ESTIMATIVA DO FLUXO DE CALOR EM FERRAMENTAS DE BRUNIMENTO: MÉTODO DE MONTE CARLO COM CADEIA DE MARKOV. Nilton Pereira da Silva

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ESTIMATIVA DO FLUXO DE CALOR EM FERRAMENTAS DE

BRUNIMENTO: M´ETODO DE MONTE CARLO COM CADEIA DE MARKOV.

Nilton Pereira da Silva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Rio de Janeiro Dezembro de 2012

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DISSERTAÇ ÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MEC ÂNICA.

Examinada por:

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

Prof. Gilmar Guimar˜aes, Dr.Eng.

Prof.a Carolina Palma Naveira Cotta, D.Sc.

Prof. Gilberto Garc´ıa del Pino, Dr.Eng.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL DEZEMBRO DE 2012

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Silva, Nilton Pereira da

Estimativa do Fluxo de Calor em Ferramentas de Brunimento: M´etodo de Monte Carlo com Cadeia de Markov./Nilton Pereira da Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2012.

XVI, 81 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Disserta¸c˜ao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecˆanica, 2012.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 73 – 77.

1. Brunimento. 2. Transferência de Calor. 3. Problemas Inversos. 4. Inferência Baysiana. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. T´ıtulo.

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Aos meus pais José Fernandes e Zilda Pereira. À minha esposa Luciana Falcão. Às minhas irmãs Fernanda e Fabiana.

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Agradecimentos

A Deus, pelo dom da vida.

Aos meus pais, Jos´e Fernandes e Zilda Pereira, expresso minha gratid˜ao com uma palavra, AMOR. Obrigado por tudo painho e mainha.

As minhas irm˜as, Fernanda e Fabiana, pela presen¸ca constante em minha vida. Estaremos sempre juntos

A Luciana Falcão, mulher da minha vida, por todo amor, partilha, companhei-rismo. Meu amor você é um presente de Deus em minha vida.

Ao meu orientador, Prof. Helcio Orlande, pelo incentivo, pelo apoio, pela ori-enta¸c˜ao, pela amizade. Um exemplo a ser seguido.

A Thania Regina e a Lucas Falc˜ao pela acolhida, pela aten¸c˜ao, pela for¸ca. Serei eternamente grato.

Ao amigo Breno Agra, muitas horas de estudo, muita conversa, muito aprendi-zado. Um irm˜ao que tenho grande admira¸c˜ao.

Aos Professores Zaqueu Ernesto e Romberg Gondim pelo apoio inicial.

Aos Professores Manuel Ernani e Gilberto Garcia, por todo empenho na condu¸c˜ao do programa. In´umeras fronteiras superadas.

Aos professores do PEM/COPPE que se deslocaram para Manaus para ministrar suas disciplinas.

A COPPE/UFRJ e UEA pela inciativa do programa de Pós-Gradua¸cão em En-genharia Mecânica interinstitucional.

Aos amigos e colegas, que tive a alegria de conviver nesse per´ıodo, José Martim, Diêgo Estumano, Antônio Alves, Rubelmar Neto, Henrique Massard, Maycon Ce-sar, Leonardo Bermeo, Lamien Bernard, Ali Allahyarzadeh, Ivana cerqueira, Milena Vilar, Ivana Fernandes, Jozé Mir.

A Brunitec e FDB pelo fornecimento das ferramentas de brunimento.

A FAPEAM pela concessão de bolsa no per´ıodo de estágio obrigatório. E a CAPPES pelo apoio financeiro após o per´ıodo de estágio, na forma de bolsa de Mestrado.

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Resumo da Disserta¸cão apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

Dezembro/2012

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande Programa: Engenharia Mecˆanica

Este trabalho tem como objetivo estimar o fluxo de calor gerado em ferramentas de corte durante o processo de brunimento, através da solu¸cão de Problemas Inversos de Transferência de Calor (IHTP).

O problema f´ısico considerado envolve a condu¸cão de calor na ferramenta, onde a troca de calor convectiva devido ao fluido de corte e a resistência térmica de contato entre a ferramenta e o porta ferramenta foram consideradas.

Experimentos foram realizados para determina¸cão das propriedades termof´ısicas da ferramenta. A difusividade térmica foi obtida por meio do método Flash, o calor espec´ıfico a partir do DSC e a densidade pelo dens´ımetro. Os demais parâmetros existentes na formula¸cão do problema foram obtidos da literatura.

O problema direto foi resolvido pela Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT) e verificado com o modelo de parâmetros concentrados. Uma abordagem Bayesiana foi aplicada para estimativa do fluxo de calor e dos parâmetros existentes na formula¸cão do problema, com a implementa¸cão do método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC), via algoritmo Metropolis-Hastings. Medidas simuladas da temperatura da ferramenta foram empregadas no problema inverso.

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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ESTIMATION OF HEAT FLUX IN HONING TOOLS: METHOD OF MONTE CARLO MARKOV CHAIN.

December/2012

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande Department: Mechanical Engineering

This work aims to estimate the flux of heat generated in cutting tools during the process of honing, applying Inverse Problems of Heat Transfer (IHTP).

The physical problem considered involves the heat conduction in the tool where the convective heat exchange due to the cutting fluid and thermal contact resistance between the tool and tool holder were considered.

Experiments were performed to determine the thermophysical properties of the tool. The thermal diffusivity was measured by the flash method, specific heat from DSC and density by densimeter. Other parameters in the formulation of the problem were obtained from literature.

The direct problem was solved by Classical Integral Transform Technique (CITT) and fact checked with the lumped model. A Bayesian approach was applied to esti-mate the heat flux and the parameters in the problem formulation with implementing the method of Monte Carlo Markov Chain (MCMC) via Metropolis-Hastings algo-rithm. Simulated temperature measurements were employed in the inverse problem.

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Sum´

ario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xiii

Lista de S´ımbolos xiv

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao e Objetivo . . . 1 1.2 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 2

2 Revis˜ao Bibliogr´afica 3

2.1 Transferˆencia de Calor em Usinagem . . . 3 2.2 Brunimento . . . 5 2.3 Problema Inverso em Usinagem . . . 7

2.3.1 M´etodo de Monte Carlo com Cadeia de Markov - Uma Abor-dagem Bayesiana . . . 9

3 Problema F´ısico e Formula¸c˜ao Matem´atica 11

3.1 Formula¸cão do Problema Bidimensional . . . 12 3.2 Formula¸cão do Problema Unidimensional . . . 15 3.3 Formula¸cão do Problema por Parâmetros Concentrados . . . 16

4 Problema Direto 18

4.1 Solu¸cão do Problema Direto Bidimensional - CITT . . . 18 4.2 Solu¸cão do Problema Direto - Parâmetros Concentrados . . . 22 4.3 Solu¸cão do Problema Direto Unidimensional - CITT . . . 22

5 Problema Inverso 24

5.1 Inferˆencia Bayesiana via MCMC (Markov Chain Monte Carlo) . . . . 24

6 Propriedades Termof´ısicas 29

6.1 Difusividade T´ermica . . . 29 6.2 Calor Espec´ıfico . . . 31

(9)

6.3 Massa Espec´ıfica . . . 33

6.4 Condutividade T´ermica . . . 33

7 Resultados e Discuss˜oes 35 7.1 Propriedades Termof´ısicas . . . 35

7.2 Problema Direto . . . 37

7.2.1 An´alise de Convergˆencia . . . 41

7.2.2 Verifica¸c˜ao com Modelo Unidimensional . . . 42

7.2.3 Verifica¸c˜ao com Modelo de Parˆametros Concentrados . . . 44

7.3 Problema Inverso . . . 46

7.3.1 Medidas Simuladas . . . 46

7.3.2 Estimativa do Fluxo de Calor e dos Parˆametros Envolvidos na Formula¸c˜ao . . . 48

7.4 Tempo do Processo de Brunimento . . . 66

8 Conclusões e Sugestões 72 Referências Bibliográficas 73 A Cálculos dos Parâmetros 78 A.1 Resistência Térmica de Contato . . . 78

A.2 Fluxo de Calor Exato . . . 79

(10)

Lista de Figuras

2.1 Movimento do Processo e ˆAngulo de Cruzamento . . . 5

2.2 Brunidora Vertical . . . 6

2.3 Aplica¸c˜ao do Processo de Brunimento em motocicletas . . . 6

3.1 Problema F´ısico - Cabe¸cote de brunimento e movimentos simultˆaneos 11 3.2 Desenho Esquem´atico do Modelo F´ısico Bidimensional . . . 12

3.3 Desenho Esquem´atico do Modelo F´ısico Unidimensional . . . 15

3.4 Desenho Esquem´atico - Parˆametros Concentrados . . . 16

6.1 Amostra da Ferramenta de Brunimento . . . 29

6.2 NanoFlash LFA447/1 - LTTC . . . 30

6.3 M´etodo Flash . . . 30

6.4 Amostras de Ferramentas no M´etodo Flash . . . 31

6.5 DSC-LTTC . . . 31

6.6 M´etodo DSC . . . 32

6.7 Amostras de Ferramentas no DSC . . . 32

6.8 Dens´ımetro Sartorius YDK 01, montado na balan¸ca Marte AM 220 . 33 7.1 Difusividade T´ermica - M´etodo Flash . . . 36

