Estruturas, predicados de Suppes e modelos matem´aticos

rigorosas) do conceito de estrutura matem´atica e, conseq¨uentemente, da no¸c˜ao de mod- elo (matem´atico) e predicado de Suppes, todos formulados dentro da teoria de quase- conjuntos.26

Suponhamos que sejam dados os qc A1, A2, . . . , An, chamados de quase-conjuntos

base. Partindo desses qc, podemos formar outros qc, que ter˜ao como elementos os quase- conjuntos de subquase-conjuntos e os quase-conjuntos de subquase-conjuntos do produto cartesiano dos qc dados. Em geral, podemos obter uma escala de tipos de qc como a que se segue (com apenas dois quase-conjuntos base A e B, para exemplificar):27

A × B, P(A), P(A × B), P(A × P(B) × A), P(P(A)).

Os elementos dos quase-conjuntos da escala acima podem ser caracterizados por seus tipos. Consideremos, a seguir, a defini¸c˜ao de tipo de um elemento de uma escala como a acima:

Defini¸c˜ao 1.2.1 Chama-se tipo de um quase-conjunto de uma escala de quase-conjuntos de base A1, A2, . . . , An ao objeto definido como se segue:

(i) O tipo dos elementos dos quase-conjuntos base A1, A2, . . . , An s˜ao respectivamente

a1, a2, . . . , an, sendo ai 6=E aj para i 6=E j.

26_{Seguiremos, em parte, da Costa e French op. cit., pp. 21-60 e Krause 2002, pp. 18-22. No entanto,} adaptaremos esses conceitos para a linguagem da teoria de quase-conjuntos. Faremos assim porque, como vimos no cap´ıtulo anterior, French e Ladyman sustentam que o realismo estrutural ontol´ogico ´e uma teoria que deve estar voltada para os fundamentos da mecˆanica quˆantica. Tendo em vista a indistinguibilidade dos quanta mencionada acima, justificamos, assim, o uso da teoria de quase-conjuntos como sendo ‘mais adequada’ para entendermos o conceito de estrutura que nos interessa nesta disserta¸c˜ao.

27_{Enfatizamos, mais uma vez, que para obter estes objetos dependemos dos axiomas da teoria de} quase-conjuntos. Assim, dependendo do que desejamos obter, podemos escolher entre uma ou outra vers˜ao desta teoria (por exemplo, se necessitamos ou n˜ao do axioma da escolha etc.).

(ii) O tipo de um elemento de P(Ai) ´e haii.

(iii) Se os elementos de um quase-conjunto Xi tˆem tipo xi, i =E 1, . . . , k, ent˜ao os ele-

mentos do quase-conjunto X1× . . . × Xk tˆem tipo hx1, . . . , xki.

Suponhamos que os elementos dos quase-conjuntos A e B tenham tipos respectiva- mente a e b. Ent˜ao os elementos da escala do exemplo acima ter˜ao respectivamente os tipos ha, bi, hai, hha, bii, ha, hbi, ai e hhaii.

Dados dois quase-conjuntos A e B, uma rela¸c˜ao bin´aria entre os elementos desses qc (nessa ordem) ´e um elemento de P(A × B), ou seja, um objeto de tipo hha, bii.28

De um modo geral, consideraremos apenas rela¸c˜oes finit´arias, ou seja, aquelas que tˆem aridade finita. Neste contexto, uma rela¸c˜ao mon´adica ´e simplesmente um quase-conjunto. Fun¸c˜oes podem ser definidas como acima, e elementos constantes s˜ao identificados com rela¸c˜oes 0 -´adicas.

Desta maneira, uma estrutura (matem´atica) ´e uma seq¨uˆencia finita de quase-conjuntos base − que eventualmente podem ser reduzidos a apenas um, bastando para isso fazer a uni˜ao dos quase-conjuntos que houver e adaptando os demais conceitos envolvidos − e de rela¸c˜oes (ou quase-rela¸c˜oes, como veremos `a frente) sobre esses qc. Tais rela¸c˜oes tamb´em s˜ao quase-conjuntos, portanto, tˆem tipos fixos de acordo com a defini¸c˜ao dada. Con- seq¨uentemente, por abuso de linguagem, a pr´opria estrutura ter´a um tipo. Por exemplo, seja S =E hA, ≤Ei uma estrutura, onde A ´e um quase-conjunto n˜ao vazio cujos elementos

tenham tipo a e ≤E uma rela¸c˜ao de tipo hha, aii (isto ´e, ≤E ´e uma rela¸c˜ao bin´aria sobre

A, ou seja, um quase-conjunto de pares ordenados de elementos de A). Assim, o tipo de S =E hA, ≤Ei ser´a ha, hha, aiii.

