Mohammad Hossein Shaterzadeh-Yazdi
Análise de contato entre dois corpos
elásticos usando
o Método dos Elementos de Contorno
94/2015
CAMPINAS 2015
Dedico este trabalho aos meus queridos pais; Meus primeiros e eternos professores.
Agradecimentos
A Deus por minha vida, família e amigos.
Aos meus queridos pais, Azam e Mohsen, e às minhas irmãs pelo amor, incentivo e apoio incondi-cional.
Ao meu orientador, professor Dr. Paulo Sollero, pela oportunidade e apoio e também pelos conse-lhos, acadêmicos e não acadêmicos, que vou levar para resto da minha vida.
Ao meu co-orientador, professor Dr. Éder Lima de Albuquerque, pela motivação e indicação para realizar o meu mestrado e também pelo apoio e pelas discussões construtivas na construção do projeto.
Aos colegas e companheiros do laboratório Sollero-Pavanello, em especial René, Andrés e Kevin pela amizade e apoio.
À comunidade iraniana de Campinas e ao pessoal da casa CEU pela convivência e por tornar possível morar longe da família e sentir menos falta de casa. Em especial agradeço ao Samu pela amizade e ajuda na correção deste texto.
Aos professores e funcionários da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas- UNICAMP pela infraestrutura fornecida, apoio acadêmico e simpatia.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq pelo suporte finan-ceiro e por tornar possível a realização deste projeto.
Aos amigos que, mesmo de longe, me apoiam e não me deixam sozinho e a todos os que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.
Procure ser um homem de valor, em vez de ser um homem de sucesso.
Resumo
SHATERZADEH-YAZDI, Mohammad Hossein. Análise de contato entre dois corpos elásticos usando o Método dos Elementos de Contorno. 2015. 102p. Tese (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
Em problemas de contato mecânico entre dois corpos elásticos, o cálculo de tensões e defor-mações dos componentes é de grande importância. Em casos particulares os corpos estão sujeitos a cargas normal e tangencial na presença de atrito, o qual aumenta a complexidade do problema. O estudo do fenômeno e a modelagem do problema, empregando o método dos elementos de contorno (MEC), é apresentado neste trabalho. Devido à presença de atrito e restrições de contato, esse problema torna-se um caso não linear. A não linearidade do problema foi contornada com a aplicação incremental de carga e o uso de um método de resolução de sistemas não lineares. A zona de contato é uma das variáveis do problema e pode conter estados de adesão e escorregamento, simultaneamente. Esses estados dependem dos esforços normais e tangenciais no componente e podem variar durante o processo de aplicação de carga. Dessa forma, cada incremento de carga pode perturbar em relação ao estado anterior. Portanto, o cálculo de variáveis e a atualização do sistema de equações em cada iteração é indispensável. Por este motivo, um algoritmo robusto para definição dos estados de contato é proposto. Como o sistema de equações obtido é não linear, o uso de um método numérico adequado é exigido. Para a solução deste sistema, o método de Newton foi aplicado, o qual permite a verificação do estado de contato em cada incremento. A análise é feita com o uso de elementos quadráticos contínuos, apresentando resultados contínuos e sem oscilação. A comparação dos resultados com as soluções analíticas de Hertz e Mindlin-Cattaneo mostram boa concordância.
Palavras-chave: Contato Mecânico, Método dos elementos de contorno, Método de Newton, Elasticidade.
Abstract
SHATERZADEH-YAZDI, Mohammad Hossein. Contact analysis between two elastic bodies using the Boundary Element Method. 2015. 102p. Thesis (Master’s degree). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
The computation of stresses and strains on the components is of great importance, when the contact mechanics problems between two elastic bodies are analyzed. In particular cases, bodies are subjected to normal and shear loading in the presence of friction, which increases the complexity of the problem. The study of the phenomenon and modeling of the problem, using the boundary element method (BEM), are presented in this work. Due to the presence of friction and natural restrictions, this problem becomes non-linear. The non-linearity of the problem was solved with an incremental applied load and with the use of solvers to non linear systems. The contact zone can contain stick and slip states, simultaneously. These states are dependent on the normal and shear forces on the component and can vary during the application load process. Thus, each load increment can violate the previous state and therefore, the evaluation of variables and the updating of the system of equations after each iteration is indispensable. For this reason, a robust algorithm for contact state definition is suggested. Since a non linear system of equations is obtained, an appropriate numerical method is required. To solve this system, Newton’s method is applied, which allows the verification of the state of contact at each increment. The analysis is done with the use of quadratic continuous elements and provides continuous and non-oscillatory results. Comparisons of the results with the analytical solutions of Hertz and Mindlin-Cattaneo show good agreement.
Lista de Ilustrações
1.1 Modelo de contato fretting com malha MEF (Hojjati Talemi, 2014). . . 6
2.1 Corpo em equilíbrio sob as forças externas. . . 10
2.2 Vetores de tensão sobre as faces do elemento infinitesimal de volume. . . 11
2.3 Placa fina sujeita a um carregamento uniforme distribuído na espessura. . . 15
2.4 Cilindro longo sujeito a um carregamento uniforme ao longo do comprimento. . . . 16
2.5 Teoria da energia de distorção máxima (von Mises). . . 18
3.1 Caracterização de contatos: (a) Incompleto e não conforme; (b) Completo; (c) In-completo com singularidade; (d) InIn-completo e conforme. . . 20
3.2 Contato normal de dois corpos elásticos similares . . . 22
3.3 Semi-plano sujeito a força normal e tangencial. . . 24
3.4 Modo de integração de cargas normal e tangencial no semi-plano. . . 26
3.5 Tensões subsuperficiais ao longo do eixo y de simetria. . . 29
3.6 Contato de cilindros sujeito uma força normal e uma carga tangencial. . . 30
3.7 Zonas de adesão e escorregamento entre dois cilindros em regime de escorrega-mento parcial. . . 31
3.8 Tensões normalizadas de Mindlin-Cattaneo em regime de escorregamento parcial. . 33
4.1 O ponto fonte x0 pertence ao contorno. . . 39
4.2 Ângulo interno no contorno do componente. . . 41
4.3 Elementos quadráticos contínuos. . . 42
4.4 Coordenada adimensional ξ para elementos quadráticos continuos. . . 43
4.5 Funções de forma de elementos quadráticos contínuos. . . 44
4.6 Tensões no contorno. . . 48
5.1 Região de contato Γce região sem contato Γnc. . . 51
5.2 Sistema de coordenadas globais. . . 60
5.3 Sistema de coordenadas locais. . . 61
6.1 Ilustração da iteração do método de Newton. . . 66
6.2 Demostração de caso de comportamento cíclico. . . 67
7.1 Contato de dois cilindros sob carregamento vertical e horizontal. . . 71
7.2 Modelo de duas sapatas em contato. . . 72
7.4 Tensão normal com 60 elementos quadráticos contínuos na região de contato com-parando com a solução de Hertz no contato sem atrito. . . 74 7.5 Tensão normal com com 120 elementos quadráticos contínuos na região de contato
comparando com solução de Hertz no contato sem atrito. . . 74 7.6 Deslocamentos dos corpos ao longo do eixo x e y no contato sem atrito. . . 75 7.7 Mapa de cor das tensões equivalente de von Mises nos corpos sob carregamento
vertical sem atrito. . . 76 7.8 Variação de tensões principais no plano ao longo do eixo y e comparação com a
solução analítica. . . 77 7.9 Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com 60 elementos quadráticos contínuos
na região de contato considerando µ = 0, 2. . . 78 7.10 Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com a malha mais refinada no contato com
atrito . . . 79 7.11 Deslocamentos dos corpos ao longo do eixo x e y no contato com atrito. . . 80 7.12 Mapa de cor das tensões equivalentes de von Mises nos corpos sob carregamento
vertical com atrito. . . 80 7.13 Modelagem do problema no programa implementado. . . 81 7.14 Condições de contorno na aresta superior. . . 82 7.15 Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com a malha menos refinada e comparação
com a solução analítica. . . 83 7.16 Tensões normal e cisalhante no corpo 1 com a malha mais refinada e comparação
com a solução analítica. . . 83 7.17 Deslocamento dos corpos ao longo do eixo x e y no contato sob carregamento
vertical e horizontal . . . 84 7.18 Deslocamento dos corpos na direção y no lado esquerdo do corpo. . . 85 7.19 Deslocamento dos corpos na direção y no lado direito do corpo. . . 85 7.20 Mapa de cor das tensões equivalente de von Mises nos corpos sob carregamento
