Neste exemplo, será considerada a aplicação de força vertical e horizontal. Primeiro aplica- se a carga vertical com as mesmas propriedades do primeiro exemplo e em seguida uma foça tangencial foi aplicada, considerando atrito entre os corpos. A força tangencial considerada é 15 N/mm e o coeficiente de atrito µ = 0.2.
Figura 7.13: Modelagem do problema no programa implementado.
Vale reforçar que os carregamentos vertical e horizontal não podem ser aplicados de uma vez. Primeiro a força vertical deve ser aplicada e depois, na outra iteração, a força horizontal. A Figura 7.13 ilustra a modelagem do problema no programa implementado. Na aresta de aplicação de carregamento, os nós são fixados na direção y para evitar a rotação da sapata.
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
Figura 7.14: Condições de contorno na aresta superior.
7.3.1 Resultados numéricos
Para esse problema são apresentados resultados para um caso sem atrito e um com atrito no primeiro passo (carga vertical). A razão para considerar o primeiro passo sem atrito é porque a solução de Mindlin-Cattaneo não considera a tensão de cisalhamento do primeiro passo.
No primeiro caso (considerando sem atrito no passo 1) a tensão cisalhante é a mesma apre- sentada para o primeiro exemplo pois foi considerado o contato sem atrito, e portanto esta tensão é nula. Já no segundo passo, onde a carga tangencial é aplicada, o atrito entre os corpos foi conside- rado.
A Figura 7.15 mostra as tensões normal e de cisalhamento no corpo 1 com a malha menos refinada e compara os resultados numéricos com a solução analítica. A solução analítica para a tensão de cisalhamento é a solução de Mindlin-Cattaneo, apresentada anteriormente no capítulo 3.
Na Figura 7.16 se encontram as tensões do corpo 1 com a malha mais refinada. O resultado obtido mostra ótima concordância entre os resultados numéricos e a solução analítica.
Figura 7.15: Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com a malha menos refinada e comparação com a solução analítica.
Figura 7.16: Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com a malha mais refinada e comparação com a solução analítica.
Os deslocamentos na direção x e y para cada corpo estão ilustrados na Figura 7.17. Os deslo- camentos na direção x mostram movimentos dos corpos na direção de aplicação de carregamento tangencial (lado positivo do eixo x, movimento para a direita). A parte de ux em que a curva dos
dois corpos coincide mostra a adesão entre eles. Considerando esse movimento como referência, a curva de deslocamento ao longo do eixo x para o corpo 1 é positiva e para o corpo 2 é negativa. Isso é devido a aplicação de força tangencial no corpo 1 que favorece o movimento na direção positiva e para corpo 2 é contrária por causa do atrito entre os corpos e a fixação dele, o que faz com que o corpo resista a este movimento e tente voltar à posição inicial.
Figura 7.17: Deslocamento dos corpos ao longo do eixo x e y no contato sob carregamento vertical e horizontal
As curvas de uy também mostram a região de adesão onde as curvas coincidem em torno
da origem do sistema de referência. Os dois corpos têm deslocamento positivo no lado esquerdo e negativo no lado direito. A causa deste deslocamento é o carregamento tangencial no corpo 1, que faz os corpos se comprimirem do lado direito e se estenderem do lado esquerdo. Um aumento no gráfico de uy nos mostra um deslocamento maior no corpo 1, o que é esperado por não ser a região
de adesão, sendo que este foi o corpo no qual o carregamento foi aplicado.
As tensões equivalentes de von Mises nos corpos na forma de mapa de cor são apresentados na Figura 7.20.
Figura 7.18: Deslocamento dos corpos na direção y no lado esquerdo do corpo.
Figura 7.20: Mapa de cor das tensões equivalente de von Mises nos corpos sob carregamento hori- zontal com atrito.
No segundo caso, considerando atrito no passo 1, os resultados foram diferentes. Nesse caso, a força vertical é aplicada gradualmente em 50 incrementos para que o resultado seja mais confiável. Quando a carga externa vertical foi aplicada totalmente, a força horizontal de 2N/mm é aplicada. A Figura 7.21 mostra as tensões e a comparação com a solução analítica. A queda na tensão cisalhante ocorre devido à força tangencial desloca a região de adesão para direita.
−1.50
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
100
200
300
400
500
600
700
x (mm)
Tensões (MPa)
σ
yτ
xy/µ
Figura 7.21: Tensões normal e cisalhante no corpo 1 sob carregamento vertical e horizontal e solu- ção analítica.
