Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1

que µqm,n converge a νn, quando m → ∞, na topologia fraca

∗_{. Desta forma, nosso trabalho}

é reduzido a mostrar que µqm,n ∈ E1, o que é direto do fato de f estar em R e o item 5 da

propriedade Sn. Provamos assim o Teorema D.

2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1

Antes de demonstrarmos a proposição lembremos alguns fatos de estrutura simplética. Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético de dimensão 2n. Dado um subespaço qualquer W ⊂ V seu ortogonal simplético é denido como

Wω= {v ∈ V ; ω(v, w) = 0 para todo w ∈ W }.

O subespaço W é chamado simplético se Wω_{∩W = {0}. W} _{e chamado isotrópico se W ⊂ W}ω_,

isto é, ω|W × W = 0. Um caso especial de subespaço isotrópico é um subespaço Lagrangiano, i.e., quando W = Wω_.

Como antes (M, ω) é uma variedade simplética e seja f um difeomorsmo simplético sobre M. A variedade estável (instável) de um ponto periódico hiperbólico de f é uma subvariedade Lagrangiana de M, i.e., o espaço tangente a variedade estável (instável) no ponto x é um subespaço Lagrangiano para todo ponto x na variedade estável (instável) de um ponto periódico hiperbólico. Veja Armação 4 no Apêndice B.

Demonstração da Proposição 2.2.1: A demonstração está dividida em três passos onde o segundo e o terceiro são os principais e usam estruturas simpléticas.

Seja f ∈ H um difeomorsmo não Anosov.

Passo 1- Encontramos g1 C1−próximo de f tal que p ainda seja um ponto periódico hiperbólico

de g1, e g1 exiba uma tangência homoclínica entre Ws(o(p), g1) e Wu(o(p), g1). Mais

ainda, g1 = Df numa vizinhança pequena da órbita de p (em coordenadas locais).

Passo 2- Encontramos g2 C1−próximo de g1 onde g2 admite um intervalo de tangência homo-

clínica. Para tal, vão ser necessárias perturbações simpléticas em dimensões altas. Passo 3- Finalmente, perturbamos g2 para obtermos um difeomorsmo simplético g satisfazendo

as propriedades requeridas pela proposição. Mais ainda, g é tal que as propriedades ainda são satisfeitas para difeomorsmos C1_{−próximos dele, provando assim a proposição.}

Demonstração do passo 1: Para criarmos a tangência homoclínica o caminho é exatamente o mesmo feito por Newhouse na demonstração da conjectura de Palis no caso simplético (passo 6, Teorema 1.1 em [38]). Feito isto, podemos usar o pasting lema e a continuidade de partes

24Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas compactas das variedades estável e instável para obtermos uma tangência homoclínica e uma linearização numa vizinhança do ponto periódico hiperbólico. Observemos que devido a di- mensão das variedades estável e instável, obter uma tangência homoclínica signica obter pelo menos uma direção comum (que pode ser única) entre os espaços tangente destas variedades no ponto de tangência. Pensando em manter o texto o mais completo possível, além de achar de grande valia a divulgação das técnicas envolvidas nesta demonstração vamos detalhá-la no Apêndice A.

Demonstração do passo 2: Para simplicarmos a notação suponhamos primeiro que p seja um ponto xo hiperbólico de g1, e seja V uma vizinhança de p onde g1, em coordenadas locais,

é linear, com Es

p = Rn× {0}n e Epu = {0}n× Rn. Mais ainda, pelo Teorema de Darboux

podemos também supor que em V , ω é a 2-forma padrão para R2n_{, ω = P dx}

i∧ dyi.

Seja q o ponto de tangência homoclínica entre Ws

loc(p, g1) e Wu(p, g1), tal que q ∈ V e

g₁−1(q) 6∈ V. Sendo assim, podemos tomar uma vizinhança pequena U ⊂ V de q tal que g₁−1(U ) ∩ V = ∅. Denotemos por D a componente conexa de Wu(p, g1) ∩ U que contém q.

