Para estimar o prêmio das opções é necessário obter o preço do ativo (X) o preço de exercício, a taxa de juros (r), a volatilidade (σ) e o tempo (T). Assim, o preço do ativo e o preço de exercício foram obtidos junto a BM&FBOVESPA para os anos de 2008, 2009 e 2010. A taxa de juros utilizada foi a Taxa Selic diária e foi obtida no site do Ipea. O cálculo da volatilidade foi efetuado a partir do retorno da ação, retirando-se assim, sua média e desvio-padrão, a planilha utilizada nesse cálculo encontra-se no apêndice A.
Admitindo-se a existência de vários contratos de opções para um determinado ativo, (por exemplo, para o papel petr4 pode-se encontrar no mercado: petra20, petra22, petra24 e
8O autor sugere que, uma forma de reduzir esses dados a padrão seria considerar todas as unidades em base diária.
43 etc.), para compor a base de dados, foi calculada a média do volume de cada série e foram selecionadas as séries com maior liquidez (maior volume de negócios). Foram escolhidas apenas as opções de compra devido à sua alta liquidez no mercado, uma vez que as opções de venda apresentam pouca liquidez.
Foram excluídos do cálculo os valores da data de exercício uma vez que seu valor é mínimo na data de vencimento e o tempo que decorre até a expiração do contrato é zero, impossibilitando a divisão da fórmula do modelo B&S. Assim, com todos os dados necessários para obtenção do prêmio da opção utilizou-se a fórmula de Black & Scholes para a opção de compra. No apêndice B encontra-se um trecho da planilha referente ao cálculo das opções de compra.
44
5. RESULTADOS
A análise inicial do modelo de Black e Scholes se dá pela base dos retornos das ações da Petrobras e da Vale para os anos de 2008 à 2010. O retorno é calculado dividindo o preço da ação observado no momento t pelo preço observado em t-1. Abaixo segue a tabela 4, mostrando os resultados para a análise estatística descritiva do retorno da Petrobras.
Tabela 4 – Estatística descritiva do retorno Petrobras
Ao analisar os resultados do retorno da Petrobras observa-se uma média de 0,999 e mediana igual à 1, com desvio padrão de 0,034 sua medida de assimetria é -4,036 mostrando que a série possui assimetria negativa (ou à esquerda). Observando sua medida de curtose pode-se afirmar que a série de retorno da Petrobras possui uma curva de distribuição do tipo platicúrtica. No teste de Jarque-Bera, (ou teste de normalidade com nível de significância de 5%), a variável não apresenta distribuição normal. Abaixo segue a Fig. 20 que mostra o histograma do retorno da Petrobras.
Figura 20 - Histograma retorno Petrobras
Para a Vale, a tabela 5 mostra os resultados da estatística descritiva: 0 50 100 150 200 250 300 350 F re q ü ê n ci a Bloco Média 0,999054 Erro padrão 0,001291 Mediana 1,000000 Desvio padrão 0,034422 Variância da amostra 0,001185 Curtose 60,42546 Assimetria -4,03645 Teste de Jarque-Bera 108547,8
45 Tabela 5 - Estatística descritiva do retorno da Vale
Média 1,000432731 Erro padrão 0,001134135 Mediana 1,000470588 Desvio padrão 0,030241236 Variância da amostra 0,000914532 Curtose 3,778254632 Assimetria 0,215766226 Teste de Jarque-Bera 420,6
De acordo com a tabela 5 tem-se que a média é igual a mediana com valor de 1; e a variância e desvio padrão evidenciam que não á uma grande distancia da média. A assimetria observada é de 0,216, portanto a série possui assimetria positiva ou à direita e com curtose de 3,778 diz-se que a o tipo de curva de distribuição é platicúrtica. Analisando seu resultado quanto ao teste de Jarque-Bera, pode-se afirmar que com nível de significância de 5%, a variável não apresenta distribuição normal. A figura a seguir mostra o histograma do retorno da Vale para todo o período da pesquisa:
Figura 21 - Histograma retorno Vale
Os preços das opções foram calculados a partir do modelo Black & Scholes e as séries obtidas para a Petrobras e para a Vale foram dispostas em gráficos de linhas, mostrando todo o período de 2008 até 2010. Com esses valores calculados, pôde-se comparar os preços obtidos com os preços observados no mercado, e considerando o objetivo do Modelo B&S, espera-se que os preços observados no mercado e os preços calculados a partir do modelo sejam praticamente iguais, fazendo com que as linhas que as representam tenham o mesmo comportamento, pois quanto mais próximas as linhas estiverem, menor será a diferença entre os prêmios calculados e teóricos, assim, a Fig. 22 mostra a relação entre as duas opções de compra (observada e teórica) para a Petrobras
0 100 200 300 400 Fr e q ü ê n ci a Bloco
