Exemplos de pontos de descontinuidade para entropia

C = inf

z∈V \g−1_{(V ), |v|=1}kDg

T_(z)(v)k.

Portanto, para N grande o suciente não é difícil de ver que todos os pontos em ˜Λ(p, N) possuem expoentes de lyapunov positivos maiores do que χ(p, g) − 1/n. Em particular, pode- mos escolher N3 tal que k >> T , e logo para todo ponto periódico q ∈ Λ(p, N), para N ≥ N3,

χ(q, g) ≥ χ(p, g) −1 n.

Sendo assim, tomando Λ(p, n) = Λ(p, N) para N = max{N1, N2, N3}, as propriedades

da proposição são satisfeitas para a perturbação g de f.

Agora, pela robustez do ponto periódico hiperbólico p e do conjunto Λ(p, n), as pro- priedades (a) e (b) são satisfeitas para difeomorsmos próximos de g e suas respectivas con- tinuações, desde que µn são as medidas ergódicas que maximizam entropia topológica de g

restrita a Λ(p, n). Notemos que o item (c) depende apenas do tempo de permanência do conjunto Λ(p, n) numa vizinhança de p, o que também é mantido para perturbações de g e as respectivas continuações de p e Λ(p, g). Por m, é claro que o Lema 2.3.4 ainda é válido para difeomorsmos próximos de g, e portanto também temos o item (d). O que então conclui a demonstração da proposição.

¤

2.4 Exemplos de pontos de descontinuidade para entropia

Para provarmos o Teorema C, vamos construir um exemplo de um difeomorsmo conser- vativo C∞ _{sobre a esfera S}2 _{que não seja sequer ponto de semicontinuidade superior para}

entropia topológica no espaço Diff1 m(S2).

Seja S 6= T2 _{uma superfície qualquer. Como S não aceita difeomorsmos de Anosov, pelo}

Teorema A temos que genericamente para difeomorsmos conservativos sobre S h(f ) = s(f ).

Sendo assim, usando que s(.) é uma função semicontínua inferior, se encontrarmos um difeo- morsmo f ∈ Diff1

m(S2) tal que h(f) < s(f), então este é um exemplo onde a entropia

topológica não é semicontínua superior.

Para encontrarmos tal difeomorsmo, usamos um notável resultado de Lai-Sang Young [49].

Teorema 2.4.1. Seja φ : R × M → M um uxo numa variedade M 2-dimensional. Então, o difeomorsmo φt= φ(t, .) sobre M, para todo t, possui entropia topológica nula, i.e., h(φt) =

0.

Sendo assim, por este resultado e a discussão acima, para provarmos o Teorema C é suciente encontrarmos um uxo Hamiltoniano em S2 _{possuindo uma órbita periódica hiper-}

32Capítulo 2  Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas No que segue, descrevemos a construção de tal exemplo para o qual usamos o "famoso" pendulum matemático, veja [42]. Lembremos que um campo vetorial Hamiltoniano XH sobre

uma variedade simplética (M, ω) é tal que existe uma aplicação suave H : M → R e ω(XH, .) = dH.

Também, lembremos que φt = φ(t, .) : M → M é um difeomorsmo simplético, para todo

t ∈ R, onde φ é o uxo gerado por XH. Notemos que em dimensão dois o espaço dos

difeomorsmos conservativos coincide com o espaço dos simpléticos.

Consideremos agora a variedade simplética (S2_{, ω), com ω(x) =< x, u×v >, para x ∈ S}2_e

u, v ∈ TxS2, algum elemento de área induzido sobre S2. Se olharmos para S2com coordenadas

polares cilíndricas (θ, z), 0 ≤ θ < 2π e −1 < z < 1, numa região longe dos pólos, podemos vericar que ω = dθ ∧ dz.

Seja H1(θ, z) = z a função altura sobre a esfera, e XH1 o campo vetorial Hamiltoni-

ano gerado por H1. Notemos que o uxo gerado por XH1 não possui órbitas periódicas

hiperbólicas, pois seus pólos são singularidades não hiperbólicas, e o uxo longe deles é φ(t, (θ, z)) = (θ + t, z), i.e., rotações.