horizontal com atrito. . . 86 7.21 Tensões normal e cisalhante no corpo 1 sob carregamento vertical e horizontal e
solução analítica. . . 87 7.22 Deslocamento dos corpos ao longo do eixo x e y sob carregamento vertical e
hori-zontal com atrito. . . 88 7.23 Mapa de cor das tensões equivalente de von Mises nos corpos sob carregamento
SUMÁRIO
Lista de Ilustrações xvii
SUMÁRIO xix 1 Introdução 1 1.1 Revisão bibliográfica . . . 3 1.2 Motivação . . . 5 1.3 Organização do texto . . . 7 2 Embasamento Teórico 9 2.1 Elasticidade . . . 9 2.2 Tensão . . . 9 2.3 Deformação . . . 12 2.4 Lei de Hooke . . . 13
2.5 Estado plano de tensão e deformação . . . 15
2.6 Teoria da energia de distorção máxima . . . 16
3 Mecânica do contato 19 3.1 Introdução ao contato mecânico . . . 19
3.1.1 Contato sem atrito . . . 20
3.1.2 Contato com atrito . . . 21
3.1.3 Modos de contato . . . 21
3.2 Contato de dois corpos elásticos . . . 22
3.3 Solução analítica . . . 23
3.4 Teoria de Hertz para o contato elástico . . . 27
3.5 Contato de dois cilindros sujeito a escorregamento parcial . . . 30
4 O Método dos Elementos de Contorno 35 4.1 A equação integral de contorno . . . 35
4.2 Solução Fundamental . . . 37
4.4 Elementos de contorno quadráticos contínuos . . . 42
4.4.1 Integração das matrizes H e G quando o ponto fonte não pertence ao elemento 45 4.5 Tensões no contorno . . . 47
5 Método de elementos de contornos para problemas de contato 51 5.1 Introdução . . . 51
5.2 Aplicação incremental de carga . . . 57
5.3 Sistema de coordenadas na região de contato . . . 59
5.4 Restrições na região de contato . . . 61
5.4.1 Adesão ou escorregamento parcial . . . 62
5.4.2 Escorregamento . . . 62
5.4.3 Separação . . . 62
5.5 Decisão do estado de contato . . . 63
5.5.1 Separação ou Contato . . . 63
5.5.2 Adesão ou Deslizamento . . . 64
6 Método de solução de sistemas não lineares 65 6.1 Princípios do método de Newton . . . 65
6.2 Sistema multidimensional . . . 68
6.3 Algoritmo do programa principal . . . 69
6.4 Algoritmo para método de Newton . . . 70
6.5 Algoritmo para a montagem das matrizes ANLe bNL . . . . 70
7 Simulação numérica e resultados 71 7.1 Exemplo 1: Contato de duas sapatas elásticas sem atrito sob carregamento vertical . 71 7.1.1 Resultados numéricos . . . 73
7.2 Exemplo 2: Contato de duas sapatas elásticas com atrito sob carregamento vertical . 78 7.2.1 Resultados numéricos . . . 78
7.3 Exemplo 3: Contato de duas sapatas elásticas sob carregamento vertical e horizontal 81 7.3.1 Resultados numéricos . . . 82
8 Considerações Finais 91 8.1 Conclusões . . . 91
8.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . 92
APÊNDICES 101 A Código computacional da solução analítica Mindlin-Cattaneo 101
1
Introdução
A interação mecânica entre corpos em contato tem grande importância nas atividades diárias, especificamente nos problemas de engenharia. Wriggers e Laursen (2006) afirmam: "de modo ge-ral, podemos dizer todos os movimentos no nosso planeta, envolve contato e atrito". Em uma visão técnica, o contato entre dois corpos pode ocorrer em um ponto, ao longo de uma linha ou sobre uma superfície. No caso de carregamentos e configurações complexas, pode-se encontrar uma combi-nação dos contatos mencionados e dependendo da força aplicada, a região de contato pode mudar. Por outro lado, a interação entre duas superfícies de contato é complexa, pois o comportamento de contato é sensível à rigidez do material, à sua textura, ao seu acabamento, à topologia da superfície de contato, à taxa de carregamento, à magnitude do carregamento, à direção do carregamento em relação a região de contato, aos suportes do corpo, etc.
Devido à complexidade e importância tecnológica, problemas de contato têm sido muito es-tudados nos últimos anos. Grande parte dos estudos podem ser encontrados nos livros Johnson (1987), Wriggers e Laursen (2006) e Popov (2010). O comportamento na interface de contato é muito influenciado pelo atrito, a transferência de carga e a interação entre duas superfícies de con-tato. O contato é um parâmetro mecânico importante nas estruturas, pois a carga entre os compo-nentes nas máquinas, conjuntos aparafusados, engrenagens, rolamentos, fixação de pás de turbinas, entre outras, é transferida por contato. Calcular o valor de tensões e deformações devido ao contato, especificamente na presença de atrito, é de grande importância prática.
Considerando que a maioria das estruturas metálicas não sobrevive indefinidamente, a análise do contato mecânico ajuda a evitar falhas catastróficas. Por exemplo, na indústria aeroespacial, a iniciação de trincas nos pontos de concentração de tensão é uma das preocupações dos engenheiros. Os furos dos rebites, por exemplo, são pontos de concentração de tensão sob condições de contato. Em tal situação, a mecânica do contato deve ser utilizada para fornecer as avaliações necessárias e procedimentos para lidar com esses problemas, tanto na fase de projeto quanto em serviço.
Também podem ser destacadas outras aplicações particularmente úteis: o caso de fretting que aparece quando o contato mecânico está associado a cargas cíclicas. Esta situação apresenta pequenas oscilações dos corpos na região de contato, o que pode acelerar a iniciação de trincas superficial ou subsuperficial e fazer com que a propagação destas trincas levem os componentes à falha catastrófica.
Em certas situações, uma análise de contato é feita para avaliar a quantidade de dano, como no caso de fretting (Waterhouse, 1981). Em outros casos, o contato é desejado e é estudado para aperfeiçoar a utilização de componentes mecânicos, tais como as travas mecânicas. A caracteri-zação dos problemas muitas vezes ocorre por meio de equações diferenciais e integrais. No caso de contato mecânico com atrito, a natureza não linear do fenômeno torna mais difícil uma solu-ção exata. Neste contexto, é inevitável o uso de um método numérico para resolver o sistema de equações não lineares ou sistemas de equações lineares com restrições de desigualidade.
Atualmente, o método dos elementos finitos (MEF) é amplamente utilizado para realizar a análise de problemas de contato. O MEF se baseia numa estratégia de aproximação variacional que discretiza o corpo em elementos de tamanhos finitos. Cada um dos elementos é descrito por uma aproximação por partes das equações governantes utilizando as abordagens variacionais ou residuais ponderadas. Reunindo as equações para todos os elementos, um sistema simples de equa-ções algébricas que representa o comportamento global do corpo pode ser obtido e resolvido. O domínio de aplicação bastante amplo do MEF representa um grande desafio para qualquer outro método numérico existente. No entanto, uma de suas desvantagens é a necessidade de discretiza-ção de todo o corpo, que pode conduzir a um sistema de matrizes muito grande para ser resolvido, especificamente para problemas tridimensionais complexos.
Apesar de alguns destes problemas terem sido parcialmente resolvidos pelo desenvolvimento recente de algoritmos rápidos para a solução de sistemas de equações e computadores com grande capacidade de cálculo, algumas das dificuldades inerentes associadas com o MEF permanecem. Segundo Man (1994), o MEF ainda é ineficiente e demorado para os problemas onde o contorno muda constantemente, tais como aqueles encontrados na mecânica da fratura linear elástica e na mecânica do contato devido aos cálculos desnecessários no interior do domínio.
Ao contrário do MEF, o método de elementos de contorno (MEC) evita a discretização de todo o domínio, usando uma abordagem matemática diferente. Esta técnica transforma analitica-mente o conjunto de equações diferenciais lineares governantes em conjunto de equações integrais ao longo do contorno do problema. Essa transformação permite usar sistemas de discretização que envolvem apenas o contorno do corpo como foi dito por Fredholm (1903), Smirnov (1964) e outros. A abordagem do MEC tem muitas vantagens sobre outras técnicas numéricas. Essas vantagens são resumidas como se segue:
• Reduz a dimensionalidade do problema em um, resultando em um sistema menor de equa-ções com uma redução considerável nos dados necessários para a análise.
• O MEC considera contínua a modelagem no interior do domínio da solução, uma vez que nenhuma discretização do interior é necessária, o que conduz a uma elevada precisão no cálculo das tensões e deslocamentos interiores.
• As tensões são calculadas com a mesma precisão dos deslocamentos.
• O método é bem adequado para os problemas de domínios infinitos, tais como mecânica dos solos, acústica, aeroelasticidade, dentre outros. Nestes casos, os métodos clássicos de domínio são menos eficientes.
