Thiago Aparecido Catalan
Orientador: Prof. Dr. Ali Tahzibi
Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática. VERSÃO REVISADA.
USP – São Carlos Fevereiro de 2011
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Agradecimentos
O caminho para se conseguir algo na vida pode ser difícil, muito difícil, porém existem acontecimentos, momentos, e pessoas, com as quais co muito feliz em dividir este momento, que fazem com que este caminho seja muito, mais muito melhor do que o próprio objetivo.
Primeiramente agradeço a minha família, pois por mais dito que seja "família é tudo", eu mais uma vez digo FAMÍLIA É TUDO. Pai, Mãe e Ticé valeu mesmo, vocês são a base, a garantia e o porquê.
No entanto, numa jornada você não tem a sua família do seu lado o tempo todo, e é aí que o mundo conspira. Felizmente, acho que ele conspirou ao meu favor! Começando pelas pessoas com quem tive a honra e o prazer de morar, TranQra-Rio Preto (Morera e Jaca) e Morada do Escorpião-São Carlos (Claudinei, Mateus, Kenji, Guilherme, Baguitão, Maranhão e Yuri). Galera, foi muito massa mesmo! Agora acordem porque a churrasqueira está acesa e a vizinha está brava, bora Saint Patrick?! Ah, mas alguém tem que car são!
Desculpem-me as outras gerações, mas foi uma honra participar da melhor época do ICMC-USP, pessoas que trabalham pesado, porém se divertem de verdade também. Foram muitas boas discussões matemáticas, e muitos bons momentos. Hartmann, Jean, Bahiano, Pink (trairão), Pimenta, John, Jordão, Cati, Caverna, Thaisinha, Micena, Charanga, Kol-mogorov, valeu pessoal! Ah, alguém trouxe uma certidão aí? Estou precisando de três ur-gente!
A caminhada matemática também tem sido muito prazerosa, e isto se deve não só aos conhecimentos adquiridos mas também aos grandes amigos que z durante os vários eventos pelo mundo, os quais agradeço nas pessoas de Yuri Lima e Yuri Ki. E em particular, gostaria de agradecer ao Prof. Alexander Arbieto não só pelos conhecimentos passados, como também pela motivação e principalmente pela amizade.
Ao Prof. Ali Tahzibi, agradeço pela orientação, paciência, e principalmente pelos conse-lhos, não só matemáticos, que foram de suma importância nestes anos em São Carlos.
Aos funcionários do ICMC-USP, o meu muito obrigado.
Por m, mas não menos importante, agradeço a CAPES e a FAPESP pelo fomento.
Resumo
Provamos queC1−genericamente difeomorsmos simpléticos ou são
Anosov ou possuem entropia topológica limitada por baixo pelo supremo sobre o menor expoente de Lyapunov positivo dos pontos periódicos hiperbólicos. Usando isto exibimos exemplos de difeomorsmos conser-vativos sobre superfícies que não são pontos de semicontinuidade supe-rior para a entropia topológica. Provamos também queC1−genericamente
difeomorsmos simpléticos não Anosov não admitem extensões simbóli-cas.
Mudando de assunto, Hayashi estendeu um resultado de Mañé, pro-vando que todo difeomorsmof que possui umaC1−vizinhançaU, onde todos os pontos periódicos de qualquerg∈ U são hiperbólicos, é de fato um difeomorsmo Axioma A. Aqui, provamos o resultado análogo a este no caso conservativo, e a partir deste é possível exibir uma demonstração de um fato "folclore", a conjectura de Palis no caso conservativo.
Abstract
We prove that a C1−generic symplectic dieomorphism is either
Anosov or the topological entropy is bounded from below by the supre-mum over the smallest positive Lyapunov exponent of the periodic points. By means of that we give examples of area preserving dieomorphisms which are not point of upper semicontinuity of entropy function in C1−topology. We also prove that C1−generic symplectic
dieomor-phisms outside the Anosov ones do not admit symbolic extension. Changing of subject, Hayashi has extended a result of Mañé, proving that every dieomorphismf which has aC1-neighborhoodU, where all periodic points of anyg∈ U are hyperbolic, it is an Axiom A dieomor-phism. Here, we prove the analogous result in the volume preserving scenario, and using it we prove a "folklore" fact, the Palis conjecture in this context.