Por outro lado, podemos usar o pendulum matemático sobre S1 _{× R para construirmos}

órbitas periódicas hiperbólicas no uxo anterior. Seja H2 : S1×R → R, H2(θ, z) = 1₂z2−cos θ

a energia total do pendulum, i.e., o campo vetorial Hamiltoniano XH2 sobre o cilindro nos

dá o retrato de fase do pendulum. Notemos que o uxo gerado por XH2 possui um ponto de

equilíbrio instável em p = (π, 0). Agora, considerando β : (−1, 1) → R uma função bump C∞

tal que β(x) = 1 se |x| < 1/2 e β(x) = 0 se |x| > 2/3, denimos H : S1_{× (−1, 1) → R como}

segue

H(θ, z) = β(z)H2(θ, z) + (1 − β(z))H1(θ, z).

Sendo assim, depois de alguma mudança de coordenada podemos olhar para esta função sobre S2_{. De fato, o que zemos foi nada mais do que levar o uxo dado pelo pendulum para}

a esfera mudando a função altura numa faixa longe dos pólos. Veja gura 2.2.

Agora, XH é um campo vetorial Hamiltoniano sobre S2, cujo uxo possui uma singulari-

dade hiperbólica como queríamos.

.

Capítulo

3

Hiperbolicidade no mundo

conservativo

Neste capítulo, vamos mostrar o Teorema E. Mais precisamente, mostramos que, a menos de uma perturbação, a existência de um ponto periódico não hiperbólico é necessária para que um difeomorsmo f seja não Anosov. Diferentemente da prova de Hayashi [27] para o caso dissipativo, o que fazemos aqui é usar o surgimento de pontos periódicos não hiperbóli- cos a partir de ciclos heterodimensionais para mostrar que o índice dos pontos periódicos hiperbólicos são constantes para qualquer difeomorsmo numa vizinhança de f ∈ G1

m(M ).

Lembrando que G1

m(M ) é o conjunto dos difeomorsmos que possuem uma vizinhança na

qual todo difeomorsmo possui apenas pontos periódicos hiperbólicos. Depois de feito isto, podemos usar os argumentos de Mañé [35] para provarmos o Teorema E. Por m, como anunciado na introdução, provamos a Conjectura de Palis no caso conservativo a partir deste.

3.1 Índice das órbitas periódicas para difeomorsmos em G

1

m

(M)

Antes de mais nada, denimos como sendo o índice de um ponto periódico hiperbólico a dimensão da sua variedade estável. Como antes M é uma variedade Riemanianna, compacta e conexa, porém agora com dimensão d ≥ 2 qualquer, e munida de uma forma de volume m. O resultado seguinte diz que a existência de selas hiperbólicas com índices diferentes não pode ocorrer se f ∈ G1

m(M ). Mais precisamente mostramos o seguinte.

34 Capítulo 3  Hiperbolicidade no mundo conservativo Proposição 3.1.1. Seja f ∈ G1

m(M ), então existe uma vizinhança U de f em Diff1m(M ) e

um inteiro positivo i tal que para todo difeomorsmo g ∈ U e todo ponto periódico hiperbólico p de g, o índice de p com respeito a g é i.

Este resultado pode ser visto como a versão conservativa e discreta do resultado de Gan e Wen (veja Teorema 4.1 de [25]) desde que a demonstração do mesmo é feita através da criação de ciclos heterodimensionais. Dizemos que um difeomorsmo f exibe um ciclo heterodimen- sional se existem pontos periódicos hiperbólicos p1 e p2 de f com índices diferentes, digamos

ie i + j, possuindo uma interseção transversal entre Wu_(p

1, f ) e Ws(p2, f ), e uma interseção quasi-transversal entre Ws_(p 1, f ) e Wu(p2, f ). Veja Figura 3.1.

p

W (p )u

W (p )s

1 1 1

p

₂

W (p )u

₂

W (p )s

₂

Figura 3.1: ciclo heterodimensional O próximo resultado é chave na demonstração da Proposição 3.1.1. Proposição 3.1.2. Seja f ∈ Diff1

m(M ) um difeomorsmo exibindo um ciclo heterodimen-

sional entre dois pontos periódicos hiperbólicos p1 e p2 com indices i e i + j, respectivamente,

tal que Dfτ (p1,f )

p1 e Df

τ (p2,f )

p2 possuam apenas autovalores reais com multiplicidade um. Dado

uma vizinhança qualquer U de f em Diff1

m(M ), existe um difeomorsmo g ∈ U possuindo um

ponto periódico p não hiperbólico.

