Propriedades dos com´ odulo sub´ algebras

Esta se¸cão se baseia no artigo [WY01] e tem por objetivo mostrar uma série de propriedades dos H-comódulo subálgebras de K # H. No decorrer desta se¸cão, vamos denotar Λ um H-comódulo subálgebra de K # H.

Proposi¸cão 5.3.1. Λ é um kG-comódulo à direita via ρ = (IdK#H⊗π)◦ρ = (IdK#H⊗π)◦(IdK⊗∆).

Demonstra¸cão. Conforme vimos na se¸cão anterior, π é um morfismo de ´algebras de Hopf. Assim, temos que ∆ ◦ π = (π ⊗ π) ◦ ∆ e que ε ◦ π = ε.

Seja ξ =X i

αi# hi ∈ Λ. Temos que ρ(ξ) =X i  X (hi) αi# hi₍₁₎ ⊗ π(hi₍₂₎)  . Ent˜ao:

(IdK#H ⊗ ∆) ◦ ρ(ξ) =X i  X (hi) αi# hi₍₁₎⊗ (∆ ◦ π)(hi₍₂₎)   =X i  X (hi) αi# hi₍₁₎⊗ (π ⊗ π) ◦ ∆(hi₍₂₎)   =X i  X (hi) αi# hi(1)⊗ π(hi(2)) ⊗ π(hi(3))   = (ρ ⊗ Id_kG) ◦  X i  X (hi) αi# hi(1) ⊗ π(hi(2))     = (ρ ⊗ Id_kG) ◦ ρ(ξ). (IdK#H ⊗ ε) ◦ ρ(ξ) =X i  X (hi) αi# hi₍₁₎⊗ (ε ◦ π)(hi₍₂₎)   =X i  X (hi) αi# hi₍₁₎⊗ ε(hi₍₂₎)   =X i αi# hi⊗ 1 = ξ ⊗ 1.

Logo, Λ é um kG-comódulo à direita via ρ.

Observe que, pela proposi¸cão acima e pelo Exemplo1.3.8, temos que Λ é uma álgebra G-graduada, e Λσ = ρ−1(Λ ⊗ σ), para todo σ ∈ G.

A partir de agora, vamos denotar:

G(Λ) = Λ ∩ G(H) e Λ′ = Λ ∩ (K # HK).

Observe que Λ′é um H-comódulo subálgebra de K # H. Segue um resultado extra´ıdo de [WY01, Lemma 2.2].

Lema 5.3.2. Seja Λ um H-comódulo subálgebra de K # H contendo K. Então:

1. Se σ ∈ G(H), ent˜ao Λσ 6= {0} se, e somente se, G(Λ) ∩ Λσ 6= {0}.

2. Λ₁ = Λ′_.

Demonstra¸c˜ao. Seja ξ = Pαi # hi ∈ K # H. Observe que podemos fazer hi = σi ∈ G(H) ou hi ∈ Xτi,σi,ni, onde σi, τi∈ G(H) e ni > 0, para todo i, e {hi} ´e linearmente independente.

Lembre que Λσ = ρ−1(Λ ⊗ σ), para todo σ ∈ G. Assim, pela Proposi¸c˜ao5.2.4(1) e pelo Corol´ario

2.3.7, é fácil ver que, se ξ 6= 0 e ξ ∈ Λσ, então σi = σ, para todo i.

(1) Se ξ 6= 0 e ξ ∈ Λσ, seja n maximal tal que ξ ∈ K # Hn e ξ /∈ K # Hn−1.

Se n = 0, então ξ =Pαi#σi. Como Λ é um H-comódulo subálgebra, temos quePαi#σi⊗σi∈ Λ ⊗ H. Como {σi} é linearmente independente, temos que αi# σi ∈ Λ, para todo i.

Do fato de K ser um corpo, K ⊆ Λ e Λ ser uma subálgebra, temos que existe α−1_i ∈ Λ e α_i−1(αi # σi) = σi ∈ Λ. Além disso, temos que ρ(σi) = σi ⊗ σ, ou seja, σi ∈ G(Λ) ∩ Λσ, para todo i. Como ξ 6= 0 e {σi} é linearmente independente, temos que σi 6= 0, para todo i. Logo, G(Λ) ∩ Λσ6= {0}.