46 Fig ur a 22 - Pre ço teó ric o d a opç ão de c om pr a v er sus p reç o obse rv ado d a o pçã o de com pr a da Pe trob ra s – 200 8- 2010 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 2/1/2008 2/2/2008 2/3/2008 2/4/2008 2/5/2008 2/6/2008 2/7/2008 2/8/2008 2/9/2008 2/10/2008 2/11/2008 2/12/2008 2/1/2009 2/2/2009 2/3/2009 2/4/2009 2/5/2009 2/6/2009 2/7/2009 2/8/2009 2/9/2009 2/10/2009 2/11/2009 2/12/2009 2/1/2010 2/2/2010 2/3/2010 2/4/2010 2/5/2010 2/6/2010 2/7/2010 2/8/2010 2/9/2010 2/10/2010 2/11/2010 2/12/2010 Cal l teóri ca Cal l o b se rv ad a
47 Dada a metodologia utilizada para selecionar a base de dados, as opções observadas são compostas por vários contratos diferentes quanto ao preço de exercício e ao prazo de vencimento, dessa forma, observa-se que a cada vencimento de opções um novo contrato, com preço de exercício diferente, entra na série e isto causa os altos e baixos que compõem o gráfico da fig.22
No ano de 2008, observa-se que há uma grande distância entre as opções observadas e as opções teóricas nos meses de maio e junho, essa diferença não pode ser interpretada como um erro de cálculo ou pela ineficiência do modelo, pois no dia 24 de abril de 2008 houve um desdobramento de ações da companhia, onde tanto as ações ordinárias quanto as preferenciais passaram a ser representada por duas ações pós-desdobramento. Essa prática serve para que as empresas possam diluir o valor unitário do papel aumentando assim, a liquidez dos negócios. Dessa forma, os contratos de opções firmados antes dessa data estavam vinculados aos preços de antes do desdobramento, já os preços calculados pelo modelo Black & Scholes se basearam nos preços correntes, causando esta diferença entre a opção observada e a opção teórica. Para a interpretação dos dados, esse período não foi considerado, tendo em vista o desdobramento das ações.
De acordo com os resultados descritos no gráfico da Fig.22 opções calculadas, através do modelo Black & Scholes, mostram-se próximas do preço das opções observado no mercado, fazendo a mesma análise para as opções da Vale e os resultados são demonstrados na Fig. 23:
48 Figura 23 - Preço teórico da opção de compra versus preço observado da opção de compra da Vale – 2008-2010
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00
49 O gráfico 23, assim como o gráfico das opções da Petrobras (Fig. 23), comprova que a opção teórica e a opção observada da Vale, possuem praticamente o mesmo comportamento. Não houve desdobramento de ações para a Vale e seu gráfico não apresenta o mesmo problema das opções da Petrobras, e as duas opções se comportam praticamente com os mesmos valores .
Observando os gráficos das Fig. 22 e 23, é possível afirmar que o modelo realmente consegue precificar as opções de compra das duas empresas, pois as diferenças entre as duas linhas parecem mínimas e são representadas em centavos. Porém, o preço de uma opção é relativamente barato, quando comparada ao preço da ação, assim, com preços menores essas diferenças em centavos, podem ser significativas. Para descrever essa relação, usa-se a Fig. 24 e 25, que mostra a diferença ente a opção observada e a opção teórica da Petrobras:
Figura 24 Diferença entre as duas opções de compra (call observada – call teórica) da Petrobras – 01- 07/2008
Devido ao desdobramento das ações da Petrobras no início de 2008, para melhor visualizar a diferença entre as opções de compra observada e as opções de compra calculadas a partir do modelo, foram elaborados dois gráficos, para que os valores mais altos referentes ao período pós-desdobramento não prejudique a visualização dos resultados, assim, segue a Fig. 25 que mostra a mesma análise para os demais períodos:
-2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 2/1/2008 2/2/2008 2/3/2008 2/4/2008 2/5/2008 2/6/2008
50 Figura 25 - Diferença entre as duas opções de compra (call observada – call teórica) da Petrobras –
07/2008-2010
Na Fig 25 é importante observar que quanto mais próximo de zero for a diferença, maior será a eficiência do modelo Black & Scholes e novamente o desdobramento da ação da Petrobras ocorrida em abril de 2008 prejudicou a análise, esse fato, é evidenciado nos meses de abril, maio, junho e julho do mesmo ano. O gráfico da Fig. 26 mostra que diferença entre o preço das duas opções estudadas, excluindo-se o período pós-desdobramento da ação da Petrobras, varia entre –R$1,00 e R$ 1,00. Seguindo a análise feita para a Petrobras, o mesmo gráfico também foi produzido para as opções da Vale e o resultado é descrito na Fig. 26, a seguir: -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50
51 Figura 26 - Diferença entre as duas opções de compra (call observada – call teórica) da Vale – 2008-2010
-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50
52 Sem desdobramento de ações, o gráfico que representa a diferença entre as opções observadas e as opções teóricas da Vale apresenta-se variando em média entre -R$0,50 e R$0,50, com algumas exceções.