Pode-se argumentar a partir do ponto de vista numérico que, como o contato acontece no contorno, uma solução de contorno como a do método dos elementos de contorno, em vez de um procedimento de solução de domínio, seria mais adequada para a análise destes tipos de problemas. Além disso, na análise dos elementos de contorno, tanto os deslocamentos como as tensões são obtidas com a mesma precisão. No caso do método dos elementos finitos, por exemplo, as tensões são obtidas com precisões inferiores aos deslocamentos.
1.1 Revisão bibliográfica
O primeiro modelo para problemas de contato elástico foi proposto por Hertz (1882). A formulação de Hertz é dada para o caso de contato entre dois corpos elásticos sem atrito, e ainda hoje é considerada como uma solução prática para problemas sem atrito (Barbosa e Ghaboussi, 1990). Meio século depois, ? resolveu problemas unilaterais (Elástico-rígido).
Cattaneo (1938) publicou a primeira extensão da formulação de Hertz para corpos elásticos, considerando o atrito na superfície de contato de esferas de materiais idênticos sujeitas a desliza-mento tangencial. Uma década depois, Mindlin (1949) estudou o mesmo problema, supondo que toda região de contato está em adesão. Essa suposição mostrou que, se toda região estiver em estado de adesão, aprecem tensões tangenciais singulares. Para resolver essa singularidade, a aplicação de
coeficiente de atrito Coulomb foi sugerida.
Outra extensão da formulação do Hertz foi feita por Goodman (1962). Ele considerou o contato sem a existência de deslizamento e sugeriu a aplicação gradual de carga normal. Curnier (1984), com uso da analogia de plasticidade, apresentou aspectos da teoria de atrito. No mesmo ano, Cocu (1984) demonstrou a junção da teoria de atrito Coulomb com a formulação de Signorini.
Duvaut e Lions (1972) apresentaram uma nova visão sobre o problema que é mais abrangente. Eles formularam o problema como um problema quase estático com atrito na forma de princípios variacionais. Como referência para esse princípio, pode-se mencionar o livro do Kikuchi e Oden (1988).
Como exemplo de análise de contato utilizando métodos numéricos, pode-se destacar o tra-balho de Panagiotopoulos (1975) como pioneiro. Entre os tratra-balhos com o método dos elementos finitos, pode citar os trabalhos de Singh e Paul (1974), Frangi e Novati (2003) e Batra (1981). Para análises feitas com o método dos elementos de contorno, os trabalhos do Andersson (1981), Paris e Garrido (1989), Abascal (1995), Man et al. (1993) e Rodríguez-Tembleque Solano (2009) podem ser citados.
No desenvolvimento dos estudos com uso do método lagrangiano aumentado, os trabalhos de Landers e Taylor (1986), Wriggers et al. (1985), Kikuchi e Oden (1988), Alart e Curnier (1991) e Simo e Laursen (1992) são destacados. O contato termomecânico é estudado por Zavarise et al. (1995) e para problema de fadiga por fretting, Strómberg (1999) foi um dos pioneiros.
Melhorias da formulação lagrangiana com uso de programação matemática foi realizado por Klarbring (1986) e Christensen (1997). Nesses trabalhos, eles destacam vários problemas de con-tato com várias técnicas de programação matemática. Os avanços mais recentes da formulação lagrangiana foram feitos com base no método Mortar e MMLs por Puso e Laursen (2004), Rebel et al.(2002) e González et al. (2008).
1.2 Motivação
Um dos casos mais específicos, investido e explorado nos últimos anos é caso de fretting. Esse fenômeno se refere ao desgaste e, às vezes, corrosão das superfícies de contato. Estes danos são induzidos sob cargas cíclicas, tais como as induzidas por vibração. O manual da ASM de fadiga e fratura, Metals (1961), define fretting como: "Um processo de desgaste que ocorre na área de contato entre dois materiais sob carga e sujeitos a movimentos relativos devido à vibração ou alguma outra força."A amplitude do movimento de deslizamento relativo é muitas vezes na ordem de mícron a milímetros, mas pode ser tão baixa quanto 3 a 4 nanômetros.
Muitos materiais de engenharia têm aplicações onde componentes estruturais são submetidos a condições de fretting como, por exemplo, em juntas parafusadas e rebitadas no acoplamento de eixos com engrenagens e/ou rolamentos, na interface da montagem das palhetas com o disco de turbinas ou compressores (Ruiz et al. (1984); Ruiz e Chen (1986); Ruiz e Nowell (2000)), nas juntas rebitadas da fuselagem de aeronaves (Harish e Farris, 1998), etc. Testes experimentais têm mostrado que a ocorrência da fadiga por fretting pode reduzir em até 90% a resistência à fadiga de um material metálico (McDowell et al., 1954).
Uma das abordagens de estudo de fadiga por fretting considera que o fenômeno poderia ser tratado como um problema de fadiga convencional na presença de um concentrador de ten-são (notch analogue). Com isto, minimiza-se a consideração do efeito do desgaste superficial e maximiza-se o efeito de concentração de tensões na região do contato. Giannakopoulos et al. (2000) observaram que o campo de tensão resultante do contato entre uma sapata plana com cantos arredondados e um semi-plano (Figura 1.1) é similar ao campo de tensão de corpos entalhados e sugeriram que se deveria explorar esta característica para estabelecer metodologias de previsão de vida ou resistência à fadiga por fretting.
Deve ser lembrado que para modelar esse tipo de problema, requer-se consideráveis cuida-dos: não somente refinar a malha cuidadosamente nas vizinhanças do contato, mas também muitos outros aspectos devem ser analisados como convergência dos resultados. O não refinamento ade-quado da malha pode inserir certas imprecisões na solução, particularmente na posição das regiões de escorregamento e adesão do contato, as quais são relativamente difíceis de localizar. Sendo as-sim, para estudos com fins de caracterização fenomenológica da fadiga sob condições de fretting, é preferível utilizar dados de testes que empreguem geometrias idealizadas e bem definidas, de modo
Figura 1.1: Modelo de contato fretting com malha MEF (Hojjati Talemi, 2014).
que a natureza do contato e das tensões/deslocamentos induzidos pelo contato seja facilmente con-trolável, possuam repetibilidade e pequena sensibilidade às imperfeições de fabricação.
Muitos fatores que influenciam a resistência à fadiga por fretting, como a pressão no contato, a amplitude do escorregamento relativo, condições ambientais e materiais, ainda não tinham sido avaliados completamente. Entretanto, em 1968, surgiram os trabalhos de Nishioka et al. (1968), seguidos pelas publicações de Nishioka e Hirakawa (1969) e Nishioka e Kenji (1972), que exami-naram a influência desses fatores de maneira independente. Uma das principais conclusões destes estudos foi que havia uma faixa de deslocamentos tangenciais que acelerava o processo de fadiga por fretting.
Bramhall (1973) observou o efeito do tamanho do contato na vida à fadiga, após a realização de uma série de experimentos onde se mantinha o estado de tensão superficial constante de teste para teste, mas variava-se o tamanho do contato. Para qualquer tamanho de contato inferior a um tamanho crítico observou-se que a vida era infinita (> 107ciclos), enquanto que para maiores
ta-manhos de contato, a falha ocorria. Posteriormente, outros pesquisadores como Nowell (1988) e Araujo (2000), confirmaram a existência deste efeito para outros materiais.
Fouvry et al. (1998) utilizaram de experimentos com contatos esfera-plano sob condições de escorregamento parcial para validar a aplicação de alguns critérios de fadiga multiaxial e veri-ficaram que os resultados obtidos não eram satisfatórios quando o campo de tensões apresentava severos gradientes de tensão. Araujo e Nowell (2002) conduziram uma abordagem similar e
ve-rificaram que melhores resultados poderiam ser obtidos utilizando uma zona de processo que não pareceu a princípio ser característica própria do material.
Soluções numéricas para problemas de contato estão disponíveis, geralmente usando o mé-todo dos elementos finitos (MEF) como, por exemplo, nos trabalhos de Johansson (1994), Stróm-berg et al. (1996), OmStróm-berg (1997) e StrómStróm-berg (1999). O MEF também foi utilizado por Ireman et al.(2009) que apresentaram as formulações e os fundamentos para simulações de desgaste de-vido ao fretting. Madge et al. (2007) propuseram um modelo 2D dos elementos finitos para a fadiga por fretting. Mais recentemente, pode-se mencionar a análise numérica e experimental de problemas de desgaste por fretting apresentada por Wei et al. (2011), Páczelt et al. (2012), Bai-etto et al. (2013), Giner et al. (2014), (Hojjati Talemi, 2014). Também podem ser citados alguns poucos trabalhos no qual se usa o Método dos Elementos de Contorno (MEC) como, por exemplo, Rodríguez-Tembleque et al. (2012).
Assim, neste trabalho será estudado o fenômeno de contato de dois cilindros como primeira etapa de modelagem de contato fretting. Este modelo é utilizado para calibrar os modelos numéri-cos. Neste caso, o campo de tensão possui solução analítica bem definida (Hills e Nowell, 1994) e foi adotada por outros pesquisadores (Nowell (1988); Araujo (2000); Fouvry et al. (2002)).