Se n > 0, podemos assumir que α1 6= 0 e que h1∈ Xτ1,σ1,n. Pelo Corol´ario 2.3.7, temos que ∆(hi) ∈ τi⊗ hi+ hi⊗ σi+ X

0<j,p<ni j+p≤ni

Xj⊗ Xp. (5.3)

Pelo fato de Λ ser um H-com´odulo sub´algebra, n ser maximal e {hi} ser linearmente independente, podemos escrever

ρ(ξ) = (α1# τ1) ⊗ h1+ X

ξj⊗ yj ∈ Λ ⊗ H, onde ξj⊗ yj ∈ Λ ⊗ H, para todo j, e {h1} ∪ {yj} ´e linearmente independente.

Então, temos que α1# τ1 ∈ Λ. Da´ı, conforme vimos anteriormente, τ1 ∈ Λ. Pelo Corolário5.2.2, temos que τ₁−1σ1 ∈ HK. Pela Proposi¸cão 5.2.4, temos que

Como π(1) = π τ₁−1τ1 = π τ₁−1π(τ1), da expressão acima, conclu´ımos que π(τ1) = σ. Assim, ρ(τ1) = τ1⊗ σ, ou seja, τ1∈ G(Λ) ∩ Λσ. Logo, G(Λ) ∩ Λσ 6= {0}. É imediato que, se G(Λ) ∩ Λσ 6= {0}, então Λσ 6= {0}.

(2) Se ξ ∈ Λ′ = Λ ∩ (K # HK), por (5.3) e pela Proposi¸cão5.2.4, temos que ρ(ξ) =Pαi# hi⊗ σi. Pela Proposi¸cão 5.2.3, temos que HK _{é sub´}_{algebra de Hopf. Assim, σi, τi} _{∈ H}K_{, para todo i.} Novamente pela Proposi¸cão5.2.4, temos que σi = τi = 1, para todo i. Da´ı, ρ(ξ) = ξ ⊗ 1 e Λ′ _{⊆ Λ}

1. Se ξ ∈ Λ1, então ρ(ξ) = ξ ⊗ 1. Assim, temos que σi = 1, para todo i. Pela Proposi¸cão 5.2.4, σi ∈ HK_{. Se hi} _{6= σi, podemos aplicar o Corolário} _5.2.2 _{e concluir que Xτ}

i,σi,i ⊆ H

K_{, para todo i.} Como ξ =Pαi# hi e hi = σi ∈ HK _{ou hi} _{∈ Xτ}

i,σi,i⊆ H

K_{, para todo i, conclu´ımos que Λ} 1 ⊆ Λ′. Segue um resultado com mais informa¸cões a respeito dos H-comódulo subálgebras de K # H contendo K.

Lema 5.3.3. Seja Λ um H-comódulo subálgebra de K # H contendo K. Então:

1. π G(Λ)= G(Λ) ´e um subgrupo de G. Al´em disso, G(Λ) = G(Λ)/G(Λ′_).

2. Λ é uma álgebra fortemente G(Λ)-graduada. 3. Λ₁ é uma subálgebra de Λ.

4. Seja σ ∈ G(Λ). Ent˜ao Λσ = Λ₁ σ.

5. Seja σ ∈ G(Λ). Então Λσ ∼= Λ₁⊗ σ, tanto como Λ₁ -módulos à esquerda, quanto como kG(Λ)-

com´odulos `a direita.

Demonstra¸cão. (1) Como Λ é subálgebra de K # H, temos que 1H ∈ G(Λ). Assim, temos que π(1) = 1 ∈ G(Λ).

Sejam σ, τ ∈ G(Λ). Pelo fato de Λ ser uma subálgebra de K # H, temos que στ ∈ G(Λ). Além disso, observe que στ = σ τ , pois π é morfismo de álgebras de Hopf. Assim, se σ, τ ∈ G(Λ), então σ τ ∈ G(Λ).

