Esta se¸c˜ao tem como base o artigo [Mar85], e seu objetivo ´e chegar em um resultado sobre a estrutura das co´algebras pontuais, que estende o obtido pelo Teorema de Taft-Wilson, enunciado a seguir, cuja demonstra¸c˜ao est´a em [Mon93b, Theorem 5.4.1].
Teorema 2.3.1 (Taft-Wilson). Seja C uma co´algebra pontual e seja G = G(C). Ent˜ao:
(i) C1= kG ⊕ ( L g,h∈G
Pg,h′ (C)).
(ii) para cada n ≥ 2 e todo c ∈ Cn, c = X g,h∈G
cg,h, onde ∆(cg,h) = g ⊗ cg,h+ cg,h ⊗ h + w, para
algum w ∈ Cn−1⊗ Cn−1.
Observa¸c˜ao. Quando combinamos o Teorema de Taft-Wilson com o Teorema 1.3.16, obtemos um resultado um pouco mais refinado para o item (ii). Nota-se na verdade que w ∈Pn−1i=1 Ci⊗ Cn−i.
Durante esta se¸c˜ao, C representar´a sempre uma co´algebra pontual e {Cn}n≥0 a sua filtra¸c˜ao co-radical. Por [Mon93b, Theorem 5.4.2], existe um coideal I de C tal que C = I ⊕ C0. Conv´em ressaltar que esse coideal I n˜ao ´e ´unico.
Para cada n ≥ 1, seja In = Cn∩ I. Como C0 ⊆ Cn, temos que Cn = In⊕ C0. Sejam agora X0 = C0, X1 = I1 e, para cada n ≥ 2, seja Xn subspa¸co de C, tal que In = In−1⊕ Xn. Definindo C−1= 0, temos que Cn= In⊕ C0= In−1⊕ Xn⊕ C0 = Cn−1⊕ Xn, para todo n ≥ 0.
Na demonstra¸c˜ao do Teorema de Taft-Wilson (Teorema 2.3.1) prova-se que I1= M
g,h∈G
Pg,h′ (C). (2.4)
Observa¸c˜ao. Para cada n ≥ 1, note que In= n L i=1
Xi.
Xσ,τ,n = {x ∈ Xn: ∆(x) ∈ (σ ⊗ x + C ⊗ Cn−1) ∩ (x ⊗ τ + Cn−1⊗ C)}. Xσ,τ =M
n≥0
Xσ,τ,n.
Note que Xσ,τ,0 = {x ∈ X0 : ∆(x) = σ ⊗ x = x ⊗ τ }. Ent˜ao,
Xσ,τ,0 = (
kσ , se σ = τ . 0 , se σ 6= τ . No caso de n ≥ 1, ´e f´acil ver que
Xσ,τ,n= {x ∈ Xn: ∆(x) ∈ σ ⊗ x + x ⊗ τ + Cn−1⊗ Cn−1}.
(Para essa verifica¸c˜ao, basta considerar uma base de C contendo x que estenda uma base de Cn−1, para cada x ∈ Xσ,τ,n).
Proposi¸c˜ao 2.3.2. (i) Para todo n ≥ 0, temos:
Xn= M σ,τ ∈G
Xσ,τ,n.
(ii) Xσ,τ,1⊂ Pσ,τ(C), para todos σ, τ ∈ G.
Demonstra¸c˜ao. (i) O fato de que, para todo n ≥ 0,
Xn= X σ,τ ∈G
Xσ,τ,n,
´e consequˆencia imediata do Teorema de Taft-Wilson (Teorema2.3.1). Se n = 0, a soma ´e claramente direta. Seja n ≥ 1 e seja x ∈ Xσ,τ,n∩ Xσ′,τ′,n, onde σ, τ, σ′, τ′ ∈ G e (σ, τ ) 6= (σ′, τ′). Podemos supor sem perda de generalidade que σ 6= σ′, da´ı ∆(x) = σ ⊗ x + w = σ′⊗ x + w′, onde w, w′ ∈ C ⊗ Cn−1. Como x ∈ Cn, ent˜ao x = 0. Portanto, a soma ´e direta.
(ii) Seja x ∈ Xσ,τ,1 ⊆ X1 = I1. De (2.4), podemos escrever x = X g,h∈G cg,h, onde cg,h ∈ P′ g,h(C). Da´ı ∆(x) = X g,h∈G (g ⊗ cg,h+ cg,h⊗ h) ∈ σ ⊗ x + x ⊗ τ + C0⊗ C0.