1.3 Organização do texto
A organização deste trabalho se encontra da seguinte forma:
◦ Capítulo 1: Apresenta uma introdução sobre problemas de contato, motivação do estudo do problema, objetivos e uma revisão bibliográfica sobre o caso.
◦ Capítulo 2: Tratando de um problema de elasticidade, esse capítulo apresenta os concei-tos básicos da área de mecânica de contínuo que foram utilizados no desenvolvimento do trabalho.
◦ Capítulo 3: A formulação do método dos elementos de contorno com foco nos elementos quadráticos é apresentada neste capítulo.
◦ Capítulo 4: A aplicação do MEC para problemas de contato, construção de matrizes e sis-temas, restrições e pontos importantes a serem considerados na implementação do problema
se encontram nesse capítulo.
◦ Capítulo 5: Este capítulo apresenta uma breve introdução sobre a solução de sistemas não lineares e também a formulação do método empregado.
◦ Capítulo 6: Os exemplos modelados e respectivos resultados são apresentados e analisados. ◦ Capítulo 7: Conclusões, últimos comentários e trabalhos futuros são apresentados.
2
Embasamento Teórico
2.1 Elasticidade
Todos os materiais estruturais possuem, em certa medida, um módulo de elasticidade. Desde que as forças externas, que produzem uma deformação na estrutura, não excedam um certo limite, as deformações desaparecem com a remoção das forças, pois as tensões são proporcionais às de-formações na fase elástica do material (Timoshenko e Goodier, 1951). Neste estudo será assumido que os corpos submetidos à ação de forças externas são perfeitamente elásticos e retomam a sua forma inicial completamente após a remoção das forças.
A estrutura molecular dos corpos elásticos não será considerada aqui. Será assumido que a matéria de um corpo elástico é homogênea e distribuída continuamente ao longo do seu volume, de modo que um pequeno elemento do corpo possui as mesmas propriedades físicas do corpo. Para simplificar a discussão, também será assumido que o corpo é isotrópico, ou seja, as propriedades elásticas são as mesmas em todas as direções.
2.2 Tensão
Tensão é uma medida das forças internas que atuam em pontos dentro de um corpo. Quantita-tivamente, é uma medida da força média por unidade de área de uma superfície no interior do corpo sobre a qual atuam as forças internas. Estas forças internas surgem como reação às forças externas aplicadas ao corpo. Uma vez que o corpo deformável carregado é assumido como contínuo, estas forças internas são distribuídas de forma contínua dentro do volume do corpo e o corpo tem uma deformação contínua.
A Figura 2.1 representa um corpo em equilíbrio sob as forças P1,...,P7. Imagine o corpo
dividido em duas partes A e B através de um corte na seção mm. Será assumido que estas forças estão distribuídas sobre a área mm continuamente, da mesma forma que a pressão é continuamente distribuída sobre a superfície sob a qual atua.
A B O N z x y m m P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
Figura 2.1: Corpo em equilíbrio sob as forças externas.
sobre essa área. Define-se o vetor tensão como:
Ti(n)= lim ∆S→ 0 ∆Fi ∆S = dFi dS (2.1)
O vetor de tensão Ti depende da sua localização no corpo e da orientação do plano sobre o
qual atua. Dependendo da orientação do plano considerado, o vetor de tensão pode não ser neces-sariamente perpendicular a esse plano e pode ser decomposto em dois componentes:
• Normal ao plano, chamado de tensão normal: σn= lim
∆S→ 0
∆Fn
∆S (2.2)
onde ∆Fné o componente normal da força ∆F que atua sobre a área ∆S.
• Paralelo a este plano, chamado tensão de cisalhamento: τ = lim
∆S→ 0
∆Fs
∆S (2.3)
onde ∆Fsé a componente tangencial da força ∆F que atua sobre a área ∆S. A tensão de
Em um elemento infinitesimal de volume do corpo elástico, o vetor de tensão pode ser escrito como três vetores de tensão em cada face nas direções de coordenadas cartesianas (x, y, z). Um vetor normal à superfície e outros dois tangentes à superfície e perpendiculares entre si. Portanto, observam-se 9 vetores de tensão em um volume de corpo.
σz τzx τ zy σy τyx τyz σx τxy τxz
x
z
y
Figura 2.2: Vetores de tensão sobre as faces do elemento infinitesimal de volume.
As tensões sobre um volume infinitesimal de um corpo podem ser organizadas em uma matriz simétrica pois há equilíbrio de momentos. Utilizando-se notação indicial, pode-se escrever cada tensão como σij, onde i representa a coordenada normal ao plano em que a tensão se encontra e
j é a direção do componente do vetor tensão. Essa matriz é denominada de tensor de tensões de Cauchy e é representada pelo símbolo σ, como abaixo:
σ = σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz (2.4)
O teorema de Cauchy afirma que existe um campo tensorial σ, chamado de tensor de Cauchy, independente de n, tal que T é uma função linear de n:
Definindo bi como uma força por unidade de volume, tem-se: bi = bx by bz (2.6)
Portanto o equilíbrio estático pode ser escrito como:
σij,j+ bi = 0 (2.7)
2.3 Deformação
A deformação de um corpo elástico é definida como a variação de comprimento e forma em certa direção. Se considerar u como a variação de comprimento e dividir pelo comprimento inicial obtém-se a deformação linear média. Em um elemento infinitesimal, a deformação é definida como a variação de comprimento u por unidade de comprimento, e pode ser escrita como:
εxx = ∂ux ∂x , εyy = ∂uy ∂y , εzz = ∂uz ∂z (2.8)
As Equações (2.8) representam as deformações normais ou lineares. As componentes ci-salhantes de deformação também fazem parte da deformação. Estas componentes são chamadas deformações angulares e podem ser escritas como:
εxy = 1 2( ∂ux ∂y + ∂uy ∂x), εyz = 1 2( ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ) e εzx= 1 2( ∂uz ∂x + ∂ux ∂z ) (2.9)
Todos os componentes de deformação podem ser escritos na forma de uma matriz denomi-nada tensor de deformações representado por ε que envolve todos os componentes normais e de cisalhamento do tensor de deformação.
ε = εxx εxy εxz εyx εyy εyz εzx εzy εzz (2.10)
Na matriz (2.10), devido ao equilíbrio de momentos, os componentes de cisalhamento da deformação são iguais em dupla, por simetria, ou seja εij = εji.
As equações (2.8) e (2.9) podem ser reescritas como:
ε(u) = ∇su =
1
2(∇u + ∇u
T) (2.11)
2.4 Lei de Hooke
Como já foi explicado anteriormente, qualquer material, sobre o qual atua uma força, sofrerá uma deformação. Em materiais com comportamento elástico linear, a deformação do corpo se relaciona diretamente com as tensões atuantes no corpo (Hibbeler, 2004). Esta relação é dada pela lei de Hooke que relaciona o tensor de tensões de Cauchy e o tensor de deformações.
No caso de material homogêneo e isotrópico, a lei de Hooke pode ser escrita de forma gene-ralizada como:
σij = λδijuk,k + G(ui,j+ uj,i) (2.12)
onde λ e G são constantes de Lamé, expressas em termos do módulo Young E e do coeficiente de Poisson ν e são definidos assim:
λ = νE
G = E
2(1 + ν) (2.14)
G é chamado de módulo de cisalhamento e δij é o delta de Kronecker cujas propriedades são:
δij =
(
0 i 6= j
1 i = j (2.15)
e uk,k é o traço do tensor de deformação em notação indicial, ou seja:
uk,k = εkk = ux,x+ uy,y+ uz,z (2.16)
A inversa da Equação (2.12) pode ser escrita como: εij =
1
2G[σij − ν
(1 + ν)σkkδij] (2.17)
As equações (2.12) e (2.17) também podem ser reescritas em termos de E e ν como a seguir:
σij = E (1 + ν)[εij+ ν (1 − 2ν)εkkδij] (2.18) e εij = (1 + ν) E [σij + ν (1 + ν)σkkδij] (2.19)
Derivando a Eq. (2.12), substituindo na equação de equilíbrio (2.7) e substituindo os compo-nentes de deformação com as derivadas de deslocamentos obtidos a partir da Eq.(2.9), obtém-se a equação de Navier para equilíbrio estático, dada por:
uj,ii+
1
(1 − 2ν)ui,ij + 1
Gbi = 0 (2.20)
Esta equação é particularmente conveniente se as condições de contorno de deslocamento são especificadas. Da mesma forma, as condições de contorno de forças de superfície podem ser dadas pelo vetor de tensões definido como:
Ti = σijnj = (λδijuk,k)nj + 2Gεij.nj (2.21)
onde nj indica o cosseno diretor do vetor normal apontando para o exterior do domínio do corpo.