Além disso, como H tem dimensão finita e os elementos group-like de H formam um conjunto linearmente independente, G(H) é um grupo finito. Da´ı, σ tem ordem finita, ou seja, existe n ≥ 1 tal que σn_{= 1. Se n > 1, pelo fato de Λ ser uma sub´}_{algebra de K # H, temos que σ}n−1 _{= σ}−1_{∈ G(Λ).}

Se n = 1, temos que σ = σ−1 = 1 ∈ G(Λ). Observe que 1 = σσ−1 _{= σ σ}−1_{, ou seja, (σ)}−1 _{= σ}−1_. Assim, se σ ∈ G(Λ), ent˜ao σ−1 _{= (σ)}−1_{∈ G(Λ). Logo, G(Λ) ´e um subgrupo de G.}

Além disso, seja π_G(Λ): G(Λ) −→ G(Λ) a restri¸cão de π com dom´ınio G(Λ). Pelo que vimos acima, temos que πG(Λ) é um epimorfismo de grupos. Da demonstra¸cão da Proposi¸cão 5.2.4 (5), sabemos que ker(π_G(H)) = G(HK_{). Assim, temos que ker(π}

G(Λ)) ⊆ G(HK) ∩ G(Λ) = G(Λ′). Logo, temos que G(Λ) = G(Λ)/G(Λ′_).

(2) Lembre que Λ ´e uma ´algebra G-graduada, ou seja, Λ = L σ∈G

Λσ.

Pelo Lema 5.3.2, temos que Λσ 6= {0} se, e somente se, G(Λ) ∩ Λσ 6= {0}, para cada σ ∈ G(H). Observe que, se τ ∈ G(Λ) ∩ Λσ, então τ = σ. Assim, é fácil ver que Λ = L

σ∈G(Λ)

Λσ. Logo, Λ ´e uma ´

algebra G(Λ)-graduada. Falta mostrarmos que ´e fortemente graduada.

Sejam ξ, ξ′ _{∈ Λ. Da defini¸cão de H-comódulo-´}_{algebra, temos que ρ(ξξ}′_{) = ρ(ξ)ρ(ξ}′_{). Além disso,} π é um morfismo de álgebras de Hopf. Assim, é fácil ver que ρ(ξξ′_{) = ρ(ξ)ρ(ξ}′_).

Sejam σ, τ ∈ G(Λ) tal que Λσ 6= {0} e Λτ 6= {0}. Pelo Lema 5.3.2 (1), podemos considerar ξ ∈ Λσ e ξ′ ∈ Λτ, ambos n˜ao nulos, tal que ξξ′ 6= 0. Lembre que ρ(ξ) = ξ ⊗ σ e que ρ(ξ′) = ξ′⊗ τ . Ent˜ao, temos que ρ(ξξ′_{) = ρ(ξ)ρ(ξ}′_{) = (ξ ⊗ σ)(ξ}′ _{⊗ τ ) = ξξ}′_{⊗ σ τ , ou seja, ξξ}′ _{∈ Λσ τ}_{. Portanto,} ΛσΛτ ⊆ Λσ τ.

Dessa forma, temos que Λ₁Λσ ⊆ Λσ. Como 1 ∈ Λ₁, temos também que Λσ ⊆ Λ₁Λσ. Logo, Λ₁Λσ = Λσ. De forma análoga, temos que ΛσΛ₁ = Λσ. Portanto, ΛσΛ_σ−1 = Λ_σ−1Λσ = Λ₁. Então:

Λσ τ ⊆ Λ₁ Λσ τ Λ₁ ⊆ Λσ Λσ−1 Λσ τ Λτ−1 Λτ ⊆ Λσ Λ₁ Λτ ⊆ Λσ Λτ. Assim, mostramos que Λ ´e uma ´algebra fortemente G(Λ)-graduada.

(3) Imediato a partir do Lema5.3.2(2).

(4) Seja ξ ∈ Λσ. Observe que ρ(ξσ−1_{) = ρ(ξ)ρ(σ}−1_{) = (ξ ⊗ σ)(σ}−1_{⊗ σ}−1_{) = ξσ}−1_{⊗ σ σ}−1 ₌ ξσ−1⊗ 1, ou seja, ξσ−1 ∈ Λ₁. Assim, temos Λσ = Λσ σ−1σ ⊆ Λ₁ σ ⊆ Λ₁ Λσ = Λσ. Logo, Λσ = Λ₁ σ.

