Exemplos de Defuzzificadores

O foco desta seção é analisarmos alguns dos defuzzificadores mais difundidos na literatura pela ótica dos critérios apresentados na seção anterior. Ressaltamos que ao longo deste trabalho todos defuzzificadores possuiem suporte limitado.

2.5.3.1 FOM, LOM e MOM 1) FOM

O método de defuzzificação O Primeiro dos Máximos (FOM), do inglês "First of Maxima", requer que exista um elemento infímo presente no cerne de A; este método de defuzzificação seleciona o seguinte elemento como valor crisp:

F OMpAq “ min CernepAq. (2.16)

2) LOM

Em contra partida ao métdo acima, o método de defuzzificação O Último dos Máximos (LOM), do inglês "Last of Maxima", requer a existência de um elemento maximal no cerne de A; basicamente, este método de defuzzificação seleciona o seguinte elemento como valor crisp:

LOM_{pAq “ max CernepAq.} (2.17)

3) MOM

Basicamente, este método de defuzzificação consiste em selecionar o elemento presente no meio do núcleo (do inglê "Middle of Maxima"). A formulação discreta desse defuzzificador é dada a seguir.

Vamos introduzir a seguinte notação, para um conjunto crips S e xo P S seja:

S_ăx0 :“ tx|x P S, x ă x0u

e

S_ąx0 :“ tx|x P S, x ą x0u .

Se a cardinalidade de |CernepAq| for impar, então MOMpAq é tal que:

|CernepAqăMOMpAq| “ |CernepAqąMOMpAq|. (2.18)

Se a cardinalidade de |CernepAq| for par, dependendo da escolha de implementação,

M OMpAq é tal que:

|CernepAqăMOMpAq| “ |CernepAqąMOMpAq| ˘ 1. (2.19)

Um ponto importante que foi destacado em (BANDO,2002) é que uma limitação destes métodos reside no fato de não considerar a forma do conjunto fuzzy. dois conjuntos fuzzy com formas distintas porém com cernes iguais produziriam, ao serem defuzzificados, os mesmos valores crisp. Logo, dependendo do modelo adotado, estes métodos pode produzir valores inesperados.

2.5.3.2 Centróide (ou Centro de Massa)

Um exemplo de defuzzificador muito utilizado na literatura é o defuzzificador via o método do centroide, denotado aqui por COG, que no caso discreto é obtido via a média aritmética ponderada pelas pertinência de cada elemento do conjunto fuzzy. Dado um conjunto fuzzy B P FpUq, U Ď R, definimos COGpBq P R como se segue:

• Caso discreto: COG_{pBq “} řn i“1uiϕBpuiq řn i“1ϕBpuiq (2.20) onde U “ tu1, . . . , unu Ă R. • Caso contínuo: COGpBq “ ş RuϕBpuqdu ş RϕBpuqdu . (2.21)

Este será o principal defuzzificador usado neste trabalho. Em diversas metodo- logias de aproximação, por exemplo o método de Mamdani com o Defuzzificador de centro de massa. Este defuzzificador será denotado particularmente por DCM.

2.5.3.3 Variações do Defuzzificador Centróide

Existem ainda variações do defuzzificador do centróide. Nesta seção apresenta- remos brevemente algumas delas.

1) MeOM:

O defuzzificador da Média de Máximos (MeOM, do inglês "Mean of Maxima") consiste em calcular a média de todos os elementos no cerne (ou núcleo) do conjunto fuzzy que claramente é o centro de massa do núcleo.

• Caso discreto: M eOMpAq “ ř xPCernepAqx |CernepAq| ; (2.22) • Caso contínuo: M eOM_{pAq “} ş CernepAqxdx ş CernepAqdx . (2.23)

Note que o defuzzificador MeOM satisfaz o critério de Seleção Nuclear somente para conjuntos fuzzy convexos. Diferentemente do centróide, a continuidade não pode ser sempre garantida.