Observação 3.1.3. A Proposição 3.1.2 segue nas linhas do trabalho de Abdenur-Bonatti- Crovisier-Diaz-Wen [2], i.e., a ideia de usar ciclos heterodimensionais para se construir pontos periódicos com exponentes de Lyapunov intermediários com respeito aos expoentes dos pontos periódicos hiperbólicos que exibem o ciclo. Convém assim ressaltarmos que usando as técni-

3.1 Índice das órbitas periódicas para difeomorsmos em G1

m(M ) 35

cas apresentadas aqui a menos de algumas adaptações e argumentos padrões para se provar generecidade, podemos obter uma prova do resultado deles no caso conservativo.

Vejamos agora a demonstração da Proposição 3.1.1 usando a Proposição 3.1.2. Demonstração Proposição 3.1.1:

Suponhamos por absurdo que existam dois pontos periódicos hiperbólicos ˜p1 e ˜p2 de f ∈

G1

m(M ) com índices i e i + j, para algum j > 0.

A ideia é usar a Proposição 3.1.2, para chegarmos numa contradição e assim provarmos a proposição.

Para tal, os dois próximos resultados são essenciais.

Proposição 3.1.4 (Bonatti e Crovisier [9]). Existe um subconjunto residual R1 de Diff1m(M )

tal que se g ∈ R então M = H(p, g), onde H(p, g) é a classe homoclínica do ponto periódico hiperbólico p de g. Em particular, g é topologicamente transitivo.

Proposição 3.1.5 (Carballo, Morales e Pacíco [18]). Existe um subconjunto residual R2 ∈

Diff1_m(M ) tal que se f ∈ R2 então as classes homoclínicas ou são iguais ou são disjuntas.

O primeiro passo será perturbar f a m de obtermos pontos periódicos hiperbólicos com índices i e i + j como na hipótese da Proposição 3.1.2. Para tal, usamos os resultados de Bonatti, Diaz e Pujals em [10], para sistemas lineares periódicos (cociclos).

Um sistema linear periódico é uma 4-upla P = (Σ, f, E, A), onde f é um difeomorsmo, Σ é um conjunto innito de pontos periódicos de f, E um brado vetorial Euclidiano sobre Σ, e A ∈ GL(Σ, f, E)é tal que A(x) : Ex→ Ef (x) é um isomorsmo linear para cada x (Ex é a bra

de E em x). Para denições mais precisas veja [10]. Lembremos que dois pontos periódicos hiperbólicos possuindo índices iguais são homoclinicamente relacionados se a variedade estável de um intersecta transversalmente a variedade instável do outro, e vice-versa.

Lema 3.1.6 (Lema 1.9 em [10]). Seja H(p, f) uma classe homoclínica não trivial. Então a derivada Df de f induz um sistema linear periódico com transições sobre P erh(H(p, f )), o

conjunto dos pontos periódicos hiperbólicos homoclinicamente relacionados com p.

Dizemos que um sistema linear periódico com transições P = (Σ, f, E, A) é diagonalizável no ponto x ∈ Σ se a aplicação linear

MA(x) : Ex→ Ex, MA(x) = A(fτ (x,f )−1(x)) ◦ . . . ◦ A(f2(x)) ◦ A(x),

possui apenas autovalores reais com multiplicidade um.

Lema 3.1.7 (Lema 4.16 em [10]). Para todo sistema linear periódico com transições P = (Σ, f, E, A) e todo ε > 0 existe um subconjunto denso Σ′ de Σ e uma ε−perturbação A′ de A denida em Σ′ _{que é diagonalizável, isto é, M}

A′(x) possui apenas autovalores reais com

36 Capítulo 3  Hiperbolicidade no mundo conservativo Observação 3.1.8. Pela observação 7.2 em [10], se as matrizes A possuem determinante 1 (que é o caso do sistema linear periódico induzido por f ∈ Diff1

m(M )) podemos tomar a

perturbação A′ _{tal que detA}′_{(x) = 1 para todo x ∈ Σ}′_.