Pelo Teorema de Taft-Wilson (Teorema 2.3.1), a soma C0⊕ ( L g,h∈G
Pg,h′ (C)) ´e direta. Assim, ´e f´acil concluir que ∆(x) = σ ⊗ x + x ⊗ τ , ou seja, x ∈ Pσ,τ(C).
Segue um resultado importante sobre os espa¸cos Xσ,τ,n quando estamos em uma ´algebra de Hopf pontual.
Proposi¸c˜ao 2.3.3. Seja H uma ´algebra de Hopf pontual e seja x ∈ Xσ,τ,n ⊆ H, onde n ≥ 0 e σ, τ ∈ G(H). Ent˜ao, para todo ν ∈ G(H), νx ∈ Xνσ,ντ,n.
Demonstra¸c˜ao. ´E claro que vale para o caso em que n = 0. Vamos mostrar que vale para n ≥ 1. Da defini¸c˜ao de Xσ,τ,n, temos que ∆(x) ∈ σ ⊗ x + x ⊗ τ + Hn−1⊗ Hn−1. Da´ı,
∆(νx) = ∆(ν)∆(x) ∈ (ν ⊗ ν)(σ ⊗ x + x ⊗ τ + Hn−1⊗ Hn−1) = νσ ⊗ νx + νx ⊗ ντ + νHn−1⊗ νHn−1
⊆ νσ ⊗ νx + νx ⊗ ντ + Hn−1⊗ Hn−1, pela Proposi¸c˜ao1.3.19. Pela defini¸c˜ao de Xνσ,ντ,n, conclu´ımos que x ∈ Xνσ,ντ,n.
Definimos L0 = {0}, Li= i L j=1 Xj, para i ≥ 1, e Lσ,τ = L n≥1
Xσ,τ,n. Para i ≥ 0 e g, h ∈ G, sejam πi e πg,h as proje¸c˜oes naturais de C em Xi e Xg,h, respectivamente. Denotemos por πg,h,i a composta πi◦ πg,h, que ´e a proje¸c˜ao em Xg,h,i.
Proposi¸c˜ao 2.3.4. Para todo i ≥ 1 e todo c ∈ Xi, temos (π0⊗ π0) ◦ ∆(c) = 0 e ε(c) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Como c ∈ Xi⊆ I, que ´e um coideal de C, temos ε(c) = 0. Al´em disso, ∆(c) ⊆ C ⊗ I + I ⊗ C = C0⊗ I + I ⊗ C0+ I ⊗ I.
Assim conclu´ımos que (π0⊗ π0) ◦ ∆(c) = 0.
A seguir o teorema principal desta se¸c˜ao, baseado no artigo [Mar85, Theorem 2.1], que estende a descri¸c˜ao feita no Teorema de Taft-Wilson (Teorema 2.3.1) quando a comultiplica¸c˜ao ´e aplicada em um elemento da co´algebra C.
Teorema 2.3.5. Para todos g, h ∈ G e todo x ∈ Lg,h, temos que ∆(x) ∈ g ⊗ x + x ⊗ h +X
υ∈G
Lg,υ⊗ Lυ,h.
Demonstra¸c˜ao. Sejam g, h ∈ G. Vamos mostrar por indu¸c˜ao em n que o teorema vale para todo
x ∈ Xi. ´E f´acil ver que vale para x ∈ Xg,h,1, a partir da Proposi¸c˜ao 2.3.2. Vamos supor que vale para x ∈ Xg,h,i−1 = Xi−1∩ Lg,h.
Seja c ∈ Xg,h,i. Pelo Teorema de Taft-Wilson (Teorema2.3.1), temos:
∆(c) ∈ g ⊗ c + c ⊗ h + i−1 X j=1 Cj⊗ Ci−j = g ⊗ c + c ⊗ h + i−1 X j=1 (C0⊕ Lj) ⊗ (C0⊕ Li−j) = g ⊗ c + c ⊗ h + ( i−1 X j=1
Lj ⊗ Li−j) + (C0⊗ Li−1) + (Li−1⊗ C0) + (C0⊗ C0).