Índice
Agradecimentos iii
Resumo v
Abstract vii
Introdução 1
1 Lemas de perturbação no mundo simplético e conservativo 7
1.1 Lema de Franks . . . 7
1.2 Lemas de conexão . . . 10
1.3 Lemas de sombreamento . . . 11
2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbóli-cas 13 2.1 Entropia e expoentes de Lyapunov dos pontos periódicos . . . 13
2.1.1 Denindo o funcional s(.) . . . 13
2.1.2 Uma limitação superior para entropia de difeomorsmos genéricos den-tro dos Anosovs . . . 14
2.1.3 Uma limitação superior genérica para entropia e a demonstração do Teorema A . . . 16
2.2 Estimativa para a entropia de difeomorsmos simpléticos . . . 17
2.2.1 Demonstração do Teorema B . . . 18
2.2.2 Demonstração do Teorema D . . . 19
2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 . . . 23
2.4 Exemplos de pontos de descontinuidade para entropia . . . 31
3 Hiperbolicidade no mundo conservativo 33 3.1 Índice das órbitas periódicas para difeomorsmos emG1
m(M) . . . 33
3.2 Demonstração do Teorema E . . . 41 3.3 Conjectura de Palis no mundo conservativo . . . 47
A Proposição 2.1.3 49
A.1 Demonstração da Proposição 2.1.3 . . . 49 A.2 Demonstração da Proposição A.1.1 . . . 50
B Passo 1 da Proposição 2.2.1 55
Referências Bibliográcas 61
Tabela de Símbolos e Abreviações 65
Introdução
A entropia topológica é um invariante muito importante em Sistemas Dinâmicos. Infor-malmente, a entropia topológica calcula o "número de trajetórias diferentes" do sistema. Formalmente, se f é um homeomorsmo sobre uma variedade M denimos-a da seguinte maneira
h(f) = lim
ε→0lim supn→∞
1
nlogr(n, ε),
onde r(n, ε) é o máximo de órbitas ε-distintas com comprimento n. Duas órbitas com com-primentonsãoε-distintas se existe0≤j≤ntal que d(fj(x), fj(y))> ε.
Para difeomorsmos Axiom A, Bowen [15] provou que a entropia determina o crescimento assintótico exponencial do número de pontos periódicos e por um resultado de Katok para qualquer difeomorsmo C1+α (α > 0) sobre uma variedade de dimensão 2, a entropia é limitada superiormente por tal taxa de crescimento: h(f)≤lim supn→∞Pn(f)
n .
Nesta tese, encontramos estimativas inferiores para entropia topológica de difeomorsmos simpléticos C1−genéricos em termos dos expoentes de Lyapunov dos pontos periódicos do sistema (Veja Teoremas B, A).
Relacionamos tais estimativas para entropia com a (semi-continuidade) regularidade da função entropia com respeito a dinâmica do sistema (veja Teorema C) e construímos exemplos de difeomorsmos conservativos sobre superfícies que não são pontos de semi-continuidade da entropia topológica.
Também, usamos desta estimativa para provar a não existência de extensões simbólicas para difeomorsmos simpléticos C1−genéricos longe dos difeomorsmos de Anosov. ( Veja Teorema D).
2 Introdução
Em um notável trabalho [36], Mañé provou que todo difeomorsmo C1 estruturalmente
estável é um difeomorsmo Axioma A. Em [41], Palis estendeu este resultado para difeo-morsmos Ω-estáveis. No entanto, Mañé acreditava que uma propriedade mais fraca do que Ω-estabilidade seria suciente para garantir a propriedade Axiom A, mais precisamente a existência apenas de pontos periódicos hiperbólicos robustamente. Nesta tese, provamos ser verdade esta "caracterização" no mundo conservativo (veja Teorema E) e usando esta ca-racterização para os difeomorsmos hiperbólicos provamos a conjectura de Palis no mundo conservativo (veja Teorema F).
Convém observarmos agora que apesar de não haver uma demonstração escrita em nenhum lugar até o presente momento a respeito desta conjectura no caso conservativo, a mesma já era assumida como sendo um fato "folclore"por alguns pesquisadores, veja [20].
Os resultados da tese estão divididos em dois capítulos, sendo o primeiro deles "Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas" em colaboração com o orientador do projeto Prof. Dr. Ali Tahzibi [19], e o segundo "Hiperbolicidade no mundo conservativo" em colaboração com o Prof. Dr. Alexander Arbieto da UFRJ [3].
