2.4 Módulo de inferência:
2.4.2 Método de Inferência
O método de inferência é responsável por generalizar o conhecimento parcial descrito na base de regras fuzzy para todo o domínio fuzzy utilizando-se de relações fuzzy
e composições relacionais fuzzy para tal fim.
As informação parcial do fenômeno contida na base de regras é condensada em relação fuzzy. Suponha que dispomos de uma base com n regras fuzzy da forma “Se
x P Ai então y P Bi ” para i “ 1, . . . , n, onde x P X e y P Y . Seja b uma t-norma ou uma
t-conorma e seja ‹ um conector lógico fuzzy binário tal como uma t-norma, t-conorma ou implicação fuzzy. Uma relação fuzzy M de Y ˆ X pode ser construída em termos da base de regras dada como se segue:
Mpy, xq “
n
â
i“1‹pB
ipyq, Aipxqq “ r‹pB1pyq, A1pxqqs b . . . b r‹pBnpyq, Anpxqqs .
Neste contexto, o operador b denota o operador com modela o conectivo ou enquanto que o operador ‹ modela a relação se-então. Assim as escolhas de b e ‹ definem a maneira como o conhecimento do especialista é traduzido para o domínio fuzzy. Por exemplo, a regra de Mamdani para construir M consiste em tomar b e ‹, reespectivamente, como a t-conorma do máximo e a t-norma do mínimo (BARROS; BASSANEZI,2010; BEDE, 2012). Outro exemplo é a regra de Gödel que consiste em considerar b como a t-norma do mínimo e ‹ como a implicação residual do produto (BEDE,2012).
Uma vez obtido uma relação fuzzy M a partir da base de dados, a saída do método de Fuzzificação para uma entrada x P X, que consiste de um conjunto fuzzy
A “ F pxq P FpXq, é então combinada com a relação fuzzy M afim de se obter uma saída B apropriada. Em geral, essa combinação se dá por uma metodologia chamado de regra (composicional) de inferência que é baseada na clássica regra de Modus Ponens (BARROS;
BASSANEZI, 2010; BEDE, 2012). Sejam b uma t-norma ou uma t-conorma e ‹ um conector lógico fuzzy binário, a regra de inferência b ´ ‹ produz a seguinte saída B:
Bpyq “ â
zPX‹ pMpy, zq, Apzqq .
Logo uma vez determinado a relação fuzzy a partir da base de regras, dada uma entrada A P FpRnq, uma saída B P FpRmq pode ser produzida aplicando-se uma
composição relacional fuzzy b ´ ‹. Consequentemente, podemos entender tal submódulo como um mapa:
I : FpRnq Ñ FpRmq. (2.3)
os indíces ”n” e ”m” apenas enfatizam a possibilidade de diferentes tipos de SBRF. No caso SISO temos:
I : FpRq Ñ FpRq. (2.4)
Por exemplo, para o método de inferência de Mamdani empregamos a composi- ção max-min (˝) entre a relação fuzzy M e o subconjunto fuzzy A, isto é, B “ M ˝ A.
Devemos enfatizar ainda que a Inferência fuzzy é o “coração” do controlador fuzzy, isto é, o controlador fuzzy é tão adequado para determinada tarefa quanto for a Inferência fuzzy adotada uma vez que a mesma fornecerá a saída fuzzy (e portanto o controle fuzzy) para cada entrada fuzzy.
2.5 Módulo de Defuzzificação:
Pretendemos estudar esta etapa detalhadamente pois é aqui que nosso trabalho apresenta contribuição nesse tema de sistemas baseados em regras fuzzy. No estudo dinâmico que faremos a partir dos SBRF, diferentes métodos de defuzzificação pode “gerar” diferentes dinâmicas no modelo estudado, vide (GLAS, 1983).
Boa parte desta seção é baseada principalmente nos trabalhos de (LEEKWIJCK; KERRE,1999) e nas idéias de Runkler em (RUNKLER; GLESNER,1993) que visam criar um conjunto de axiomas que incorporem todas as propriedades conhecidas de todos os defuzzificadores conhecidos. Em particular, na Subseção 2.5.1revisaremos algumas dessas propriedades.
O módulo de defuzzificação deve ser entendido como um operador no sentido de que dado um subconjunto fuzzy A P FpXq o defuzzificador associada um valor crisp
DpAq P X. Quando necessário explicitarmos o domínio e contra-domínio de atuação
utilizaremos o termo operador de defuzzificação, caso contrário quando estiver subentendido o universo de discurso , genericamente X, utilizaremos apenas o termo defuzzificador. Este
processo é dado por:
D: FpXq Ñ X (2.5)
AP FpXq ÞÑ DpAq P X.
No contexto de Controladores fuzzy em geral utilizaremos o subconjunto fuzzy sobre os reais:
D: FpRnq Ñ Rn (2.6)
AP FpRnq ÞÑ DpAq P Rn.
