Um das limita¸c˜oes na estimativa do fluxo de calor do processo de brunimento com o uso do M´etodo de Parˆametros concentrados na solu¸c˜ao do problema direto foi o tempo do processo de brunimento. Objetivando avaliar a robustez da Inferˆencia usada para solucionar o problema inverso, uma nova estimativa foi realizada com o tempo adimensional maior (τ = 160).
Com o novo tempo de processo (τ = 160), o problema direto foi resolvido pela T´ecnica da Transformada Integral Cl´assica e verificado com o modelo de parˆametros concentrado.
Os campos de temperaturas obtidos da solu¸c˜ao do problema direto e da veri- fica¸c˜ao pode ser observado na figura 7.47. Nessa solu¸c˜ao verifica-se que o modelo de Parˆametros Concentrado com um tempo do processo de brunimento maior, re- presenta melhor a f´ısica do problema, permitindo uma distribui¸c˜ao homogˆenea da temperatura na superf´ıcie da ferramenta.
Figura 7.47: Verifica¸c˜ao do Problema Direto com τ = 160 - Brunimento Em seguida, medidas de temperatura foram simuladas a partir da solu¸c˜ao do problema direto. Na figura 7.48, pode-se observar a solu¸c˜ao do problema direto via Parˆametros concentrados, as medidas simuladas com erro de 1% em rela¸c˜ao a solu¸c˜ao exata e o campo de temperatura estimado pela t´ecnica de Monte Carlo com Cadeia de Markov.
Observa-se que o MCMC, recuperou o campo de temperarura com boa exatid˜ao. Essa estimativa est´a relacionada ao fato de que o tempo adimensional de brunimento utilizado τ = 160, permitiu uma perfeita distribui¸c˜ao da temperatura na superf´ıcie analisada, condi¸c˜ao necess´aria para o uso do M´etodo de Parˆametros Concentrados na solu¸c˜ao do problema direto.
Figura 7.48: Campo de Temperatura com τ = 160 - Brunimento
Figura 7.49: Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 32 - Brunimento Nas figuras 7.49, 7.50, 7.51 e 7.52, observa-se o acompanhamento da cadeia de Markov para alguns tempos adimensionais. Observa-se que as distribi¸c˜oes a
posteriori estimadas apresentaram caracteristicas pr´oximas de uma Gaussiana.
Figura 7.50: Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 64 - Brunimento
Figura 7.52: Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 128 - Brunimento Nas figuras 7.53, 7.54 e 7.55 s˜ao observados o acompanhamento das cadeias de Markov e as distribui¸c˜oes a posteriori dos parˆametros de regulariza¸c˜ao ψreg, e os
n´umeros de Biot Bi e Bisup, respectivamente.
Figura 7.54: Acompanhamento da Cadeia - Bi - Brunimento com τ = 160
Observa-se na figura 7.56, que a estimativa do fluxo de calor no processo de brunimento com um tempo de τ = 160 apresentou a fun¸c˜ao esperada dentro dos intervalos de confian¸ca de 99 %, ao longo de todo o processo, seja no desbaste ou no acabamento. O uso do tempo de τ = 160 foi usado apenas para comprovar a efic´acia do m´etodo. Um fun¸c˜ao constante com valor igual a 65% do valor m´aximo do fluxo de calor foi adotada como condi¸c˜ao inicial.
Figura 7.56: Estimativa do Fluxo de Calor - Brunimento com τ = 160 Na tabela abaixo pode-se observar os resultados de todas as estimativas realiza- das para a fun¸c˜ao brunimento com um tempo adimensional maior (τ = 160).
Tabela 7.9: Solu¸c˜ao do Problema Inverso para Fun¸c˜ao Brunimento.