Estimativas inferiores para entropia topológica
Primeiramente, Newhouse em [37] conseguiu uma limitação inferior para entropia topoló-gica de difeomorsmos conservativos genéricos não Anosov sobre superfícies. Lembremos que um difeomorsmoC1 sobre uma variedade RiemannianaM é um difeomorsmo de Anosov se a variedadeM é um conjunto hiperbólico paraf, onde um conjunto compactof−invarianteΛ de M é um conjunto hiperbólico se existe uma decomposição contínua Df-invarianteTΛM =
Es⊕Eu tal que existem constantes 0< λ <1 eC >0, satisfazendo
kDfk|Es(x)k ≤Cλk e kDf−k|Eu(x)k ≤Cλk,
para todo x∈Λ e k >0. Denotamos o conjunto dos difeomorsmos de Anosov porA. SejaM uma superfície Riemanianna, compacta, conexa, munida de uma forma de volume m, e Diff1m(M) denotando o conjunto dos difeomorsmos C1 conservativos, i.e., o conjunto formado pelos difeomorsmos que preservam a forma de volume m, munido da topologiaC1
uniforme. Continuando, sabendo que um ponto periódico p de f é hiperbólico se Dfpτ(p,f)
possui autovalores com valores absolutos diferente de um, onde τ(p, f) é o período do ponto periódico hiperbólico p, denimos
s(f) = sup
½
1
τ(p, f)logλ(p, f)
¾
sobre todos os pontos periódicos hiperbólicosp def, ondeλ(p, f)é o valor absoluto do único autovalor de Dfpτ(p,f) com valor absoluto maior do que um. Sendo assim, o resultado de
Introdução 3
Teorema 1. (Newhouse) Existe um subconjunto residual B ⊂ Diff1m(M) tal que se f ∈ B é um difeomorsmo não Anosov, então
h(f)≥s(f).
Lembrando que um subconjunto residual é uma interseção enumerável de abertos e densos. No entanto, conseguimos mostrar também que genericamente a desigualdade contrária também é verdadeira, o que implica o primeiro resultado desta tese.
Teorema A. Existe um subconjunto residual B ⊂ Diff1m(M) (difeomorsmos conservativos sobre superfícies) tal que sef ∈ B é um difeomorsmo não Anosov, então
h(f) =s(f).
Observemos que como corolário deste teorema e a semi-continuidade de f → s(f) (veja seção 2.1.1) concluímos que "genericamente" a entropia topológica é semi-contínua na topolo-giaC1. No entanto, não se sabe se os pontos de semi-continuidade para entropia topológica
formam um subconjuntoC1−genérico.
É interessante mencionarmos que dentro dos difeomorsmos de Anosov para um subcon-juntoC1−aberto e denso temos que h(f) < s(f).Mais geral, a Proposição 2.1.1 nos dá uma limitação superior para entropia de difeomorsmos Anosov.
Em geral, podem existir difeomorsmos onde h(f) > s(f).De fato, existem exemplos de difeomorsmos minimais com entropia positiva. Em dimensão dois existem homeomorsmos minimais com entropia positiva [43]. Entretanto, estes exemplos não preservam volume (e podem não formar um subconjuntoC1−genérico).
Questão 1. Será que existem exemplos de difeomorsmosC1 conservativos ondeh(f)> s(f)? Nosso próximo resultado é uma generalização do Teorema de Newhouse para simpléticos em geral. Seja(M, ω)uma variedade simplética Riemanianna, compacta, conexa, e denotemos porDiff1ω(M) o espaço dos difeomorsmos simpléticosC1 sobre M munido da topologia C1
uniforme. Lembrando que um difeomorsmo f é simplético se ele preserva a 2-formaω, i.e., f∗ω =ω. Dado um ponto periódico hiperbólicopdef, denotemos porλ(p, f)o valor absoluto do menor autovalor deDfpτ(p,f) dentre os autovalores com valor absoluto maior do que um.
Denindo
s(f) := sup
½
1
τ(p, f)logλ(p, f)
¾
sobre todos os pontos periódicos hiperbólicosp def, nosso próximo resultado segue abaixo.
Teorema B. Existe um subconjunto residual no complementar dos difeomorsmos de Anosov B ⊂Diff1ω(M)− A tal que se f ∈ B, então
4 Introdução
Regularidade da Entropia
Um importante problema em teoria ergódica suave é a regularidade da entropia com respeito a dinâmica. Por um resultado de Newhouse sabemos que f →h(f) é semi contínua superior na topologia C∞ para toda variedade sem bordo, e usando um resultado de Katok temos que a função entropia é de fato contínua na topologia C∞ para difeomorsmos sobre superfície. Nesta linha, temos o seguinte resultado.
Teorema C. Existem exemplos de difeomorsmos conservativos C∞ sobre superfície, f
0 ∈
Diff∞m(M), tal quef →h(f) é sequer semi-contínua superior emf0, no espaço dos
difeomor-smos conservativos na topologia C1.