Queremos agora perturbar g1 a m de conseguir um intervalo de tangência homoclínica.

Como a variedade estável (instável) é gráco, não é difícil fazer isto no caso conservativo usando o ponto de tangência q. No caso simplético isto pode ser feito usando o fato da variedade estável (instável) ser uma variedade lagrangiana como segue.

As perturbações feitas neste passo são feitas localmente em U, e portanto pensando em não complicar a notação vamos considerar uma outra coordenada simplética em U, tal que q seja a origem e tenhamos o seguinte

W_locs (p, g1) ∩ U = {y1 = y2 = ... = yn= 0} ∩ U,

TqD = {y1 = x2= ... = xn= 0},

e então

W_locs (p, g1) ∩ U ∩ TqD = {e1},

onde consideramos {e1, ..., en, ...., e2n} como sendo a base canônica de R2n. Notemos que foi

usado que dim(TqWs(p, g1) + TqWu(p, g1)) = 2n − 1, o que podemos supor ser verdade depois

de uma perturbação, se necessário.

O lema seguinte é o ponto técnico e chave que nos permite construir um intervalo de tangência homoclínica para difeomorsmos simpléticos em dimensões altas.

Lema 2.3.1. Existe um difeomorsmo simplético φ : U → R2n _{sobre sua imagem, C}1 _próximo

da aplicação identidade Id numa vizinhança pequena de q, tal que φ(D)∩Ws

loc(p, g1)∩U contém

um segmento de reta.

Demonstração. Apenas aqui, usamos coordenadas (x, y) com respeito a seguinte decomposição do espaço R2n _{= E ⊕ F}_{, onde E e F são gerados por {e}

1, en+2, ..., e2n} e {e2, ..., en+1},

respectivamente. Note que desta forma E = TqD, e lembremos que q = (0, 0) por escolha da

2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 25 Como D é localmente o gráco de uma função com mesma classe de diferenciabilidade que g1, existe uma aplicação C1 j : B ⊂ Rn→ R2n, j(x) = (x, r(x)), tal que j(B) = D. Mais

ainda, j é tal que Dr(0) = 0, e como D ⊂ Wu_{(p, g}

1) é uma variedade Lagrangiana, temos

que j∗_{ω = 0, onde j}∗_ω _{é o pull-back da forma ω por j. Analogamente, se i : R}n _{→ R}2n _é

a inclusão natural, i(x) = (x, 0), temos que i∗_{ω = 0} _{(lembremos que ω em U é a 2-forma}

estandarte em R2n_).

Denimos agora φ : U → R2n_{por φ(x, y) = (x, y−r(x)). Tomando U menor, se necessário,}

é fácil ver que φ é de fato um difeomorsmo de U sobre sua imagem e C1 _{próximo da Id numa}

vizinhança menor de q = (0, 0), desde que Dr(0) = 0. Sendo assim, para concluirmos o lema precisamos mostrar que φ é de fato simplético. Denotando a projeção da primeira coordenada por π : R2n _{→ R}n_{, π(x, y) = x, podemos reescrever φ da seguinte maneira φ = Id+i◦π−j ◦π.}

Então,

φ∗ω = ω + π∗i∗ω − π∗j∗ω = ω,

onde usamos que i∗_{ω = j}∗_{ω = 0}_{na segunda igualdade. Portanto, o lema está provado.} _¤

Voltando a demonstração do passo 2, podemos usar o pasting lema no caso simplético, Observação 1.1.3, e a aplicação φ dada pelo Lema 2.3.1, para encontrar R : U → U C1

próximo da Id, com R = φ em alguma vizinhança de q, e R = Id no complementar de outra vizinhança pequena contendo a anterior. Fica portanto bem denido ˜R : M → M, com