2.5 Estado plano de tensão e deformação
◦ Estado plano de tensão: Este modo é considerado quando a espessura do componente é relativamente fina comparando com outras dimensões, e a força é uniformemente distribuída ao longo da espessura, como mostrado na Figura 2.3.
y y
z x
Figura 2.3: Placa fina sujeita a um carregamento uniforme distribuído na espessura.
No estado plano de tensão as componentes σz, τzz e τzy são zero em ambos os lados do
corpo e também ao longo das faces. Portanto, é suficiente calcular as tensões σx, σy e τxy do
componente.
◦ Estado plano de deformação: Outra simplificação possível é quando a dimensão do compo-nente na direção z é muito grande e tem seção uniforme. Nesse caso, o carregamento aplicado está distribuído de forma uniforme ao longo do eixo z do corpo. Assim sendo, será assumido que a seção inteira tem a mesma condição. Portanto, nos casos como por exemplo de um cilindro longo (Figura 2.4), considera-se deformação ao longo do eixo z igual zero.
Desta forma, basta analisar uma fatia do corpo ao longo do eixo z. Os componentes u e v de deslocamento são funções de x e y, sendo independentes da coordenada z. Uma vez que o
y
x y
z
Figura 2.4: Cilindro longo sujeito a um carregamento uniforme ao longo do comprimento.
deslocamento w é zero, obtém-se:
γyz = ∂v ∂z + ∂w ∂z = 0 γzz = ∂u ∂z + ∂w ∂z = 0 x = ∂w ∂z = 0 (2.22)
A Equação (2.22) define que no estado plano de deformação as componentes τxz e τyz da
tensão são zero. Considerando z = 0 por meio da lei de Hooke, a tensão σz pode ser escrita
em termos de σxe σy da seguinte forma:
σz− ν(σx+ σy) = 0 ⇒ σz = ν(σx+ σy) (2.23)
Logo, conclui-se que no estado plano de deformação, basta calcular as tensões σx, σy e τxy,
que são funções de x e y e dessa forma a tensão σzvai ser uma função de σxe σy.
2.6 Teoria da energia de distorção máxima
Os componentes mecânicos e os elementos estruturais são projetados e fabricados para resis-tir às condições de carregamento que é definido como tensão de escoamento para materiais dúctil. A tensão de escoamento pode ser obtida num ensaio de tração do corpo de prova sob carregamento uniaxial. Contudo, quando o componente estiver sujeito a tensão multiaxial, a avaliação da resistência do componente será mais difícil.
Existem várias teorias para prever a falha de um componente sujeito a tensão multaxial, como teoria de tensão de cisalhamento máxima e a teoria da densidade de energia de distorção má-xima. Para usar essas teorias, as tensões principais no ponto desejado devem ser encontradas. Nessa seção, somente a teoria da energia de distorção, também conhecida como critério de von Mises, será abordada pois somente esta teoria foi utilizada no trabalho.
Matemático von Mises (1913) propôs que o escoamento dos matérias começa quando o se-gundo invariante de tensão J2atinge um valor crítico conhecido como tensão de escoamento.
O segundo invariante de tensão, J2, também conhecido como J2 plasticidade ou teoria de
escoamento J2 é definido da seguinte forma:
J2 = 1 2sijsji = −(s1s2+ s2s3+ s3s1) = 1 6(σ1− σ2) 2 + (σ2− σ3) 2 + (σ3− σ1) 2 (2.24) Matematicamente a função de von Mises é definido como:
f (J2) = J2− k2 = 0
onde k é limite de escoamento do material sob tensão de cisalhamento puro. O valor de k é √
3 vezes menor que limite de escoamento do material, ou seja: k = √σe
3 Substituindo J2 no tensor tensão de Cauchy, tem-se:
σe2 = 1 2(σ1− σ2) 2 + (σ2− σ3)2+ (σ3− σ1)2+ 6 σ223+ σ 2 31+ σ 2 12 (2.25)
Quando um corpo está sujeito a uma carga externa, ele se deforma e armazena energia em todo o volume. Essa energia interna, por unidade de seu volume, é denominada densidade de energia de deformação e é definida da seguinte forma:
u = 1 2σ11 + 1 2σ22+ 1 2σ34 (2.26)
Simplificando a Equação (2.26) para caso o de material com comportamento linear elástico e utilizando a lei de Hooke, para o estado plano de tensões obtém-se:
u = 1 2Eσ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 3− 2υ (σ1σ2+ σ1σ3+ σ3σ2) (2.27)
A parte da densidade de energia que pode provocar a distorção (mudança de forma) do elemento é a porção remanescente das tensões principais com a tensão principal média (σi−σmd) chamada de densidade de energia de distorção. Fazendo esta subtração na Equação
(2.27) e simplificando, obtém-se: ud= 1 + υ 3E σ 2 1 − σ1σ2+ σ22 (2.28) Considerando σ1 = σe e σ2 = σ3 = 0, a densidade de energia de distorção para um estado
uniaxial de tensão é dada por:
¯ ud = 1 + υ 3E σ 2 e (2.29)
Pela teoria tem ¯ud = udno momento do escoamento e, portanto, no caso de tensão plana, o
critério de von Mises tem a forma seguinte:
σ12− σ1σ2+ σ22 = σ 2
e (2.30)
A Equação (2.30) do critério von Mises é a equação de uma curva elíptica, como é mostrada na Figura 2.5. Essa curva define a fronteira entre pontos seguros (pontos dentro da elipse) e pontos que causam escoamento no elemento (pontos fora da elípse).
σ
1σ
2 σe σe -σe -σe3
Mecânica do contato
3.1 Introdução ao contato mecânico
Mecânica do contato é o estudo de deformações de corpos sólidos que se tocam em um ponto, ao longo de uma linha ou ao longo de uma superfície. Os aspectos físicos e matemáticos do contato são desenvolvidos com base na mecânica dos materiais e mecânica do contínuo para materiais com comportamento elástico, viscoelástico e plástico em contato estático ou dinâmico. O motivo principal nos estudos de contato sob carga normal é calcular a pressão e a adesão atuando nos corpos na direção perpendicular à superfície e as forças tangenciais de superfície gerada pelo atrito entre os componentes.
A primeira etapa para estudar problemas de contato é caracterizar o contato e conhecer em qual categoria ela se enquadra. A classificação a seguir automaticamente oferece informações so-bre a natureza de contato. O primeiro caso (Figura 3.1 (a)) é o contato de um cilindro levemente pressionado em um semi-plano elástico. No primeiro instante, os corpos se tocam ao longo de uma linha e conforme se aumenta a carga aplicada, a superfície de contato aumenta. Esse tipo de con-tato se chama concon-tato incompleto, onde a superfície de concon-tato não é conhecida a priori e depende da força aplicada. A aproximação para o semi-espaço é valida para calcular tensões e deformações uma vez que a meia-largura do contato, conhecido como a, é muito menor que o raio, R, do cilindro (a << R). No segundo caso, a Figura 3.1(b) mostra o contato entre um bloco retangular com um semi-espaço elástico que é conhecido como contato completo, pois o tamanho da região de contato não depende da carga aplicada. No contato completo, as bordas do componente não são contínuas e por isso a pressão nas bordas é singular.
No terceiro caso (Figura 3.1(c)), o componente tem uma borda abrupta e uma borda com curvatura suave. Nesse caso, a pressão é singular na borda abrupta e na outra borda tende para zero gradualmente. Além disso, o tamanho da região de contato depende da carga aplicada. O último caso (Figura 3.1(d)) é um caso de contato incompleto, onde um cilindro é pressionado contra um furo com diâmetro um pouco maior que diâmetro do cilindro. Como a largura do contato é uma fração considerável do raio do cilindro, o furo não pode ser mais aproximado por um semi-plano. Para resolver esse tipo de problema, deve-se usar formulação apropriada para disco e um plano infi-nito contendo o furo que se torna um caso mais complexo. Essas formulações são apresentadas nos
P P P P
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3.1: Caracterização de contatos: (a) Incompleto e não conforme; (b) Completo; (c) Incom-pleto com singularidade; (d) IncomIncom-pleto e conforme.
trabalhos do Persson (1964) e Mostofi e Gohar (1980). Pela investigação experimental de Fessler e Ollerton (1957), a aproximação por semi-plano é valida para taxa de a/R até 0.3.
Além da classificação apresentada, pelo aspecto das forças tangencias entre os corpos, os problemas de contato se classificam em dois tipos: problemas de contato sem atrito e problemas de contato com atrito, explicados detalhadamente a seguir.
3.1.1 Contato sem atrito
O contato sem atrito é um contato idealizado que tem aplicação muito restrita. De modo geral, peças bem lubrificadas podem ser modeladas sem atrito.