Tempo de CPU 19,41 segundos Estados Totais 30.000 Estados Aceitos 11.885 Aceita¸c˜ao (%) 39,62% Aquecimento 10.000 Valor Esperado ψreg 0,00001
Valor Inicial ψreg 0,00002
Valor M´edio Estimado ψreg 0,00001104
Desvio Padr˜ao para ψreg 0,00000664
Valor Esperado Bi 0,01941 Valor Inicial Bi 0,01262 Valor M´edio Estimado Bi 0,01951 Desvio padr˜ao para Bi 0,00060 Valor Esperado Bisup 0,06795
Valor Inicial Bisup 0,04417
Valor M´edio Estimado Bisup 0,06815
Cap´ıtulo 8
Conclus˜oes e Sugest˜oes
Este trabalho teve por objetivo estimar o fluxo de calor gerado na ferramenta de corte durante o processo de brunimento de um cilindro de uma motocicleta 125cc, atrav´es de um m´etodo de Problemas Inversos em Transferˆencia de Calor.
O problema f´ısico foi modelado bidimensionalmente e a solu¸c˜ao do problema direto foi obtida pela T´ecnica da Transformada Integral Cl´assica (CITT). Duas verifica¸c˜oes da solu¸c˜ao do problema direto foram realizadas, uma com modelo uni- dimensional com solu¸c˜ao via CITT e outra por Parˆameros concentrados. Ambas apresentaram boa concordˆancia com a solu¸c˜ao bidimensional via CITT.
As propriedades termof´ısicas da ferramenta de corte foram obtidas a partir de experimentos laboratoriais. A difusividade t´ermica foi obtida por meio do M´etodo Flash, o calor espec´ıfico pelo DSC e a massa espec´ıfica pelo dens´ımetro.
Medidades de temperatura foram simuladas a partir da solu¸c˜ao do problema direto com erros randˆomicos, tendo a vari´avel randˆomica distribui¸c˜ao normal, m´edia zero e desvio padr˜ao unit´ario.
Atrav´es do M´etodo de Monte Carlo com Cadeia de Markov e implementa¸c˜ao do Algoritmo de Metropolis-Hastings o problema inverso foi resolvido. Al´em da estima- tiva do fluxo de calor, foram estimados o parˆametro escalar associado `a regulariza¸c˜ao de Tikhonov (ψreg) e os n´umeros de Biot (Bi e Bisup) envolvidos na formula¸c˜ao do
problema de inferˆencia. Para o fluxo de calor foi adota uma priori n˜ao informativa, j´a para os n´umeros de Biot (Bi e Bisup) foram adotadas prioris Gaussianas e para
o parˆametro ψreg distribui¸c˜ao de Rayleigh.
Para trabalho futuros sugere-se o uso do Approximation Error Model e a re- aliza¸c˜ao de experimentos para tomadas de temperaturas, bem como a otimiza¸c˜ao do aparato experimental em rela¸c˜ao ao n´umero de sensores e o posicionamento dos mesmos.
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Apˆendice A
C´alculos dos Parˆametros
A.1
Resistˆencia T´ermica de Contato
A resistˆencia t´ermica de contato foi modelada nesse trabalho como uma lˆamina de ar existente entre a pedra de brunimento e o suporte do porta ferramenta, com espessura igual a 1/4 do tamanho do gr˜ao abrasivo adotado.
Da Lei do Resfriamento de Newton dada resistˆencia t´ermica de contato, temos:
q = hA∆T (A.1)
Rt =
∆T
q (A.2)
Igualando o termo q das equa¸c˜oes A.1 e A.2, obtemos:
h = 1 RtA
(A.3) A resitˆencia t´ermica de condu¸c˜ao ´e dada por:
Rt =
L
kA (A.4)
Substituindo Rt da equa¸c˜ao A.4 na equa¸c˜ao A.3, obtemos:
h = k
L (A.5)
Considerando a temperatura da camada de ar adotada com 300K, de Incropera [46] foi obtido a condutividade t´ermica do ar k = 26, 3·10−3W/mK, logo o coeficiente de transferˆencia de calor relativo a resistˆencia t´ermica de contato foi obtido pela equa¸c˜ao A.5. Logo hsup = 395, 49W/m2K