R = Id em Uc e ˜R = R em U, e assim tomando g2 = ˜R ◦ g1 temos uma C1−perturbação

de g1 que coincide com g1 em (g−11 (U ))c. O diferencial desta perturbação é que ela exibe um

intervalo de tangência homoclínica como queríamos. Mais precisamente, existe um segmento de reta I ⊂ Ws

loc(p, g2) ∩ Wu(p, g2) ∩ U. Para uso futuro, observemos que I está contido

no espaço gerado pelo vetor unitário e1, e a menos de uma mudança de coordenadas em U,

podemos supor I ⊂ {(x1, 0, ..., 0), −2a ≤ x1 ≤ 2a}, para algum a > 0 pequeno o suciente e

coordenadas usuais de R2n_.

Demonstração do passo 3: A idea agora é usar o intervalo de tangência para criarmos conjuntos hiperbólicos com as propriedades requeridas na proposição. Para tal, seja N um número inteiro positivo grande e δ > 0 um número real arbitrariamente pequeno. Como antes (construção de ˜R) podemos encontrar um difeomorsmo Θ : M → M, δ − C1 _{próximo da Id,}

Θ = Idem Uce Θ(x, y) = µ x1, ..., xn, y1+ A cosπx1N 2a , y2, ..., yn ¶ , para (x, y) ∈ B(0, r) ⊂ U, com A = 2Kaδ

πN e r > 0 pequeno o suciente, onde K é uma constante dependendo apenas da coordenada simplética em U. Sendo assim, g = Θ ◦ g2 é δ − C1 próximo de g2, e mais, g = g2

no complementar de g−1

2 (U ). Apesar do difeomorsmo g depender de N, denotamos sempre

estes difeomorsmos por g. É importante salientar que esta perturbação é uma adaptação da perturbação "Newhouse's snake" para dimensões maiores, i.e., ela destrói o intervalo de tangência homoclínica criando N pontos homoclínicos transversais de p em U.

26Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas Usando a função Θ escolhemos agora estrategicamente dois pontos na variedade instável de p para g, z1 = Θ(−a, 0, · · · , 0) e z2 = Θ(a, 0, · · · , 0). Agora, tomamos γ1 e γ2 dois discos

transversais à variedade instável Wu_{(p, g)}_{nos pontos z}

1 e z2, respectivamente.

De agora em diante, voltamos a usar a coordenada simplética em V xada no começo da demonstração. Convém observar que g é igual a g1 em V , e portanto g é linear em V .

Dado um conjunto E, denotemos por C(E, x) a componente conexa de E contendo x. Pelo λ−lema e a escolha de γ1 e γ2, C(g−j(γ1) ∩ V, g−j(z1))e C(g−j(γ2) ∩ V, g−j(z2))se acumulam

sobre Ws

loc(p, g)para valores grandes de j > 0.

Sendo assim, tomando Ds_{= W}s

loc(p, g)∩Upodemos denir o retângulo Dj = Ds×Duj, para

j grande o suciente, como sendo o produto cartesiano entre Ds e Du_j, onde D_ju é o menor disco possível em {(0, . . . , 0, y1, . . . , yn), yi ∈ R} tal que π2(C(g−j(γi) ∩ V, g−j(zi))) ⊂ Dju,

para i = 1, 2. Aqui, π2(x, y) = y é a projeção na segunda n−esima coordenada de R2n.

Lembremos que estamos considerando V dentro do espaço euclidiano e ainda Es

p = Rn× {0}n

e Eu

p = {0}n× Rn.