Na situação de contato sem atrito, os corpos em contato podem deslizar sem resistência ao longo da direção tangencial (paralela à superfície de contato). Devido à carga aplicada e a ausência do atrito, existe somente força normal de compressão na região de contato. Neste caso, os corpos podem se separar, mas não vão interpenetrar. Nessa situação, as tensões na direção tangencial sempre são nulas e a continuidade da tensão normal dentro da zona de contato é sempre preservada. Além disso, problemas de contato sem atrito são independentes da história do carregamento.
3.1.2 Contato com atrito
O atrito é um fenômeno físico encontrado naturalmente em problemas de contato reais. Quando o atrito é levado em consideração, o problema se torna mais complicado. O atrito in-fluencia significativamente o comportamento na região de contato. Por exemplo, o movimento de deslizamento na direção tangencial de um ponto de contato será limitado pelas forças de atrito tan-genciais (cisalhamento), no ponto de contato, que por sua vez dependem da componente normal das forças (tensões normais) exercidas no mesmo ponto. A relação entre as componentes tangenci-ais e normtangenci-ais das forças impõe um comportamento não linear entre o movimento de deslizamento das superfícies em contato e a carga externa.
Em situação de atrito, as condições de contato ou são de adesão (sem deslocamento relativo na direção tangencial) ou de escorregamento (com deslizamento na direção tangencial).
3.1.3 Modos de contato
A região em que os contornos podem entrar em contato é chamada de "área potencial de contato". O tamanho desta área depende do problema envolvido, uma vez que é determinada pela geometria do problema e pela magnitude da carga final aplicada. A situação de separação ou contato é descrita pelos modos de contato. Segundo Man (1994), os modos de contato em um ponto se classificam em:
1- Modo de separação: É definido quando os corpos permanecem separados.
2- Modo de escorregamento: É definido quando os pares de nós não estão restritos na dire-ção tangencial, mas livre para deslizar um sobre o outro.
3- Modo de adesão: É definido quando os pares de nós estão restritos na direção normal e tangencial, ou seja, não tem qualquer deslizamento durante uma dada etapa do carregamento.
4- Modo Misto: Os modos de adesão e escorregamento podem ocorrer simultaneamente em uma dada região. Neste caso, o modo é chamado de modo misto.
3.2 Contato de dois corpos elásticos
Considere dois corpos elásticos similares com o mesmo módulo de elasticidade sob contato normal (Figura 3.2 ). O contato entre os corpos desenvolve a pressão de contato em ambos os corpos e as superfícies são comprimidas e sofrem deslocamento paralelo à superfície livre.
Corpo 1 Corpo 2 P P y x
Figura 3.2: Contato normal de dois corpos elásticos similares
No entanto, como os corpos são elasticamente similares, os pontos relativos dos dois corpos sofrerão mesmo deslocamento e não haverá tendência de escorregamento relativo. Se tiver forças tangencias suficientes para causar escorregamento, forças de superfícies limitadas ao coeficiente de atrito surgirão. A relação entre forças tangenciais e forças normais é apresentada na Equação (3.1):
|q(x, y)| = −µp(x, y) (3.1)
onde q é tensão cisalhante, p é pressão normal (p < 0) e µ é a coeficiente de atrito. A tensão cisalhante causa deslocamentos tangencias em cada superfície. Uma vez que os corpos têm propri-edades similares, os deslocamentos normais dos corpos são iguais e a distribuição de pressão não se altera. Em alguns casos de contato, como por exemplo fretting, a força tangencial não é grande suficiente para causar escorregamento total de um corpo sobre o outro. Nesses casos, a região de contato é formada de uma região de adesão, onde os dois corpos são acoplados um no outro, e re-gião de escorregamento, onde ocorrem movimentos tangenciais relativos e existe tensão cisalhante
relacionado com coeficiente de atrito.
Na zona de escorregamento, a tensão cisalhante é dada pela Equação (3.1) e a direção dela é oposta à direção de deslocamento tangencial no último incremento. Em razão disso, a tensão cisalhante na zona de adesão sempre é menor que o valor relacionado com µ, ou seja:
|q(x, y)| < −µp(x, y) (3.2)
Vale ressaltar novamente que as tensões cisalhantes dos corpos tem a mesma magnitude mas com direções opostas. Nos problemas de contato, a aplicação de carga deve ser de forma iterativa, uma vez que as zonas de adesão e escorregamento são funções da carga aplicada. As zonas devem ser recalculadas em cada iteração. Em outras palavras, tanto as zonas de adesão e escorregamento como a região efetiva de contato podem mudar de uma iteração para outra.
3.3 Solução analítica
O primeiro passo para resolver problemas de contato é resolver equações integrais e calcular a distribuição de tensões. Suponha o semi-plano da Figura 3.3 sujeito de carga normal P e tangencial Q por unidade de comprimento.
Considerando o semi-plano no estado plano de deformação, as tensões são dadas pela equa-ção de tensão de Airy na forma seguinte:
φ(r, θ) = −rθ
π (P senθ + Qcosθ) (3.3)
Substituindo a Equação (3.3) na equação biharmonica (Timoshenko e Goodier, 1951), as tensões são obtidas da maneira seguinte:
P
Q
r
θ
σ
y xFigura 3.3: Semi-plano sujeito a força normal e tangencial.
σrr= −
2
πr(P cosθ − Qsenθ)
σθθ = τrθ = 0 (3.4)
Substituindo a Equação (3.4) na lei de Hooke, as deformações no plano são obtidas como:
rr = 1 8µ{σrr(1 + κ) + σθθ(κ − 3)} θθ = 1 8µ{σθθ(1 + κ) + σrr(κ − 3)} γrθ =τrθ/G (3.5)
onde κ = 3 − 4ν para estado plano de deformação, G é módulo de cisalhamento e ν é coeficiente de Poisson. Uma vez obtida as deformações do componente, os deslocamentos podem ser obtidos e tem a seguinte forma:
2µur= −
P
2π{(κ − 1)θsenθ − cosθ + (κ + 1) ln rcosθ} (3.6) − Q
2π{(κ − 1)θcosθ + senθ − (κ + 1) ln rsenθ} + C1 (3.7)
2µuθ =
P
2π{(κ − 1)θcosθ − senθ − (κ + 1) ln rsenθ} (3.8) + Q
2π{−(κ − 1)θsenθ + cosθ − (κ + 1) ln rcosθ} + C2 (3.9) onde C1 e C2 são constantes arbitrários cujo valor depende da especificação do deslocamento .
Considerando θ = ±π/2, e convertendo para coordenadas cartesianas, para os deslocamentos na superfície tem-se: u = −P κ − 1 8µ sgn(x) + Q κ + 1 4πµ ln |x| + C1 2µ (3.10) v = −P κ + 1 4πµ ln |x| + Q κ − 1 8µ sgn(x) + C2 2µ (3.11)
As Equações (3.10) e (3.11) são as bases para a solução de problemas de contato e obtenção dos deslocamentos normais e tangencias dos corpos. Todavia, os constantes C1 e C2 são
inconve-nientes e geralmente é preferível uso de derivadas de deslocamentos. Derivando as equações 3.10 e 3.11 e simplificando, obtém-se: 1 A ∂g ∂x = 1 π Z a −a q(ξ)dξ ξ − x + βp(x) (3.12) 1 A ∂h ∂x = 1 π Z a −a p(ξ)dξ ξ − x |x| ≤ a (3.13)
onde h = v1(x) − v2(x), g = u1(x) − u2(x), ξ é a distância do ponto de referência (Figura 3.4), a é
pela Equação (3.14): A = 2 1 − ν 2 1 E1 + 1 − ν 2 2 E2 (3.14)
r
y
x
σ
ξ
dξ p(ξ) q(ξ) a aFigura 3.4: Modo de integração de cargas normal e tangencial no semi-plano.
Para obter a solução de p(x) na função de h(x), basta inverter a Equação (3.13) e obter a Equação (3.15). Essa equação foi demonstrada por Muskhelishvili (1977):
p(x) = −w(x) Aπ Z a −a h0(ξ)dξ w(ξ)(ξ − x) − Cw(x) (3.15)
onde h0(x) = ∂h/∂x e a solução fundamental w(x) depende da natureza de contato. Para contato de cilindro (não singular) o valor de w(x) é dado por:
3.4 Teoria de Hertz para o contato elástico
A distribuição de pressão, deformação e a área de contato entre dois corpos elásticos circula-res foi estudada por Hertz e é conhecida como teoria de Hertz (1882). Essa teoria é válida para o contato de corpos não conformes onde a região de contato é muito menor que o tamanho e o raio de curvatura dos corpos (Johnson, 1987). Um caso de aplicação de Hertz é no contato entre dois cilindros longos com eixos paralelos e sem atrito nas superfícies. Nesse caso, o problema pode ser aproximado por um modelo plano e resolvido com a teoria de Hertz. Considerando o raio de cur-vatura do corpo como R e a região de contato como a, as suposições necessárias para a aplicação da teoria de Hertz são as seguintes:
◦ As superfícies são contínuas e não conformes (a << R);
◦ A deformação é pequena (não é aplicável para materiais com módulo de elasticidade baixo); ◦ Cada componente pode ser modelado como um semi-espaço elástico (a << R);
◦ As superfícies são sem atrito (qx = qy = 0).