Um fato importante deve ser destacado. Na verdade, algo como S =E hA, ≤Ei n˜ao

representa uma ´unica estrutura, mas uma certa classe delas. Se A0 _{´e indistingu´ıvel de A}

e ≤0

E ´e a correspondente rela¸c˜ao em A0 (cuja defini¸c˜ao faz sentido manter pelos motivos

abaixo), ent˜ao S0 ₌

E hA0, ≤0Ei substitui perfeitamente S acima para todos os efeitos. ´E

mais ou menos o que se passa em qu´ımica, quando afirmamos que H2O ´e uma mol´ecula de

´agua. Na verdade, o que importa ´e a estrutura, posto que quaisquer ‘outros’ ´atomos de H

e de O condizem a exatamente o mesmo composto qu´ımico. Em Q, isso se deve ao fato de que se R ´e uma rela¸c˜ao n-´aria sobre A, e R(x1, . . . , xn) para xi ∈ A, ent˜ao R(x01, . . . , x0n)

desde que x0

i ≡ xi − desde que essa rela¸c˜ao n˜ao seja a de pertinˆencia, como veremos

detalhadamente mais `a frente. Em outras palavras, em Q realmente podemos falar em estruturas sem se levar em conta os particulares relacionados (relata), como destacaremos no pr´oximo cap´ıtulo. ´E claro que, como ´e f´acil verificar, as estruturas S =E hA, ≤Ei e

S0 ₌

E hA0, ≤0Ei s˜ao isomorfas (Krause 2005).

Por conseguinte, dito de outra forma, uma estrutura ´e simplesmente uma n-upla or- denada que cont´em alguns quase-conjuntos base de uma escala de quase-conjuntos que tem por base os quase-conjuntos dados, como segue:

E =E hA1, A2, . . . , Ak, s1, . . . , sji,

sendo os Ak quase-conjuntos base da estrutura e os sj elementos de quase-conjuntos

de uma escala baseada nos Ak. Tais elementos sj devem satisfazer os axiomas da es-

trutura, AX1, . . . , AXn, que s˜ao f´ormulas transport´aveis (no sentido de Bourbaki 1968,

cap. 4).29 _{Outro conceito importante ´e o de isomorfismo entre estruturas. Seja E =}

E

hA1, . . . , Ak, s1, . . . , sji uma estrutura como acima. Sejam A10, . . . , A0k tais que A01 ≡ A0k

e sejam s0

1, . . . , s0j os correspondentes elementos obtidos de si mediante adequadas trans-

forma¸c˜oes de A0

i. Ent˜ao E0 =E hA0i, . . . , A0k, s01, . . . , s0ji ´e isomorfa a E. Vejamos, a seguir,

o conceito de ‘predicado de Suppes’. Seja Lqc a linguagem da teoria de quase-conjuntos.

Um predicado em Lqc ´e uma f´ormula com uma ´unica vari´avel livre. Suponhamos que P

seja um predicado definido da seguinte maneira (sendo X a vari´avel livre):

P (X) ↔ ∃X1. . . ∃Xk∃Y1. . . ∃Ym(X =E hX1, . . . , Xk, Y1, . . . , Ymi ∧ AX1, . . . , AXn).

P ´e satisfeito por estruturas da forma dada acima, onde os AXns˜ao express˜oes de Lqcque

correspondem aos axiomas a que os elementos de X est˜ao sujeitos. Essas estruturas s˜ao

29_{A defini¸c˜ao de estrutura dada acima ´e apenas inspirada, e enfatizamos esta palavra, na defini¸c˜ao} de Bourbaki. Sobre a defini¸c˜ao de estrutura de Bourbaki ver, al´em do pr´oprio Bourbaki, por exemplo, Krause 1987, 2002, cap. 1

os modelos do predicado dado. Este predicado ´e uma f´ormula transport´avel da linguagem da teoria de quase-conjuntos, e podemos denomin´a-lo aqui de quase-predicado de Suppes. Vale observar que este tipo de predicado identifica-se com o conceito de esp´ecies de estru- turas no sentido de Bourbaki. A estrutura E ´e ent˜ao denominada uma estrutura de esp´ecie P, ou uma P-estrutura. Um predicado de Suppes caracteriza uma fam´ılia de estruturas, que s˜ao os modelos dos axiomas AXn − tal fam´ılia pode tamb´em ser caracterizada por

v´arios predicados (equivalentes entre si). Sintetizando, como diz o pr´oprio Suppes, “ax- iomatizar uma teoria ´e apresentar um predicado conjuntista”(citado por Krause op. cit., p. 20-21 nota 55). Vejamos a seguir um exemplo da Teoria de Grupos.