Seja J ⊂ U algum disco pequeno na variedade instável Wu_{(p, g)} _{contendo os N pontos}

homoclínicos transversais construídos anteriormente, e seja T >> 0 tal que g−T_{(J) ⊂ V}_{, e}

ainda g−T_(γ

i), i = 1, 2, esteja sucientemente próximo de Wlocs (p, g). Denotemos por ˜Γ a

A/2-vizinhança de J, e denimos Γ = g−T_(˜_Γ)_{, veja gura 2.1.}

Agora, seja t0 o menor inteiro positivo tal que C(g−t0(γi), g−t0(zi))é A/2 − C1 próximo

de Ws

loc(p, g), i = 1, 2. Notemos que se t′ ≥ t0, e gt

′_−T

(Dt′) ⊂ Γ, então gt ′

(Dt′) ∩ (D_t′)contém

N componentes conexas disjuntas, desde que A é muito pequeno. Sendo assim, consideremos z3 = (b, 0, ..., 0)e z4 = (b′, 0, ..., 0) dois pontos na variedade estável local de p, onde b e b′ são

as extremidades esquerda e direita, respectivamente, de Ws

loc(p, g)∩U olhando para a primeira

coordenada. Como antes, seja γ3 e γ4 dois discos transversais a W_locs (p, g) nos pontos z3 e

z4, respectivamente. Pelo λ−lema novamente podemos denir t1 como sendo o menor inteiro

positivo possível tal que C(gt1_(γ

i), gt1(zi)) ∩ C(g−T(γj), g−T(zj)) ∩ Γ 6= ∅, para j = 1, 2 e i = 3, 4.

Finalmente, denimos t = max{t0, t1+ T }. Notemos que t depende de N desde que t0 e

t1 dependem, mais ainda t vai para innito quando N vai.

Pelos comentários anteriores e escolha de t, temos que gt_(D

t) ∩ Dtpossui N componentes

conexas disjuntas, e ainda t é o menor possível tal que Dté A/2 − C1 próximo de W_locs (p, g)e

gt(Dt) é A/2 − C1 próximo de J ⊂ Wu(p, g). Portanto, desde que temos uma ferradura com

N pernas, o conjunto maximal invariante em Dt para gt

Λ(p, N ) = \

j∈Z

gtj(Dt)

é um conjunto hiperbólico com dinâmica conjugada ao shift de N símbolos. Logo, h(gt_|˜_{Λ(p, N )) = log N} _{e tomando}

Λ(p, N ) =

t−1

[

j=0

2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 27 g I G g (D ) J T-t t D~_tu D~s D_t 1 C(g (z ), g ( ))g1 g2 -j -j 1 Figura 2.1: temos que h(g|Λ(p, N)) = 1 t log N.

O lema seguinte é o ponto chave neste passo.

Lema 2.3.2. Para A e t denidos como acima, existe um inteiro positivo K1 independente

de A, tal que

A < K1min{kDg−tp |Euk, kDgpt|Esk}.

Demonstração. Primeiro, lembremos que V é uma vizinhança de p onde g é linear. Portanto, se m é o maior possível tal que gj_{(x) ∈ V} _{para 0 ≤ j ≤ m, então existem constantes K}

2 e K3

dependendo da coordenada simplética em V tal que

K2kDgpm|Euk−1 ≤ d(x, Wlocs (p, g)) ≤ K3kDgp−m|Euk. (2.4)

Analogamente, se m é o maior possível tal que g−j_{(x) ∈ V} _{para 0 ≤ j ≤ m, então existem}

constantes K4 e K5 tal que

K4kDgp−m|Esk−1 ≤ d(x, Wlocu (p, g)) ≤ K5kDgpm|Esk. (2.5)

Agora, pela escolha de t, ou existe z ∈ Dttal que

d(g(z), W_locs (p, g)) ≥ A/2, (2.6)

ou existe z ∈ gt_(D

t) tal que

d(g−1(z), J) ≥ A/2. (2.7)

Suponhamos o primeiro caso. Lembremos que para j > T o retângulo Dj está bem denido

28Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas desigualdade (2.4) temos que

2 ≤ K3kDg

−t+T +1 p |Euk.

Por outro lado, usando a desigualdade (2.5) e a vizinhança Γ, podemos fazer a mesma coisa para o segundo caso, obtendo

2 ≤ K5kDg

t−1−T p |Esk.

