Esta se¸c˜ao se baseia no artigo [WY01] e tem por objetivo mostrar a primeira parte da teoria de correspˆondencia entre sub´algebras de R que cont´em RH, e H-com´odulo sub´algebras `a direita de K # H. Nesta se¸c˜ao vamos assumir que a a¸c˜ao de H em R ´e X-externa.
Inicialmente, vamos mostrar um resultado extra´ıdo de [WY01, Theorem 1.1].
Teorema 4.2.1. Seja U uma sub´algebra de R contendo RH e seja M um (R # H, U )-sub-bim´odulo
n˜ao nulo de Q # H. Ent˜ao existe I ∈ F(R) e η ∈ Φ(U ) satisfazendo Iη ⊆ M , onde Iη 6= 0.
Demonstra¸c˜ao. Seja {Hn}n≥0 a filtra¸c˜ao co-radical de H e seja m o menor inteiro tal que M ∩ (Q # Hm) 6= 0. Da Se¸c˜ao 2.3, lembrar que Hm = Xm ⊕ Hm−1. Da´ı, seja {xi} base de Xm tal que ∆(xi) ∈ σi⊗ xi+ H ⊗ Hm−1, onde σi∈ G(H), para todo i.
onde ai ∈ Q e y ∈ Hm−1, para todo i. Seja ξ ∈ M ∩ (Q # Hm) tal que ξ 6= 0 e o n´umero de termos n˜ao nulos do somat´orio X(ai# xi) seja minimal. Vamos escrever ξ = a1# x1+
X i6=1 (ai# xi) + y, onde a1# x1 6= 0. Seja ξ′ = σ−11 ξ = σ1−1· a1# σ−11 x1+ X i6=1 (σ1−1· ai# σ−11 xi) + σ1−1y ∈ M,
pois M ´e R # H-m´odulo `a esquerda. Observe que ξ′ 6= 0. Vamos denotar a = σ−1
1 · a1. Como M ´e um (R # H, U )-sub-bim´odulo, temos que rξ′s ∈ M , para todo r ∈ R e todo s ∈ U . Al´em disso,
rξ′s ∈ ras # σ1−1x1+X i6=1
r(σ1−1· ai)(σ1−1σi· s) # σ1−1xi+ Q # σ1−1Hm−1.
Vamos mostrar que se Xrjasj = 0, ent˜aoXrjξ′sj = 0, onde rj ∈ R e sj ∈ U , para todo j. De fato, vamos supor que Xrjξ′sj 6= 0. Seja ξ′′ = σ1(
X
rjξ′sj) = Xbi# xi+ y′, onde bi ∈ Q e y′∈ Q # H
m−1. ´E f´acil ver que, ou M ∩ (Q # Hm−1) 6= 0, ou ξ′′ teria menos elementos n˜ao nulos no somat´orio Xbi# xi do que ξ. Em ambas as situa¸c˜oes ter´ıamos um absurdo.
Assim, est´a bem definida a aplica¸c˜ao linear
f : RaU −→ M
P
rjasj 7−→ Prjξ′sj.
Pela Proposi¸c˜ao3.4.4(2), f ´e um homomorfismo de R-m´odulos `a esquerda n˜ao nulo. Caso contr´ario, Rξ′U = 0, o que implicaria ξ′ = 0. Um absurdo.
Pelo Lema 3.2.2 (1), pelo Teorema1.4.1 e pelo fato da ´algebra R ser prima, existe J ∈ F(R) tal que JaU ⊆ R e Jξ′U ⊆ R # H. Como JaU ´e um (R, U )-sub-bim´odulo de Q
l, pela Proposi¸c˜ao 3.4.4 (3), JaU cont´em um ideal I ∈ F(R).
Seja f′ a restri¸c˜ao de f com dom´ınio I. Como podemos ver f′ como um homomorfismo de R- m´odulos `a esquerda, pela Proposi¸c˜ao 3.4.4 (4), existe η ∈ Ql tal que f (x) = xη, para todo x ∈ I. Vamos mostrar que η 6= 0.