Informalmente, um grupo ´e um quase-conjunto n˜ao vazio G munido de uma opera¸c˜ao bin´aria ∗ satisfazendo os seguintes axiomas:

(GI) ∗ ´e associativa,

(GII) existe um elemento neutro e ∈ G relativo a G e (GIII) todo elemento x ∈ G admite um inverso x0 _{∈ G.}

Na teoria ZF − na verdade, na c´opia de ZF em Q −, podemos dizer que um grupo G ´e um par ordenado hG, ∗i, onde G 6=E ∅ e ∗ ∈ P(G × G × G), e os seguintes axiomas s˜ao

satisfeitos, para todo x, y e z em G:30

(G1) ∀x∀y∀z(x ∗ (y ∗ z) =E (x ∗ y) ∗ z)

(G2) ∃e(e ∈ G ∧ ∀x(x ∈ G → x ∗ e =E x))

(G3) ∀x(x ∈ G → ∃x0_(x0 _{∈ G ∧ x ∗ x}0 ₌

E x0∗ x =E e)).

O predicado de Suppes correspondente ´e:

G(X) =def.∃G∃ ∗ (X =E hG, ∗i ∧ G 6=E ∅ ∧ ∗ ∈ P(G × G × G) ∧ ∀x∀y∀z((x ∗ (y ∗ z) =E

(x ∗ y) ∗ z) ∧ ∃e(e ∈ G ∧ x ∗ e =E x) ∧ ∃x0(x0 ∈ G ∧ x ∗ x0 =E x0∗ x =E e))).

30_{Lembramos que, se os elementos de G tˆem tipo a, ent˜ao e tem tipo a, x, y, z... tˆem tipo a e ∗ tem} tipo hha, a, aii.

Os modelos desse predicado, por exemplo, a estrutura R =E h<, +i, com < o conjunto

dos n´umeros reais e + a usual adi¸c˜ao de reais, s˜ao os grupos. Assim, dar o predicado ´e caracterizar os grupos. Um outro exemplo interessante ´e o da mecˆanica de part´ıculas. Os modelos s˜ao as v´arias ‘mecˆanicas de part´ıculas’: o sistema Sol e Lua, as mol´eculas de um g´as, o sistema solar etc.31

Desta maneira, para sabermos se uma certa senten¸ca da teoria de grupos − por ex- emplo, ∀x∀y∀z(x ∗ z =E y ∗ z → x =E y) − ´e verdadeira para uma certa interpreta¸c˜ao,

devemos recorrer `a verdade de Tarski, via teoria de conjuntos.32

Vejamos outro interessante exemplo, envolvendo m-´atomos, dado por Krause et al., onde ´e apresentado um predicado quase-conjuntista para part´ıculas quˆanticas. Segundo Krause et al., podemos come¸car com a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 1.2.2 Uma estrutura Qbf =E hP, P, F, S, Ri ´e um sistema de part´ıculas

quˆanticas se, e somente se, os seguintes axiomas s˜ao satisfeitos, onde x, y, z s˜ao vari´aveis percorrendo P e p, q, r s˜ao vari´aveis percorrendo P:

QP(1) P ´e um quase-conjunto finito. QP(2) ∀x(x ∈ P → m(x))

QP(3) ∀p(p ∈ P → p ⊆ P )

QP(4) ∀x(x ∈ P ∧ F (x) → m(x)) ∧ ∀y(y ≡ x → F (y)))

Defini¸c˜ao 1.2.3 B(x) =def.m(x) ∧ ¬F (x)

Podemos dizer que F ´e um predicado un´ario tal que F(x) diz, intuitivamente, que x ´e um ‘f´ermion’. Se x obedece o predicado B, dizemos que x ´e um ‘b´oson’. Assim sendo, a defini¸c˜ao acima diz que um microobjeto que n˜ao ´e um f´ermion ´e um b´oson − assumi- mos, portanto, que todo microobjeto ou ´e um f´ermion ou ´e um b´oson; todavia, comentam Krause et al., podemos modificar a defini¸c˜ao para que ela possa abranger outras esp´ecies de microobjetos, tais como as parapart´ıculas (ibid.)