E então, como Dg é limitado e T é independente de A podemos encontrar K1 como armado.

¤ Fixemos agora um inteiro positivo grande n.

Tomando δ > 0 sucientemente pequeno, como A = 2Kaδ

πN , podemos tomar N grande e usar o Lema 2.3.2 tal que

1 t log N > min ½ 1 t log kDg −t p |Euk−1, 1 t log kDg t p|Esk−1 ¾ − 1 2n.

Observemos que quando t vai para innito o mínimo acima converge para o mínimo entre o menor expoente de lyapunov positivo, χ(p, g), e o maior expoente de Lyapunov negativo de p para g. No entanto, como estamos no mundo simplético estes dois expoentes coincidem, e assim, desde que t vai para innito quando N vai, podemos encontrar um inteiro positivo N1

tal que

t log N1> χ(p, g) − 1 n.

O que implica que é possível encontrar uma C1_{−perturbação g de f tal que}

h(g|Λ(p, N1)) > χ(p, g) −

1 n.

No caso geral, quando p não é xo para g1, i.e., τ(p, g1) > 1, a diferença para o caso

anterior é que q ∈ Ws

loc(p, g1) ∩ Wu(fj(p), g1), para algum 0 ≤ j < τ(p, g1). Então, como

feito anteriormente, podemos encontrar alguma perturbação g de g1 e t = τ(p, g)˜t+ j tal que

gt possua um conjunto hiperbólico ˜Λ(p, N) como antes. Mais ainda, vai existir uma relação entre a norma de Dgτ (p,g) _{e A como no Lema 2.3.2, só que neste caso com ˜t ao invés de t.}

Sendo assim, analogamente temos N1 tal que

h(g|Λ(p, N )) > χ(p, g) − 1

n, para N ≥ N1. (2.8)

Agora, desde que Λ(p, N) é conjugado com o produto entre uma órbita periódica e o shift de N símbolos, existe uma medida ergódica µ(N) ∈ M(Λ(p, N)) que maximiza a entropia topológica

h_{µ(N )}(g) > χ(p, g) − 1

n, para N ≥ N1. (2.9)

Como a argumentação no caso geral (τ(p, g) > 1) é sempre análoga ao feito anteriormente, vamos mostrar as outras propriedades que restam apenas para o caso onde p é um ponto xo hiperbólico. Continuando então, vamos encontrar um inteiro positivo N2 tal que se

2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 29 µ ∈ M(f |Λ(g, N2))é ergódica então ρ(µ, µp) < 1/n, como se pede no item (c) da proposição.

Para tal, dado ζ > 0 arbitrariamente pequeno é suciente encontrarmos N = N(ζ) tal que (a órbita de) todo ponto de Λ(p, N) visite muito frequentemente a bola de raio ζ e centro p.

Como p é um ponto xo hiperbólico temos que \

i∈Z

gi(V ) = {p}.

Sendo assim, dado ζ > 0 arbitrariamente pequeno existe um inteiro positivo n1 ≥ T, depen-

dendo de ζ, tal que para todo n2≥ n1

diam \

−n2≤i≤n2

gi(V ) < ζ.

Agora, se V = Tln1

i=0g−i(V )e z ∈ V , então para todo r ∈ [n1, (l − 1)n1) temos que

gr(z) ∈ \

|i|<n1

gi(V ) ⊂ Bζ(p).

Logo, a fração de tempo em [0, ln1) que a órbita de z ca em Bζ(p)é

l − 2 l .