Segundo Hills e Nowell (1994), uma vez respeitadas as condições acima, a aproximação dos corpos pode ser calculada através da Equação (3.17):
h(x) = ∆ −1 2kx
2 (3.17)
onde k é a curvatura relativa dos corpos e é dada por: k = 1
R1
+ 1 R2
(3.18)
onde R1e R2são os raios dos corpos em contato. Como foi dito na seção anterior, apenas a derivada
de deslocamento é utilizada, ou seja:
dh
dx = −kx (3.19)
p(x) = − √ a2− x2 Aπ Z a −a kξdξ pa2− ξ2(ξ − x) (3.20)
Resolvendo a integral (3.20), conclui-se que, devido à força normal estática, a distribuição de pressão é de forma elíptica:
p(x) = −k A
√
a2− x2 (3.21)
Contudo, a meia largura de contato a ainda é desconhecida. Ela pode ser obtida fazendo o equilíbrio entre a pressão de contato e a força aplicada P , ou seja:
P = − Z a −a p(ξ)dξ = πka 2 2A (3.22)
Portanto, a meia largura de contato é obtida pela seguinte fórmula:
a2 = 2P A
πk (3.23)
E a Equação (3.21) pode ser reescrita como: p(a) = −p0
p
1 − (x/a)2 (3.24)
onde p0 é a pressão de contato máxima dada pela equação:
p0 =
2P
πa (3.25)
Uma vez obtida à pressão distribuída no corpo (Equação 3.24), as tensões podem ser calcu-ladas. Na interface de contato a tensão total é σx = −p(x) e fora da região de contato é nula. A
σx = − p0 a n a2+ 2y2 p(a2+ y2) − 2yo (3.26) σy = − p0 a p (a2+ y2) (3.27)
E consequentemente para tensão cisalhante principal, tem-se: τ = −p0
a n
y − y2p(a2+ y2)o (3.28)
A Figura 3.5 mostra as curvas de tensões principais e a tensão cisalhante principalao longo do eixo de simetria no meio do componente.
3.5 Contato de dois cilindros sujeito a escorregamento parcial
Na seção anterior o contato sem atrito sob carga vertical foi discutido e as formulações foram dadas. Nesta seção, será analisado a aplicação subsequente ds carga vertical Q menor que a limita-ção por atrito (Q < µP ), conforme na Figura 3.6. Vale reforçar que considerações necessárias para teoria de Hertz continuam necessárias para caso de escorregamento parcial.
P
Q
Q
P
Figura 3.6: Contato de cilindros sujeito uma força normal e uma carga tangencial.
Como foi explicado anteriormente, quando se tem a presença de carga tangencial, a região de contato pode ser dividida em zona de adesão e zona de escorregamento. A divisão entre as zonas não é conhecida inicialmente e portanto, é necessário definir cada zona.
Inicialmente assume-se a ausência de escorregamento antes da aplicação da força tangencial. Consequentemente, a tensão cisalhante é zero e não haverá movimento relativo entre os corpos, ou seja, toda a região de contato x ≤ a será em modo de adesão e a tensão cisalhante é definida como:
1 π Z a −a q(ξ) ξ − xdξ = 0 |x| ≤ a (3.29)
Resolvendo a Equação (3.29), obtém-se:
q(x) = Q
Pode-se observar quando x → ±a, a distribuição de pressão, p(x), dada pela Equação (3.24) tende para zero e a tensão cisalhante, q(x), tende para infinito. Por isso, nas extremidades da zona de contato, a taxa de q(x)/p(x) vai para infinito e somente um coeficiente de atrito infinito pode impedir o escorregamento do corpo. Em outras palavras, os pontos do corpo nas extremidades da região de contato são sujeitos a uma tensão singular.
A existência de tensão cisalhante singular em ambas as extremidades sugere a ocorrência de escorregamento. No caso de contato de cilindros onde os corpos têm simetria de geometria e de carga aplicada, é sugerida uma região de adesão no meio da região de contato cercado por duas regiões de escorregamento simétricas. A região de adesão é definida como x ≤ c e a região de escorregamento é onde c < |x| < a, conforme ilustrado na Figura 3.7.
P
Q
-c c a
-a
Escorregamento Adesão Escorregamento
Figura 3.7: Zonas de adesão e escorregamento entre dois cilindros em regime de escorregamento parcial.
Para calcular a tensão cisalhante, acrescenta-se uma variável de q0(x) na Equação (3.30) da seguinte forma:
q(x) = µp0
p
1 − (x/a)2+ q0(x) (3.31)
Para satisfazer as condições na região de escorregamento (c < |x| < a), a q0 deve ser considerada igual zero. Para achar essa variável na zona de adesão (|x| < c), considera-se o deslocamento relativo igual zero (g0(x) = 0) e portanto obtém-se:
1 π = Z a −a q(ξ) ξ − xdξ = 0 |x| ≤ c (3.32)
Substituindo a Equação (3.31) em (3.32) e resolvendo, tem-se: q0(t) = −µp0 c a √ a − t2 |t| < 1 (3.33)
onde t = x/c . Para definir a meia largura da região de adesão, c, utiliza-se a equação de equilíbrio tangencial da seguinte forma:
Q = Z a −a q(ξ)dξ = µp0π 2a (a 2− c2) (3.34)
De outra maneira, a Equação (3.34) pode ser escrita como:
c a =
p
a − |Q/µP | (3.35)
As soluções apresentadas acima satisfazem as condições da zona de adesão e escorregamento. Essa solução também é conhecida como solução Mindlin-Cattaneo em homenagem a Cattaneo (1938) e Mindlin (1949) que publicaram seus trabalhos sobre efeito da força tangencial na interface de contato de corpos elásticos. A Figura 3.8 mostra a influência da força de superfície tangencial na zona de adesão (Q/µP ).
As forças de superfícies explicadas anteriormente também podem ser apresentadas pela su-perposição de três curvas elípticas abaixo:
◦ A distribuição de força normal máxima (−p0) em −a < x < a.
◦ A distribuição de força tangencial máxima (µp0) em −a < x < a.
◦ A distribuição de força tangencial máxima secundária (µp0c/a) em −c < x < c.
Considerando uma análise linear elástica, as superposições acima podem ser utilizadas para obter as tensões e deformações do corpo. O código da solução Mindlin-Cattaneo implementado no programa Matlab encontra-se no anexo A desse trabalho.
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O Método dos Elementos de Contorno
4.1 A equação integral de contorno
A equação integral de contorno é obtida através da utilização do teorema de reciprocidade da teoria da elasticidade, em conjunto com uma solução conhecida como solução fundamental da equação governante para uma carga discreta num corpo infinito.
O teorema de reciprocidade pode ser enunciado da seguinte forma:
"Se dois estados de equilíbrio distintos (u∗i, σij∗, bi∗) e (ui, σij, bi) existir em uma região de Ω+
na superfície limitada por Γ+, o trabalho realizado pelas forças de superfície e forças de corpo do primeiro sistema sobre os deslocamentos do segundo é igual ao trabalho realizado pelas forças do segundo sistema nos deslocamentos do primeiro."
O teorema pode ser provado usando o teorema da divergência e pode ser escrito como:
Z Γ uiσij∗njdΓ + Z Ω uib∗idΩ = Z Γ u∗iσijnjdΓ + Z Ω u∗ibidΩ (4.1)
onde ui, σij e bi, são os deslocamentos, as tensões e as forças de corpo, e nj, são os componentes
do vetor normal, apontando para fora do domínio Ω. O domínio Ω∗ é denotado por um domínio infinito e Ω é um domínio finito dentro de Ω∗ que tem um contorno Γ. As mesmas propriedades do material são assumidas por ambos os domínios. As forças de superfície Ti no contorno Γ são
definidas por:
Ti = σijnj (4.2)
Desta forma, a Equação (4.1) pode ser escrita como: Z Ω (uib∗i − u ∗ ibi) dΩ = Z Γ (u∗iTi− uiTi∗) dΓ (4.3)
Os vetores de deslocamento u∗i, as forças de superfície Ti∗ e as força do corpo b∗i na Equação (4.3) são escolhidos para ser a solução conhecida da equação de Navier devido a uma força pontual
unitária aplicada ao corpo, isto é: µu∗i,kk+ µ 1 − 2νu ∗ k,ki+ ∆(X − X 0 )ei = 0 (4.4)
onde ∆(X − X0) é a função delta de Dirac, X Ω∗ é o ponto de carga singular e X0 Ω∗ é o ponto campo. O componente do vetor unitário ei em (4.4) corresponde a uma força positiva unitária
aplicada em X0na direção i. A função delta de Dirac tem a seguinte propriedade: Z
Ω∗
g(X)∆(X − X0)dΩ(X) = g(X0) (4.5)
O campo de deslocamento e forças de superfície que correspondem à solução podem ser escritos como:
u∗i = Uj∗δij = Uij(X0, X)ej (4.6)
e
Ti∗ = Tj∗δij = Tij(X0, X)ej (4.7)
onde δij é a função delta Kroneker. Uij e Tij são as soluções fundamentais dos deslocamentos e
forças de superfícies, na direção j no ponto X devido a uma força pontual atuando na direção i em X0.