31_{Este e outros exemplos em biologia e na mecˆanica quˆantica s˜ao dados em Krause op. cit., cap. 2.} 32_{N˜ao comentaremos a verdade de Tarski nesta disserta¸c˜ao.}

QP(5) S ´e um conjunto munido de uma rela¸c˜ao de ordem. Os elementos de S s˜ao chamados ‘estados quˆanticos’. Os elementos de S ser˜ao denotados por s, s1, s2, . . ..

QP(6) R ´e uma quase-rela¸c˜ao com dom´ınio P e contra-dom´ınio S, isto ´e, R =E [[p, s] :

p ∈ P, s ∈ S]. QP(7) S_p∈P =E P . QP(8) ∀p∀s([p, s] ∈ R → ∀q(qcar(q) > qcar(p) → [q, s] /∈ R). QP(9) ∀p∀s∀q∀t([p, s] ∈ R ∧ [q, t] ∈ R ∧ s 6=E t → p ∩ q =E ∅). QP(10) [Princ´ıpio de Pauli] ∀x∀p∀s(p ∈ P ∧ x ∈ p ∧ s ∈ S ∧ F (x) → ([p, s] ∈ R → qcar(p) ≤E 1)).

Intuitivamente, o axioma QP(1) diz que estamos considerando apenas um n´umero finito de part´ıculas. QP(2) diz que estamos considerando apenas microobjetos, isto ´e, P ´e um quase-conjunto puro. QP(3) diz que os elementos de P s˜ao subquase-conjuntos de P. O axioma QP(4) diz que todo f´ermion ´e um microobjeto, e que qualquer mi- croobjeto indistingu´ıvel de um f´ermion ´e tamb´em um f´ermion. QP(5) diz que podemos ordenar estados quˆanticos. QP(6) postula que R ´e uma rela¸c˜ao cujos primeiros ele- mentos s˜ao subquase-conjuntos de P e cujos segundos elementos s˜ao estados quˆanticos; podemos tamb´em interpretar fisicamente R do seguinte modo. Se [p, s] pertencem a R e qcar(p) =E n, ent˜ao podemos dizer que ‘o estado quˆantico s teve n´umero de ocupa¸c˜ao

igual a n’, ou seja, ‘existem n part´ıculas quˆanticas no estado s’. O axioma QP(7) diz que cada part´ıcula do dom´ınio pertence a um dos elementos da cole¸c˜ao considerada P. PQ(8) postula que os primeiros elementos dos pares em R tˆem o ‘n´umero maximal’ de elementos. O axioma PQ(9) garante que uma part´ıcula n˜ao pode estar simultaneamente em dois estados quˆanticos diferentes. Por fim, QP(10) ´e a vers˜ao quase-conjuntista do Princ´ıpio de Exclus˜ao de Pauli.33 _{A rela¸c˜ao R propicia uma maneira de rotular certas}

cole¸c˜oes de part´ıculas elementares. Mas QP(10) diz que a quase-cardinalidade de cole¸c˜oes de f´ermions associadas ao mesmo estado por R n˜ao pode ser maior do que 1. Como teo- remas, seguem-se estes, por exemplo (as provas s˜ao imediatas):

Teorema 7 Qualquer objeto indistingu´ıvel de um b´oson ´e tamb´em um b´oson.

Teorema 8 Cada microobjeto ´e ou um f´ermion ou um b´oson.

Na seq¨uˆencia, como exemplo da estrutura acima, Krause et al. apresentam um modelo para a estrutura eletrˆonica do ´atomo de s´odio (Na). Todavia, n˜ao a apresentaremos aqui. O leitor interessado pode consultar o referido artigo.

Vimos acima dois exemplos de modelos de predicados de Suppes. Segundo W. Stegm¨uller, Suppes segue o desenvolvimento de sua abordagem semˆantica como um an´alogo ao pro- grama de Bourbaki e sua abordagem estruturalista em matem´atica. O que Suppes pre- tenderia seria ‘estender’ o programa estruturalista de Bourbaki para as ciˆencias emp´ıricas, adicionando `a id´eia de ‘esp´ecies de estruturas’, um processo que ficou conhecido como ‘ex- plicitar o predicado de Suppes’ da teoria (ver Krause 1987, 2002, cap. 1). O que Suppes deseja fazer nas ciˆencias emp´ıricas seria um an´alogo ao que fez Bourbaki na matem´atica, ou seja, fundament´a-la em uma teoria de conjuntos − ou, poder´ıamos reformular, na teo- ria de quase-conjuntos − (Stegm¨uller 1981, p. 15).