Extensões Simbólicas
Dinâmica Simbólica exerce um papel crucial em teoria ergódica. É um problema desaador saber se dinâmicas podem ser codicadas. Note que podemos obter limitações superiores para entropia por meio de dinâmica simbólica. Um sistema dinâmico (M, f) possui uma extensão simbólica se existe um subshift(Y, σ)e uma aplicação sobrejetivaπ:Y →M tal que π◦σ=f◦π. (Y, σ)é chamado uma extensão de(M, f)e(M, f)um fator de(Y, σ). Note que, se um sistema possui uma extensão simbólica ganhamos uma limitação superior para entropia topológica do sistema, embora tais estimativas possam ser "exageradas". Neste sentido, uma extensão é chamada extensão simbólica principal se a aplicação π é tal que hν(σ) = hπ∗ν(f)
para toda medidaσ−invarianteν∈ M(σ)sobreY, ondehν(σ)é a entropia métrica def com
respeito a ν.
Boyle, D. Fiebig, U. Fiebig [12] provaram que difeomorsmos assintoticamente h− ex-pansivos possuem uma extensão simbólica principal. Onde difeomorsmos assintoticamente h−expansivos são aqueles com dinâmica local não muito complicada, mais precisamente, dado um difeomorsmo f, se B∞(x, ε) ={y ∈M;d(fj(x), fj(y))< ε para todoj ∈N} então f é
assintoticamente h−expansivo se
lim
ε→0xsup∈Mh(f|B∞(x, ε)) = 0.
Agora, por um resultado de Buzzi [17] todo difeomorsmoC∞sobre uma variedade com-pacta é assintoticamente h−expansivo e consequentemente possuem uma extensão principal. Também, recentemente D. Burguet [16] mostrou que todo difeomorsmo C2 sobre superfí-cies possuem extensões simbólicas. Estes resultados dão uma resposta partial positiva para a conjectura de Downarowicz e Newhouse que acreditam que todo difeomorsmo Cr (r≥2) admitem extensões simbólicas.
Lembremos agora que difeomorsmos hiperbólicos possuem extensões simbólicas desde que eles possuem partições de Markov. Mais geralmente, Diaz, Fisher, Pacíco e Vieitez [22] provaram que todo difeomorsmo parcialmente hiperbólicoC1 com dimensão central
Introdução 5
e portanto possui uma extensão simbólica principal. Veja também [21]. Por outro lado, temos que os difeomorsmos com entropia topológica nula também sãoh−expansivos e logo possuem extensão principal. Sendo assim, tornam-se interessante estudos a respeito dos difeomorsmos C1 que não possuem extensões simbólicas. Neste sentido, Downarowicz e Newhouse usando o Teorema 1 provaram em [23] que longe de difeomorsmos de Anosov, difeomorsmos C1 genéricos que preservam área sobre superfícies não admitem extensões simbólicas. Nosso próximo resultado, é uma extensão deste para difeomorsmos simpléticos em geral.
Teorema D. Existe um subconjunto residual no complementar dos AnosovB ⊂Diff1ω(M)−A tal que se f ∈ B, então f não possui extensões simbólicas.
Usando este resultado podemos exibir uma demonstração fácil e curta da conjectura da estabilidade no mundo simplético.
Corolário 1. Um difeomorsmof ∈Diff1ω(M) é estruturalmente estável se, e somente se,f é Anosov.
Demonstração. Suponhamos que f ∈ Diff1ω(M) seja estruturalmente estável. Por Zehnder [50], temos que os difeomorsmosC∞são densos no mundo simplético, e como difeomorsmos C∞ possuem uma extensão simbólica principal, todos os difeomorsmos numa vizinhança de f possuem extensões principais. Portanto, de acordo com o Teorema D, isto só é possível se f é Anosov.
¤
Observação 1. A demonstração acima é baseada no Teorema D. No entanto, para provar-mos este teorema usaprovar-mos a abundância de tangências homoclínicas no complementar dos difeomorsmos de Anosov no mundo simplético, as quais já são obstruções para estabilidade. Porém, a priori a não existência de extensões simbólicas não possuem uma relação direta com tangências homoclínicas. Então, poderíamos concluir que "um mecanismo em topologiaC1" que nos dê a não existência de extensões simbólicas implicaria a não estabilidade.
Por outro lado, recentemente fomos informados de que G.Liao, J.Yang e M. Viana [34] provaram que difeomorsmosC1 longe de tangências homoclínicas possuem extensões simbóli-cas.
Hiperbolicidade no mundo conservativo
Seja agoraM uma variedade Riemanianna, compacta, conexa, sem bordo, com dimensão d e denotemos por Diff1m(M) o conjunto dos difeomorsmos que preservam a medida de Lebesgue m induzida pela métrica Riemanniana. Como antes, olhamos este espaço com a topologiaC1.