Vamos supor que η = 0. Da´ı, para todo x ∈ I e todo y ∈ JaU ⊆ R, temos que 0 = xyη = f (xy) = xf (y), ou seja, If (y) = 0. Pelo Lema 3.2.1 (4), temos que f (y) = 0, para todo y ∈ JaU ,
o que implica em Jξ′U = 0. Pela Proposi¸c˜ao 3.4.4 (2), temos que Jξ′ = 0. Finalmente, pelo Lema
3.2.2(2), temos que ξ′= 0, o que ´e um absurdo. Seja x =Xrjasj ∈ I e s ∈ U . Temos:
xsη =Xrjasjsη = fXrjasjs=Xrjξ′sjs = fXrjasjs = xηs.
Assim, temos que I(sη − ηs) = 0. Novamente pelo Lema 3.2.2 (2), temos sη = ηs, ou seja, η ∈ (Ql# H)U. Pela Proposi¸c˜ao3.4.4(6), η ∈ (K # H)U = Φ(U ).
Logo, existe I ∈ F(R) e η ∈ Φ(U ) satisfazendo Iη ⊆ M , onde Iη 6= 0.
Da Se¸c˜ao 1.3.2, lembre que temos uma estrutura de Q # H-m´odulo `a esquerda e `a direita em Q, dadas, respectivamente, por:
(a # h) · x = a(h · x), para todos a, x ∈ Q e todo h ∈ H. x ⊳ (a # h) = S(h) · (xa), para todos a, x ∈ Q e todo h ∈ H.
Utilizaremos essas estruturas de Q durante a demonstra¸c˜ao do pr´oximo lema, que foi extra´ıdo de [WY01, Lemma 1.2].
Lema 4.2.2. Seja U uma sub´algebra de R contendo RH. Ent˜ao existe um ideal `a direita n˜ao nulo de RΦ(U ) contido em U .
Demonstra¸c˜ao. Como a dimens˜ao de H ´e finita, o Teorema 1.3.22 nos garante a existˆencia de um integral `a esquerda n˜ao nulo t ∈ H. Pelo mesmo teorema, temos que S(t) ´e um integral `a direita. Da Se¸c˜ao 1.3.5, temos tamb´em que hS(t) = α(h)S(t), para todo h ∈ H, onde α ∈ G(H∗) ´e o elemento group-like distinguido de H∗.
Seja M = RS(t)U . Para todo r # h ∈ R # H e todo u ∈ U , temos que (r # h)M u = (r # h) R # S(t)Uu ⊆hXr(h(1)· R) # h(2)S(t) i U ⊆hXα(h(2))r(h(1)· R) # S(t)iU ⊆ R # S(t)U = M.
Assim, mostramos que M ´e um (R # H, U )-sub-bim´odulo de Q # H, e M ´e n˜ao nulo j´a que S(t) ∈ M . Pelo Teorema 4.2.1, existe I ∈ F(R) e η ∈ Φ(U ) satisfazendo Iη ⊆ M , onde Iη 6= 0. Vamos mostrar que J = I ∩ RΦ(U ) ´e n˜ao nulo.
Como a a¸c˜ao de H em R ´e cont´ınua, existe um ideal I′ ∈ F(R) tal que t · I′⊆ I. Pela Proposi¸c˜ao
3.4.4(1), temos que t · I′ 6= 0. Caso contr´ario, ter´ıamos t = 0, o que seria um absurdo. Al´em disso, conforme vimos na demonstra¸c˜ao de3.4.4(2), t·R ⊆ RH. Ent˜ao, temos que t·I′ ⊆ I ∩ RH⊆ J, pois RH ⊆ RΦ(U ). De fato, sejam ri ∈ K e hi ∈ H, para todo i, tais queXri# hi ∈ Φ(U ) = (K # H)U. Para todo υ ∈ RH, temos que:
X
ri# hiυ =Xri(hi(1)· υ) # hi(2) =Xri(ε(hi(1))υ) # hi(2) =Xriυ # hi = υXri# hi
´
E f´acil ver que RΦ(U ) ´e sub´algebra de R e que J ´e um ideal n˜ao nulo de RΦ(U ). Observe que, como η ∈ Φ(U ) e J = I ∩ RΦ(U ), temos que Jη = ηJ. Al´em disso, como J ⊆ I e Iη ⊆ M = RS(t)U , temos Jη ⊆ RS(t)U . Da´ı:
R ⊳ (Jη) ⊆ R ⊳ (RS(t)U ) = R ⊳ R # S(t)U
= R ⊳XR(S(t)(1)· U ) # S(t)(2) = R ⊳XR(S(t(2)) · U ) # S(t(1))
, S ´e antimorfismo de co´algebras. =XS S(t(1)) ·RR(S(t(2)) · U ) =Xt(1)·R(S(t(2)) · U ) =X(t(1)· R) t(2)· (S(t(3)) · U ) =X(t(1)· R) (t(2)S(t(3))) · U =X(t(1)· R) (ε(t(2))1H) · U , pois Xh(1)S(h(2)) = ε(h)1H. = (t · R)U = U , pois t · R ⊆ RH ⊆ U.