7.2 Calor Espec´ıfico - DSC . . . 37

7.3 Fun¸c˜ao Rampa . . . 39

7.4 Fun¸c˜ao Degrau . . . 40

7.5 Fun¸c˜ao Brunimento . . . 40

7.6 Verifica¸c˜ao com Modelo Unidimensional - Constante . . . 42

7.7 Verifica¸c˜ao com Modelo Unidimensional - Rampa . . . 42

7.8 Verifica¸c˜ao com Modelo Unidimensional - Degrau . . . 43

7.9 Verifica¸c˜ao com Modelo Unidimensional - Brunimento . . . 43

7.10 Verifica¸c˜ao com Modelo de Parˆametros Concentrados - Constante . . 44

7.11 Verifica¸c˜ao com Modelo de Parˆametros Concentrados - Rampa . . . . 44

7.12 Verifica¸c˜ao com Modelo de Parˆametros Concentrados - Degrau . . . . 45

7.13 Verifica¸c˜ao com Modelo de Parˆametros Concentrados - Brunimento . 45 7.14 Medidas Simuladas - Rampa . . . 47

(11)

7.15 Medidas Simuladas - Degrau . . . 47

7.16 Medidas Simuladas - Brunimento . . . 48

7.17 Fluxo Exato e Estado Inicial - Rampa . . . 48

7.18 Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 32) - Rampa . . . 49

7.22 Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Rampa . . . 51

7.23 Acompanhamento da Cadeia - Bi - Rampa . . . 51

7.24 Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Rampa . . . 52

7.25 Estimativa do Fluxo de Calor - Rampa . . . 53

7.26 Estimativa do Campo de Temperatura - Rampa . . . 53

7.27 Fluxo Exato e Estado Inicial - Degrau . . . 54

7.28 Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 32) - Degrau . . . 55

7.32 Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Degrau . . . 57

7.33 Acompanhamento da Cadeia - Bi - Degrau . . . 57

7.34 Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Degrau . . . 58

7.35 Estimativa do Fluxo de Calor - Degrau . . . 58

7.36 Estimativa do Campo de Temperatura - Degrau . . . 59

7.37 Fluxo Exato e Estado Inicial - Brunimento . . . 60

7.38 Acompanhamento da Cadeia de Markov (τ = 1, 292) - Brunimento . . 61

7.42 Acompanhamento da Cadeia - Parˆametro ψreg - Brunimento . . . 63

7.43 Acompanhamento da Cadeia - Bi - Brunimento . . . 63

7.44 Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Brunimento . . . 64

7.45 Estimativa do Fluxo de Calor - Brunimento . . . 64

7.46 Estimativa do Campo de Temperatura - Brunimento . . . 65

7.47 Verifica¸c˜ao do Problema Direto com τ = 160 - Brunimento . . . 66

7.48 Campo de Temperatura com τ = 160 - Brunimento . . . 67

7.49 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 32 - Brunimento . . . . 67

(12)

7.54 Acompanhamento da Cadeia - Bi - Brunimento com τ = 160 . . . 70 7.55 Acompanhamento da Cadeia - Bisup - Brunimento com τ = 160 . . . 70

(13)

Lista de Tabelas

2.1 Compara¸cão entre os métodos para medi¸cão de temperatura. . . 4

7.1 Resultados experimentais para densidade da ferramenta de brunimento. 35 7.2 Resultados para difusividade t´ermica. . . 36

7.3 Incertezas associadas as propriedades termof´ısicas. . . 37

7.4 Análise de convergência para o modelo bidimensional para fun¸cão constante - Θ(X = 0, 00001; Y = 0, 00001; τ ). . . 41

7.5 Varia¸c˜ao espacial da temperatura - Modelo bidimensional via CITT com fun¸c˜ao constante. . . 46

7.6 Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Rampa. . . 52

7.7 Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Degrau. . . 59

7.8 Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Brunimento. . . 65

7.9 Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Brunimento. . . 71

A.1 Valores Experimentais (NORMAL) - M´etodo Flash. . . 80

(14)

Lista de S´ımbolos

Al - ´Area da ferramenta que realiza o processo de corte;

Bi - N´umero de Biot do fluido de corte;

Bisup - N´umero e Biot do contato entre superf´ıcies;

c - Contador para o MCMC;

cp - Calor espec´ıfico da ferramenta de corte;

D - Matriz de diferencia¸c˜ao;

DSCamo- Sinal DSC numa dada temperatura, obtida da curva da amostra;

DSCbas - Sinal DSC numa dada temperatura, obtida da curva de corre¸c˜ao;

DSCref - Sinal DSC numa dada temperatura, obtida da curva da referˆencia;

Fc - For¸ca de corte;

G - Medida da massa da amostra dentro d’água no dens´ımetro; h - Coeficiente de transferência de calor do fluido de corte; L - Dimensão lateral da ferramenta;

mamo - Massa da amostra (DSC);

mref - Massa da referˆencia (DSC);

n - N´umero de medidas de temperatura;

N - Norma;

P - Vetor de parâmetros; Pn - Pressão de expansão;

P0 - Estado inicial para o vetor de parˆametros;

q - Fluxo de calor gerado no processo de brunimento na ferramenta; Q - Fluxo de calor adimensional;

Q0 - Fluxo de calor adimensional m´aximo;

t - Tempo dimensional;

T - Campo de temperatura dimensional;

Tex - Medidas calculadas, solu¸c˜ao do problema direto;

Tmx - Temperatura m´edia da ferramenta em ”x”;

Tmxy - Temperatura m´edia da ferramenta em ”x”e ”y”;

Tsup - Temperatura do suporte da ferramenta;

T∞ - Temperatura do fluido de corte;

(15)

V - Matriz de covariˆancia; vc - Velocidade de corte;

vf a - Velocidade axial da ferramenta;

vf t - Velocidade tangencial da ferramenta;

x - Vari´avel espacial dimensional no eixo coordenado ”x”; X - Coordenada adimensional no eixo coordenado ”x”; X - Auto fun¸c˜ao;

y - Vari´avel espacial dimensional no eixo coordenado ”y”; Y - Coordenada adimensional no eixo coordenado ”y”; Y - Auto fun¸c˜ao;

Ymed - Medidas simuladas com erros randˆomicos;

k - Condutividade t´ermica da ferramenta;

W - Inversa da matriz de covariância dos erros de medi¸cões; Wa - Medida da massa da amostra fora d’água no dens´ımetro;

Wc - Taxa de energia consumida durante o corte;

w - Variável randômica com distribui¸cão normal, desvio padrão unitário e média zero.

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Letras Gregras

α - Difusividade t´ermica da ferramenta; βm - Autovalores, transforma¸c˜ao em ”X”;

γn - Autovalores, transforma¸c˜ao em ”Y ”;

ξaceit - Raz˜ao de aceita¸c˜ao do algoritmo Metropolis-Hastings;

Θ - Campo de temperatura adimensional; ¯

Θ - Campo de temperatura adimensional transformado em ”X”; e

Θ - Campo de temperatura adimensional transformado em ”Y ”; Θm - Campo de temperatura m´edio adimensional;

π - Fun¸cão densidade de probabilidade; µ - Média das medi¸cões;

µBi - Valor m´edio para Bi;

µBisup - Valor m´edio para Bisup;

ρ - Massa espec´ıfica da ferramenta de corte;

ρf l - Massa espec´ıfica da ´agua na temperatura analisada no dens´ımetro;

σ - Desvio padr˜ao dos erros de medi¸c˜oes;

σA - Incerteza tipo A, avaliadas por m´etodos estat´ısticos;

σB - Incerteza tipo B, associada ao equipamento;

σC - Incerteza tipo C, combinada;

τ - Tempo adimensional; τf inal - Tempo adimensional final;

ψreg - Parâmetro escalar associado à regulariza¸cão de Tikhonov;

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao e Objetivo

Na usinagem de metais, grande parte da energia consumida é convertida em calor. Em virtude desse fenômeno, inúmeros problemas técnicos e econômicos afetam de forma direta ou indireta o processo de usinagem. Portanto, o estudo das variáveis que influenciam a gera¸cão e o fluxo de calor, bem como a distribui¸cão de temperatura na região do corte, são muito importantes para o avan¸co tecnológico da usinagem [1].

Uma das aplica¸cões da usinagem para acabamento de furos, é o brunimento, processo abrasivo utilizado em pe¸cas de ferro fundido, a¸co e metais não ferrosos [2]. Nos motores de combustão interna, este processo define as particularidades tribológicas da superf´ıcie do cilindro [3]. Considerando a relevância que a topografia do cilindro exerce sobre a durabilidade dos motores de combustão interna [4], aliada `

a necessidade de melhorias na rugosidade superficial dos cilindros [5], o dom´ınio do processo de brunimento é fundamental para a indústria automobil´ıstica nacional, em particular a de motocicletas, a qual apresentou um crescimento na produ¸cão de 188% no per´ıodo de 2000 a 2010 [6].

Como conseqüência da busca industrial por aumento na eficiência produtiva, maiores velocidades de corte têm sido utilizadas durante o processo de brunimento, causando um aumento na temperatura da pe¸ca [7]. Embora exista a necessidade de informa¸cões sobre as condi¸cões térmicas no processo de brunimento de cilindros, há carência de estudos na literatura nessa área.

Diante do exposto, assim como das limita¸cões existentes para medi¸cão direta do campo de temperatura na zona de corte devido ao movimento da ferramenta, o presente estudo tem como objetivo geral estimar o fluxo de calor em ferramentas de corte, durante o processo de brunimento. Para tanto, é aplicada a técnica de Problemas Inversos de Transferência de Calor (IHTP), com o método de Monte

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Carlo com Cadeia de Markov, via algoritmo de Metropolis-Hastings, a partir de medidas simuladas de temperaturas em pontos acess´ıveis na interface ferramenta-porta ferramenta.