(2.5)
Pela Proposi¸c˜ao 2.3.4, podemos eliminar o termo C0⊗ C0 da express˜ao acima. Gostar´ıamos de eliminar tamb´em os termos C0⊗ Li−1 e Li−1⊗ C0. Denotando por ψ = Pi−1j=1πj, a proje¸c˜ao de C em Li−1, podemos escrever:
(ψ ⊗ π0) ◦ ∆
(c) =X b∈G
lb⊗ b, onde lb ∈ Li−1, para todo b ∈ G. (2.6)
(π0⊗ ψ) ◦ ∆(c) =X b∈G
b ⊗ rb, onde rb ∈ Li−1, para todo b ∈ G. (2.7)
Para provar que os elementos acima s˜ao nulos, aplicaremos ∆ ⊗ Id e Id ⊗ ∆ em (2.5). Pela coassociatividade da comultiplica¸c˜ao, os elementos obtidos dever˜ao ser iguais. Em particular, as componentes desses elementos em Li−1⊗ C0⊗ C0 e em C0⊗ C0⊗ Li−1 dever˜ao coincidir.
(i) Observe que a componente de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ C0⊗ C0 ´e (Id ⊗ ∆) ◦ (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆
(c), e a componente de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ C0⊗ C0 ´e
(Id ⊗ π0⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆(c) + (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆(c) ⊗ h. Da´ı e da equa¸c˜ao (2.6), temos que
X b∈G lb⊗ b ⊗ b =X b∈G (Id ⊗ π0) ◦ ∆(lb) ⊗ b +X b∈G lb⊗ b ⊗ h.
(ii) Observe que a componente de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) em C0⊗ C0⊗ Li−1 ´e
(Id ⊗ π0⊗ Id) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ (π0⊗ Ψ) ◦ ∆(c) + g ⊗ (π0⊗ Ψ) ◦ ∆(c), e a componente de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) em C0⊗ C0⊗ Li−1 ´e
(∆ ⊗ Id) ◦ (π0⊗ Ψ) ◦ ∆
(c). Da´ı e da equa¸c˜ao (2.7), temos que
X b∈G b ⊗ (π0⊗ Id) ◦ ∆ (rb) +X b∈G g ⊗ b ⊗ rb =X b∈G b ⊗ b ⊗ rb.
De (i) e (ii) , temos:
(Id ⊗ π0) ◦ ∆
(lν) = lν⊗ ν, para todo ν ∈ G, com ν 6= h. (2.8) (Id ⊗ π0) ◦ ∆(lh) = −
X b∈G b6=h
lb⊗ b. (2.9)
(π0⊗ Id) ◦ ∆(rν) = ν ⊗ rν, para todo ν ∈ G, com ν 6= g. (2.10) (π0⊗ Id) ◦ ∆ (rg) = −X b∈G b6=g b ⊗ rb. (2.11)
Como (ε ⊗ Id) ◦ ∆(c) = (ε ⊗ Id) ◦ (π0⊗ Ψ) ◦ ∆(c) + 1k⊗ c e (Id ⊗ ε) ◦ ∆(c) = (Id ⊗ ε) ◦ (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆(c) + c ⊗ 1k, temos lh = −X b∈G b6=h lb e rg = −X b∈G b6=g rb. (2.12)
Seja c1 = c + lh. Temos que
(Id ⊗ π0) ◦ ∆ (c1) = (Id ⊗ π0) ◦ ∆ (c) + (Id ⊗ π0) ◦ ∆ (lh) = c ⊗ h + (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆ (c) + (Id ⊗ π0) ◦ ∆ (lh), por (2.5). = c ⊗ h +X b∈G lb⊗ b + (− X b∈G b6=h lb⊗ b), pelas equa¸c˜oes (2.6) e (2.9). = c ⊗ h + lh⊗ h = c1⊗ h Assim, c1= c + lh ∈X σ∈G Lσ,h, e a´ı lh ∈X σ∈G
Lσ,h, j´a que c ∈ Lg,h. Mas pela hip´otese de indu¸c˜ao e pela equa¸c˜ao (2.8), lν ∈ X
σ∈G
Lσ,ν, para todo ν ∈ G com ν 6= h. Da equa¸c˜ao (2.12) e da decomposi¸c˜ao C = C0⊕ ( L
g,h∈G
Lg,h), conclu´ımos que lb = 0, para todo b ∈ G.
De forma an´aloga, rb = 0, para todo b ∈ G. Assim, eliminamos os termos C0⊗ Li−1 e Li−1⊗ C0 da express˜ao (2.5). Falta mostrar que ∆(c) − g ⊗ c − c ⊗ h ∈X
ν∈G
Lg,ν⊗ Lν,h. Podemos escrever:
(Ψ ⊗ Ψ) ◦ ∆(c) = X u,v,x,y∈G
lu,v⊗ l′x,y, onde lu,v ∈ Lu,v, lx,y′ ∈ Lx,y e lu,v, lx,y′ 6= 0.