No espaço dos difeomorsmosC1 sobreM,Diff1(M), podemos denir o conjuntoF1(M) como sendo o conjunto dos difeomorsmos f ∈ Diff1(M) que possuem uma C1-vizinhança
6 Introdução
Hayashi provou que todo difeomorsmo emF1(M)é Axiom A. Lembremos que em dimensão
dois, isto foi provado por Mañé [35], e no caso de uxos sem singularidades por Gan e Wen em [25].
Observemos que no caso conservativo, a condição Axiom A é equivalente ao difeomorsmo ser Anosov, desde que todo ponto da variedade M é um ponto não errante pelo Teorema de Recorrência de Poincaré. Sendo assim, uma questão natural é se os resultados de Hayashi e Mañé ainda são verdadeiros no cenário conservativo. Na verdade, parece que os argumentos de Mañé valem neste caso, especialmente as perturbações usadas. Mais ainda, usando resultados genéricos recentes no mundo conservativo, muitos dos argumentos da prova original podem ser evitados. O próximo resultado da tese é neste sentido. Observemos que Bessa e Rocha também possuem resultados análogos em [8] e junto com Ferreira em [7], num contexto de uxos incompressíveis e Hamiltonianos, embora sejam em dimensões baixas (três e quatro, respectivamente).
Denimos o conjunto G1
m(M) como sendo o conjunto dos difeomorsmos f ∈ Diff1m(M)
que possuem umaC1-vizinhançaU ⊂Diff1m(M)tal que seg∈ U, então todo ponto periódico de g é hiperbólico. Sendo assim, nosso principal resultado nesta direção é o seguinte.
Teorema E. Todo difeomorsmo em G1
m(M) é Anosov.
Se a variedade é simplética, como feito anteriormente, podemos denir o conjuntoG1
ω(M)
usando apenas difeomorsmos simpléticos. Agora, desde que as vizinhanças dos difeomors-mos são tomadas respectivamente nos espaços Diff1m(M), Diffω1(M), ou Diff1(M) não pos-suímos uma relação entre G1
m(M), Gω1(M) e G1(M) direto da denição. No entanto, desde
que Newhouse em [38] provou que todo elemento de G1
ω(M)é Anosov, usando o resultado de
Hayashi e o Teorema E temos o seguinte. Corolário 2. G1
ω(M)⊂ Gm1(M)⊂ F1(M).
Agora, como os argumentos para provar o Teorema E envolvem ciclos heterodimensionais, é natural tentarmos relacioná-lo com a conjectura de Palis [40]. Mais precisamente, o próximo resultado é uma prova desta conjectura no mundo conservativo.
Teorema F. Se f ∈Diff1m(M) não é um difeomorsmo de Anosov então ele pode ser apro-ximado por um difeomorsmo ou exibindo um ciclo heterodimensional se a dimensão de M é maior do que dois, ou exibindo uma tangência homoclínica se a dimensão de M é dois.
Capítulo
1
Lemas de perturbação no mundo
simplético e conservativo
1.1 Lema de Franks
Um dos principais lemas de perturbação na topologiaC1é o Lema de Franks [24]. Este nos permite fazer perturbações não lineares ao longo de pedaços nitos de órbita, simplesmente usando argumentos de Álgebra Linear. Entretanto, no caso simplético e conservativo, são necessários argumentos mais especícos desde que a perturbação deve também preservar a estrutura inicial. No caso conservativo a ferramenta chave é o pasting Lema de Arbieto-Matheus [4] e no caso simplético a teoria de funções geradoras faz este trabalho. Como antes, M é uma variedade Riemanniana compacta, conexa e sem bordo.
Lema 1.1.1 (Lema de Franks). Seja f ∈Diff1ω(M) ¡
Diff1m(M)¢
e U uma C1 vizinhança de
f em Diff1ω(M) (Diff1m(M)). Então, existe uma vizinhança U0 ⊂ U de f e δ > 0 tal que
se g ∈ U0(f), S = {x1, . . . , xm} ⊂ M um pedaço nito de órbita qualquer e {Li :TxiM →
Txi+1M} m
i=1 são aplicações lineares simpléticas (conservativas) satisfazendokLi−Dg(xi)k ≤δ
parai= 1, . . . m, então existeh∈ U(f) satisfazendoh(xi) =g(xi) e Dh(xi) =Li.
Observação 1.1.2. Como pode ser visto na demonstração do Lema 1.1.1, seU é uma vizin-hança qualquer deS entãohpode ser tomado tal que h(x) =g(x) para todox∈S∪(M−U).