Entre os objetivos espec´ıficos, est˜ao:

- Resolver o problema direto bidimensional pela T´ecnica da Transformada Inte-gral Cl´assica (CITT);

- Comparar a solu¸cão do problema bidimensional com solu¸cões por Parâmetros Concentrados e do problema unidimensional;

- Determinar experimentalmente as propriedades termof´ısicas da ferramenta de corte;

- Resolver o problema inverso de estimativa do fluxo de calor de usinagem.

1.2 Organiza¸

c˜

ao do Trabalho

No cap´ıtulo 2 será apresentada a revisão bibliográfica sobre os temas abordados no trabalho. O processo de brunimento será examinado, bem como, os problemas térmicos na usinagem, as técnicas dispon´ıveis na literatura para obten¸cão da tem-peratura na interface do corte e, por fim, uma revisão da metodologia aplicada na solu¸cão de problemas inversos em transferência de calor aplicados em usinagem.

No cap´ıtulo 3 será apresentada a formula¸cão matemática do problema de condu¸cão de calor bidimensional, unidimensional e de parâmetros concentrados.

No cap´ıtulo 4 será apresentada a solu¸cão do problema direto via CITT e parâmetros concentrados.

No cap´ıtulo 5 será apresentado o problema inverso com uma abordagem Bayesi-ana, via método de Monte Carlo com Cadeia de Markov, através da implementa¸cão do algoritmo de Metropolis-Hastings.

No cap´ıtulo 6 ser´a apresentada a metodologia experimental para obten¸c˜ao das propriedades termof´ısicas da ferramenta de corte.

No cap´ıtulo 7, serão apresentados e discutidos os resultados experimentais obti-dos para as propriedades termof´ısicas da ferramenta, as solu¸cões do problema direto com as devidas verifica¸cões e a solu¸cão do problema inverso, .

No cap´ıtulo 8, serão apresentadas as conclusões deste trabalho, bem como a proposta de continua¸cão do mesmo.

(19)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

2.1 Transferˆ

encia de Calor em Usinagem

O aumento da temperatura no processo de usinagem influencia as caracter´ısticas do metal em trabalho e o desgaste da ferramenta, limitando a condi¸c˜ao de m´axima produtividade [8].

Yokohama e Ichimiya [7], objetivando verificar a rela¸cão entre os erros dimen-sionais de um cilindro devido aos efeitos térmicos causados durante o processo de brunimento, realizaram medi¸cões de temperatura no corpo da pe¸ca de trabalho por meio de termopares. Dinamômetros e células de cargas foram utilizados para ob-ter a for¸ca de brunimento e a pressão de expansão, respectivamente. Os autores constataram que a temperatura na pe¸ca aumenta com o acréscimo da pressão de expansão da ferramenta de corte e com o uso de maiores velocidades de corte e diminui exponencialmente com o aumento do fluxo de óleo refrigerante.

Salje e von See [9] constataram em seu experimento de brunimento, que os ga-nhos obtidos com o aumento da velocidade de corte em rela¸cão a taxa de remo¸cão de material, resultaram em um aumento na temperatura do processo, tendo como consequência a diminui¸cão das propriedades de lubrifica¸cão do óleo de corte. Tais constata¸cões foram obtidas por meio da adi¸cão de um sensor de temperatura loca-lizado no corpo da ferramenta de corte.

Sales et al. [10] realizaram experimentos para determinar a capacidade de arrefe-cimento de fluidos de corte aplicados na usinagem de metais. Em um forno elétrico, aqueceram uma amostra de a¸co AISI 8640 até 350◦C e mantiveram por uma hora até a homogeneiza¸cão da temperatura. A amostra foi então fixada em um torno com velocidade conhecida, aplicando fluido de corte na pe¸ca em movimento e por meio de pirômetro infravermelho a temperatura superficial foi obtida. Posteriormente reali-zaram um ensaio de usinagem, por meio do torneamento da amostra. Um termopar foi utilizado para verificar a temperatura na interface de corte. O coeficiente de

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tansferência de calor convectivo foi obtido e classificados em ordem crescente, que segue: ar atmosférico, óleo integral puro, emulsão de óleo solúvel, sintético e água.

Abukhshim et al. [11] investigaram a técnica de termografia infravermelho apli-cada em processos de usinagem com altas velocidades de corte e constataram que é uma boa solu¸cão para medi¸cão de temperatura desses processos. No entanto, uma limita¸cão para o uso dessa técnica é a falta de valores de emissividade para diferentes materiais aplicados.

Davies et al. [12] revisaram vários métodos para medi¸cão de temperatura utiliza-dos durante o processo de remo¸cão de material. Os autores descreveram a f´ısica de cada método e comparam seus resultados, conforme tabela 2.1, apresentada abaixo.

Tabela 2.1: Compara¸cão entre os métodos para medi¸cão de temperatura.

Item RTD Termopar Termopar Pirômetro Pirômetro Termo Dinâmico 1 Cor 2 Cores f´ısico Faixa de Temperatura Ponto 0◦C Ponto 20◦C 0◦C Ttrans

Fus˜ao 3000◦C Fus˜ao 5000◦C 5000◦C

Resolu¸c˜ao Espacial 500µm >500µm - 5µm 20µm 100µm x 10µm

Resolu¸cão Temporal 2ms 100ms - ms p/ µs ms p/ µs Fraca Configura¸cão Fácil Fácil Fácil Dif´ıcil Dif´ıcil Fácil Médio Incerteza Dominante Danos Jun¸cões Controle Emissivi- Corpo

-Materiais Jun¸c˜ao dade Cinza

Custo Baixo Baixo Baixo M´edio M´edio Baixo

M´edio Alto

Mocellin [3] realizou medi¸cões de temperatura a partir de sensores colocados no corpo do cilindro. O autor concluiu que parâmetros como o tipo de fluido de corte, tipo de ligante e a velocidade de corte no processo, influenciam a temperatura da pe¸ca. O autor constatou também que a qualidade dimensional de um cilindro brunido é afetada pela temperatura produzida durante o processo de brunimento.

Werschmoeller e Li [13] utilizaram micro termopares em ferramentas de usina-gem, para determinar varia¸c˜oes de temperatura na interface ferramenta-pe¸ca no processo de torneamento. Constataram que esses sensores apresentam um tempo de resposta r´apido para os transientes de temperatura no corpo da ferramenta.

Apesar das técnicas existentes para a medi¸cão da gera¸cão e fluxo de calor, assim como da distribui¸cão da temperatura na ferramenta, o progresso têm sido lento nos ´

ultimos 100 anos. O esfor¸co realizado até hoje é apenas o in´ıcio do que é necessário para o processo de usinagem [1].

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2.2 Brunimento

O processo de brunimento é uma opera¸cão de usinagem por abrasão, destinada para acabamento de furos cil´ındricos, conferindo à pe¸ca forma e dimensão, com produ¸cão de cavaco [8]. Nos motores de combustão interna sua fun¸cão é reter uma fina camada de óleo na superf´ıcie do cilindro durante o funcionamento, melhorando desempenho e durabilidade [14] .

O processo consiste de três movimentos realizados simultaneamente: desloca-mento axial, rota¸cão e expansão das ferramentas abrasivas, gerando na pe¸ca ra-nhuras cruzadas, cujo ângulo de cruzamento é determinado pela composi¸cão das velocidades axial e tangencial da ferramenta [3]. Na figura 2.1 pode ser observada a textura de uma superf´ıcie brunida, ilustrando o ângulo de brunimento, bem como os movimentos de rota¸cão e transla¸cão da ferramenta de brunimento no interior de uma camisa [15].

Figura 2.1: Movimento do Processo e ˆAngulo de Cruzamento [15]

O equipamento destinado para realiza¸cão desse processo em blocos de motores é uma máquina ferramenta especial, conhecida como Brunidora [16], a qual pode ser vista na figura 2.2.

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Figura 2.2: Brunidora Vertical [16]

Na indústria, o processo de brunimento é utilizado nas mais diversas áreas para obten¸cão de um acabamento superficial controlado, como: na usinagem de válvulas hidráulicas, bielas, engrenagens e na fabrica¸cão de bloco de motores de combustão interna aplicado em motocicletas [17]. Na figura 2.3, pode-se observar um cilindro de motocicleta e um conjunto ferramenta e porta ferramenta para brunimento [17].

Figura 2.3: Aplica¸cão do Processo de Brunimento em motocicletas [17] Salje e von See [9] realizaram experimento em um equipamento projetado para brunimento externo, com o objetivo de avaliar a influência da topografia da ferra-menta de corte sobre o processo de brunimento. Neste estudo, um sistema hidráulico imputava uma pressão predefinida na ferramenta de corte sobre a pe¸ca. O movi-mento de rota¸cão foi realizado pela pe¸ca a ser usinada, enquanto o movimento de transla¸cão foi desenvolvido pela pedra de brunimento. Constatou-se que o aumento da velocidade de corte é uma maneira pela qual se otimiza o processo de brunimento.

(23)

Objetivando avaliar e controlar automaticamente a extensão de uma superf´ıcie brunida, Beyerer [18] modelou a textura da superf´ıcie brunida, tendo como base o processamento de imagens. Por meio de algoritmos, o ângulo e a densidade das ra-nhuras do processo de brunimento, foram estimados. Para a estimativa da densidade das ranhuras, uma distribui¸cão de Poisson foi assumida.

Visque [19] verificou, em experimentos realizados em cilindros de ferro fundido cinzento, a influência que o processo de brunimento tem na corre¸cão de desvios na circularidade e na rugosidade. Constatou também, que o aumento da pressão de contato e da velocidade de corte conduziram a uma melhoria do processo.