(5) Observe que ambos Λ₁σ e Λ₁⊗ σ têm estrutura trivial de Λ₁ -módulos à esquerda. Considere f : Λσ = Λ₁ σ −→ Λ₁⊗ σ

ξσ 7−→ ξ ⊗ σ. ´

E fácil verificar que f é um isomorfismo de Λ₁ -módulos à esquerda.

Seja ξ ∈ Λ₁. Observe que ρ1(ξσ) = ξσ ⊗ σ e ρ2(ξ ⊗ σ) = (ξ ⊗ σ) ⊗ σ definem estruturas de kG(Λ)-com´odulo `a direita em Λσ e em Λ1⊗ σ, respectivamente.

Além disso, temos que (f ⊗ Id_kG(Λ)) ◦ ρ1 = ρ2◦ f , ou seja, f é um morfismo de kG(Λ)-comódulos `

a direita, na verdade um isomorfismo, como mostramos acima.

Segue um importante resultado extra´ıdo de [WY01, Corollary 2.3], que aborda a estrutura dos H-com´odulo sub´algebras de K # H contendo K.

Corolário 5.3.4. Seja Λ um H-comódulo subálgebra de K #H contendo K. Então Λ ∼= Λ′#δkG(Λ),

onde Λ′_#δ_{kG(Λ) ´e um produto cruzado.}

Demonstra¸cão. Pelo Lema5.3.3 (2), Λ é uma álgebra fortemente G(Λ)-graduada. Pelo Lema5.3.2, temos que Λ′ = Λ₁, e pelo Exemplo 1.3.12, obtemos ΛcoH′ = Λ′, onde H′ = kG(Λ). Da´ı, pelo Teorema 1.3.13, temos que Λ′ _{⊆ Λ é kG(Λ)-Galois `}_{a direita. Além disso, pelo Lema} _5.3.3₍₅_{), temos} que Λ = M σ∈G(Λ) Λσ ∼= M σ∈G(Λ) (Λ₁⊗ σ) = Λ₁⊗ kG(Λ) = Λ′⊗ kG(Λ),

onde o isomorfismo é de Λ′ _-m´_{odulos `}_{a esquerda e de kG(Λ)-comódulos à direita. Assim, Λ}′ _{tem a} propriedade da base normal à direita.

Finalmente, pelo Corolário 1.3.14, temos que Λ ∼= Λ′#δkG(Λ) como álgebras, onde Λ′#δkG(Λ) é um produto cruzado.

Denotemos bε = IdK_{⊗ ε. Observe que b}ε ∈ hom(K # H, K), e que

(bε ⊗ IdH) ◦ ρ = (IdK⊗ ε ⊗ IdH) ◦ (IdK⊗ ∆) = IdK⊗ [(ε ⊗ IdH) ◦ ∆] = IdK⊗ IdH = IdK#H.

Antes de mais nada, note que k está imerso em K, e K # HK pode ser visto como uma K-álgebra. Lema 5.3.5. A K-álgebra K # HK _{é uma ´}_{algebra de Hopf pontual de dimens˜}_{ao finita sobre o corpo} K, onde ∆_K#HK = ρ = Id_K⊗ ∆, ε_K#HK = bε e S_K#HK = Id_K⊗ S.

Demonstra¸cão. Primeiramente, observe que, pelo Lema 2.2.3, HK _{age trivialmente em K. Assim,} αh = hα, para todo α ∈ K e todo h ∈ HK_{. Pela Proposi¸cão}_5.2.3_{, sabemos que H}K_{é uma sub´}_algebra de Hopf de H. Como H é uma álgebra de Hopf pontual de dimensão finita, HK _{também é uma} ´

algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita.