Como fizemos anteriormente, vamos aplicar ∆ ⊗ Id e Id ⊗ ∆ em (2.5). Pela coassociatividade da comultiplica¸c˜ao, os elementos obtidos dever˜ao ser iguais. Em particular, as componentes desses elementos em C0⊗ Li−1⊗ Li−1, Li−1⊗ Li−1⊗ C0 e em Li−1⊗ C0⊗ Li−1 dever˜ao coincidir.
(iii) Observe que a componente de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) em C0⊗ Li−1⊗ Li−1 ´e g ⊗ (Ψ ⊗ Ψ) ◦ ∆(c),
e a componente de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) em C0⊗ Li−1⊗ Li−1 ´e X u,v,x,y∈G (π0⊗ Ψ) ◦ ∆ (lu,v) ⊗ lx,y′ .
(iv) Observe que a componente de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ Li−1⊗ C0 ´e X
u,v,x,y∈G
lu,v⊗ (Ψ ⊗ π0) ◦ ∆
(l′x,y),
e a componente de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ Li−1⊗ C0 ´e (Ψ ⊗ Ψ) ◦ ∆(c) ⊗ h.
(v) Observe que a componente de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ C0⊗ Li−1 ´e X
u,v,x,y∈G
lu,v⊗ (π0⊗ Ψ) ◦ ∆(l′x,y),
e a componente de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) em Li−1⊗ C0⊗ Li−1 ´e X
u,v,x,y∈G
(Ψ ⊗ π0) ◦ ∆(lu,v) ⊗ lx,y′ .
Como lu,v ∈ Lu,ve l′
x,y ∈ Lx,y, sendo ambos n˜ao nulos, e utilizando a hip´otese indutiva, obtemos: X
u,v,x,y∈G
lu,v⊗ v ⊗ l′x,y = X u,v,x,y∈G
lu,v⊗ x ⊗ l′x,y.
De (iii), (iv) e (v), conclu´ımos que u = g, y = h e que v = x. Logo, ∆(c) ∈ g ⊗ c + c ⊗ h +X
ν∈G
Lg,ν⊗ Lν,h.
Isso mostra que o resultado vale para Xg,h,i = Xi∩ Lg,h, para todo g, h ∈ G. Assim, completamos a indu¸c˜ao e a demostra¸c˜ao.
primeiro ´e consequˆencia direta do Teorema 2.3.5 e do teorema de Taft-Wilson (Teorema 2.3.1). O segundo ´e consequˆencia direta do primeiro corol´ario.
Corol´ario 2.3.6. Sejam σ, τ ∈ G e n ≥ 1. Ent˜ao, para cada x ∈ Xσ,τ,n,
∆(x) ∈ σ ⊗ x + x ⊗ τ +X ν∈G X 0<i,j<n i+j≤n (Xσ,ν,i⊗ Xν,τ,j) .
Corol´ario 2.3.7. Sejam σ, τ ∈ G e n ≥ 1. Ent˜ao, para cada x ∈ Xσ,τ,n, ∆(x) ∈ σ ⊗ x + x ⊗ τ + X
0<i,j<n i+j≤n
As a¸c˜oes X-externas
3.1
Introdu¸c˜ao
Este cap´ıtulo tem por objetivo definir e mostrar diversas propriedades das a¸c˜oes X-externas. Na Se¸c˜ao 3.2 temos uma s´erie de propriedades do produto smash. Na Se¸c˜ao 3.3 definimos o que seriam as chamadas a¸c˜oes X-externas. Finalmente, na Se¸c˜ao 3.4 mostramos algumas propriedades fundamentais das a¸c˜oes X-externas.
No decorrer deste cap´ıtulo, R ser´a uma ´algebra prima e H ser´a uma ´algebra de Hopf pontual agindo em R. Conv´em lembrar que, pelo Teorema 1.3.18, H possui ant´ıpoda bijetora. Da Se¸c˜ao
1.5, temos que a a¸c˜ao de H em R ´e cont´ınua e, portanto, se estende unicamente a uma a¸c˜ao de H em Ql que se restringe a uma a¸c˜ao de H em Q. Assim est˜ao definidos os seguintes produtos smash, R # H ⊆ Q # H ⊆ Ql# H.
Antes de prosseguirmos, veremos dois resultados importantes. O primeiro resultado, extra´ıdo de [Yan97, Lemma 2.4], justifica a nota¸c˜ao para a sub´algebra de invariantes de R pela a¸c˜ao de H, conceito definido na Se¸c˜ao1.3.2. Observe que estamos identificando R e H com as sub´algebras R#1H e 1R# H de R # H, respectivamente.