Mocellin [3] propôs uma alternativa para redu¸cão do custo de fabrica¸cão do processo de brunimento em cilindros de ferro fundido vermicular, sem comprometer a qualidade dimensional do produto. A idéia proposta foi eliminar o mandrilamento de semi-acabamento e acabamento, realizados antes do brunimento, elevando a taxa de remo¸cão de material no brunimento de desbaste.

Voronov [20] obteve um conjunto de equa¸cões para representar a dinâmica do processo de brunimento. O modelo desenvolvido avaliou um cabe¸cote de brunimento (porta ferramenta) com três pedras (ferramentas de corte). Foram consideradas as vibra¸cões do eixo de suporte das ferramentas, com suas condi¸cões de contorno, o movimento da ferramenta de corte, as for¸cas de corte envolvidas e a renova¸cão superficial da pedra de brunimento. As equa¸cões que represam as vibra¸cões do eixo de suporte da ferramenta foram reduzidas em equa¸cões diferenciais ordinárias, utilizando o método de Galerkin.

Akmaev [21] constatou que a capacidade de corre¸c˜ao da curvatura do eixo do furo cilindro no processo de brunimento ´e melhorada com o aumento do comprimento do cabe¸cote de brunimento.

Matos Jr. [22] estudou o desgaste da superf´ıcie brunida de um cilindro de con-bust˜ao interna, em diferentes fases da vida do motor. Por meio de um rugos´ımetro obteve os perfis de rugosidade, que foram analisados e processados com o uso do software - TALY PROFILE. Por fim, mostrou os parˆametros de rugosidade que influenciam na mudan¸ca do perfil no decorrer da vida do motor.

Tschatsc [2] e Klocke [23] especificaram limites para alguns parâmetros de corte do processo de brunimento, como: pressão de expansão, componentes da velocidade de corte e condi¸cões para especifica¸cão da ferramenta de corte.

2.3 Problema Inverso em Usinagem

O interesse no estudo e aplica¸cão de Problemas Inversos de Transferência de Calor (IHTP) tem aumentado nos últimos anos em diferentes ramos da ciência e engenharia [24].

(24)

Problemas Inversos matematicamente s˜ao classificados como mal postos. Deter-mina as causas a partir de medidas dos efeitos [24].

¨

Ozisik e Orlande [24] apresentaram métodos como o Levenberg-Marquardt e o Gradiente Conjugado para solu¸cão de problemas inversos envolvendo estimativa de parâmetros e de fun¸cões com várias aplica¸cões em transferência de calor.

Problemas inversos em transferência de calor, vem sendo aplicado em diversos processos de fabrica¸cão mecânica, para a estimativa de parâmetros térmicos. Em virtude das dificuldades que alguns processos apresentam para medi¸cão direta da temperatura, a metodologia apresenta-se como uma solu¸cão para essas limita¸cões, pois usa a leitura da temperatura em pontos acess´ıveis para obten¸cão dos parâmetros desejados [25, 26].

Gon¸calves et al. [25] estudaram o fenômeno térmico ocorrido no processo de soldagem de uma placa AISI304, soldada pelo método TIG (Tungstênio Inerte Gás). Através de 4 termopares localizados em pontos acess´ıveis na placa, reali-zaram medi¸cões de temperatura. Para estimar o fluxo de calor gerado no processo e a eficiência global, modelaram o problema f´ısico de duas formas bidimensionais: um modelo quase estacionário, que foi resolvido inversamente pelo Recozimento Si-mulado; e o segundo modelo transiente, cuja solu¸cão inversa foi obtida pelo Método da Se¸cão Áurea. Constataram que o método da se¸cão áurea apresentou resultados mais próximos do experimental.

Chen e Yang [26], com o objetivo de estimar o fluxo de calor na interface cilindro-pe¸ca durante o processo de lamina¸cão, resolveram o problema direto por meio da técnica de volumes finitos. A partir dessa solu¸cão, com números randômicos e intervalo de confian¸ca de 99%, simularam medidas dentro do cilindro laminador para solu¸cão do problema inverso. Verificaram que os resultados numéricos obtidos de um algoritmo inverso baseado no Gradiente Conjugado e no Princ´ıpio da Discrepância estimam com precisão o fluxo de calor e a distribui¸cão de temperatura no processo de lamina¸cão.

Na literatura encontram-se várias aplica¸cões de Problemas Inversos para estima-tiva do campo de temperatura na interface de corte e do fluxo de calor em processos de usinagem de metais, objetivando aumentar a vida da ferramenta de corte e a redu¸cão do custo de fabrica¸cão. Processos como retifica¸cão[27], torneamento[28, 29], fura¸cão[30] e fresamento[31] são investigados a partir da medi¸cão de temperatura em pontos acess´ıveis.

Hong e Lo [27] mostraram que a metodologia de problemas inversos apresenta bons resultados na estimativa do fluxo de calor no processo de retifica¸cão. O co-nhecimento da distribui¸cão da temperatura e do fluxo de calor na pe¸ca de trabalho, contribui para evitar danos térmicos na pe¸ca retificada e no rebolo de corte.

(25)

modelou o problema f´ısico tridimensionalmente e resolveu o problema inverso pela t´ecnica do Gradiente Conjugado. Utilizando termopares soldados na face da ferra-menta, foram obtidas as medidas de temperatura necess´arias para a estimativa.

Carvalho et al.[29], almejando determinar o campo de temperatura na interface de corte de um processo de torneamento, estimaram o fluxo de calor por meio da técnica inversa, devido as dificuldades apresentadas na obten¸cão de medidas diretas. Os autores modelaram tridimensionalmente o problema f´ısico, considerando o conjunto ferramenta e porta-ferramenta, e simulando a resistência térmica de contato entre eles como uma uma camada de ar de 10µm de espessura a 300K. Por meio da técnica de Volumes Finitos resolveram o problema direto e com o método da Se¸cão Áurea resolveram o problema inverso. Os autores realizaram experimentos e verificaram que quanto maior a velocidade e o avan¸co de corte, maior é a temperatura na interface de corte. Medi¸cões de temperatura foram realizadas nos testes em 8 pontos acess´ıveis na ferramenta e porta ferramenta, com termopares

Sousa [30] obteve fluxo de calor gerado no processo de fura¸cão de um a¸co micro-ligado realizado por uma broca de metal duro. Sousa [30] modelou termicamente a pe¸ca usinada e resolveu o problema direto por volumes finitos e o problema inverso pela técnida de Observadores Dinâmicos baseado em Fun¸cões de Green. Sousa [30] verificou a robustez da solu¸cão da técnica inversa, com várias incertezas inerentes ao processo, como o conhecimento real do coeficiente de transferência de calor por conveçcão e os erros envolvidos na medi¸cões na temperatura da pe¸ca.

Luchesi e Coelho [31] modelaram o processo de fresamento facial de um a¸co 4340, objetivando estimar o fluxo de calor gerado. O método da Transformada Integral foi usado para resolver o problema direto e o método do Gradiente Conjugado para estimar o termo de gera¸cão de calor. Os autores realizaram experimentos em seis condi¸cões e verificaram que o uso de técnicas inversas permite estimar a fonte de calor no processo, a partir do conhecimento da temperatura.

2.3.1 M´

etodo de Monte Carlo com Cadeia de Markov - Uma

Abordagem Bayesiana

Wang e Zabaras [32] aplicaram a Fórmula de Bayes com regulariza¸cão de Tikho-nov na informa¸cão a priori, para estimar a fun¸cão de densidade de probabilidade a posteriori em Problemas Inversos de Condu¸cão de Calor. O Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov foi adotado para obten¸cão da informa¸cão a posteriori. Os resultados obtidos mostram que a técnica utilizada, estimou o fluxo de calor e quantificam as incertezas do sistema.

Mota [33] utilizou m´etodos inversos para estimar simultaneamente as proprieda-des termof´ısicas de uma amostra de grafite e o fluxo de calor gerado por um ma¸carico

(26)

oxi-acetilênico aquecendo essa amostra. Comparou os métodos de Gauss de Mini-miza¸cão da Fun¸cão Objetivo a Maximum a Posteriori e o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov. Obteve as propriedades termof´ısicas experimentalmente baseado no Método Flash. Constatou que o MCMC via o algoritmo de Metropolis-Hastings é mais estável, com melhor concordância com os dados experimentais e com menores intervalos de confian¸ca em rela¸cão ao método de Gauss-MAP.

Naveira-Cotta et al. [34], objetivando estimar as propriedades termof´ısicas de meios heterogêneos, utilizaram o Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov com a implementa¸cão do algoritmo de Metropolis-Hastings para solucionar o problema inverso. A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) foi utilizada para o problema direto. Medi¸cões de temperatura foram obtidas pela termografia de infravermelho. Propridades como a condutividade e difusividade térmica foram identificadas .

R. Carvalho et al.[35] utilizaram a abordagem Bayesiana com aplica¸cão do Filtro de Kalmam para a estimativa do fluxo de calor superficial no processo de retifica¸cão. Na literatura outras importantes contribui¸cões vem sendo desenvolvidas para solu¸cões de problemas inversos por abordagem Bayesiana, com evolu¸cões de códigos computacionais para o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov [36–38].

(27)

Cap´ıtulo 3

Problema F´ısico e Formula¸

c˜

ao

Matem´

atica

O problema f´ısico modelado foi o processo de brunimento interno de um cilin-dro de motor de motocicleta 125cc, com os movimentos caracter´ısticos de rota¸cão, transla¸cão e expansão, para estimativa do fluxo de calor na ferramenta de corte, conforme ilustrado na figura 3.1.