Demonstração no caso simplético:
8 Capítulo 1 Lemas de perturbação no mundo simplético e conservativo
Antes de mais nada, vamos denir as funções geradoras que são cruciais para realizarmos perturbações simpléticas locais. Seja (u, v) = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn) um sistema de
coor-denadas em R2n, e ω = Pn
i=1dui ∧dvi a 2-forma estandarte em R2n. Seja f(u, v) = (ξ(u, v), η(u, v))um difeomorsmo simpléticoC1 denido sobre uma vizinhança simplesmente conexa V da origem. Então,Pn
i=1dui∧dvi =Pni=1dξi∧dηi.
Suponhamos f(0,0) = (ξ0, η0), e também assumamos que ∂η(u, v)
∂v seja não-singular em todo ponto deV. Desta forma, podemos olhar paravcomo sendo uma funçãoC1nas variáveis
u e η, i.e., v=v(x, η).
Então,(u1, . . . , un, η1, . . . , ηn) dene novas coordenadasC1 numa vizinhança pequena de (0, η0). Usando que f é simplética, podemos ver que a 1-forma α = Pn
i=1vi(u, η)dui +
ξ(u, η)dηi denida numa vizinhança de (0, η0) é fechada, i.e., dα = 0. Logo, existe uma
função realS =S(u, η), única a menos de uma constante, denida numa vizinhança de(0, η0) tal quedS=α. S é chamada de função geradora def e satisfaz o seguinte: ∂η∂S
i =ξi,
∂S ∂ui =vi
e ∂2S
∂ηi∂ui é não-singular para todo ponto (u, η) próximo de(0, η
0) no domínio deS.
Reciprocamente, se S(u, η) é uma função real C2 denida numa vizinhança de (0, η0)
tal que ∂2S
∂ηi∂ui é não-singular para todo ponto no domínio, então denotando
ξi(u, η) = ∂η∂Si
e vi(u, η) = ∂u∂Si podemos encontrar η = η(u, v) como uma função C1 de u e v, tal que
f(u, v) = (ξ(u, η(u, v)), η(u, v)) seja um difeomorsmo simplético C1 denido numa
vizin-hança da origem. O mais interessante e útil a respeito de funções geradoras é que difeomor-smos simpléticos são C1 próximos se, e somente se, suas geradoras sãoC2 próximas.
Provemos agora o lema de Franks. A ideia central na prova deste consiste em fazer boas perturbações da identidade.
Armação 1: Seja L : R2n → R2n uma transformação linear simplética δ0 C1−próxima
da Id. Então, existe uma aplicação R na bola B(0, r) com centro na origem e raio r arbi-trariamente pequeno, K0δ0−C1 próximo daId, tal que R=Idnuma vizinhança da fronteira
da bola B(0, r), R(0) = 0, e DR(0) =L.
Primeiro vamos construir tal perturbação parar= 1. Sem perda de generalidade podemos escolher δ0 tal que
∂L(u, v)
∂v seja não-singular. Denotemos porSL(u, η) eSId(u, η)as funções geradoras deL e Id, respectivamente.
Seja β uma função real bump C∞, que vale zero para|t|>2/3 e vale um para|t|<1/2.
Denotando por K1 = sup{|β′|,|β′′|} e usando o fato das funções geradoras SL e SId serem
δ0−C2 próximas, temos que
S(x, η) =β(|(x, η)|)SL(x, η) + (1−β(|(x, η)|))SId(x, η)
é K1K2δ0−C2 próximo da identidade, onde K2 é uma constante dependendo da dimensão
1.1 Lema de Franks 9
Então, o difeomorsmo simpléticoR˜ na bolaB(0,1)gerado porS éK1K2δ0−C1 próximo
da Id. Mais ainda, R˜ = Id numa vizinhança da fronteira da bola B(0,1), R˜(0) = 0 e
DR˜(0) =L.
No caso geral, dado r > 0 arbitrariamente pequeno, seja φr : B(0, r) → B(0,1) uma
homotetia, φr(p) = 1rp. Sendo assim, R = φ−r1◦R˜◦φr é um difeomorsmo simplético em
B(0, r),K1K2δ0−C1próximo daId,R(0) = 0, e aindaR=Idnuma vizinhança da fronteira
da bolaB(0, r). Tomando assimK0 =K1K2 temos a armação.
Observação 1.1.3. Usando o método de perturbação por funções geradoras como feito logo acima podemos, localmente, colar difeomorsmos simpléticosC1 próximos através de
pertur-bações. Na verdade isto é nada mais, nada menos, que o pasting lema no caso simplético. Veja [4].
