O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical pode ser feito recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada.
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O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes em todas as direções não possui tal simplificação e se faz obedecendo aos princípios gerais de Estática.
10.1 - Estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical em função da viga de substituição
Seja o triarticulago da figura a seguir, submetido ao carregamento vertical indicado, para o qual deseja-se determinar as reações de apoio e os esforços simples atuantes.
Sendo A e B apoios do 2º gênero, existirão neles reações RA e RB que podem ser decompostos em duas direções quaisquer para fins de facilitar o seu cálculo (usualmente decompõe-se nas direções horizontal e vertical, mas, no caso, prefere-se a direção vertical e a direção AB, por razões práticas.
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Por ΣX = 0, tem-se que as reações em A e B na direção AB devem ser iguais.
Por ΣMB = 0, obtém-se VA, igualando seu momento em relação a B à soma dos momentos em relação a B de todas as cargas verticais aplicadas no triarticulado. Verifica-se que esta é a mesma equação que fornece a reação vertical Va da viga biapoiada ab, de mesmo vão que o triarticulado e submetida ao mesmo carregamento, à qual denomina-se viga de substituição. Pode-se escrever que VA = Va, (reação vertical no triarticulado é igual à reação vertical na viga de substituição).
Analogamente, empregando a equação ΣMA = 0 (ou, também, ΣY = 0), tem-se que VB = Vb.
As reações H', na direção AB são obtidas da condição de momento fletor nulo na rótula G, que nos fornece, empregando as forças da esquerda, por exemplo:
O termo
pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg que atua na viga de substituição ab na seção g, projeção da rótula G do triarticulado, e se tem que:
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O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, no cálculo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas expressões a seguir:
Conhecidas as reações de apoio, passa-se ao cálculo dos esforços simples atuantes no triarticulado.
Escolhendo uma seção genérica S, definida pela abscissa horizontal x, medida a partir do apoio da esquerda, e por uma abscissa vertical y, medida a partir da linha de fechamento AB, tem- se:
Sendo os termos
identificáveis como, respectivamente, o momento fletor M, e o esforço cortante Q, atuantes, na seção s da viga de substituição, o cálculo dos esforços simples atuantes numa seção S de um triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e eles são dados pelas expressões seguintes:
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As expressões instituídas permanecem todas válidas se ocorrerem também cargas verticais distribuídas.
10.2 - Definição e determinação da linha de pressões
Suponha o seguinte problema: determinar qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas seções tenham momento fletor nulo, isto é, obter y para cada seção S, a fim de que nela tenhamos MS = 0, sendo dados l1, l2, f e α.
Igualando a expressão:
a zero, vem imediatamente:
Lembrando-se que os índices minúsculos referem-se à viga de substituição e os maiúsculos ao triarticulado.
Cálculo dos demais esforços solicitantes para esta configuração do triarticulado. Derivando esta expressão em relação a x, tem-se:
que se transforma, levando-se em conta que y = Y - y*, conforme indica a figura a seguir:
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Introduzindo este valor em:
Obtém-se:
isto é, se MS = 0, QS = 0.
O único esforço atuante será o esforço normal NS, igual, levando-se em conta que QS = 0, à resultante de todas as forças atuantes de um dos lados da seção, sendo, portanto, igual à composição vetorial da soma das projeções verticais de todas as forças atuantes de um dos lados da seção com a soma das projeções horizontais das mesmas forças.
Valendo estas somas, respectivamente:
e
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A natureza do esforço normal é obtida, também, da figura a seguir, sendo, no caso, de compressão.
Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços normais, diz-se que sua forma é a da linha de pressões deste carregamento.
Para os triarticulados com a concavidade voltada para baixo (em que a rótula G está acima da reta AB) e o carregamento é de cima para baixo (caso usual), os esforços normais são sempre de compressão.
Os esforços normais serão de tração, quando a estrutura se desenvolver para baixo da reta AB, com carregamento de cima para baixo. Este é o caso dos cabos.
A linha de pressões é a forma ideal para um triarticulado, pois que corresponde à sua forma mais econômica de trabalho estrutural.
A linha de pressões para carregamento uniforme é uma parábola do 2º grau.
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Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente na prática, mais utilizados ainda são os arcos biengastados (hiperestáticos), para os quais também constitui ponto de partida a determinação da linha de pressões do carregamento atuante.
10) (148 – TCU/2011) Se um arco triarticulado, para determinado carregamento, está submetido apenas a esforços normais, então a sua forma é a mesma da linha de pressões desse carregamento.