Figura 3.1: Problema F´ısico - Cabe¸cote de brunimento e movimentos simultˆaneos Onde:

1 - Conjunto porta ferramenta; 2 - Suporte da ferramenta; 3 - Ferramenta de corte.

(28)

Para a formula¸cão matemática do problema f´ısico, as seguintes hipóteses são adotadas:

- A curvatura da face de contato da ferramenta com a camisa do cilindro n˜ao foi considerada. Adotou-se a geometria da se¸c˜ao transversal da ferramenta na forma de um quadrado;

- Desprezam-se os contatos irregulares dos grãos abrasivos da ferramenta sobre a pe¸ca. O contato entre a ferramenta e a superf´ıcie usinada foi considerado uniforme; - Apesar da não homogeneidade da ferramenta, que é composta de grãos abrasi-vos, aglomerantes e vazios, considerou-se um material homogêneo para a mesma;

- As propriedades térmicas da ferramenta de corte foram consideradas constantes; - Considerou-se um modelo bidimensional, pois o comprimento da ferramenta é suficientemente grande na dire¸cão longitudinal, em compara¸cão à se¸cão transversal; - Assumiu-se conhecidos a temperatura e o coeficiente de transferência de calor convectivo do fluido refrigerante e que os mesmos são invariáveis;

- Adotou-se uma temperatura uniforme na ferramenta de corte no estado inicial; - A simetria da ferramenta foi utlizada, para simplificar a formula¸c˜ao matem´atica.

3.1 Formula¸

c˜

ao do Problema Bidimensional

Com rela¸cão à formula¸cão do problema de transferência de calor, adotou-se um modelo bidimensional de condu¸cão para a ferramenta de corte. Nesse modelo, considerou-se um fluxo de calor na superf´ıcie de usinagem, perda de calor convectiva devido ao fluxo de óleo de corte nas laterais da ferramenta e uma resistência térmica de contato entre a ferramenta e seu suporte (Figura 3.2).

Figura 3.2: Desenho Esquem´atico do Modelo F´ısico Bidimensional Onde:

a - Representa¸cão da ferramenta com as condi¸cões de contorno adotadas; b - Se¸cão transversal da ferramenta, modelo bidimensional;

(29)

Com as hipóteses estabelecidas, a equa¸cão de condu¸cão de calor para o problema proposto é dada por:

1 α ∂T (x, y, t) ∂t = ∂2T (x, y, t) ∂x2 + ∂2T (x, y, t) ∂y2 ; 0 < x < L 2; 0 < y < L; t > 0 (3.1) As condi¸c˜oes de contorno do problema s˜ao:

∂T (x, y, t) ∂x = 0; x = 0; 0 < y < L; t > 0 (3.2) k∂T (x, y, t) ∂x + hT (x, y, t) = hT∞; x = L 2; 0 < y < L; t > 0 (3.3) − k∂T (x, y, t)

∂y + hsupT (x, y, t) = hsupTsup; 0 < x < L 2; y = 0; t > 0 (3.4) k∂T (x, y, t) ∂y = q(t); 0 < x < L 2; y = L; t > 0 (3.5) Como condi¸c˜ao inicial tem-se:

T (x, y, t) = Tsup; 0 < x <

L

2; 0 < y < L; t = 0 (3.6) Objetivando a redu¸cão do número de parâmetros que afetam a distribui¸cão de temperatura na ferramenta, o problema f´ısico é expresso de forma adimensional, com o uso dos seguintes grupos adimensonais:

- Coordenadas adimensionais; X = x L (3.7) Y = y L (3.8) - Tempo adimensional; τ = αt L2 (3.9) - Temperatura adimensional; Θ(X, Y, τ ) = T (x, y, t) − T∞ Tsup− T∞ (3.10)

(30)

- N´umero de Biot do fluido;

Bi = hL

k (3.11)

- N´umero de Biot do suporte;

Bisup=

hsupL

k (3.12)

- Fluxo de calor adimensional.

Q(τ ) = q(t) k(Tsup− T∞)/L

(3.13)

O resultado adimensional para a equa¸cão da difusão de calor para o problema proposto é: ∂Θ(X, Y, τ ) ∂τ = ∂2Θ(X, Y, τ ) ∂X2 + ∂2Θ(X, Y, τ ) ∂Y2 ; 0 < X < 0, 5; 0 < Y < 1; τ > 0 (3.14) As condi¸cões de contorno do problema adimensional são:

∂Θ(X, Y, τ )

∂X = 0; X = 0; 0 < Y < 1; τ > 0 (3.15) ∂Θ(X, Y, τ )

∂X + BiΘ(X, Y, τ ) = 0; X = 0, 5; 0 < Y < 1; τ > 0 (3.16)

− ∂Θ(X, Y, τ )

∂Y + BisupΘ(X, Y, τ ) = Bisup; 0 < X < 0, 5; Y = 0; τ > 0 (3.17) ∂Θ(X, Y, τ )

∂Y = Q(τ ); 0 < X < 0, 5; Y = 1; τ > 0 (3.18) Como condi¸c˜ao inicial para adimensionaliza¸c˜ao tem-se:

(31)

3.2 Formula¸

c˜

ao do Problema Unidimensional

Para fim de verifica¸cão da solu¸cão do problema bidimensional dado pelas equa¸cões (3.14-3.19), também foi usada uma solu¸cão unidimensional. Neste caso, considerou-se o número de Biot do fluido refrigerante muito pequeno (Bi = 0, 00001), conforme ilustrado na figura 3.3.

Figura 3.3: Desenho Esquem´atico do Modelo F´ısico Unidimensional Onde:

a - Representa¸cão da ferramenta com as condi¸cões de contorno adotadas; b - Se¸cão transversal da ferramenta, modelo unidimensional;

Com as hipóteses estabelecidas na página 12, a equa¸cão da difusão de calor para o problema unidimensional de verifica¸cão é dada por:

1 α ∂T (y, t) ∂t = ∂2_{T (y, t)} ∂y2 ; 0 < y < L; t > 0 (3.20)

As condi¸c˜oes de contorno do problema s˜ao:

− k∂T (y, t)

∂y + hsupT (y, t) = hsupTsup; y = 0; t > 0 (3.21)

k∂T (y, t)

∂y = q(t); y = L; t > 0 (3.22) Como condi¸c˜ao inicial, tem-se:

(32)

O problema unidimensional dado pelas equa¸c˜oes 3.20, 3.21,, 3.22,, 3.23 ´e adi-mensionalizado utilizando os grupos 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13.

O resultado adimensional para a equa¸cão da difusão de calor para o problema unidimensional proposto é:

∂Θ(Y, τ )

∂τ =

∂2_{Θ(Y, τ )}

∂Y2 ; 0 < Y < 1; τ > 0 (3.24)

As condi¸c˜oes de contorno do problema adimensional s˜ao:

− ∂Θ(Y, τ )

∂Y + BisupΘ(Y, τ ) = Bisup; Y = 0; τ > 0 (3.25) ∂Θ(Y, τ )

∂Y = Q(τ ); Y = 1; τ > 0 (3.26) Como condi¸c˜ao inicial para adimensionaliza¸c˜ao, tem-se:

Θ(Y, τ ) = 1; 0 < Y < 1; τ = 0 (3.27)

3.3 Formula¸

c˜

ao do Problema por Parˆ

ametros

Concentrados

Objetivando obter condi¸cões para verifica¸cão da solu¸cão do problema bidimensi-onal, o problema f´ısico foi reformulado considerando a distribui¸cão da temperatura uniforme ao longo do espa¸co avaliado, utilizando a técnica de Parâmetros Concen-trados. Tal formula¸cão também foi considerada tendo em vista que as dimensões da ferramenta são pequenas e a mesma é fabricada de um material com alta condutiv-dade térmica.

(33)

Seja: Tmx(y, t) = 1 L/2 Z L/2 0 T (x, y, t)dx (3.28) Tmxy(t) = 1 L Z L 0 Tmx(y, t)dy (3.29) Θm = Tmxy(t) − T∞ Tsup− T∞ (3.30) A solu¸cão por Parâmetros Concentrados é dada por:

ρcp dTmxy(t) dt = 1 Lq(t) + 1 L/2h[T∞− T (x = L/2, y, t)] + 1 Lhsup[Tsup− T (x, y = 0, t)] (3.31) Aproximando as temperaturas: T (x = L/2, y, t) = T (x, y = 0, t) = Tmxy(t) (3.32) Logo: dTmxy(t) dt = 1 ρcpL q(t) + 2 ρcpL h[T∞− Tmxy(t)] + 1 ρcpL hsup[Tsup− Tmxy(t)] (3.33) Tmxy(0) = Tsup (3.34)

Adimensionalizando o problema dado pelas equa¸c˜oes 3.33, 3.34 e utilizando os grupos 3.9, 3.11, 3.12, 3.13, 3.30, obtemos:

dΘm(τ )

dτ + Θm(τ )(2Bi + Bisup) = Q(τ ) + Bisup (3.35)

(34)

Cap´ıtulo 4

Problema Direto

Objetivando obter a distribui¸cão de temperaturas no interior da amostra anali-sada, o conjunto de equa¸cões que representam o problema de transferência de calor foi resolvido, para cada um dos casos analisados no cap´ıtulo 3. Para tanto, se faz necessário o conhecimento das propriedades f´ısicas, da geometria, das condi¸cões de contorno, da condi¸cão inicial e do termo de gera¸cão de calor. Essa metodologia é a solu¸cão do Problema Direto, que determina os efeitos (temperatura na ferramenta) com o conhecimento das causas (fluxo de calor resultante da usinagem).