Lembremos que t é o período do conjunto periódico Λ(p, N) para g, e assim denimos k = t − T. Dado N grande o suciente, seja l ∈ N tal que (l + 1)n1 ≥ k > ln1. Como para

todo z ∈ Λ(p, N) existe r ∈ [0, t) tal que gr_{(z) ∈ V}_{, a frequência da órbita de z passando em}

Bζ(p) é maior do que

(l − 2)n1

(l + 1)n1+ T

Como l → ∞ quando N → ∞, dado ζ1 > 0 existe N2 tal que a frequência da órbita de

todo ponto z ∈ Λ(p, N) passando em Bζ(p) é maior do que 1 − ζ1, e então escolhendo ζ1

menor se necessário temos que d(µ, µp) <

n, para toda medida ergódica µ ∈ M(Λ(p, N)), N ≥ N2. (2.10) Finalmente, vamos encontrar N3a m de que a propriedade (d) seja satisfeita para Λ(p, N),

N ≥ N3.

Denimos

V_ku = V ∩ g(V ) ∩ ... ∩ gk(V ), e V_ks= V ∩ g−1(V ) ∩ ... ∩ g−k(V ). Dados vetores v, w ∈ R2n _{e subespaços E, F ⊂ R}2n _denimos

ang(v, w) = ¯ ¯ ¯ ¯ tan · arccosµ < v, w > kvkkwk ¶¸¯ ¯ ¯ ¯ , ang(v, E) = min

30Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas Observação 2.3.3. Uma outra denição de ângulo entre dois subespaços na literatura é a seguinte: se Rn_{= E ⊕ F} _{é uma decomposição de R}n_{, seja L : E}⊥_{→ E} _{a aplicação linear tal}

que F = {w + Lw; w ∈ E⊥_{}, então alguns autores denem o ângulo entre E e F como sendo}

kLk−1_{. No entanto, existe uma equivalência entre esta denição e a apresentada aqui.}

Precisamos do seguinte lema.

Lema 2.3.4. Com as denições acima, existe constante K6 tal que se z ∈ V_ks, v ∈ R2n\Eps e

ang(Dg_pk(v), E_ps) ≥ 1, então

|Dgk(z)(v)| ≥ K6kDgp−kk−1|v| min{ang(v, Eps), 1}.

Demonstração. Usando a decomposição de R2n _{xada em V , temos que v = (v}s_{, v}u₎_{, v}s(u)_∈

Eps(u), para todo v ∈ R2n. Seja |v|′ = max{|vs|, |vu|}a norma do máximo.

Como Es p⊥ = Epu, e Dgk(z) = Dgpk se z ∈ Vks, temos que ang(v, E_ps) = |v u_| |vs_| e 1 ≤ ang(Dg k_{(z)(v), E}s p) = |Dgk p(vu)| |Dgk p(vs)| . (2.11) Então, |Dgk(z)(v)|′ = |Dg_pk(vu)| ≥ kDg−kp |Epuk−1|vu|, = kDg−k_p |E_puk−1|vs| ang(v, Es); o que implica |Dgk(z)(v)|′≥ kDg−k_p |Euk−1|v|′ min{ang(v, Es_p), 1}. (2.12) Portanto, pela equivalência entre as normas no espaço euclidiano, o resultado segue.

¤ Lembremos agora que

Λ(p, N ) =

t−1

[

i=0

gi(˜Λ(p, N ))

é um conjunto hiperbólico para g, onde gi_(˜_{Λ(p, N )) ⊂ V} _{para 0 ≤ i ≤ k = t − T . Mais ainda,}

por construção de ˜Λ(p, N)), sabemos que a decomposição hiperbólica TΛ(p,N )M = ˜Es⊕ ˜Eu é

tal que ˜Es(z)e ˜Eu(gk(z))são próximos de E_ps e E_pu, respectivamente, para todo z ∈ ˜Λ(p, N). Em particular, se z ∈ ˜Λ(p, N) então ang(Dgk_{(z)(v), E}s

p) > 1para todo v ∈ ˜Eu(z).

Sendo assim, podemos usar o Lema 2.3.4 para encontrarmos constante K6, tal que para

todo z ∈ ˜Λ(p, N) e v ∈ ˜Eu(z),

2.4 Exemplos de pontos de descontinuidade para entropia 31

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