Seja {hi} uma base de HK_{. Então {1 # hi} é uma K-base de K # H}K_{. Assim, é fácil mostrar} que K # HK _{é uma ´}_{algebra de Hopf de dimens˜}_{ao finita sobre o corpo K. Falta mostrar que K # H}K é uma álgebra de Hopf pontual.

Observe que podemos identificar HK _{com 1 # H}K_{em K # H}K_{. Seja C uma subco´algebra simples} de K # HK e seja ξ = Pαj # hj ∈ C tal que ∆(hj) = Phi,j ⊗ hi, onde hi,j ∈ HK, para todo i e todo j, e ξ 6= 0. Podemos escrever

∆_K#HK(ξ) = X j αj # ∆(hj) =X j " αj # X i hi,j⊗Khi !# =X j,i (αj# hi,j) ⊗K(1 # hi).

Como C é subcoálgebra e ξ 6= 0, temos que (αj # hi,j) ⊗K (1 # hi) 6= 0 , para algum par i, j. Como {1 # hi} é K-linearmente independente, temos que 1 # hi ∈ C, para algum i. Pelo fato de C ser simples, a subcoálgebra gerada por 1 # hi é igual a C.

Identificando 1#hiem C com hiem HK_{, é fácil ver que podemos identificar C com a subcoálgebra} D gerada por hi em HK. Se D não for simples, concluir´ıamos que C também não é simples, o que seria uma contradi¸cão. Assim, D é simples. Do fato de HK _{ser pontual, D é unidimensional. Logo,} C também é unidimensional.

Portanto, K # HK _{´e uma ´}_{algebra de Hopf pontual de dimens˜}_{ao finita sobre o corpo K}

Defini¸c˜ao. Seja η ∈ Λ. Dizemos que η ´e um integral generalizado `_{a esquerda de Λ se ξη = b}ε(ξ)η, para todo ξ ∈ Λ.

Proposi¸cão 5.3.6. 1. Seja Λ um H-comódulo subálgebra de K # H contendo K. Então Λ possui um integral generalizado à esquerda não nulo ηΛ.

2. Sejam Λ1 e Λ2 como Λ acima. Se Λ1 ⊆ Λ2, ent˜ao ηΛ1 = ηΛ2 implica em Λ1= Λ2.

Demonstra¸cão. (1) Pelo Lema5.3.5, temos que K # HK_{é uma ´}_{algebra de Hopf pontual de dimens˜}_ao finita sobre o corpo K. Observe que Λ′ _{= Λ∩(K #H}K_{) é um coideal sub´}_{algebra `}_{a direita de K #H}K_. Pela Proposi¸cão1.3.20, K #HK _{possui a propriedade (Fr). Assim, Λ}′_{é uma ´}_{algebra de Frobenius} e, consequentemente, é uma álgebra quasi-Frobenius. Do Teorema 1.3.23, temos que existe um integral não nulo à esquerda η′ _{∈ Λ}′_{. Pelo Corolário}_1.3.24_{, η}′ _{é o ´}_{unico integral `}_{a esquerda de Λ}′_{, a} menos de multiplica¸cão por escalar do corpo base K.

Denotemos t_G(Λ)= X σ∈G(Λ)

σ. Vamos mostrar que ηΛ= tG(Λ)η′. Seja σ ∈ G(Λ) e sejam ξ, ξ′ ∈ Λ. Vamos definir a seguinte opera¸c˜ao de kG(Λ) × Λ em Λ:

σ ∗ ξ = σξσ−1. ´

E fácil ver que Λ é um kG(Λ)-módulo álgebra à esquerda via opera¸cão definida acima. Pela Proposi¸cão 5.2.3, sabemos que HK _{é uma sub´}_{algebra de Hopf normal de H (ad}

l(H, HK) ⊆ HK e adr(H, HK) ⊆ HK). Assim, Λ′ é kG(Λ)-estável, ou seja, kG(Λ) ∗ Λ′ ⊆ Λ′. De fato, seja σ ∈ G(Λ) e seja ξ′ =Pαi# hi∈ Λ′, onde αi# hi∈ K # HK, para todo i. Lembre que Λ é uma subálgebra de K # H contendo K, e que K é estável sob a a¸cão de H. Então:

σ ∗ ξ′ = σX(αi# hi) σ−1=Xσ · αi# σhiσ−1 =Xσ · αi# adl(σ, hi) ∈ Λ ∩ (K # HK) = Λ′.