2) ICOG

O defuzzificador Centro de Massa Indexado (ICOG, do inglês "Indexed Center of Gravity") foi proposto em (JAGER, 1995) e tal método consiste em fixar-se um indíce

α e calcular o centro de massa do conjunto fuzzy com grau de pertinência maior ou igual

a este indíce, logo temos: • Caso discreto: ICOGpA, αq “ ř xPrAsαxApxq ř xPrAsαApxq ; (2.24) • Caso contínuo: M eOMpAq “ ş rAsαxdx ş rAsαdx . (2.25)

Note que tal método de defuzzificação contém como caso particulares os métodos MeOM e centróide pois:

ICOGpA, 0q “ COGpAq (2.26)

e

ICOG_{pA, heightpAqq “ MeOMpAq.} (2.27)

3) SLIDE

O defuzzificador Semi-Linear (SLIDE, do inglês "Semi-Linear Defuzzification") foi proposto em (YAGER; FILEV, 1993) e tal método cosiste em realizar combinações semi-lineares da seguinte forma:

• Caso discreto: SLIDE_{pA, α, βq “} p1 ´ βq ř xPrAs0_zrAsαxApxq ` ř xPrAsαxApxq p1 ´ βqřxPrAs0<sub>zrAs</sub>αApxq ` ř xPrAsαApxq (2.28)

• Caso contínuo: SLIDE_{pA, α, βq “} p1 ´ βq ş rAs0_zrAsαxApxqdx ` ş rAsαxApxqdx p1 ´ βqş<sub>rAs</sub>0<sub>zrAs</sub>αApxqdx ` ş rAsαApxqdx (2.29) onde α P r0, heightpAqs e β P r0, 1s.

Tal método é caracterizado pelos parâmetros α que representa o nível de confiança e β que representa o nível de rejeição. Claramente, para β “ 1 todos os graus de pertiência abaixo de α são rejeitados. Note que caso α “ heightpAq, então o parâmetro β permite variar continuamente do centróide que ocorre quando β “ 0, para o MeOM que ocorre quando β “ 1. Assim:

SLIDEpA, 0, βq “ COGpAq, @β P r0, 1s, (2.30) SLIDE_{pA, α, 0q “ COGpAq, @α Ps0, heightpAqr,} (2.31) SLIDEpA, α, 1q “ ICOGpA, αq, @α Ps0, heightpAqr, (2.32) SLIDE_{pA, heightpAq, 1q “ MeOMpA, αq.} (2.33)

Portanto, pelas equações acima, vimos que facilmente outros métodos de defuzzificação podem ser obtidos apartir da comparação entre os parâmetros de nível de confiança e rejeição. Ao compararmos com a Teorioa de Probabilidade, em que o evento favorável admite uma margem de confiança dada por uma medida de probabilidade (e reciprocamente para o evento não-favorável com a medida complementar), nota-se a proximidade com a visão da Teoria de Possibilidade, em que eventos distintos se contrapõe em diferentes graus de pertinência frente a uma distribuição de possibilidade.

2.5.3.4 Centro da Área

Alguns autores (LEEKWIJCK; KERRE, 1999; RUNKLER; GLESNER, 1994) subdividem o estudo dos defuzzificadores através de grupos, por exemplo, o grupo dos métodos específicos de distribuição contém os defuzzificadores de média fuzzy (e suas variações) e o método de qualidade (e suas variações). Tal grupo não será estudado no presente trabalho.

Outro grupo importante é o grupo de defuzzificadores baseados na análise da área do gráfico da função de pertinência. Neste grupo encontramos o defuzzificador de Centro de Área, tal defuzzificador atua em universos ordenados e consiste, para o caso discreto, em encontrar o minimizador COApAq do seguinte problem de minimização:

min yPX ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ y ÿ x“infpXq Apxq ´ sup_ÿpXq x“y Apxq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ. (2.34)

O caso contínuo é análogo ao discreto, bastando substituir os somatórias acima por integrais.

Embora comumente a nomeclatura em português de Centro de Massa e Centro de Área seja similar, não devemos confundir os defuzzificadores uma vez que a interpretação é bem distinta: no defuzzificador de centro da área o grau de pertinência é tratado como um pacote de informação e assim o defuzzificador de centro da área subdivide a área abaixo do gráfico da função de pertinência em duas ou mais partes iguais contendo igual quantidade de informação.

Existem ainda variações deste método como Centro da Área Extendido.

1) ECOA

O método de defuzzificação Centro da Área Extendido (ECOA, do inglês "Extended center of area") consiste basicamente em substituir Apxq pelo conjunto fuzzy Aγ

dado por Aγ_{pxq “ pApxqq}γ _{para todo x P X. O parâmetro γ pode ser interpretado como}

um fator de confiança. Como casos particulares temos:

ECOA_{pA, 1q “ COApAq} (2.35)

e

lim

γÑ8ECOApA, 1q “ MeOMpAq. (2.36)

Note que, para γ ą 1, quanto maior for o grau de pertinência de x P X em A, maior será a “relevância” do elemento x no resultado da defuzzificação A.