Lema 3.1.1. O conjunto RH coincide com a sub´algebra de invariantes de R sobre a a¸c˜ao de H, isto
´e, RH = {r ∈ R : h · r = ε(h)r, para todo h ∈ H}.
Demonstra¸c˜ao. Seja r ∈ R e seja h ∈ H. Podemos escrever ∆(h) =
n X
i=1
h′i⊗ hi, onde {hi}1≤i≤n ´e linearmente independente. Temos ent˜ao:
hr = (1 # h)(r # 1) = n X i=1 h′i· r # hi rh = r # h = n X i=1 ε(h′i)r # hi
A partir das express˜oes acima ´e f´acil ver que se r for um elemento invariante pela a¸c˜ao de H, ent˜ao hr = rh, para todo h ∈ H.
Se r ´e tal que hr = rh, para todo h ∈ H, temos que n X i=1 h′i· r # hi = n X i=1 ε(h′i)r # hi = r # h. Aplicando Id⊗ε na igualdade acima, conclu´ımos que h·r = ε(h)r, ou seja, r ´e um elemento invariante pela a¸c˜ao de H.
Logo, RH = {r ∈ R : h · r = ε(h)r, para todo h ∈ H}.
Observe que, no lema anterior, podemos substituir H por um coideal `a direita I de H, e substituir R por um subconjunto Y de R. Pela demonstra¸c˜ao acima, ´e f´acil ver que
YI = {r ∈ Y : I age trivialmente em r}.
Conv´em ressaltar a semelhan¸ca deste resultado com o resultado do Lema 2.2.3 (1). Al´em disso, da demonstra¸c˜ao do Lema2.2.3(1), verifica-se facilmente que
IY = {h ∈ I : L(h) age trivialmente em Y }.
O segundo resultado justifica o fato de dizermos que uma sub´algebra Λ de Q # H ´e uma H- com´odulo-´algebra `a direita, conforme definido na Se¸c˜ao 1.3.3, se IdQ⊗ ∆
(Λ) ⊆ Λ ⊗ H. Observe que estamos fazendo ρ = IdQ⊗ ∆. A partir de agora deixaremos isto impl´ıcito.
Proposi¸c˜ao 3.1.2. Seja Λ uma sub´algebra de Q # H tal que IdQ⊗ ∆
(Λ) ⊆ Λ ⊗ H. Ent˜ao Λ ´e uma H-com´odulo-´algebra `a direita via ρ = IdQ⊗ ∆.
Demonstra¸c˜ao. Seja ξ =Xqi# hi∈ Λ. Temos:
(IdΛ⊗ ∆) ◦ ρ(ξ) = (IdΛ⊗ ∆)Xqi# ∆(hi)
=Xqi# (IdH ⊗ ∆) ◦ ∆(hi), observe que IdΛ= IdQ⊗ IdH. =Xqi# (∆ ⊗ IdH) ◦ ∆(hi)
= (IdQ⊗ ∆ ⊗ IdH)Xqi# ∆(hi) = (ρ ⊗ IdH) ◦ ρ (ξ). (IdΛ⊗ ε) ◦ ρ (ξ) = (IdΛ⊗ ε) X qi# ∆(hi)
=Xqi# (IdH ⊗ ε) ◦ ∆(hi), observe que IdΛ= IdQ⊗ IdH. =Xqi# hi
= ξ.
Assim, Λ ´e um H-com´odulo `a direita via ρ. Falta mostrar as outras duas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de H-com´odulo-´algebra `a direita feita na Se¸c˜ao 1.3.3.
Seja ξ′ =Xqj′ # h′j ∈ Λ. Temos: ρ(ξξ′) = (IdQ⊗ ∆)hXqi# hii hXq′j# h′ji = (IdQ⊗ ∆) X qi(hi(1)· q ′ j) # hi(2)h ′ j =Xqi(hi(1)· q′j) # ∆(hi(2))∆(h′j) =Xqi(hi(1)· q ′ j) # hi(2)h ′ j(1)⊗ hi(3)h ′ j(2) =hX(qi# hi(1)) ⊗ hi(2)i hX(qj′ # h′j(1)) ⊗ h′j(2)i = ρ(ξ)ρ(ξ′).
Note que 1Q# 1H = 1Λ ∈ Λ, pois Λ ´e sub´algebra de Q # H. Da´ı, ρ(1Λ) = 1Λ⊗ 1H, e Λ ´e de fato uma H-com´odulo-´algebra `a direita.