Essas variações quando comparada ao preço das opções representam grandes proporções do seu preço, assim, pode-se afirmar que o modelo Black & Scholes é o melhor modelo de precificação de opções, ou seja, é o que mais se aproxima da realidade, porém essa diferença ainda é significativa, podendo ser melhorada pela substituição de volatilidade, que pode ser calculada de diferentes maneiras.
53 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Teoria moderna das Finanças vem acompanhando e buscando compreender e teorizando o funcionamento dos mercados financeiros, tornando-se uma ferramenta indispensável para o agente investidor, levando-se em consideração o crescente número de investidores no mercado de ações e de derivativos. Nesse contexto, o mercado de derivativos, mostra-se como alternativa, tanto para especulação como principalmente, para proteção do capital investido. É frequente a utilização de diversas técnicas de proteção através da compra e venda de opções, assim, buscando minimizar o risco, precificar os contratos de opções, analisar suas trajetórias e auxiliar o agente investidor a tomar decisões, o modelo de Black e Scholes é a ferramenta mais citada na literatura e o objetivo dessa pesquisa foi verificar a eficiência do modelo como ferramenta para o investidor, testando empiricamente o uso do preço relativo nas operações dos ativos da Petrobrás S.A e Vale S.A.
Para a análise empírica, as empresas Petrobras e Vale foram escolhidas por serem a maiores empresas representativas no índice IBOVESPA, onde juntas, somam 20% na composição do IBOVESPA, além de terem as ações mais negociáveis na BM&FBOVESPA. Em 2007, a Petrobras descobriu uma das maiores reservas de petróleo na Bacia de Santos e desde então, iniciou-se grandes investimentos, principalmente na área de exploração de petróleo. Com excelentes resultados em 2010 e depois de capitalizar-se para garantir suas metas de investimento, a empresa é líder em seu setor no Brasil e reconhecida internacionalmente, com cotações de suas ações dentro e fora do país. A Vale S.A., desde sua privatização, vem acumulando recordes de extrações de minério de ferro e obtendo notórios resultados ao longo dos anos, fazendo de sua empresa a segunda maior do mundo. É notório que as empresas são líderes em seus setores no Brasil e são conhecidas internacionalmente no mercado, além de possuírem os contratos de opções mais negociáveis da BM&FBOVESPA, justificando a escolha das duas empresas.
As opções que foram selecionadas para compor a série utilizada na estimação foram escolhidas de acordo com seu volume, assim, os contratos que apresentaram a maior média de volume financeiro, dentre o grupo de opções negociadas naquele período, foi selecionado. A volatilidade foi calculada através do desvio padrão, a taxa de juros utilizada foi a Taxa Selic diária de 2008 à 2010, obtida no site do Ipea, já o preço da ação e da opção foi obtidos junto a BM&FBOVESPA. Com os dados obtidos foi utilizada a fórmula do Modelo Black & Scholes
54 para calcular o valor do prêmio das opções da Vale e da Petrobras para os anos de 2008 e 2010 e os valores alcançados foram comparados com os valores observados para cada opção. Posteriormente, foi calculada a diferença entre as duas opções visando quantificar a distância entre as duas variáveis.
Os resultados obtidos mostraram que as opções de compra calculadas pelo Modelo Black & Scholes foram satisfatórias, uma vez que seus valores são próximos das opções observadas no mercado. A análise para a Petrobras foi prejudicada pelo desdobramento das ações nos primeiros meses do ano de 2008, assim as conclusões foram baseadas levando em consideração esse fato, ou seja, desconsiderando os resultados desse período. Já as opções da Vale foram analisadas levando-se em consideração todo o período da pesquisa. Os resultados para a diferença entre as duas opções (teórica e observada) se mostraram significativos. Mesmo constituindo-se em centavos, quando considerado o baixo valor do prêmio de uma opção, essa medida mostra-se relevante para a conclusão sobre a eficiência do modelo.
Dessa forma, conclui-se que o modelo Black & Scholes pode ser utilizado como uma ferramenta para o agente investidor, ou em outras palavras, é o modelo que mais se aproxima da realidade do preço de uma opção de compra. Com a utilização do modelo, o investidor pode monitorar a tendência dos prêmios das opções de compra, melhorando sua análise e expectativa do mercado. Porém as diferenças encontradas entre o preço teórico e o preço real não podem ser desprezadas, podendo ser melhorada pela substituição da volatilidade, que pode ser calculada de diferentes maneiras. Conclui-se que o modelo de Black e Scholes constitui-se uma ferramenta eficiente para nortear e monitorar a tendência do preço das opções de compra.
55 7. REFERENCIAS
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SILVA NETO, L. A. Derivativos: Definições, Emprego e Risco. 3ª Ed. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, 1981.
SILVA NETO, L. A. Opções: do tradicional ao exótico. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 1996. SILVA, L. M. Mercado de opções: conceitos e estratégias. 3ª Ed. Rio de Janeiro: Halip, 2008./
56 8. APÊNDICE
Apêndice A - Trecho da planilha do cálculo da volatilidade