Agora, usando as Proposições 3.1.4 e 3.1.5 podemos supor inicialmente que f ∈ R1∩

R2, logo H(˜p1, f ) = H(˜p2, f ) = M. Sendo assim, desde que as classes homoclínicas são

não triviais, podemos usar os Lemas 3.1.6 e 3.1.7, juntamente com a observação 3.1.8 para encontrar p1 e p2 homoclinicamente relacionados com ˜p1 e ˜p2, respectivamente, e matrizes

A′ _{com determinantes um, tal que M}

A′(p₁) e M_A′(p₂) sejam diagonalizáveis. Desta forma,

podemos usar o lema de Franks para perturbar f tal que Dfτ (p1,f )

p1 = MA′(p1) e Df τ (p2,f ) p2 = MA′(p₂), ou seja, Dfτ (p 1,f ) p1 e Df τ (p2,f )

p2 possuem apenas autovalores reais com multiplicidade

um.

O próximo passo é perturbar f a m de exibirmos um ciclo heterodimensional entre p1 e

p2.

Usando a robustez de p1 e p2 e de suas propriedades, podemos supor sem perda de gene-

ralidade que o difeomorsmo inicial f ∈ R1 e portanto é transitivo. Com isto, podemos usar

o connecting lema para criar uma interseção entre Wu_(p

1, f ) e Ws(p2, f ), a qual podemos

assumir ser transversal (dim Wu_{(p, f ) + dim W}s_{(p, f ) > d). Sendo assim, desde que esta}

interseção é robusta, podemos supor que f ainda pertença a R1, i.e., ainda seja transitivo.

Por m, usamos mais uma vez o conecting lema a m de conseguirmos uma interseção entre Ws(p1, f ) e Wu(p2, f ). Logo, criamos um ciclo heterodimensional para f entre os pontos p1

e p2 após uma perturbação.

Assim, temos um difeomorsmo g C1_{−próximo de f exibindo um ciclo heterodimensional}

entre os pontos periódicos hiperbólicos p1 e p2, com Dgτ (p1,g)(p1) e Dgτ (p2,g)(p2) possuindo

apenas autovalores reais com multiplicidade um. Portanto, pela Proposição 3.1.2 podemos perturbar g tal que esta possua um ponto periódico não hiperbólico, o que contradiz o fato de f ∈ G1

m(M ) e portanto prova a proposição.

¤ Antes de provarmos a Proposição 3.1.2, precisamos de algumas denições.

Dizemos que um conjunto compacto f-invariant Λ possui uma decomposição dominada se existe uma decomposição contínua TΛM = E1⊕ . . . ⊕ EkDf −invariante, e constantes m ∈ N

e 0 < λ < 1 tal que para todo x ∈ Λ tenhamos:

kDfm|Ei(x)k kDf−m|Ej(fm(x))k ≤ λ, para todo i < j.

Demonstração da Proposição 3.1.2: Seja f ∈ Diff1

m(M ) satisfazendo as hipóteses da proposição, e sejam x ∈ Ws(p1, f ) ∩

Wu(p2, f ) e y ∈ Wu(p1, f ) ∩ Ws(p2, f ) pontos heteroclínicos do ciclo. Agora, desde que os

pontos periódicos são hiperbólicos, por Avila [6] podemos assumir que o difeomorsmo f seja C2_{, e assim podemos usar o pasting lema para linearizarmos o difeomorsmo numa vizinhança}

3.1 Índice das órbitas periódicas para difeomorsmos em G1

m(M ) 37

são vizinhanças de p1 e p2, respectivamente. É importante observar que esta perturbação

mantém a função igual no complementar de U1 e U2. Agora, apesar de termos uma mudança

das variedades estável e instável de p1 e p2, esta variação é contínua para partes compactas

destas variedades, e assim usando o Lema 1.2.1 podemos conectar novamente Ws_(p 1, f ) e

Wu(p2, f ), numa vizinhança de x, por uma perturbação pequena. Note que a outra interseção

é transversal, logo não é quebrada por perturbações. Portanto, a menos de uma perturbação, podemos supor que f seja linear (em coordenadas locais) em vizinhanças arbitrariamente pequenas U1 e U2 de p1 e p2, respectivamente, e ainda exiba um ciclo heterodimensional.

A m de não complicar a notação, assumimos p1 e p2 como pontos xos. O caso geral é

inteiramente análogo. A partir de agora também olhamos U1 e U2 em coordenadas locais.

