2.2 Sistemas com V´arios Graus de Liberdade
2.2.2 M´etodo da Superposi¸c˜ ao Modal
Na an´alise dinˆamica de sistemas lineares com v´arios graus de liberdade, ´e conveniente representar os deslocamentos da estrutura mediante os modos normais. Estes modos constituem N formas independentes de deslocamento (sendo N o n´umero de graus de liberdade dinˆamicos) cujas amplitudes podem servir como coordenadas generalizadas para expressar qualquer forma de deslocamento. Assim, o vetor de deslocamentos nodais v ´e escrito na forma v = N X i=1 φiYi = ΦY , (2.77)
onde Y ´e o vetor de coordenadas generalizadas.
C´alculo da Resposta Seja um sistema com N graus de liberdade e com as equa¸c˜oes do movimento expressas nas coordenadas originais, Eq. (2.60),
mv¨+ c ˙v + k v = p(t).
Introduzindo a Eq. (2.77) em (2.60) e pr´e-multiplicando por ΦT, obt´em-se
¡ΦTmΦ¢ ¨
Y +¡ΦTcΦ¢ ˙
Y +¡ΦTkΦ¢ Y = ΦTp(t). (2.78)
Lembrando as propriedades de ortogonalidade das matrizes de massa e rigidez, chega-se `a
M ¨Y +¡ΦTcΦ¢ ˙
Y + K Y = P(t). (2.79)
onde M e K s˜ao as matrizes de massa e rigidez generalizadas e o vetor P ´e o vetor de cargas generalizadas.
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Admitindo que os modos normais tamb´em sejam ortogonais em rela¸c˜ao `a matriz de amortecimento e introduzindo a matriz diagonal
C = ΦTcΦ, (2.80)
tem-se a equa¸c˜ao matricial
M ¨Y + C ˙Y + K Y = P(t). (2.81)
Como as matrizes s˜ao todas diagonais, resulta um sistema de equa¸c˜oes independentes escritas nas coordenadas generalizadas. Para o modo i, a equa¸c˜ao pode ser escrita na forma ¨ Yi+ 2 ξiωiY˙i+ ωi2Yi= Pi Mi , (2.82)
onde as seguintes grandezas est˜ao associadas ao modo de vibra¸c˜ao i: ξi taxa de amortecimento;
ωi freq¨uˆencia natural;
Pi = φiTPt for¸ca generalizada;
Mi massa generalizada.
Dessa maneira, a resposta dinˆamica ´e obtida resolvendo cada uma das equa¸c˜oes nas coor- denadas normais e superpondo os resultados para se calcular a resposta nas coordenadas originais.
O m´etodo descrito denomina-se m´etodo da superposi¸c˜ao modal e uma de suas vantagens reside no fato da resposta dinˆamica de uma estrutura estar geralmente associada aos modos normais de menor freq¨uˆencia natural. Isto significa que uma boa aproxima¸c˜ao pode ser obtida com as coordenadas normais, mesmo com uma redu¸c˜ao significativa do n´umero de coordenadas.
Resposta a uma Excita¸c˜ao Harmˆonica Neste se¸c˜ao, ser´a apresentado o c´alculo da resposta permanente de uma estrutura submetida a uma excita¸c˜ao harmˆonica, aplican- do-se o m´etodo da superposi¸c˜ao modal. As equa¸c˜oes desenvolvidas s˜ao as mesmas uti- lizadas pelo programa SANT na determina¸c˜ao dos valores m´aximos de deslocamento e esfor¸cos, de acordo com o exemplo apresentado no Cap´ıtulo 9.
Seja o vetor dos esfor¸cos que excitam a estrutura dado por
p(t) = p0sen Ωt, (2.83)
que introduzida na Eq. (2.81), fornece
M ¨Y + C ˙Y + K Y = ΦTp0sen Ωt. (2.84)
equa¸c˜oes diferenciais independentes, na forma ¨ Yi+ 2 ξiωiY˙i+ ω2iYi= Pi Mi , i = 1, . . . ,S, (2.85)
com Pi = φiTp0sen Ωt = P0isen Ωt. A resposta permanente ´e obtida da Eq. (2.36).