A componente de força de corpo b∗i (força por unidade de volume) corresponde a uma força pontual e é dada por:
b∗i = ∆(X0, X)ei (4.8)
Substituindo b∗i na função de delta de Dirac, na Equação (4.3) e especificando X como a variável de integração, obtém-se a seguinte equação considerando a força unitária atuando na direção i:
Z Ω {uj(X)∆ij(X0− X) − Uij(X0, X)bj(X0)}dΩ(X) = Z Γ {Uij(X0, X)Tj(X) − Tij(X0, X)uj(X)}dΓ(X) (4.9)
ui(X0) = Z Γ Uij(X0− x)Tj(x)dΓ(x) − Z Γ Tij(X0− x)uj(x)dΓ(x)+ Z Ω Uij(X0, X)bj(X)dΩ(X) (4.10)
onde x0, x Γ e X0, X Ω. Esta é a famosa função Somigliana para deslocamentos, ui é uma
repre-sentação contínua para os deslocamentos em qualquer ponto interior X0 no domínio Ω. O campo de tensão ao longo do corpo pode ser obtido através derivadas da Equação (4.10) como a seguir:
ui,k(X0) = Z Γ Uij,k(X0− x)Tj(x)dΓ(x) − Z Γ Tij,k(X0− x)uj(x)dΓ(x)+ Z Ω Uij,k(X0, X)bj(X)dΩ(X) (4.11)
A função Somigliana para tensões num ponto interior é obtida por substituição da Equação (4.11) na lei de Hooke (2.12), da qual obtém-se:
σij(X0) = Z Γ Uijk(X0− x)Tk(x)dΓ(x) − Z Γ Tijk(X0− x)uk(x)dΓ(x)+ Z Ω Uijk(X0, X)bk(X)dΩ(X) (4.12)
Uijk e Tijk são combinações lineares das derivadas das soluções fundamentais Uij e Tij e
serão dadas na próxima seção.
4.2 Solução Fundamental
Para um problema no estado plano de deformação, as soluções fundamentais para desloca-mentos Uij(X0, x) e forças de superfície Tij(X0, x), definidas na Equação (4.5), são dadas por:
Uij(X0, x) = 1 8πG(1 − ν∗){(3 − 4ν ∗ ) ln(1 R)δij + R,iR,j} (4.13) e
Tij(X0, x) = −1 4π(1 − ν∗)R{[(1 − 2ν ∗ )δij + 2R,iR,j] ∂R ∂n − (1 − 2ν ∗ )(R,inj − R,jni)} (4.14)
O campo de deformação fundamental Ukij(X0, X) e o campo de tensão Tkij(X0, X) como
apresentado na Equação (4.12) são dados por: Ukij(X0, X) = 1 4π(1 − ν∗)R{(1 − 2ν ∗ )(R,jδki+ R,iδkj + R,kδij) + 2R,iR,jR,k} (4.15) e Tkij(X0, X) = µ 2π(1 − ν∗)R2{2 ∂R ∂n[(1 − 2ν ∗ )δijR,k + ν∗(R,jδik+ R,iδjk) − 4R,iR,jR,k] + 2ν∗(niR,jR,k + njR,iR,k) + (1 − 2ν∗)(2nkR,iR,j+ njδik+ niδjk) − (1 − 4ν∗)nkδij}, i, j = 1, 2 (4.16)
Nestas equações, δij denota o delta de Kronecker, R(X0, X) representa a distância real entre
o ponto fonte x0 e o ponto campo x, que é dada por:
R = |X − X0| e R,i =
∂R ∂xi
(4.17) As soluções fundamentais para o estado de tensão plana podem ser obtida pela seguinte substituição da relação modificada de Poisson e módulo de Young:
ν∗ = ν 1 + ν (4.18) E∗ = E 1 − ν ∗2 (1 + ν∗)2 (4.19)
4.3 A equação integral de contorno
A equação integral de contorno é obtida por um processo de limite, fazendo um ponto X0 no interior do domínio Ω tender a um ponto x0 no contorno Γ. Este processo pode ser demonstrado pela Figura 4.1 e a Equação (4.9) pode ser escrita como:
x y z n Ω Γ Γε' Γε ε x'
Figura 4.1: O ponto fonte x0pertence ao contorno.
ui(X0) = Z Γ−Γe−Γ0e Uij(X0, x)tj(x)dΓ(x) − Z Γ−Γe−Γ0e Tij(X0, x)uj(x)dΓ(x)+ Z Γ−Γe−Γ0e Uij(X0, X)bj(X)dΩ(X) (4.20)
onde o contorno total é definido como:
Γ0 = (Γ − Γ0ε) + Γ0ε (4.21)
Γ0ε representa o contorno de um semicírculo de raio ε, Γ0ε tende a Γε quando ε → 0. Tomando o
Cij(x0)uj(x0) = Z Γ Uij(x0, x)tj(x)dΓ(x) − Z Γ Tij(x0, x)uj(x)dΓ(x)+ Z Ω Uij(x0, X)bj(X)dΩ(X)dΩ(x) (4.22) onde Cij(x0) = δij + lim ε→0{ Z Γε Tij(x0, x)uj(x)} (4.23)
A Equação (4.22) representa a formulação direta do método de elementos de contorno o qual re-laciona deslocamentos e forças de superfície no contorno. Esta equação integral de contorno para um ponto geral sobre o contorno na ausência de forças do corpo bj pode ser escrita como:
Cij(x0)uj(x0) + Z Γ Tij(x0, x)uj(x)dΓ(x) = Z Γ Uij(x0, x)tj(x)dΓ(x) (4.24)
onde Cij(X0) = δij quando o ponto x0 está dentro do domínio Ω. A avaliação de Cij(x0) é mais
complicada quando x0 está no contorno Γ, mas de um modo geral, tem-se:
Cij = δij, se X0 ∈ ao domínio θint 2π δij, se X 0 ∈ ao contorno 0, se X0 ∈ ao domínio ou ao contorno/ (4.25)
onde θinté o ângulo interno do contorno Γ no ponto X0(veja Figura 4.2).
Quando o ponto fonte encontra-se em ponto suave do contorno, isto é, não é um canto, tem-se: Cij =
1
2δij. (4.26)
Baseado na formulação apresentada, obtém-se a equação: Cij(x0)uj(x0) + Z Γ Tij(x0, x)uj(x)dΓ(x) = Z Γ Uij(x0, x)tj(x)dΓ(x) (4.27)
n
n X´
θint
Figura 4.2: Ângulo interno no contorno do componente.
Dividindo o contorno Γ em N e elementos de contorno, a Equação (4.27), de outra forma, pode ser escrita como:
Cijuj(d) + N e X j=1 Z Γj Tik∗uidΓj = N e X j=1 Z Γj Uik∗tjdΓj (4.28)
Essa equação é aplicada em cada um dos nós do elemento de tal forma que a equação integral de contorno é transformada em um sistema linear de equações algébricas:
Hu = Gt (4.29)
onde as matrizes H e G contém as integrais das soluções fundamentais de forças de superfície Tij
e de deslocamentos Uij, e os vetores t e u contém todas as forças de superfícies e deslocamentos
conhecidos ou não. Através de algumas manipulações algébricas podemos isolar as incógnitas em um vetor x de forma que o sistema (4.29) possa ser representado por:
Ax = b (4.30)
4.4 Elementos de contorno quadráticos contínuos
Na discretização utilizando elementos de contorno quadráticos contínuos, a geometria é apro-ximada por uma função quadrática ao longo de cada elemento, sendo necessários três pontos nodais por elemento conforme mostrado na Figura (4.3).
Figura 4.3: Elementos quadráticos contínuos.
Assim, os deslocamento e as forças de superfícies são aproximados da seguinte forma:
u = ( u1 u2 ) = " N(1) 0 N(2) 0 N(3) 0 0 N(1) 0 N(2) 0 N(3) # u(1)1 u(1)2 u(2)1 u(2)2 u(3)1 u(3)2 = Nu(n) (4.31)