Podemos escrever η =Pri# hi ∈ Φ(U ). Ent˜ao: R ⊳ (Jη) = R ⊳ (ηJ) = R ⊳ Xri# hiJ= R ⊳ Xri(hi(1)· J) # hi(2) =XS(hi(2)) · Rri(hi(1) · J) =X hS(hi(2))(1)· (Rri) ih S(hi(2))(2)· (hi(1)· J) i
=X hS(hi(3)) · (Rri)ih S(hi(2))hi(1)· Ji, S ´e antimorfismo de co´algebras. =X hS(hi(2)) · (Rri)ih ε(hi(1))1H· Ji, pois XS(h(2))h(1)= ε(h)1H. =X hS(hi) · (Rri)iJ
=hR ⊳ Xri# hi i
J = (R ⊳ η)J.
Segue que R ⊳ (Jη) = (R ⊳ η)J ´e um ideal `a direita n˜ao nulo de RΦ(U ) contido em U . (Observe que U ⊆ RΦ(U ).)
Seja Uop um sub-conjunto de Rop. Vamos definir
Φ′(Uop) = (K # Hcop)Uop.
Lembre que Kop = K. O pr´oximo lema, baseado em [WY01, Lemma 1.3], nos garante a existˆencia de um ideal `a esquerda n˜ao nulo de RΦ(U ) contido em U , onde U ´e como no lema anterior. Basta aplicarmos o lema anterior em (Rop)Φ′(Uop)= RΦ(U )op, conforme veremos. Observe que Uop ´e uma sub´algebra de Rop contendo (Rop)Hcop
= RH, pela Proposi¸c˜ao3.3.4(1).
Lema 4.2.3. Seja U uma sub´algebra de R contendo RH. Ent˜ao RΦ(U )op = (Rop)Φ′ (Uop)
.
Demonstra¸c˜ao. Seja ϕ o antimorfismo bijetor de ´algebras com inversa ψ da Proposi¸c˜ao 4.1.1. Seja u ∈ Q e seja ξ ∈ Q # H tal que uξ = ξu. Temos:
ϕ(ξ) • u = ϕ(ξ) • ϕ(u) = ϕ(uξ) = ϕ(ξu) = ϕ(u) • ϕ(ξ) = u • ϕ(ξ). (4.2) Analogamente, se u e ξ s˜ao tais que ξ • u = u • ξ. Temos:
uψ(ξ) = ψ(u)ψ(ξ) = ψ(ξ • u) = ψ(u • ξ) = ψ(ξ)ψ(u) = ψ(ξ)u. (4.3) Assim, temos que uξ = ξu em Q # H se, e somente se, ϕ(ξ) • u = u • ϕ(ξ) em Qop# Hcop. De forma an´aloga, temos que u • ξ = ξ • u em Qop# Hcop se, e somente se, ψ(ξ)u = uψ(ξ) em Q # H.
Das seguintes defini¸c˜oes
Φ′(Uop) = (K # Hcop)Uop= {ξ ∈ K # Hcop : ξ • u = u • ξ, para todo u ∈ Uop} Φ(U ) = (K # H)U = {ξ ∈ K # H : ξu = uξ, para todo u ∈ U },
e das equa¸c˜oes acima, temos que
Φ′(Uop) = ϕ ◦ ψ Φ′(Uop)⊆ ϕ Φ(U )⊆ Φ′(Uop), ou seja, Φ′(Uop) = ϕ Φ(U ).
Seja x ∈ RΦ(U )op. Para todo ξ ∈ Φ(U ), temos que ξ • x = xξ = ξx = x • ξ. Da Equa¸c˜ao (4.2), temos que ϕ(ξ) • x = x • ϕ(ξ). Assim x ∈ (Rop)ϕ Φ(U ) = (Rop)Φ′
(Uop) . Seja y ∈ (Rop)Φ′
(Uop)
= (Rop)ϕ Φ(U ). Para todo ξ ∈ Φ(U ), temos que ϕ(ξ) • y = y • ϕ(ξ). Da Equa¸c˜ao (4.3), temos que yξ = yψ ϕ(ξ)= ψ ϕ(ξ)y = ξy. Assim, y ∈ RΦ(U )op.