Continuando, seja ε > 0 tal que todo g 2ε−C1 próximo de f esteja em U. Desta forma, escolhemosU0 ⊂ U como sendo aε−vizinhança de f emDiffω1(M). Seja(ψi, Ui) uma
cobertura aberta de M por coordenadas simpléticas. Lembre-se que coordenadas simpléticas , também conhecidas por coordenadas de Darboux, são tais queψ∗ω é a 2-forma estandarte emR2n.
Consideremos agorar0 >0 como sendo o número de Lebesgue para a cobertura tomada
acima, e seja 0< r < r0 tal que as bolas de centro xj e raio r,B(xj, r), sejam duas a duas
disjuntas. Sendo assim, usando as coordenadas simpléticas acima, podemos assumir tais bolas no espaço euclidiano.
Dado g ∈ U0, consideremos a seguinte aplicação linear L˜j = Dg−1(g(xj)) Lj que em
coordenadas simpléticas, por hipótese, éC1 tão próxima da identidade quanto Lj é próxima
deDg(xj). Digamos que elas sejam εpróximas.
Sendo assim, usando a Armação 1 para L˜j, podemos encontrar Rj K0ε−C1 próximo
da identidade tal que Rj =Id numa vizinhança da fronteira da bola B(xj, r), Rj(xj) = xj
e DRj(xj) = ˜Lj. Sendo assim, consideremos hj o difeomorsmo simplético sobre M tal que
hj = Rj em B(xj, r) e igual a identidade no complementar desta. Agora, por escolha de r,
temos que ˜h = h1 ◦. . .◦hm é um difeomorsmo simplético em M, K0ε−C1 próximo da
identidade. Mais ainda,h˜ =id no complementar da união das bolasB(xj, r), ˜h(xj) = xj, e
D˜h(xj) = ˜Lj. E assim, tomandoh=g◦˜h e δ= Kε0, temos o lema.
¤
Demonstração no caso conservativo
A demonstração deste caso está contida em [32], e é basicamente uma aplicação do Pasting Lema de Arbieto-Matheus [4].
Teorema 1.1.4 (Pasting lema). Sef é um difeomorsmoC2 conservativo sobreM, ex∈M, então para todo ε > 0 existe um difeomorsmo conservativo g ε−C1 próximo de f tal que para alguma vizinhança pequena U ⊃ V de x, g|Uc = f e g|V = Df(x) (em coordenadas
10 Capítulo 1 Lemas de perturbação no mundo simplético e conservativo
Agora, como consequência deste resultado temos o seguinte lema.
Lema 1.1.5. Para todon∈Neε >0existe uma vizinhançaG da identidade emSL(n,R), o subgrupo linear special, tal que para todoA∈ G existeh∈Diff1m(Rn) satisfazendo as seguintes propriedades:
1. h coincide com a identidade no complementar da bola unitária na origem;
2. h(0) = 0e Dh(0) =A;
3. kDh−Idk< ε.
Desta forma o a prova do lema de Franks no caso conservativo pode ser deduzida facilmente compondog com estes tipos de perturbações, como feito no caso simplético.
¤
1.2 Lemas de conexão
Assim como o lema de Franks, outras perturbações locais são muito usadas no decorrer desta tese. Como exemplo destas temos as conexões de pontos próximos. O próximo resultado é neste sentido.
Lema 1.2.1. Dado um difeomorsmo f ∈Diff1ω(M)(Diffm1 (M)), existem constantes ε0 >0 e
c >0, dependendo apenas de f, tal que para todox∈M, e qualquerg∈Diff1ω(M)(Diff1m(M))
ε0−C1 próximo def, dados quaisquer números positivosδ, ε∈(0, ε0)temos que se d(y, x)<
cδε, então existeh∈Diff1ω(M)(Diff1m(M))ε−C1 próximo def tal queh(g−1(x)) =ye h=g no complementar de g−1(B
δ(x)).
A demonstração deste lema no caso simplético é similar a do lema de Franks usando funções geradoras. Para o caso conservativo, usa-se o caso simplético em subespaços menores (lembre-se que funções simpléticas são conservativas) para se construir boas perturbações da identidade. Para maiores detalhes veja [47].