Inicialmente, vamos mostrar que ηΛ 6= 0. Pelo Lema 5.3.3 (1), temos que G(Λ) = G(Λ)/G(Λ′). Do fato de G(Λ′_{) e G(Λ) serem grupos finitos, podemos escrever G(Λ}′_{) = {τ}

1 = 1, · · · , τm}, e G(Λ) = {σ1 = 1, · · · , σn}, onde σi ∈ G(Λ), e σi 6= σj, onde i 6= j, para todos 1 ≤ i, j ≤ n. Assim, como G(Λ′_{) é subgrupo normal de G(Λ), é fácil ver que G(Λ) = {σiτj} _{: 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m}.}

Temos ent˜ao que

ηΛ= tG(Λ)η′= X i,j σiτjη′ = mX i σiη′ = mX i (σiη′σ_i−1)σi.

Como Λ′ ´e kG(Λ)-est´avel, temos que σiη′σ_i−1∈ Λ′, para todo 1 ≤ i ≤ n.

Pelo Corol´ario 5.3.4, temos que Λ ∼= Λ′ #δkG(Λ). Assim, podemos identificar ηΛ ∈ Λ com o elemento X

m(σiη′σ_i−1) #δσi ∈ Λ′#δkG(Λ). Vamos supor que ηΛ= 0. Pelo fato da caracter´ıstica do corpo base k ser igual a zero, temos que σiη′_σ−1

i = 0, para todo 1 ≤ i ≤ n. Logo, η′ = 0, o que seria um absurdo. Portanto, ηΛ6= 0.

Assim, para todo ξ′=X i

αi# hi ∈ Λ′, temos que

ξ′ηΛ= X σ∈G(Λ) ξ′ση′ = X σ∈G(Λ) σ(σ−1∗ ξ′)η′ = X σ∈G(Λ)

σ bε(σ−1∗ ξ′) η′, pois η′ ´e integral `a esquerda em Λ′.

= X σ∈G(Λ) σ bε X i σ−1· αi# σ−1hiσ ! η′ = X σ∈G(Λ) σ X i σ−1· αi# ε(hi) ! η′ = X σ∈G(Λ) " X i σ · (σ−1· αi)# σε(hi) # η′ = X σ∈G(Λ) " X i αi# ε(hi) # ση′ = X σ∈G(Λ) b ε(ξ′)ση′ = bε(ξ′)ηΛ.

Al´em disso, pelo Lema 5.3.2, temos que Λ′ _{= Λ}

1, e pelo Lema 5.3.3, temos que

Λ = M σ∈G(Λ) Λσ = M σ∈G(Λ) (Λ₁σ) = M σ∈G(Λ) (Λ′σ).

Seja σ ∈ G(Λ) e seja ξ ∈ Λσ. Podemos escrever, ξ = ξ′σ, para algum ξ′ ∈ Λ′. Ent˜ao: ξηΛ = ξ′σtG(Λ)η′ = ξ′tG(Λ)η′ = ξ′ηΛ= bε(ξ′)ηΛ= bε(ξ′σ)ηΛ= bε(ξ)ηΛ.

Logo, ηΛ é um integral generalizado à esquerda não nulo de Λ. (2) Vamos assumir que η = ηΛ1 = ηΛ2.

Pelo Corol´ario 5.3.4, temos que Λ1 ∼= Λ′1#δ1 kG(Λ1) e que Λ2 ∼= Λ ′

2#δ2 kG(Λ2). Observe que Λ′₁ ⊆ Λ′₂ e que G(Λ1) ⊆ G(Λ2). Se Λ1 6= Λ2, então pelo menos uma das inclusões acima é estrita.