Desde que temos apenas autovalores reais com multiplicidade um para Dfp1 e Dfp2,

a menos de uma mudança de coordenadas, temos a seguinte decomposição ortonormal em U1∩f−1(U1)e U2∩f−1(U2)por subespaços invariantes E1⊕. . .⊕Ed(dim M = d). Mais ainda,

denotando por λk e σk, k = 0, . . . , d, os autovalores ordenados de p1 e p2, respectivamente,

estes subespaços são os autoespaços correspondentes. Observemos assim que a variedade estável e instável de p1 são respectivamente Eps1 = E1 ⊕ . . . ⊕ Ei e E

u

p1 = Ei+1⊕ . . . ⊕ Ed,

enquanto que a variedade estável e instável de p2 são Eps2 = E1⊕ . . . ⊕ Ei+j e E

u

p2 = Ei+j+1⊕

. . . ⊕ Ed, respectivamente. Note que estas decomposições são dominadas.

O próximo passo consiste em fazer uma série de perturbações de tal forma a conseguirmos uma decomposição dominada para o conjunto f-invariante O(x) ∪ O(y) ∪ {p1, p2}, onde O(x)

e O(y) são as órbitas de x e y, respectivamente.

Como antes, seja x um ponto de interseção entre Ws_(p

1, f ) e Wu(p2, f ) e y um ponto de

interseção entre Wu_(p

1, f )e Ws(p2, f ). Consideremos agora o subespaço E = Ty(Wu(p1, f ) ∩

Ws(p2, f ))de dimensão j. Desde que y pertence a variedade instável do ponto p1, e f é linear

em U1, temos que Dfy−n(E) ⊂ Epu1 para valores grandes de n. A menos de uma perturbação

(usando transversalidade), podemos supor que Df−n

y (E) ∩ Ei+j+1⊕ . . . ⊕ Ed= {0}, e assim

usando o fato da decomposição em U1 ser dominada, temos que Dfy−n(E) → Ei+1⊕. . .⊕Ei+j

quando n → ∞. Escolhendo n grande o suciente podemos fazer uma perturbação de f, usando o lema de Franks, de tal forma que Df−n

y (E) = Ei+1⊕ . . . ⊕ Ei+j. Note que esta

perturbação é local, mais precisamente, a função f é alterada apenas numa vizinhança de f−n+1_{(y), e além disto não altera a órbita de y, o que implica que y continua a ser um ponto}

de interseção heteroclínica. Com os mesmos argumentos, só que agora olhando para órbita futura de y, podemos fazer uma perturbação de f tal que Dfn

y(E) = Ei+1⊕ . . . ⊕ Ei+j ⊂ Eps2.

Prosseguindo, seja Euu

p1 = Ei+j+1⊕ . . . ⊕ Ed. Usando λ−lema temos que

Dfm f−n y (E uu p1) converge a E u

p2 quando m → ∞, e assim, podemos fazer uma nova pertur-

bação usando o lema de Franks mantendo invariante a direção E, porém fazendo com que Dfm f−n y (E uu p1) = E u

p2. Da mesma forma, podemos fazer com que Df

−m fn y (E ss p2) = E s p1, mantendo

invariante as direções E e Euu_{, onde E}ss

38 Capítulo 3  Hiperbolicidade no mundo conservativo Repetindo agora este processo dentro de cada uma das direções invariantes obtidas acima, podemos perturbar f tal que

Df_f2n−n_(y)(Ek) = Ek, k = 0, . . . , d e n sucientemente grande .

Completamente análogo, só que agora usando as variedades centro estável e centro instável no ponto x ( Ecs

p1 = E1⊕ . . . ⊕ Ei+j e E

cu

p2 = Ei+1⊕ . . . ⊕ Ed) podemos perturbar f para que

também tenhamos

Df_f2n−n_(x)(Ek) = Ek, k = 0, . . . , de n sucientemente grande .

Sendo assim, temos uma decomposição dominada TΛM = E1⊕ . . . ⊕ Ed para o conjunto

f-invariante Λ = O(x)∪O(y)∪{p1, p2}. Logo, se U é uma vizinhança pequena de Λ, o conjunto

maximal invariante em U para g sucientemente próximo de f, ΛU(g) =

+∞

\

−∞

gk(U ),

possui uma decomposição dominada por subbrados unidimensionais assim como Λ para f. Armação: Existe um difeomorsmo g ∈ U possuindo um ponto periódico hiperbólico p com um autovalor tão próximo de um quanto se queira.

Para tal xemos inicialmente ε0 > 0e c > 0 para f de acordo com o Lema 1.2.1, e seja

0 < ε < ε0 tal que se f1∈ Diff1m(M )é ε − C1 próximo de f então f1 ∈ U.