A t´ecnica utilizada para solucionar o problema direto proposto nesse trabalho foi a CITT. Essa metodologia foi formalizada por MIKHAILOV e OZISIK [39] e OZISIK [40], como segue abaixo:

- Por meio da técnica de Separa¸cão de Variáveis foi obtido o problema auxiliar para o desenvolvimento do par de equa¸cões Transformada-Inversa;

- As Equa¸cões Diferenciais Parciais (EDP) foram transformadas em um sistema de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias (EDO), por meio de transforma¸cões removendo as derivadas parciais em rela¸cão ao espa¸co;

- O sistema transformado, foi resolvido sujeita `as condi¸c˜oes iniciais transforma-das;

- A formula¸c˜ao da inversa ´e aplicada para se recuperar o campo de temperaturas na ferramenta.

4.1 Solu¸

c˜

ao do Problema Direto Bidimensional

-CITT

Para solucionar o problema dado pelas equa¸cões 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19 foi utilizada a Técnica da Transformada Integral Clássica.

Inicialmente foi obtido o problema de autovalor auxiliar ou problema de Sturm-Liouville, que no presente caso, ´e dado na dire¸c˜ao ”X”por:

(35)

d2X (X) dX2 + β 2 mX (X) = 0; 0 < X < 0, 5; τ > 0 (4.1) dX (X) dX = 0; X = 0; τ > 0 (4.2) dX (X) dX + BiX (X) = 0; X = 0, 5; τ > 0 (4.3) A solu¸cão do problema de Sturm-Liouville expresso pelas equa¸cões 4.1,4.2, 4.3 foi obtida em OZISIK [40], isto é,

X (βm, X) = cos(βmX) (4.4)

com integral de normaliza¸c˜ao dada por: 1 N (βm) = 2 β 2 m+ Bi2 0, 5(β2 m+ Bi2) + Bi (4.5) βmtan(βm0, 5) = Bi (4.6)

Onde X (X) é a autofun¸cão, e os autovalores são obtidos pela solu¸cão da equa¸cão transcendental 4.6 pelo método de Newton-Raphson.

Em seguida, foi escolhido o par de equa¸c˜oes transformada - inversa, com o uso do problema de autovalor auxiliar.

¯

Θ(βm, Y, τ ) =

Z 0,5 0

X (βm, X)Θ(X, Y, τ )dX; T RAN SF ORM ADA (4.7)

Θ(X, Y, τ ) = ∞ X m=1 X (βm, X) N (βm) ¯ Θ(βm, Y, τ ); IN V ERSA (4.8)

Com o uso do operador R₀0,5X (βm, X)dX e realizando as devidas substitui¸c˜oes,

o problema original foi transformado em “X”, obtendo-se:

∂ ¯Θ(βm, Y, τ ) ∂τ = ∂2_Θ(β_¯ m, Y, τ ) ∂Y2 − β 2 mΘ(β¯ m, Y, τ ); 0 < Y < 1; τ > 0 (4.9) −∂ ¯Θ(βm, Y, τ ) ∂Y + Bisup ¯ Θ(βm, Y, τ ) = Bisup βm sin(βm0, 5); Y = 0; τ > 0 (4.10)

(36)

∂ ¯Θ(βm, Y, τ ) ∂Y = Q(τ ) sin(βm0, 5) βm ; Y = 1; τ > 0 (4.11) ¯ Θ(βm, Y, τ ) = sin(βm0, 5) βm ; 0 < Y < 1; τ = 0 (4.12) O problema auxiliar em ”Y ”´e dado por:

d2_{Y(Y )} dY2 + γ 2 nY(Y ) = 0; 0 < Y < 1; τ > 0 (4.13) dY(Y ) dY + BisupY(Y ) = 0; Y = 0; τ > 0 (4.14) dY(Y ) dY = 0; Y = 1; τ > 0 (4.15)

OZISIK [40] apresenta a seguinte solu¸c˜ao, para o problema 4.13, 4.14, 4.15:

Y(Y ) = cos[γn(1 − Y )] (4.16)

com integral de normaliza¸c˜ao: 1 N (γn) = 2 γ 2 n+ Bi2sup (γ2 n+ Bi2sup) + Bisup (4.17) γntan(γn) = Bisup (4.18)

Onde Y(Y ) é a autofun¸cão, e os autovalores são obtidos pela solu¸cão da equa¸cão transcendental 4.18 pelo método de Newton-Raphson.

Em seguida foi escolhido o par de equa¸c˜oes transformada - inversa, com o uso do problema de autovalor auxiliar.

e

Θ(βm, γn, τ ) =

Z 1

0

¯

Θ(βm, Y, τ )Y(γn, Y )dY ; T RAN SF ORM ADA (4.19)

¯ Θ(βm, Y, τ ) = ∞ X n=1 Y(γn, Y ) N (γn) e Θ(βm, γn, τ ); IN V ERSA (4.20)

Com o uso do operador R₀0,5Y(γn, Y )dY e realizando as devidas substitui¸c˜oes, o

(37)

∂ eΘ(βm, γn, τ ) ∂τ + eΘ(βm, γn, τ )(β 2 m+ γ 2 n) = A(βm, γn, τ ) A(βm, γn, τ ) = Q(τ ) sin(βm0, 5) βm + Bisupcos(γn) sin(βm0, 5) βm m = 1, 2, 3, ...; n = 1, 2, 3, ...; τ > 0 (4.21) A equa¸cão 4.21 é sujeita a condi¸cão inicial, para m,n=1,2,3,...:

e Θ(βm, γn, τ ) = sin(βm0, 5) βm sin(γn) γn (4.22) Através do Método do Fator Integrante a equa¸cão 4.21 sujeita à condi¸cão inicial 4.22, foi resolvida, obtendo-se:

e Θ(βm, γn, τ ) = e−(β 2 m+γn2)τ sin(βm0, 5) βm sin(γn) γn + Z τ τ0=0 e(β2m+γ2n)τ 0 A(βm, γn, τ 0 )dτ0 (4.23) Invertendo a equa¸c˜ao 4.23 em “X” e em seguida em “Y ”, usando as equa¸c˜oes 4.8 e 4.20, respectivamente, obtem-se: Θ(X, Y, τ ) = ∞ X m=1 ∞ X n=1 e−(βm2+γn2)τ N (βm)N (γn) X (βm, X)Y(γn, Y ) sin(β_m0, 5) βm sin(γn) γn + Z τ τ0=0 e(βm2+γn2)τ 0 A(βm, γn, τ 0 )dτ0 (4.24) onde: A(βm, γn, τ ) = Q(τ ) sin(βm0, 5) βm + Bisupcos(γn) sin(βm0, 5) βm (4.25)

(38)

4.2 Solu¸

c˜

ao do Problema Direto - Parˆ

ametros

Concentrados

A solu¸cão da equa¸cão 3.35 submetida a condi¸cão inicial 3.36 é dada por:

Θ(τ ) = e−(2Bi+Bisup)τ 1 + Z τ τ0=0 e(2Bi+Bisup)τ 0 (Q(τ ) + Bisup)dτ 0 (4.26)

4.3 Solu¸

c˜

ao do Problema Direto Unidimensional

- CITT

Inicialmente foi escolhido o problema de autovalor auxiliar: d2_{Y(Y )} dY2 + γ 2 nY(Y ) = 0; 0 < Y < 1; τ > 0 (4.27) −dY(Y ) dY + BisupY(Y ) = 0; Y = 0; τ > 0 (4.28) dY(Y ) dY = 0; Y = 1; τ > 0 (4.29) com solu¸c˜ao [40] Y(Y ) = cos[γn(1 − Y )] (4.30)

e integral de normaliza¸cão: 1 N (γn) = 2 γ 2 n+ Bi2sup (γ2 n+ Bi2sup) + Bisup (4.31) onde os autovalores γn são calculados com a seguinte equa¸cão transcendental:

γntan(γn) = Bisup (4.32)

Em seguida, o par de equa¸c˜oes transformada-inversa, com o uso do problema de autovalor foi escolhido [40]:

Θ(γn, τ ) =

Z 1

Y =0

Y(γn, Y )Θ(Y, τ )dY ; T RAN SF ORM ADA (4.33)

Θ(Y, τ ) = ∞ X n=1 Y(γn, Y ) N (γn) Θ(γn, τ ); IN V ERSA (4.34)

(39)

Prosseguindo com a solu¸cão via CITT, a equa¸cão é transformada em um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias:

∂Θ(γn, τ )

∂τ + γ

2

nΘ(γn, τ ) = A(γn, τ )

A(γn, τ ) = Q(τ ) + Bisupcos(γn)

para n = 1, 2, 3, ...; τ > 0 (4.35) As equa¸cões 4.35 são sujeitas as condi¸cões iniciais:

Θ(γn, τ ) =

sin(γn)

γn

; τ > 0 (4.36)

cuja solu¸c˜ao ´e dada por:

Θ(γn, τ ) = e−γ 2 nτ sin(γn) γn + Z τ τ0=0 eγn2τ 0 A(γn, τ 0 )dτ0 (4.37) Utilizando a f´ormula da inversa 4.37, o campo de temperatura adimensional foi obtido. Θ(Y, τ ) = ∞ X n=1 Y(γn, Y ) N (γn) e−γ2nτ sin(γn) γn + Z τ τ0=0 eγn2τ 0 A(γn, τ 0 )dτ0 (4.38) onde A(βm, γn, τ ) = Q(τ ) sin(βm0, 5) βm + Bisupcos(γn) sin(βm0, 5) βm (4.39)

(40)

Cap´ıtulo 5

Problema Inverso

O objetivo deste trabalho ´e a estimativa do fluxo de calor resultante do pro-cesso de usinagem, q(t), utilizando-se medidas de temperatura na ferramenta de brunimento. Tal problema ´e classificado como um Problema Inverso [41].