Al´em disso, note que Λ′

1é um coideal subálgebra à direita de K #HK. Novamente pela Proposi¸cão

1.3.20, K # HK _{possui a propriedade (Fr). Assim, Λ}′

1 é uma álgebra de Frobenius. Como Λ′2 tem estrutura de K # HK-comódulo à direita e de Λ′₁-módulo à esquerda e à direita, pelo Teorema1.3.21, temos que Λ′

2 é um Λ′1-módulo à esquerda livre e um Λ′1-módulo à direita livre. Vamos supor que Λ′

2, como um Λ′1-módulo à direita livre, tenha dimensão maior do que um. Assim, existem ξ1, ξ2 ∈ Λ′₂ tais que {ξ1, ξ2} é Λ′₁-linearmente independente. Podemos escrever ξ1 = P

αi# xi e ξ2 =Pβj # yj, onde αi# xi, βj# yj ∈ K # HK, para todo i e todo j.

Denotemos α = Pε(xi)αi e β = Pε(yj)βj. Observe que α, β 6= 0. De fato, se α = 0, então ξ1η + ξ20 = bε(ξ1)η = αη = 0, o que é uma contradi¸cão. De forma análoga, mostra-se que β 6= 0. Então:

ξ1(α−1β)η + ξ2(−η) = X h

αi xi₍₁₎· (α−1β)# xi₍₂₎i_{η − b}ε(ξ2)η

=X αi(α−1β) # xiη − βη, pois HK age trivialmente em K. = (α−1β)(ξη) − βη

= (α−1β)(αη) − βη = βη − βη = 0.

Assim, {ξ1, ξ2} ´e Λ′₁-linearmente dependente, um absurdo. Logo, Λ′₂ tem dimens˜ao um como um Λ′

1-m´odulo `a direita livre. Como Λ′1 ⊆ Λ′2, temos que Λ′1 = Λ′2.

De forma análoga, note que kG(Λ1) é um coideal subálgebra à direita de kG(H). Pela Proposi¸cão

1.3.20, kG(H) possui a propriedade (Fr). Assim, kG(Λ1) é uma álgebra de Frobenius. Como kG(Λ2) tem estrutura de kG(H)-comódulo à direita e de kG(Λ1)-módulo à esquerda e à direita, pelo Teorema

1.3.21, temos que kG(Λ2) é um kG(Λ1)-módulo à esquerda livre e um kG(Λ1)-módulo à direita livre. Vamos supor que kG(Λ2), como um kG(Λ1)-módulo à direita livre, tenha dimensão maior do que um. Assim, existem ξ1, ξ2 ∈ kG(Λ2) tais que {ξ1, ξ2} é kG(Λ1)-linearmente independente. Podemos escrever ξ1 =Pλiσi e ξ2 =Pλ′_jτj, onde λi, λ′_j ∈ k e σi, τj ∈ G(Λ2), para todo i e todo j.

Denotemos λ = Pλi e λ′ ₌P_λ′

j. Observe que λ, λ′ 6= 0. De fato, se λ = 0, ent˜ao ξ1η + ξ20 = b

ε(ξ1)η = λη = 0, o que é uma contradi¸cão. De forma análoga, mostra-se que λ′ 6= 0. Então:

ξ1(λ−1λ′)η + ξ2(−η) = (λ−1λ′)ξ1η − bε(ξ2)η = (λ−1λ′)bε(ξ1)η − λ′η = (λ−1λ′)λη − λ′η = 0.

Assim, {ξ1, ξ2} é kG(Λ1)-linearmente dependente, um absurdo. Logo, kG(Λ2) tem dimensão um como um kG(Λ1)-módulo à direita livre. Como kG(Λ1) ⊆ kG(Λ2), temos que kG(Λ1) = kG(Λ2). Assim, G(Λ1) = G(Λ2).

Finalmente, conclu´ımos que Λ1 = Λ2.

5.4 O teorema

Antes de mostrar o resultado principal deste cap´ıtulo, segue um lema extra´ıdo de [Yan97, Lemma 5.5].

Lema 5.4.1. Seja R uma álgebra prima e seja H uma álgebra de Hopf pontual de dimensão finita que age em R. Assuma que a a¸cão de H em R é X-externa. Seja Λ um subconjunto não nulo de

K # H. Então RΛ é uma subálgebra de R racionalmente completa contendo RH.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 3.1.1, temos que RH _{= {r ∈ R : h · r = ε(h)r, para todo h ∈ H}. Seja} ξ =Pαi# hi∈ Λ e seja x ∈ RH. Ent˜ao:

ξx =Xαi# hix =Xαi(hi₍₁₎· x) # hi₍₂₎ =Xαix # hi= xXαi# hi= xξ.