Tomemos agora, Bp1 ⊂ U1 ∩ U e Bp2 ⊂ U2∩ U bolas pequenas centradas em p1 e p2,

respectivamente, onde U1 e U2 podem ser tomadas menores tal que f ainda seja linear (em

coordenadas locais) nestas vizinhanças, como antes. Por escolha de x e y, podemos tomar inteiros positivos m1, m2, m3 e m4 tal que x+ = fm1(x), y− = f−m3(y) ∈ Bp1 e x

− ₌

f−m2_{(x), y}+_{= f}m4_{(y) ∈ B}

p2. Feito isto, seja 0 < δ < ε0 tal que

f−1(Bδ(x+)) ∩ Bδ(x+) = ∅, f−1(Bδ(f (x−))) ∩ Bδ(f (x−)) = ∅,

e

f−1(Bδ(y+) ∩ Bδ(y+) = ∅, f−1(Bδ(f (y−))) ∩ Bδ(f (y−)) = ∅.

Através do λ-Lema, podemos encontrar zm cδε−próximo de x+ tal que fm(zm) seja tam-

bém cδε−próximo de y−_{e f}r_(z

m) ∈ Bp1, 0 ≤ r ≤ m, para todo m > 0 sucientemente grande.

Analogamente, podemos encontrar zn satisfazendo condições similares quando trocamos p1

por p2, x+ por x− e y− por y+. Veja a gura 3.2.

Sendo assim, o conjunto

Omn = {zm, ..., fm(zm), y−, ..., y+, zn, ..., fn(zn), x−, ..., x+}

é uma pseudo órbita periódica. Usando o Lema 1.2.1, podemos perturbar f a m de obtermos de fato uma órbita periódica pmn que sombreie Omn. Mais ainda, isto é feito tal que

3.1 Índice das órbitas periódicas para difeomorsmos em G1 m(M ) 39

p

W (p )u

W (p )s

1 1 1

p

₂

W (p )u

₂

W (p )s

₂

.

.

.

.

.

.

y

y

y

+ -

x

x

+

x

-

.

.

.

. .

... ...

z

_

m ...

.

_.

.

.

... zn

Up

₁

Up

₂ Figura 3.2:

seja a órbita do ponto periódico pmn. Observe que a órbita de pmn passa m e n vezes

em Bp1 e Bp2, respectivamente. Além do mais, por construção, temos que pmn ∈ U, logo

pmn ∈ ΛU(f ). Denotando agora por ρk os autovalores de Dfpτ (pmnmn,f ), como temos uma

decomposição dominada em ΛU(f ) por subbrados unitários e pmn pertence a este conjunto,

temos que os Ek(pmn), k = 0, . . . , d, são de fato os autoespaços correspondentes a estes

autovalores. Fixemos então algum k ∈ (i, i + j). Lembremos que para tal k, os autovalores λk e σk de Dfp1 e Dfp2, respectivamente, são tais que |λk| > 1 e |σk| < 1. Sendo assim, de

acordo com o tempo de permanência do ponto pmn nas vizinhanças Bp1 e Bp2 que é m e n,

respectivamente, o valor absoluto do autovalor ρk de pmn, com respeito ao autoespaço Ek,

pode ser tanto maior ou menor do que um.

Dado n um inteiro positivo grande, escolhemos m = m(n) o maior inteiro positivo possível tal que os pontos periódicos pm−1 n e pmn, obtidos pelos métodos acima, possuam autovalores

na direção Ek contrator e expansor, respectivamente. Mais precisamente, se h e g são as

perturbações de f tal que pm−1 n ∈ P er(h) e pmn ∈ P er(g), então m é escolhido tal que

kDhτ (pm−1 n,h)|E

k(pm−1 n)k < 1 e kDgτ (pmn,g)|Ek(pmn)k > 1. Observemos que a maneira

como perturbamos f para chegarmos a h e g é tal que h = g no complementar de Bp1, e

h = g = f no complementar de Bp1∪ Bp2.

Como já observado anteriormente, a órbita dos pontos periódicos pln, l = m − 1, m, é

40 Capítulo 3  Hiperbolicidade no mundo conservativo para l = m − 1, m, onde zl e znpodem ser encontrados através do λ−lemma, dependendo de

l, como antes.