Assim, Yi(t) = P0i Ki 1 (1 − β2 i)2+ (2 ξiβi)2 £(1 − β 2 i) sen Ωt − 2 ξiβicos Ωt ¤ (2.86) onde βi = Ω/ωi e Ki = φiTk φi = ω2iMi. A resposta dinˆamica nas coordenadas originais
´e dada pela Eq. (2.77).
v(t) = S X i=1 φiYi(t) = S X i=1 (Aisen Ωt + Bicos Ωt) = A sen Ωt + B cos Ωt, (2.87) sendo A = S X i=1 φiP0i Ki 1 − β2 i (1 − β2 i)2+ (2 ξiβi)2 , (2.88) B = S X i=1 φiP0i Ki (−2 ξiβi) (1 − β2 i)2+ (2 ξiβi)2 , (2.89)
A separa¸c˜ao da resposta em sen Ωt e cos Ωt ´e bastante vantajosa em termos computacio- nais. Ela permite calcular os vetores A e B independentes do tempo e, posteriormente, desenvolver a resposta v (t). Os vetores de velocidade e acelera¸c˜ao s˜ao obtidos diretamente por meio da Eq. (2.87).
Cap´ıtulo 3
Intera¸c˜ao Solo-Estrutura
Atualmente s˜ao empregadas duas abordagens para considerar a deforma¸c˜ao do solo no c´alculo da resposta dinˆamica de uma funda¸c˜ao de m´aquina. Na primeira, procuram-se solu¸c˜oes anal´ıticas ou num´ericas, relativas ao problema de vibra¸c˜ao de uma funda¸c˜ao r´ıgida sobre um meio cont´ınuo (semi-espa¸co el´astico, maci¸co de solo estratificado etc.). Chama-se a aten¸c˜ao para o fato de as equa¸c˜oes do movimento resultantes possu´ırem coeficientes que dependem da freq¨uˆencia da excita¸c˜ao dinˆamica.
Na segunda abordagem, o solo sob a funda¸c˜ao ´e representado por meio de molas e amortecedores lineares (modelo de Winkler-Voigt). Estes elementos s˜ao aferidos para de- terminado intervalo de freq¨uˆencia, com base em resultados experimentais (Barkan [5]) ou a partir de analogias com as solu¸c˜oes anal´ıticas ou num´ericas mencionadas na pri- meira abordagem. Embora aproximada, esta representa¸c˜ao permite o emprego da an´alise dinˆamica linear e, conseq¨uentemente, a extens˜ao imediata para funda¸c˜oes com v´arios graus de liberdade.
Um aspecto comum `as duas abordagens diz respeito ao comportamento dinˆamico do solo. “Como a opera¸c˜ao satisfat´oria das funda¸c˜oes de m´aquinas envolve amplitudes de deslocamento da ordem de cent´esimos de mil´ımetro, as deforma¸c˜oes dinˆamicas do solo podem ser admitidas quase-el´asticas, sem deforma¸c˜oes permanentes e com n˜ao-linearidades desprez´ıveis. Assim, grande parte das solu¸c˜oes admitem um comportamento el´astico ou visco-el´astico linear do solo, com um amortecimento linear por histerese representando a dissipa¸c˜ao de energia interna no solo” [12].
3.1
Vibra¸c˜ao de uma Funda¸c˜ao sobre um Meio Cont´ınuo
Existem v´arios m´etodos de c´alculo que permitem considerar as deforma¸c˜oes do solo sob a funda¸c˜ao. A escolha de um determinado m´etodo depende, principalmente, da importˆancia da funda¸c˜ao projetada. De um modo geral, ele deve ser capaz de considerar as principais caracter´ısticas da funda¸c˜ao, tais como: a forma da base, os parˆametros do solo e, nos m´etodos mais elaborados, a profundidade da funda¸c˜ao, sua flexibilidade e a estratifica¸c˜ao do solo.Breves hist´oricos sobre o desenvolvimento dos v´arios m´etodos s˜ao encontrados nas
referˆencias [12, 18, 25]. Em seu trabalho, Gazetas [12] classifica os diversos m´etodos em dois grupos: o primeiro, englobando solu¸c˜oes anal´ıticas e semi-anal´ıticas e; o segundo, representado pelo m´etodo dos elementos finitos.
