxo de calor, o parâmetro de regulariza¸cão e os números de Biot envolvidos no problema, convergindo para a solu¸cão esperada com diferentes valores iniciais adotados.

Na figura 7.25 pode-se verificar a solu¸cão exata do fluxo de calor, a fun¸cão que representa a informa¸cão inicial para estimativa e os valores estimados com o intervalo de confian¸cão de 99%.

Na Figura 7.26 pode-se verificar que o método apresentou boa estimativa na recupera¸cão do campo de temperatura para fun¸cão rampa.

Figura 7.25: Estimativa do Fluxo de Calor - Rampa

FUNC¸ ˜AO DEGRAU

A robustez e as limita¸cões do método de inferência usada na estimativa do fluxo de calor foram verificadas com o uso de uma fun¸cão com perfil de um degrau, apresentando uma descontinuidade na metade do tempo avaliado, com valores de fluxo de calor adimensional de Q = 4, 30092 para 0 < τ ≤ τf inal/2 e Q = 0, 43009

para o intervalo τf inal/2 < τ < τf inal.

Na figura 7.27, pode ser observado a fun¸c˜ao exata a ser estimada que serviu como base para simular as medidas de temperatura e a informa¸c˜ao inicial.

Em fun¸cões que apresentam descontinuidades, como a fun¸cão degrau, a sua estimativa torna-se mais dif´ıcil. A informa¸cão a priori utilizada para o processo iterativo foi um vetor com valor constante igual a 30% do valor máximo do fluxo adimensional exato.

Para a estimativa da fun¸cão Degrau novamente foi usado o método de parâmetros concentrado na solu¸cão do problema direto.

Figura 7.27: Fluxo Exato e Estado Inicial - Degrau

Pode-se observar nas figuras 7.28, 7.29, 7.30 e 7.31 o acompanhamento das cadeias de Markov e as distribui¸c˜oes a posteriori para os tempos adimensionais τ = 32, τ = 64, τ = 96 e τ = 128, respectivamente.

Foram adotados 100.000 estados para a estimativa da fun¸c˜ao degrau com um per´ıodo de aquecimento de 40.000 estados.

A Inferência Bayesiana realizou uma boa estimativa, convergindo para uma solu¸cão esperada na fun¸cão degrau.

Figura 7.28: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 32) - Degrau

Figura 7.30: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 96) - Degrau

Assim como na fun¸cão rampa, todos os parâmetros existentes na formula¸cão do problema inverso foram estimados simultaneamente com o fluxo de calor na estimativa da fun¸cão degrau. A informa¸cão a priori para o parâmetro de regulariza¸cão (ψreg) foi em termos de distribui¸cão de Rayleigh e os números de Biot gaussianas.

Nas figuras 7.32, 7.33 e 7.34 podem ser observadas as cadeias e a distribui¸cão a posteriori do parâmetro de regulariza¸cão (ψreg), os números de Biot (Bi) e (Bisup),

respectivamente.

Figura 7.32: Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Degrau

Figura 7.34: Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Degrau

Figura 7.35: Estimativa do Fluxo de Calor - Degrau

Mesmo com as dificuldades de estimativa que a fun¸cão degrau apresenta devido a descontinuidade e uso de uma informa¸cão a priori pouco informativa, pode-se observar na figura 7.35 que a forma funcional do fluxo de calor foi recuperada, comprovando que Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov é uma ferramenta viável para estimativa de fun¸cões. Pode-se observar na figura 7.35 o intervalo de confian¸ca de 99% para a fun¸cão estimada.

Figura 7.36: Estimativa do Campo de Temperatura - Degrau

Na figura 7.36, pode-se observar o campo de temperatura exato, as medidas de temperatura simuladas e as temperaturas estimadas pela solu¸cão do problema inverso para fun¸cão degrau, apresentaram uma boa concordância com o perfil esperado.

Na tabela abaixo (Tabela7.7), pode-se observar os resultados de todas as estimativas realizadas para a fun¸c˜ao degrau.

Tabela 7.7: Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Degrau.