Agora, dado γ > 0 arbitrariamente pequeno, podemos tomar n maior se necessário tal que denotando por τ = τ(y−_{, g)o período de y}− _{∈ O(p}

mn) e tomando K = kDf|Ek(p1)k, temos

que 0 < 1 τ log kDg τ_|E k(y−)k = 1 τ τ −1 X t=0 log kDg|Ek(gt(y−))k < 1 τ Ã_{τ −1} X t=0 log kDf |Ek(gt(y−))k + γ ! ≤ 1 τ Ã_{τ −m−1} X t=0 log kDf |Ek(gt(y−))k + m(log kDf |Ek(p1)k + γ) + γτ ! < 1 τ − 1 Ã_{τ −m−1} X t=0 log kDf |Ek(gt(y−))k + (m − 1)(log kDf |Ek(p1)k) ! + 2γ + K τ , (3.1) onde usamos que a direção Ek é unidimensional na primeira igualdade, a continuidade da

decomposição dominada na segunda desigualdade, e o fato de Bp1 ser pequena na terceira.

Por outro lado, usando o ponto periódico y− _{∈ O(p}

m−1 n) de h, com período τ − 1, através

de argumentos similares temos o seguinte: 0 > 1 τ − 1log kDh τ −1_|E k(y−)k = 1 τ − 1 τ −1 X t=0 log kDh|Ek(ht(y−)k > 1 τ − 1 Ã_{τ −1} X t=0 log kDf |Ek(ht(y−))k − γ ! > 1 τ − 1 Ã_{τ −m−1} X t=0 log kDf |Ek(ht(y−)k + (m − 1)(log kDf |Ek(p1)k) ! − 2γ. (3.2)

Agora, como g = h no complementar de Bp1 e o pedaço de órbita de y

− _{por g e h também}

coincidem no complementar de Bp1, isto é, temos que g

t_(y−_{) = h}t_(y−_{)para 0 ≤ t ≤ τ −m−1.}

Sendo assim, podemos substituir a desigualdade (3.2) em (3.1), para obtermos o seguinte 0 < 1 τ log kDg τ_|E k(y−)k < 4γ + K τ . (3.3)

Portanto, desde que o período τ vai para innito quando n vai para innito, e γ > 0 é arbitrário, é possível encontrarmos um ponto periódico pmnpara uma perturbação g de f com

expoente de Lyapunov sucientemente próximo de zero na direção Ek, ou seja, Dgτpmn possui

um autovalor sucientemente próximo de um. O que prova a armação.

No caso geral, quando p1 e p2são pontos periódicos hiperbólicos, o processo é inteiramente

análogo. A diferença é que tomamos vizinhanças das órbitas de p1 e p2, e os números m e n

3.2 Demonstração do Teorema E 41 Finalmente, sejam U0 ⊂ U e δ > 0 dados pelo lema de Franks para o difeomorsmo

f. Usando a Armação, podemos encontrar um difeomorsmo ˜g ∈ U0 possuindo um ponto

periódico p com período τ = τ(p, ˜g) grande, e um autovalor ρ de D˜gτ

p tal que |ρ| = 1/α para

α muito perto de um. Agora, denotando o autoespaço correspondente a este autovalor por Ek podemos usar o lema de Franks para ˜g na órbita do ponto periódico para encontrarmos

um difeomorsmo g ∈ U tal que Dgg˜t_(p

mn)(vt) = (α) 1

τ D˜g_˜gt_(p

mn)(vt), vt∈ Ek(˜g

t_{(p)) unitário,}

e pmn ainda seja um ponto periódico para g. Assim, desde que o espaço Eké unidimensional,

como podemos ver na demonstração da Armação, temos que o autovalor de Dgτ

pmn na direção

Ektem valor absoluto igual a um, ou seja, pmn é um ponto periódico não hiperbólico para g,

como queríamos.

¤

3.2 Demonstração do Teorema E

Seguimos aqui argumentos similares a demonstração do Teorema B de Mañé em [35]. Sendo assim, dividimos a prova em dois passos.

Se f ∈ G1

m(M ), então

• Passo 1: P er(f) é um conjunto hiperbólico para f, • Passo 2: Ω(f) = P er(f).

A partir disto temos que f é Anosov desde que Ω(f) = M pelo Teorema de Recorrência de Poincaré, o que prova o Teorema E.