A respeito de SBRF do tipo SISO o mapa será unidimensional:
D: FpRq Ñ R AP FpRq ÞÑ DpAq P R.
Devido a grande variedade de defuzzificadores presentes na literatura estamos interessados em analisar alguns critérios que permitem escolher certos defuzzificadores apro- priados para determinados problemas. Tais critérios foram estudados em (LEEKWIJCK; KERRE,1999;RUNKLER; GLESNER,1993), permitindo classificar propriedades mate- máticas inerentes ao conjunto X que permitam escolher o defuzzificador mais conveniente. A seguir, pelos trabalhos (LEEKWIJCK; KERRE, 1999; RUNKLER; GLESNER, 1993), listaremos algumas propriedades.
2.5.1 Propriedades do Defuzzificador
2.5.1.1 Seleção Nuclear
Também encontrarmos o termo defuzzificação semanticamente correta para Seleção Nuclear na literatura. O processo de defuzzificação via Seleção Nuclear basicamente consiste em selecionar um elemento com maior grau de pertinência no conjunto fuzzy:
DpAq P CernepAq @A P FpRq. (2.7)
2.5.1.2 Escalas Invariantes
O operador defuzzificação pode ter a propriedade de ser invariante sobre algumas das possíveis transformações de escala do universo de discurso. Abaixo elencamos alguns tipos de transformações encontrados na literatura. Para o que se segue considere uma função D definida no conjuntos das funções X Ñ R, onde X é um universo qualquer, que associa cada função f : X Ñ R a um valor Dpfq P R. Note que tal função pode atuar como um operador de defuzificação se restringirmo seu domínio para a classe de conjuntos fuzzy.
1) Escala Ordinária:
Seja f : R Ñ R monótona crescente. Considere a função fA formada pela composição de f com um conjunto fuzzy A de X:
f A: X Ñ R xÞÑ fpApxqq,
então tal critério é expresso como:
DpfAq “ DpAq. (2.8)
2) Escala de Intervalos Invariantes
Dado um conjunto fuzzy A P FpXq, considere a transformação pa.A ` bq : R Ñ r0, 1s
xÞÑ a.Apxq ` b, @a P R`zt0u, @b P R.
Então o critério de Escala de Intervalos Invariantes será:
3) Razões de Escala
Considerando as definições do item anterior, o critério de Razões de Escala é satisfeito se:
Dpa.Aq “ DpAq, @a P R`. (2.10)
4) Invariante por Escala Relativa
Considerando as definições dos itens anteriores, o critério de Invariante por Escala Relativa é satisfeito se:
DpA ` bq “ DpAq, @b P R. (2.11)
2.5.1.3 Monotocidade
O critéiro de monotocidade é satisfeito se para todo A, B P FpXq tais que
Bpxq ď Apxq, @x P X
tem-se
DpBq ď DpAq (2.12)
2.5.1.4 Critério de t-conormas
Neste critério, se A, B P FpRq são tais que satisfazem DpAq ď DpBq, então, espera-se que a defuzzificação da união A e B baseada em uma certa t-conorma � seja limitada ao intervalo dos valores defuzzificados de A e B. Mais precisamente,
DpAq ď DpCq ď DpBq (2.13)
onde Cpxq “ Apxq�Bpxq para todo x P X.
2.5.2 Defuzzificação sobre FpRq
As propriedades apresentadas a seguir assumem X “ R. Como a defuzzificação atua sobre conjuntos fuzzy, adotamos a nomenclatura de Defuzzificação sobre FpRq.
2.5.2.1 Translação-x
Esse critério ocorre quando a defuzzificação de um conjunto fuzzy B resultante da translação de um conjunto fuzzy A por um elemento b P R fixo é igual a soma da defuzzificação de A com b. Mais especificamente, se o conjunto fuzzy B dado por
B : X Ñ r0, 1s xÞÑ Apx ´ bq, @b P R,
então, para que este critério seja satisfeito deve se ter
DpBq “ DpAq ` b. (2.14)
Tal critério é análogo a propriedade de translação da reta. 2.5.2.2 Escalonamento-x:
Dizemos que um defuzzificador possui essa propriedade se para todo conjunto fuzzy A dado e para cada conjunto fuzzy B P FpRq dado por Bpxq “ Apx
aq, @x P R, com a P R fixo, tem-se
DpBq “ aDpAq. (2.15)
Tal critério é análogo a propriedade de escalonamento da reta.
Enceramos esta seção citando ainda que existem outros critérios de defuzzifica- ção como o critério de eficiência computacional que tenta encontrar o menor número de operações necessária para realizar o processo de defuzzificação ou o critério de navalha de Occan para defuzzificadores, também encontrado na literatura como transparência de
designer, que afirma que um operador de defuzzificação simples e mais facilmente compre-
ensível deve ser preferível do que um operador de defuzzificação demasiadamente mais complexo e menos intuitivo. Todavia estes critérios não serão abordados neste trabalho.