Tempo de CPU 51,58 segundos Estados Totais 100.000 Estados Aceitos 47.713

Aceita¸c˜ao (%) 47,71% Aquecimento 40.000 Valor Esperado ψreg 0,00001

Valor Inicial ψreg 0,00002

Valor M´edio Estimado ψreg 0,00001105

Desvio Padr˜ao para ψreg 0,00000678

Valor Esperado Bi 0,01941 Valor Inicial Bi 0,00582 Valor M´edio Estimado Bi 0,01959 Desvio Padr˜ao para Bi 0,00047 Valor Esperado Bisup 0,06795

Valor Inicial Bisup 0,02038

Valor M´edio Esperado Bisup 0,06849

FUNC¸ ˜AO BRUNIMENTO

Na figura 7.37 são apresentadas a fun¸cão fluxo de calor exata do processo de brunimento e a informa¸cão inicial para estimativa via MCMC. O estado inicial foi uma fun¸cão constante com com valor igual a 75% do valor máximo do fluxo de calor adimensional.

Figura 7.37: Fluxo Exato e Estado Inicial - Brunimento

Na fun¸cão brunimento foram adotados 30.000 estados para a estimativa do fluxo de calor com o uso do método de parâmetros concentrados na solu¸cão do problema direto dentro do Algoritmo de Metropolis-Hasting.

Nas figuras 7.38, 7.39, 7.40 e 7.41 observa-se o acompanhamento de algumas cadeias da fun¸c˜ao fluxo de calor para o processo de brunimento bem como a distribui¸c˜ao a posteriori estimada.

Figura 7.38: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 1, 292) - Brunimento

Figura 7.40: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 3, 876) - Brunimento

Figura 7.41: Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 5, 168) - Brunimento As oscila¸cões observadas na distribui¸cão a posteriori, devem-se ao fato do uso do modelo de parâmetros concentrados na solu¸cão do problema direto, pois o tempo do processo de brunimento é muito pequeno, não permitindo uma distribui¸cão uniforme da temperatura ao longo de toda a superficie da ferramenta.

Na estimativa da fun¸cão fluxo de calor no processo de brunimento foram estimados os parâmetros existentes na formula¸cão do problema inverso. Como informa¸cão a priori desses parâmetros foram usadas distribui¸cões gaussianas para os números de biot e de Rayleigh para o parâmetro de regulariza¸cão.

Nas figuras 7.42, 7.43 e 7.44 s˜ao apresentadas as cadeias de Markov e a distribui¸c˜ao a posteriori estimada para ψreg, Bi e Bisup, respectivamente.

Figura 7.42: Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Brunimento

Figura 7.44: Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Brunimento

Figura 7.45: Estimativa do Fluxo de Calor - Brunimento

Na figura 7.45, observa-se que o método usado para estimar o fluxo de calor no processo de brunimento apresentou boa concordância até a metade do tempo avaliado (processo de desbaste), nesse per´ıodo o intervalo de confian¸ca abrange a fun¸cão esperada. No entanto, nos tempos finais (processo de acabamento), a estimativa apresentou muitas varia¸cões. Essa instabilidade na estimativa deve-se ao fato do método de parâmetros concentrados usado na solu¸cão do problema direto, não representar perfeitamente o processo de brunimento que em virtude do curto

tempo de processo, n˜ao permite que a temperatura se distribua uniformemente ao longo da ferramente.

Conforme pode ser observado na figuura 7.46, verificou-se que o m´etodo MCMC foi capaz de recuperar o campo de temperatura da solu¸c˜ao exata.

Figura 7.46: Estimativa do Campo de Temperatura - Brunimento

Na tabela abaixo pode-se observar os resultados de todas as estimativas realizadas para a fun¸c˜ao brunimento.

Tabela 7.8: Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Brunimento.

Tempo de CPU 10,75 segundos Estados Totais 30.000 Estados Aceitos 9.239

Aceita¸c˜ao (%) 30,80% Aquecimento 10.000 Valor Esperado ψreg 0,00001

Valor Inicial ψreg 0,00002

Valor M´edio Estimado ψreg 0,00001148

Desvio Padr˜ao para ψreg 0,00000687

Valor Esperado Bi 0,01941 Valor Inicial Bi 0,01456 Valor M´edio Estimado Bi 0,01947 Desvio Padr˜ao para Bi 0,00060 Valor Esperado Bisup 0,06795

Valor Inicial Bisup 0,05096

Valor M´edio Estimado Bisup 0,06866

No documento ESTIMATIVA DO FLUXO DE CALOR EM FERRAMENTAS DE BRUNIMENTO: MÉTODO DE MONTE CARLO COM CADEIA DE MARKOV. Nilton Pereira da Silva (páginas 64-82)