Da igualdade acima, temos que RH _{⊆ R}Λ_.

ξ(rI) = (rI)ξ = rξI, ou seja, (ξr − rξ)I = 0. Como RΛI ⊆ I, temos que (ξr − rξ)RΛI = 0. Pela Proposi¸c˜ao 3.4.4(2), temos que ξr − rξ = 0, ou seja, r ∈ RΛ_.

Logo, RΛ´e uma sub´algebra de R racionalmente completa contendo RH_.

Finalmente, estamos em condi¸cões de mostrar a sobrejetividade da correspondência e assim concluir a demonstra¸cão do teorema. Resultado extra´ıdo de [WY01, Theorem 2.6].

Teorema 5.4.2. Seja R uma álgebra prima e seja H uma álgebra de Hopf pontual de dimensão finita que age em R. Assuma que a caracter´ıstica do corpo base k é zero e que a a¸cão de H em

R é X-externa. Então, para cada H-comódulo subálgebra Λ de K # H que contenha K, temos que

Λ = Φ(RΛ).

Demonstra¸cão. Vamos denotar U = RΛ. Pelo Lema 5.4.1, U é uma subálgebra de R racionalmente completa contendo RH_{. ´}_{E claro que Λ ⊆ Φ(U ) = (K # H)}U_{. Note que, pela Proposi¸cão} _3.4.4 ₍₇_), (K # H)U _{é um H-comódulo sub´}_{algebra de K # H. Assim, pela Proposi¸cão} _5.3.6₍₁_{), Λ possui um} integral generalizado à esquerda não nulo ηΛ. Pela Proposi¸cão 5.3.6 (2), se mostrarmos que ηΛ é também um integral generalizado à esquerda não nulo de Φ(U ), então Λ = Φ(U ).

Seja I um ideal não nulo de R. Pela Proposi¸cão 3.4.4(1), temos que ηΛ· I 6= 0. Vamos mostrar que ηΛ· I ⊆ U . De fato, seja x ∈ I e seja ξ ∈ Λ. Podemos escrever ρ(ξ) =Pξi⊗ hi, onde ξi ∈ Λ e hi ∈ H, para todo i. Então:

ξ(ηΛ·x) = X ξi·(ηΛ·x)#hi = X (ξiηΛ)·x#hi = X b ε(ξi)ηΛ ·x#hi =X(η_Λ·x)bε(ξi)#hi= (ηΛ·x)ξ.

Seja ξ′ _{∈ Φ(U ). Podemos escrever ρ(ξ}′_{) =}P_ξ′

j⊗ h′j, onde ξ′j ∈ Φ(U ) e h′j ∈ H, para todo j, e {h′

j} é linearmente independente. Então, ξ′(ηΛ· x) = (ηΛ· x)ξ′. Pela expressão acima, temos que X (ξ′jηΛ) · x # h′j = X b ε(ξj′)ηΛ · x # h′j. Assim, (ξ′ jηΛ) · x = bε(ξj′)ηΛ · x, ou seja, ξ′ jηΛ− bε(ξj′)ηΛ

· I = 0. Pela Proposi¸c˜ao 3.4.4 (1), segue que ξ′

jηΛ= bε(ξj′)ηΛ, para todo j. Como ξ′=Pε(h′_j)ξ_j′, temos que

ξ′ηΛ= X ε(h′_j)ξ_j′ηΛ= X ε(h′_j_)bε(ξ_j′)ηΛ= X b ε ε(h′_j)ξ_j′ηΛ= bε(ξ′)ηΛ.

Assim, mostramos que ηΛé também um integral generalizado à esquerda não nulo de Φ(U ). Logo, Λ = Φ(U ).

No documento Correspondência do tipo Galois para ações de álgebras de Hopf em álgebras primas (páginas 112-124)