Demonstração do Passo 1:

Para isto, precisamos de um resultado que é a versão conservativa do resultado de Mañé, Proposição II.1 de [35] (veja também o trabalho de Liao [33]). Denotando por Λi(f )o conjunto

dos pontos periódicos hiperbólicos de f com índice i o resultado é o seguinte. Proposição 3.2.1. Se f ∈ G1

m(M ), então existe uma vizinhança U de f em Diff1m(M ), e

constantes K > 0, m ∈ N e 0 < λ < 1 tal que

a) Para todo g ∈ U e p ∈ P er(g) com período τ(p, g) ≥ m

k−1 Y i=0 kDgm|Es(gmi(p))k ≤ Kλk e k−1 Y i=0 kDg−m|Eu(g−mi(p))k ≤ Kλk, onde k = [τ(p, g)/m].

42 Capítulo 3  Hiperbolicidade no mundo conservativo b) Para todo 0 < i < dim M deve existir uma decomposição contínua TΛi(g)M = Ei⊕ Fi

tal que

kDgm|Ei(x)k kDg−m|Fi(gm(x))k ≤ λ,

para todo x ∈ Λi(g). E ainda, Ei(p) = Esp(g), Fi(p) = Epu(g) quando p ∈ P er(g) e

dim Es

p(g) = i.

c) Para todo p ∈ P er(g)

lim sup n→+∞ 1 n n−1 X i=0 log kDgm|Es(gmi(p))k < 0 e lim sup n→+∞ 1 n n−1 X i=0 log kDg−m|Eu(g−mi(p))k < 0.

Antes de mostrarmos esta proposição, vamos usá-la para demonstrar o Passo 1. Fixemos agora f ∈ G1

m(M ). Desde que pela Proposição 3.1.1 os pontos periódicos hiper-

bólicos de f possuem mesmo índice, digamos s, a Proposição 3.2.1 nos dá uma decomposição dominada T_{P er(f )}M = E ⊕ F para o conjunto P er(f). Fixemos assim m ∈ N, 0 < λ < 1 e K > 0 como na Proposição 3.2.1.

Desta forma, para mostrarmos a hiperbolicidade de P er(f) precisamos provar que de fato temos contração e expansão nos sub-brados E e F , respectivamente, a menos de um certo número nito de iterados. O que devido a compacidade de P er(f) torna suciente mostrarmos o seguinte lim inf n→+∞kDf n_{|E(x)k = 0 (3.4)} e lim inf n→+∞kDf −n_{|F (x)k = 0,}

para todo x ∈ P er(f).

Notemos que é suciente mostrarmos o primeiro caso, desde que o segundo pode ser deduzido do primeiro trocando f por f−1_.

Desta forma, suponhamos que (3.4) não seja verdade. Então, existe x ∈ P er(f) tal que kDfjm|E(x)k ≥ c > 0, para todo j > 0,

onde m é como na Proposição 3.2.1 xado anteriormente. Denindo a seguinte medida de probabilidade µj = 1 j j−1 X i=0 δ_fmi_(x),

onde δ é a medida de Dirac, podemos encontrar uma subsequência jn → ∞ tal que µjn

convirja a uma medida de probabilidade fm_{−invariante µ na topologia fraca}∗ _e

lim

n→+∞

1 jn

log kDfmjn_{|E(x)k ≥ lim}

n→+∞

1 jn

3.2 Demonstração do Teorema E 43 Sendo assim, tomando o funcional contínuo φ(y) = log kDfm_{|E(y)k sobre P er(f), obte-}

mos: Z P er(f ) φ dµ = lim n→+∞ 1 jn jn−1 X i=0 log kDfm|E(fmi(x))k ≥ lim n→+∞ 1 jn log kDfmjn_{|E(x)k ≥ 0.}

E então, usando o Teorema Ergódico de Birkho 0 ≤ Z P er(f ) φ dµ = Z P er(f ) lim n→+∞ 1 n n−1 X i=0

log kDfm|E(fmi(y))k dµ(y). (3.6) Seja Σ(f) ⊂ M o conjunto de probabilidade total dado pelo ergodic closing lema. Sendo assim, denotando por ν = 1

m

Pm−1

i=0 (fi) ∗

µa medida de probabilidade f−invariante induzida por µ, temos que ν(Σ(f) ∩ P er(f)) = 1 desde que ν é suportada sobre P er(f). Notemos agora, que pela invariância de Σ(f) ∩ P er(f) por f temos o seguinte,

No documento Estimativas para entropia, extensões simbólicas e hiperbolicidade para difeomorfismos... (páginas 44-81)