Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, denominados quadros simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os quadros compostos.
7.1 – Quadro Biapoiado
Seja o quadro da figura abaixo.
Para obterem-se as reações de apoio HA, VA e VD dispõe-se das três equações universais da Estática no plano, pois se trata de estrutura isostática. Conhecidas as reações de apoio, passa-se à obtenção dos diagramas solicitantes, fazendo-se recair em problema já conhecido (resolução de vigas biapoiadas), da maneira seguinte.
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Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C, pode-se destacar umas das outras as barras que o constituem, desde que aplique-se nesses nós, em cada uma das barras, os esforços simples neles atuantes, que manterão o equilíbrio de cada barra AB, BC e CD.
Analisando cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra BC, submetida ao carregamento em equilíbrio constituído por HB, VB, MB, P2, P3, HC, VC, MC. Como estas cargas estão em equilíbrio, pode- se encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as forças que equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode, então, ser considerada como uma viga biapoiada, submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado, acrescido de cargas-monento em suas extremidades iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções e de uma carga horizontal no apoio do 1º gênero, igual ao esforço normal atuante nesta seção. A igual conclusão chegaríamos para as demais barras e o estudo do quadro recai, então, no estudo das três vigas biapoiadas AB, BC e CD.
As conclusões tiradas para este caso podem ser extrapoladas para todos os demais e pode-se, então, afirmar que, para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os momentos fletores atuantes em seus nós ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga
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biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro.
Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, perpendicularmente ao eixo de cada barra.
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio.
Segue um exemplo:
Obter os diagramas solicitantes para o quadro a seguir:
Substituindo o carregamento distribuído por sua resultante, indicada em pontilhado na figura, passa-se à obtenção das reações de apoio:
Conhecidas as reações de apoio, pode-de traçar os diagramas solicitantes, começando pelo diagrama de momentos fletores.
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a) Nó D
Na barra AD o momento traciona as fibras da esquerda e na barra CD o momento traciona as fibras superiores.
Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em D a partir de sua definição, isto é, entrando com as forças atuantes num dos lados da seção (por exemplo, entrando com as forças atuantes à esquerda), obtém-se:
tracionando as fibras superiores ou pode-se, o que é muito mais prático, no caso, obter seu valor a partir do equilíbrio do nó D, conforme se segue.
Rompendo-se todas as barras que concorrem no nó D e aplicando os momentos fletores nelas atuantes, eles têm que estar em equilíbrio, pois a estrutura o está. Tem-se então, o esquema da figura, a partir do qual obtém-se:
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Nas barras EF e BE o momento traciona as fibras da direita. Para a barra DE, temos, a partir do equilíbrio do nó E, conforme indica a figura:
Marcando os valores obtidos para os nós, tem-se definidas as linhas de fechamento, a partir das quais penduram-se os diagramas de viga biapoiada, obtendo-se então, o diagrama final.
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A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais é imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio:
4) (32 – SEAD/PA – 2005) A figura acima representa um pórtico plano, rígido, com peso desprezível, submetido ao carregamento (não nulo) uniformemente distribuído com intensidade q. De acordo com os dados apresentados na
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figura, os valores dos módulos das componentes verticais das forças nos apoios A e B são, respectivamente, iguais a
A) 0,1 qa e 0,6 qa. B) 0,2 qa e 0,7 qa. C) 0,4 qa e 0,9 qa. D) 0,6 qa e 1,1 qa. E) 0,7 qa e 1,2 qa.
(45 – PF/2002) Considere o pórtico plano apresentado na figura abaixo, submetido a uma carga concentrada horizontal — P — e a uma carga uniformemente distribuída — q —.
Em face dessa situação, desprezando o peso próprio do pórtico, julgue os itens a seguir.
5) 1 - O pórtico representa uma estrutura hiperestática. 6) 2 - Para as condições geométricas e de carregamento do pórtico, o apoio A estará sempre submetido a tração.
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7) 3 - Para as condições geométricas e de carregamento do pórtico, o apoio B estará sempre submetido a compressão. 8) 4 – No trecho CD, a fibra externa do material, imediatamente acima e à esquerda do ponto C, está submetida a tração.
9) 5 – A reação horizontal no apoio B é igual à carga P.
7.2 – Quadro Engastado e Livre
Seja o quadro da figura abaixo.
As reações de apoio HA, VA e MA são obtidas empregando-se as três equações universais da Estática no plano, e, a partir daí, chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes.
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As reações de apoio valem:
Os diagramas solicitantes são os indicados a seguir:
7.3 - Quadro triarticulado
Seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e B) da figura abaixo.
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Para determinar suas 4 reações de apoio (HA, VA, HB e VB), dispõe-se das três equações universais da Estática no plano e, por haver uma rótula em G (o que indica que em G só há transmissão de forças, não havendo transmissão de momentos), há uma quarta equação indicando que o momento fletor em G deve ser nulo.
Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária estejam alinhados, a estrutura será hipostática. Seja o quadro da figura abaixo, para que esteja satisfeita a condição do momento fletor nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em B devem ter suas resultantes RA e RB segundo a direção da reta AB, conforme esquematizado na figura.
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Ao calcular a soma das projeções de todas as forças na direção perpendicular à reta AB: ela valerá Σ Y = -P.cos α (e não zero, como deveria valer, caso houvesse o equilíbrio). Conclui-se então que, nestas circunstâncias, o equilíbrio é impossível e se está, por conseguinte, diante de uma estrutura hipostática.
Pode-se afirmar que um quadro triarticulado é uma estrutura isostática, desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas.
7.4 - Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora)
Seja o quadro da figura a seguir, biapoiado em A e B, com uma rótula em G e com uma barra CD descarregada, rotulada em suas extremidades.
Se a barra CD é descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração, a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). Nada se alterará sob o ponto de vista estático, se a barra CD for rompida, substituindo-a por um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das extremidades C e D da barra CD.
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Para resolver a estrutura precisa-se, por conseguinte, conhecer os valores das reações de apoio VA, HA e VB e do par de forças N, num total de quatro incógnitas. Sendo igual o número de equações de que dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de momento fletor nulo na rótula), trata-se de uma estrutura isostática.
Dependendo da posição relativa dos vínculos, o quadro biapoiado, com articulação e tirante, pode se tornar hipostático, conforme é o caso da estrutura da figura abaixo, incapaz de absorver forças horizontais atuantes no trecho GB (pois acarretariam o aparecimento de momentos fletores na rótula, o que é impossível).