Matematicamente, Problemas Inversos são classificados como mal postos. Para um problema ser bem posto, a sua solu¸cão tem que atender as seguintes condi¸cões [24]:

- Deve existir; - Deve ser ´unica;

- Deve ser est´avel em rela¸c˜ao aos dados de entrada.

Problemas Inversos determinam as causas (fluxo de calor) a partir de medidas dos efeitos (temperatura na ferramenta). As simula¸cões computacionais e experimentais são analisadas simultaneamente na solu¸cão do problema inverso objetivando obter o máximo de informa¸cões do problema f´ısico em análise [41].

As medidas para solu¸cão do problema inverso foram simuladas conforme [24], na superf´ıcie de contato da ferramenta com o porta ferramenta, por se tratar de um ponto acess´ıvel para medi¸cões de temperatura,na posi¸cão X = 0 e Y = 0.

Ymed = Tex+ wσ (5.1)

5.1 Inferˆ

encia Bayesiana via MCMC (Markov

Chain Monte Carlo)

Para a estimativa do fluxo de calor durante o processo de brunimento, foi utilizada uma técnica dentro da abordagem Bayesiana, para, com o conhecimento prévio das informa¸cões dispon´ıveis no problema, as incertezas da inferência são reduzidas. Nesta abordagem, as novas informa¸cões obtidas são combinadas com as informa¸cões previamente conhecidas, assim, formando a base dos procedimentos estat´ısticos. O

(41)

Teorema de Bayes formaliza a combina¸c˜ao de uma nova infoma¸c˜ao com as dispon´ıveis anteriormente.

Os princ´ıpios básicos da solu¸cão do problema inverso por Inferência Bayesiana são [36]:

- Todos os parâmetros que aparecem na formula¸cão matemática do problema f´ısico são modelados como variáveis aleatórias;

- O conhecimento prévio das variáveis aleatórias são codificados em distribui¸cões de probabilidade;

- A distribui¸cão de probabilidade a posteriori é a solu¸cão do problema inverso. A distribui¸cão de probabilidade a posteriori foi obtida de acordo com o Teorema de Bayes, escrito como [36, 37, 42]:

π(P|Ymed) =

π(P)π(Ymed|P)

π(Ymed)

(5.2) Onde π(Ymed|P) ´e a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, que expressa a densidade de

probabilidade das medidas Ymed dados os parˆametros P, π(P|Ymed) ´e a densidade

de probabilidade a posteriori, que representa a densidade dos parâmetros P dadas as medidas Ymed, π(P) é a densidade a priori dos parâmetros antes das medidas e

π(Ymed) ´e a densidade de probabilidade marginal das medi¸c˜oes, que desempenha o

papel de uma constante de normaliza¸c˜ao.

Logo, o Teorema de Bayes pode ser escrito como:

π(P|Ymed) ∝ π(Ymed|P)π(P) (5.3)

As medidas de temperatura foram simuladas por meio da fórmula 5.1. Essas medidas foram supostas com distribui¸cão normal, média zero e desvio padrão co-nhecido, logo, a fun¸cão de verossimilhan¸ca pode ser escrita como [36]:

π(P|Ymed) = (2π)−n/2|W−1|−1/2exp

−1 2[Ymed− Tex(P)] T_W[Y med− Tex(P)] (5.4) Onde n ´e o n´umero de medidas, Tex(P) representa a temperatura calculada com

a solu¸cão do problema direto em fun¸cão dos parâmetros P e W é a inversa da matriz de covariância dos erros de medi¸cões.

(42)

A matriz W ´e dada por: W =       1/σ2 ₀ 1/σ2 . .. 0 1/σ2       (5.5)

Sabendo que σ ´e o desvio padr˜ao das medidas.

No presente estudo, a solu¸cão do problema inverso é examinada em termos das formula¸cões matemáticas adimensionais do problema f´ısico. Assim, as temperaturas medidas e estimadas correspondem às temperaturas adimensionais Θmed(X, Y, τ )

e Θest(X, Y, τ ), respectivamente. Sendo assim, os parˆametros da formula¸c˜ao do

problema s˜ao:

P = [Q1, Q2, . . . , Qn, Bi, Bisup] (5.6)

Onde Qi ≡ Q(τi), i = 1, . . . , n = 100, representa o valor do fluxo de calor no

tempo τi, que ´e considerado constante no intervalo τi− ∆τ /2 ≤ τ < τi+ ∆τ /2.

Para a estimativa do fluxo de calor foi utilizada uma priori n˜ao informativa, na forma de um campo randˆomico de Markov [36]:

π(Q) = exp −1 2ψregQ T_ZQ (5.7) Onde ψreg é um parâmetro escalar que está associado à regulariza¸cão de

Tikho-nov, Z = DTD e D ´e uma matriz de diferencia¸c˜ao de tamanho (n − 1) × (n) dado por: D =          −1 1 0 . . . 0 0 0 0 −1 1 . . . 0 0 0 .. . ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 . . . −1 1 0 0 0 0 . . . 0 −1 1          (5.8)

Na equa¸c˜ao 5.7, Q representa o vetor com as componentes do fluxo de calor, isto ´e,

QT = [Q1, Q2, . . . , Qn] (5.9)

O parˆametro de regulariza¸c˜ao ψreg foi estimado como parte do problema de

in-ferência, modelado como um hiperparâmetro em termos da distribui¸cão de Rayleigh [36] centrada em ψ0, isto é,

(43)

π(αreg) = ψreg ψ2 0 exp " −1 2 ψreg ψ0 2# ; α > 0 (5.10)

Para o desenvolvimento desse trabalho o centro da distribui¸c˜ao de Rayleigh foi adotado com ψ0=0,00001.

Os parˆametros Bi e Bisup foram modelados com priori informativas gaussianas:

π(Bi) = (2π)−n/2|V|−1/2exp −1 2[Bi − µ] T_V−1 [Bi − µ] ; Bi > 0 (5.11)

π(Bisup) = (2π)−n/2|V|−1/2exp

−1 2[Bisup− µ] T_V−1 [Bisup− µ] ; Bisup> 0 (5.12) Os termos µ e V são respectivamente a média e a matriz de covariância dos parâmetros. Onde µBi = 0, 01941 e µBisup = 0, 06795.

Utilizando a expressão do Teorema de Bayes 5.3, a fun¸cão de verossimilhan¸ca 5.4 e as distribui¸cões a priori 5.7, 5.10, 5.11 e 5.12, temos a seguinte expressão para a distribui¸cão a posteriori : π(P|Ymed) ∝ ψreg ψ2 0 exp −1 2[(Lik) + (P ri1) + (P ri2) + (P ri3) + (P ri4)] (5.13) Onde: Lik = [Ymed− Tex(P)] T_[Y med− Tex(P)] σ2 P ri1 = αregQTZQ P ri2 = ψ_reg ψ0 2 P ri3 = [Bi − µ]TV−1[Bi − µ]

P ri4 = [Bisup− µ]TV−1[Bisup− µ]

Embora a distribui¸cão a posteriori dada pela equa¸cão 5.13 tenha uma expressão anal´ıtica, utilizou-se neste trabalho um método de amostragem (simula¸cão). Assim, inferência sobre a distribui¸cão a posteriori é feita sobre amostras da mesma [32].

(44)

O Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov foi implementado através do algoritmo de Metropolis-Hastings, para gera¸cão das amostras.

O algoritmo de Metropolis-Hastings pode ser descrito como segue [43]:

1 - Arbitra-se um estado inicial P0 = [Q0, Bi0_{, Bi}0

sup, ψreg0 ] para o processo

itera-tivo e inicializa-se um contador para a cadeia de Markov, isto ´e, c = 0;

2 - Gera-se um ponto candidato P∗a partir da distribui¸c˜ao proposta p(P∗, Pc−1);

3 - Calcula-se um fator ξaceit, que representa a probabilidade de aceita¸c˜ao do

ponto candidato P∗, dado por:

ξaceit= min 1, π(P ∗_|Y med)p(P∗, Pc−1) π(Pc−1|Ymed)p(Pc−1|P∗)

4 - Gera-se um n´umero randˆomico U uniformemente distribu´ıdo em (0, 1);

5 - Se U < ξaceit o valor do ponto candidato ´e atualizado Pc = P∗, caso contr´ario

Pc = Pc−1

6 - Retorna-se ao ponto 2 e gera-se a sequˆencia {P1, P2, ..., Pc}

Os estados Pc que antecedem a convergˆencia da cadeia de Markov devem ser desconsiderados, uma vez que esses valores representam o aquecimento da cadeia.

(45)

Cap´ıtulo 6

Propriedades Termof´ısicas

A ferramenta de brunimento utilizada neste estudo foi uma amostra com grão de diamante, fornecida pela FDB Ferramentas, dimensões 10,030 x 10,030 x 2,540 (mm) e ligante metálico, cujo tamanho do grão está na faixa de 50/60 Mesh, conforme apresentada na figura 6.1 .

Figura 6.1: Amostra da Ferramenta de Brunimento

Devido a falta de dados na literatura, as propriedades termof´ısicas dessa amostra foram obtidas através de experimentos realizados no Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC).