O ponto de partida dos m´etodos que admitem o meio cont´ınuo ´e a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de onda que governam as deforma¸c˜oes impostas em cada camada de solo ou no semi-espa¸co. Entretanto, diversas condi¸c˜oes de contorno s˜ao admitidas em cada solu¸c˜ao.
Primeiro Grupo
Solu¸c˜oes Anal´ıticas Geralmente, as formula¸c˜oes do problema s˜ao aproximadas, admi- tindo hip´oteses simplificadoras quanto `as tens˜oes no contato solo-funda¸c˜ao. Isto significa considerar tens˜oes tangenciais nulas no contato para vibra¸c˜oes verticais ou de rota¸c˜ao em torno de um eixo horizontal e tens˜oes normais nulas para vibra¸c˜oes horizontais ou de tor¸c˜ao. Tais solu¸c˜oes anal´ıticas s˜ao obtidas, em geral, com o aux´ılio de transformadas integrais.
Solu¸c˜oes Semi-Anal´ıticas As solu¸c˜oes semi-anal´ıticas tˆem, como ponto de partida, a determina¸c˜ao dos deslocamentos de um ponto qualquer do contato solo-funda¸c˜ao, provocados por uma for¸ca harmˆonica normal ou tangencial, aplicada em outro pon- to do contato. Com a discretiza¸c˜ao adequada da superf´ıcie de contato, ´e poss´ıvel determinar as equa¸c˜oes do problema e obter a solu¸c˜ao impondo-se as condi¸c˜oes de contorno do movimento de corpo r´ıgido. O m´etodo dos elementos de fronteira, muito empregado na determina¸c˜ao da resposta dinˆamica de grandes funda¸c˜oes, ´e classifi- cado como uma solu¸c˜ao semi-anal´ıtica.
Segundo Grupo
M´etodo dos Elementos Finitos O m´etodo dos elementos finitos ´e usado na an´alise dinˆamica de funda¸c˜oes com geometria complexa, enterradas ou sobre perfis de solo estratificado. ´E importante observar que os modelos dinˆamicos apresentam carac- ter´ısticas diferentes dos est´aticos, quando se trata de representar o solo. A discre- tiza¸c˜ao do semi-espa¸co ou das camadas de solo em um modelo de dimens˜oes finitas impede a dissipa¸c˜ao de energia por propaga¸c˜ao das ondas no solo, distorcendo o comportamento dinˆamico do modelo. Este problema exige t´ecnicas especiais para simular o efeito da propaga¸c˜ao de ondas para regi˜oes externas ao modelo.
Na discretiza¸c˜ao, n˜ao deve ser esquecido que a propaga¸c˜ao de ondas requer dimens˜oes de elementos finitos compat´ıveis com os comprimentos de onda. Por conseguinte, altas freq¨uˆencias de opera¸c˜ao da m´aquina exigem um n´umero elevado de elementos suficientemente pequenos.
Solu¸c˜oes para diferentes geometrias da base da funda¸c˜ao e parˆametros do solo podem ser encontradas em numerosos artigos empregando os diferentes m´etodos. As solu¸c˜oes na forma de tabelas, gr´aficos ou f´ormulas fornecem resultados satisfat´orios para a an´alise
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dinˆamica de grande maioria das funda¸c˜oes de m´aquinas, onde o custo de uma an´alise empregando um programa de elementos finitos ou elementos de fronteira ainda ´e proibitivo. Atualmente, grande parte das solu¸c˜oes s˜ao apresentadas na forma de fun¸c˜oes de rigidez dinˆamica dos graus de liberdade de uma funda¸c˜ao associada. O termo funda¸c˜ao associada designa uma funda¸c˜ao que, exceto pela in´ercia admitida nula, possui as mesmas propri- edades f´ısicas e geom´etricas da funda¸c˜ao original. Para que os resultados acima sejam empregados diretamente na an´alise dinˆamica do problema, ser´a introduzido o conceito de fun¸c˜ao de rigidez dinˆamica. No Cap´ıtulo 7, ser´a explicado como, uma vez conhecidas estas fun¸c˜oes, a resposta dinˆamica permanente de uma funda¸c˜ao em bloco r´ıgido pode ser calculada.