A Figura 7.22 mostra os deslocamentos dos corpos. Estes na direção x claramente mostram a transferência da região de adesão para direita, onde as curvas de ux se coincidem. Esta região está
relativamente deslocada para direita em relação ao eixo de referência no meio do corpo. Além disso, o lado direito dos corpos tem um movimento mais próximo ao eixo x enquanto o lado esquerdo do corpo 2 se desloca proporcionalmente menos que o lado esquerdo do corpo 1. Os corpos têm comportamentos diferentes pois a carga é aplicada diretamente no corpo 1 e o corpo 2 é restrito. Portanto, o corpo 1 se movimenta na direção da aplicação de carga tangencial e o corpo 2 tenta resistir a esse movimento.
As curvas uy apresentam um comportamento parecido com casos de carregamento vertical,
ainda que pequenas diferenças possam ser verificadas. Como está apresentado na Figura 7.22, o comportamento nas extremidades de cada corpo não é simétrico, ou seja, o lado direito dos corpos
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −0.07 −0.06 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 x (mm) y (mm) u y corpo 1 u x corpo 1 u y corpo 2 u x corpo 2
Figura 7.22: Deslocamento dos corpos ao longo do eixo x e y sob carregamento vertical e horizontal com atrito.
tem deslocamento maior do que o lado esquerdo. Isso também é devido a carga horizontal ser apli- cada no corpo 1 e a região de adesão entre os corpos. A Figura 7.23 mostra as tensões equivalente de von Mises nos corpos.
Figura 7.23: Mapa de cor das tensões equivalente de von Mises nos corpos sob carregamento ver- tical e horizontal com atrito.
8
Considerações Finais
8.1 Conclusões
O estudo de contato de dois corpos elásticos em regime de elasticidade infinitesimal (peque- nas deformações) e a implementação de um algoritmo para análise de problemas de contato com uso de métodos dos elementos de contorno foi apresentado. Devido às restrições do problema e a presença de atrito, o problema se torna não linear.
Para as restrições de atrito, a lei de atrito de Coulomb foi considerada. Na presença de atrito, dependendo da força aplicada, a região de contato pode ter zonas de adesão e escorregamento, simultaneamente. Para determinar o estado de contato, um algoritmo baseado no limite de atrito foi proposto. A definição cuidadosa de cada estado tem grande influência na obtenção de tensões e deformações.
Para diminuir a não linearidade do problema, a carga total aplicada é inserida de forma in- cremental. A variação de carga pode mudar o estado de contato definido. Portanto, com cada incre- mento de carga, as restrições são verificadas e os estados são atualizados.
As matrizes são montadas, formando o sistema de equações. Como foi mencionado ante- riormente, esse sistema é um sistema não linear e deve ser resolvido com auxílio de métodos de resolução de sistemas não lineares. Entre os métodos numéricos de minimização conhecidos, o mé- todo de Newton foi implementado e apresentou uma resposta adequada, com número de iterações relativamente baixo. Este método permite determinar as restrições de contato em cada iteração, de maneira precisa.
A modelagem do problema foi feita com elementos quadráticos contínuos do método dos ele- mentos de contorno (MEC). Para problemas onde o campo de interesse é o contorno, o MEC possui mais vantagens do que qualquer outro método, pois discretiza apenas o contorno do componente. Mesmo que a literatura não recomende o uso de elementos quadráticos por apresentar oscilações na resposta, este tipo de elemento foi utilizado juntamente com o algoritmo proposto. Ao contrário do mostrado em vários trabalhos da literatura, as respostas obtidas com o uso de elementos de alta ordem, no caso desse trabalho, elementos quadráticos, não apresentam oscilações nos resultados
das tensões de cisalhamento.
A aplicação de força tangencial foi outro desafio do projeto, pois aumenta mais a complexi- dade do problema. A carga tangencial é aplicada de forma incremental, somente quando a carga vertical atingir seu valor máximo. O método de Newton implementado apresentou pequenas fa- lhas na presença de carga tangencial e precisa de estudos mais detalhados para entender melhor os problemas relacionados ao método.
O algoritmo apresentado e o programa implementado apresentaram resultados com boa con- cordância com as soluções analíticas disponíveis na literatura. Os resulatados mostram que o MEC pode resolver de maneira adequada problemas de contato entre dois corpos. Embora o desenvol- vimento da formulação tenha sido feito para apenas dois corpos, sua extensão para problemas multi-corpos é direta, com pequenas modificações no código implementado.