6.1 Difusividade T´

ermica

A difusividade térmica foi obtida com o uso do método Flash. Foi utilizado o equipamento NanoFlash LFA447/1 em conjunto com o software Proteus para análise dos dados experimentais, adotando o modelo de Cowan com corre¸cão de pulso.

(46)

Na figura 6.2 pode ser observado o equipamento NanoFlash LFA447/1 do LTTC.

Figura 6.2: NanoFlash LFA447/1 - LTTC

Na figura 6.3, pode ser observado um esquema representativo do funcionamento do Nano Flash, no qual uma pequena amostra de material com espessura fina é submetido a um pulso de energia com alta intensidade e curta dura¸cão, provocado por uma lâmpada de xenônio. A energia do pulso é absorvida em uma face da amostra e o aumento de temperatura na face oposta é medida por um detector de infravermelho. O modelo de Cowan com corre¸cão de pulso foi utilizado para determinar a difusividade térmica.

(47)

Na figura 6.4 s˜ao apresentadas duas amostras da ferramenta de brunimento no porta amostra do Nano Flash.

Figura 6.4: Amostras de Ferramentas no M´etodo Flash

A difusividade térmica foi medida nas temperaturas de 25◦C, 50◦C, 75◦C e 100◦C cada uma com 10 pulsos de energia e dura¸cão do experimento de 8000ms. O tempo para o cálculo da difusividade foi de 600ms.

6.2 Calor Espec´ıfico

Para medi¸cão do calor espec´ıfico foi usado o método do calor´ımetro diferencial de varredura (DSC). Tal método consiste na obten¸cão da curva de corre¸cão (linha-base) por meio da análise do cadinho vazio. Em seguida, a amostra a ser analisada e a amostra de referência foram aquecidas simultaneamente mantendo a diferen¸ca de temperatura entre elas constante, controlando a perda ou o ganho de calor.

O equipamento utilizado neste experimento foi o DSC 204 F1Phoenix-Netzsch (LTTC), conforme ilustrado na figura 6.5. A massa da amostra foi de 65,3mg.

(48)

O experimento teve dura¸cão de 15,24 minutos, onde a temperatura foi avaliada de 22, 568◦C até 54, 568◦C, tendo como material de referência a safira.

De acordo com as normas DIN 51007 e ASTM E1269 o calor espec´ıfico no DSC ´e determinado como segue:

cp = mref mamo DSCamo− DSCbas DSCref − DSCbas (6.1)

Na figura 6.6 s˜ao apresentados os principais componentes do DSC para deter-mina¸c˜ao do calor espec´ıfico.

Figura 6.6: M´etodo DSC

Na figura 6.7 s˜ao apresentadas o porta amostra(cadinho) para o experimento e para a referˆencia em safira.

(49)

6.3 Massa Espec´ıfica

Para a determina¸c˜ao da massa espec´ıfica da ferramenta foi utilizado o dens´ımetro Sartorius YDK 01(LTTC), montado sobre uma balan¸ca Marte AM-220, conforme apresentado na figura 6.8.

Figura 6.8: Dens´ımetro Sartorius YDK 01, montado na balan¸ca Marte AM 220 Foram realizadas cinco medi¸cões com temperatura da água igual a 24, 3◦C. A massa espec´ıfica pode ser obtida utilizando-se a seguinte expressão:

ρ = Wa· [ρf l− 0, 0012g/cm

3_]

0, 99983G + 0, 0012g/cm

3 _(6.2)

6.4 Condutividade T´

ermica

A condutividade térmica foi obtida a partir da defini¸cão da difusividade térmica, considerando os valores medidos da difusividade térmica, do calor espec´ıfico e da massa espec´ıfica.

k = α · ρ · cp (6.3)

As incertezas associadas a condutividade térmica foram obtidas com base no guia para a expressão da incerteza de medi¸cão [44]. As incertezas de uma grandeza real podem ser classificadas como:

- Incerteza tipo A, s˜ao avaliadas por m´etodos estat´ısticos;

- Incerteza tipo B, avaliadas por outros meios como por exemplo a incerteza associada ao equipamento de medi¸c˜ao;

(50)

σ_C2 = q

σ2

A+ σB2 (6.4)

Seja k = f (α, ρ, cp) uma fun¸c˜ao das medidas experimentais e sua incerteza ´e

dada por: ∆k = s ∂k ∂α · ∆α 2 + ∂k ∂ρ · ∆ρ 2 + ∂k ∂cp · ∆cp 2 (6.5) Onde ∆α, ∆ρ e ∆cp s˜ao as incertezas associadas as medidas experimentais α, ρ e

cp respectivamente. Tais incertezas foram obtidas conforme an´alise de repetitividade

(51)

Cap´ıtulo 7

Resultados e Discuss˜

oes

Nesse cap´ıtulo são apresentados os resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho. Inicialmente os valores obtidos experimentalmente para as propriedades termof´ısicas serão apresentados. Em seguida, a solu¸cão do problema direto e as suas verifica¸cões são apresentadas. Por fim, a estimativa via inferência Bayesiana do fluxo de calor na ferramenta é realizada, utilizando-se medidas simuladas de temperatura. Todas as simula¸cões computacionais realizadas foram feitas em MATLAB .R

7.1 Propriedades Termof´ısicas

Os resultados obtidos para Massa Espec´ıfica s˜ao apresentados abaixo.

Tabela 7.1: Resultados experimentais para densidade da ferramenta de brunimento.

Experimento Massa fora d’´agua Massa dentro d’´agua Massa Espec´ıfica

[g] [g] [g/cm3_] 1 1,7530 0,2387 7,31738 2 1,7531 0,2384 7,2964 3 1,7530 0,2401 7,2747 4 1,7530 0,2412 7,2416 5 1,7529 0,2392 7,3017

O valor m´edio obtido para a densidade da feramenta, tomando-se a medida das cinco repeti¸c˜oes foi ρ = 7, 2863g/cm3_{, com desvio padr˜}_{ao igual a 0,0293. A incerteza}

da balan¸ca utilizada no experimento ´e 0, 01%, ou seja, 0, 0007g/cm3_.

Considerando a média dos dez pulsos de energia para cada temperatura ava-liada, na tabela 7.2 são apresentados os valores médios da difusividade térmica da ferramenta de corte, nas temperaturas de 25◦C, 50◦C, 75◦C e 100◦C. Nesta tabela também são apresentados os desvios-padrão das medidas em cada temperatura, as-sim como os coeficientes de correla¸cão dos dados experimentais em rela¸cão ao modelo Cowan com corre¸cão de pulso.

(52)

Tabela 7.2: Resultados para difusividade t´ermica.

Temperatura M´edia Desvio Padr~ao Correla¸c~ao [◦C] [mm2_/s] _[mm2_/s] _[Cowan+PC]

25 8,2221 0,2370 98,4339% 50 8,0439 0,2404 99,2018% 75 8,1193 0,2246 99,5317% 100 7,9100 0,2400 99,6383%

Observando os resultados médios, verificou-se que os valores da difusividade térmica não apresentaram grandes varia¸cões em rela¸cão a varia¸cão de tempera-tura. Sendo assim, neste trabalho foi usado, um valor médio para essa propriedade α = 8, 0738mm2_{/s, com desvio padr˜}_{ao igual a 0, 2541.}

Na figura 7.1 observa-se o resultado do d´ecimo pulso de energia na temperatura de 25◦C com valor da difusividade t´ermica igual a 7, 361mm2_/s.

Figura 7.1: Difusividade T´ermica - M´etodo Flash

Atrav´es do DSC foi obtida a curva do calor espec´ıfico para um aquecimento realizado durante 15,24 minutos de uma temperatura 22, 568◦C at´e 54, 568◦C, como pode ser observado na figura 7.2.

(53)

Figura 7.2: Calor Espec´ıfico - DSC

O valor m´edio obtido para o calor espec´ıfico da ferramenta foi cp = 0, 4947J/gK,

com desvio padr˜ao igual a 0,0510.

Considerando os valores das propriedades termof´ısicas constantes obtidos das médias dos experimentos realizados e aplicando a equa¸cão 6.3, o valor da con-dutividade térmica foi obtido k = 29, 1023W/mK Para α = 8, 0738 × 10−6m2_/s,

ρ = 7, 2863 × 106_g/m3 _{e c}

p = 0, 4947J/gK

As incertezas associadas as propriedades termof´ısicas analisadas nesse traba-lho s˜ao descritas na tabela abaixo:

Tabela 7.3: Incertezas associadas as propriedades termof´ısicas.

M´edia Estat´ıstica Equipamento Combinada Intervalo 99% [σA] [σB] [σC]

α = 8, 0738mm2/s 0,2541 0,0500 0,2590 ±0, 6672mm2_/s

ρ = 7, 2863g/cm3 _0,0293 _0,0001 _0,0293 _{±0, 0755g/cm}3

cp= 0, 4947J/gK 0,0510 0,0500 0,0503 ±0, 1296J/gK

Propagando as incertezas das medidas experimentais, foi determinada a incerteza da condutividade t´ermica k = 29, 1023 ± 7, 9965W/mK

7.2 Problema Direto

Para determina¸cão do campo de temperatura na ferramenta analisada, se faz necessário o conhecimento das caracter´ısticas do problema como, geometria, propri-edades f´ısicas, condi¸cão inicial e condi¸cões de contorno e termo fonte de energia.

O processo de brunimento é modelado pelas variáveis dispon´ıveis na literatura e aplicados na indústria automotiva, de modo que a f´ısica do problema seja próxima da realidade.