Portanto, RΦ(U )op= (Rop)Φ′(Uop).
A seguir uma proposi¸c˜ao extra´ıda de [Yan05, Proposition 1.4] que trata das sub´algebras de R racionalmente completas, cuja defini¸c˜ao est´a na Se¸c˜ao 1.2.
Proposi¸c˜ao 4.2.4. Seja U uma sub´algebra de R racionalmente completa e seja U′ uma sub´algebra
de R contendo U . Se U cont´em um ideal I n˜ao nulo de U′, ent˜ao U = U′.
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ U′. Observe que I ´e um ideal n˜ao nulo de U′ e I ⊆ U . Assim, temos que aI ⊆ I ⊆ U . Da defini¸c˜ao de sub´algebra racionalmente completa, conclu´ımos que a ∈ U . Logo, U = U′.
Finalmente, estamos em condi¸c˜oes de mostrar o teorema que garante a injetividade da corres- pondˆencia. O resultado foi extra´ıdo de [WY01, Theorem 1.4].
Teorema 4.2.5. Seja R uma ´algebra prima e seja H uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita que age em R. Suponha que a a¸c˜ao de H em R ´e X-externa. Ent˜ao a sub´algebra RΦ(U ) possui
um ideal n˜ao nulo contido em U , onde U ´e qualquer sub´algebra de R contendo RH.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 4.2.2, existe um ideal `a direita n˜ao nulo A de RΦ(U ) contido em U . Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao 3.3.3, temos que a ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita Hcop age na ´algebra prima Rop. Pela Proposi¸c˜ao3.3.4(2), a a¸c˜ao de Hcop em Rop ´e X-externa. ´E f´acil ver que Uop ´e sub´algebra de Rop contendo (Rop)Hcop = RH, pela Proposi¸c˜ao 3.3.4 (1). Logo, podemos aplicar o Lema4.2.2 para Hcop, Rop e Uop e obter um ideal `a direita n˜ao nulo Bop de (Rop)Φ′(Uop) contido em Uop.
Pelo Lema 4.2.3, temos que RΦ(U )op = (Rop)Φ′(Uop). Assim, podemos ver B como um ideal `a esquerda n˜ao nulo de RΦ(U ) contido em U .
Dessa forma, BU A ´e um ideal de RΦ(U ) contido em U . Observe que, pela Proposi¸c˜ao 3.4.4 (2), temos que BU A 6= 0, caso contr´ario ter´ıamos A = 0 ou B = 0, o que seria um absurdo.
Segue um color´ario do teorema anterior que ´e imediato a partir da Proposi¸c˜ao 4.2.4.
Corol´ario 4.2.6. Seja R uma ´algebra prima e seja H uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita que age em R. Suponha que a a¸c˜ao de H em R ´e X-externa. Ent˜ao RΦ(U ) = U , onde U ´e
A sobrejetividade da correspondˆencia
de Galois
5.1
Introdu¸c˜ao
Finalmente, estamos em condi¸c˜oes de mostrar a sobrejetividade da correspondˆencia, que ´e o principal objetivo deste cap´ıtulo. Os resultados principais aqui apresentados se baseiam no artigo [WY01].
No decorrer deste cap´ıtulo R e H ser˜ao como no cap´ıtulo anterior, ou seja, R ser´a uma ´algebra prima e H ser´a uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita agindo em R. Al´em disso, vamos adicionar a hip´otese da caracter´ıstica do corpo base k ser igual a zero, e vamos assumir que a a¸c˜ao de H em R ´e X-externa.
Na Se¸c˜ao 5.2mostramos uma s´erie de propriedades da sub´algebra HK. A Se¸c˜ao5.3traz diversos resultados dos H-com´odulo sub´algebras de K # H. Finalmente, na Se¸c˜ao 5.4, mostramos a sobreje- tividade da correspondˆencia de Galois. A Se¸c˜ao5.5 finaliza este trabalho apresentando o enunciado completo do teorema da correspondˆencia, como feito anteriormente na introdu¸c˜ao.