Nesta busca por perturbações de conexão, uma questão muito interessante colocada por Mañé é quando podemos conectar as variedades estável e instável por perturbações. É claro que neste caso as complicações são enormes desde que é preciso tomar-se um cuidado para garantir que os pontos ainda pertençam a estas variedades. Uma resposta positiva para tal foi dada por Hayashi [28]. No entanto, antes de enunciá-lo se f é um difeomorsmoC1 sobre M e p é um ponto periódico hiperbólico para f, denimos a variedade estável (instável) do pontop como sendo
Ws(u)(p, f) ={x∈M;d(fn(p), fn(x))→0quando n→+∞(−∞)}. Teorema 1.2.2 (C1-Connecting Lema). Seja f ∈Diff1(M) e p
1, p2 pontos periódicos
1.3 Lemas de sombreamento 11
• yn→y ∈Wlocu (p1, f)), y6=p1; e
• fkn(y
n)→x∈Wlocs (p2, f)),x6=p2.
Então, existe um difeomorsmo g arbitrariamente C1−próximo de f tal que Wu(p1, g) e
Ws(p
2, g) possuem uma interseção arbitrariamente próxima de y.
Apesar de termos enunciado o resultado na sua versão original (dissipativa) o mesmo foi provado ser verdade tanto no caso conservativo quanto simplético por Wen e Xia, veja [48].
1.3 Lemas de sombreamento
Como podemos ver na introdução desta tese, os pontos periódicos são de importância clara em sistemas dinâmicos. Neste sentido, temos o closing Lema de Pugh que nos permite aproximar pontos não errantes por pontos periódicos. Antes de enunciá-lo, lembremos que um pontox∈M é um ponto não errante para f se para qualquer vizinhançaU de x, existe um inteiro positivok tal que fk(U)∩U 6=∅, e denotemos por Ω(f) o conjunto dos pontos não errantes paraf.
Teorema 1.3.1 (Closing Lema). Sejaf um difeomorsmo C1, z ∈Ω(f), e ε >0 arbitrari-amente pequeno. Então, existe k ∈ N tal que para toda C1 vizinhança U de f existe um
difeomorsmo g ∈ U tal que z ∈ P er(g) e ainda f = g no complementar de
k
[
−k
Bε(fi(z)),
onde Bε(x) é a bola de centro x e raioε.
No entanto, tal resultado não garante uma "proximidade" entre a órbita do ponto não errante e a do ponto periódico. Para tal temos o Ergodic closing Lema de Mañé. Mais precisamente, sejaΣ(f)o conjunto dos pontosx emM tal que para toda vizinhançaU de f emDiff1(M) e todo ε >0 existe um difeomorsmo g ∈ U e um ponto periódico p∈P er(g) tal qued(fj(x), gj(p))< ε,0≤j≤τ(p, g), ondeτ(p, g) é o período dep parag.
Teorema 1.3.2 (Ergodic closing Lema). Σ(f) é um conjunto de probabilidade total. Isto é,
µ(Σ(f)) = 1para toda medida µ invariante por f.
Capítulo
2
Estimativas para entropia
topológica e não existência de
extensões simbólicas
2.1 Entropia e expoentes de Lyapunov dos pontos periódicos
Nesta seção primeiro lembramos algumas denições e resultados, além de mostrarmos a existência de uma limitação superior para entropia topológica por expoentes de lyapunov para um subconjuntoC1−aberto e denso no conjunto dos difeomorsmos conservativos de Anosov.
Depois, usando um resultado de Abdenur, Bonatti e Crovisier [1] provamos a existência de uma limitação superior para entropia num subconjuntoC1−genérico deDiff1
m(M)(dimensão
qualquer) e o usamos para provar o Teorema A.
2.1.1 Denindo o funcional s(.)
Dados f ∈ Diff1ω(M) e um ponto periódico hiperbólico p de f, denotamos por χ(p, f) o menor expoente de Lyapunov positivo do ponto periódico hiperbólico p, i.e., χ(p, f) = 1/τ(p, f) logλ(p, f), onde λ(p, f) = (σ(Df−τ(p,f)|Eu
p))−1, sendo σ o raio espectral da
apli-cação e τ(p, f) o período do ponto periódico hiperbólico p. Na verdade, denindo a medida
14Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
periódica parap por
µp= 1
τ(p, f)
τ(p,f)−1
X
i=0
δfi(p),
ondeδfi(p)é a medida de Dirac parafi(p), temos queχ(p, f)é o menor expoente de Lyapunov
positivo para a medida ergódica µp.
Agora, dado n ∈ N consideremos sn(f) = max{χ(p, f); p∈Hn(f)}, onde Hn(f) é o
conjunto dos pontos periódicos hiperbólicos de período menor ou igual a n. Como Hn(f) ⊂
Hn+1(f), temos que sn(f) ≤ sn+1(f), e então ca bem denido s(f) = limn→∞sn(f). Da
continuidade dos pontos periódicos hiperbólicos temos que o funcional sn é contínuo para
todo n∈N, o que implica ques(f) é semi-contínua inferior.
2.1.2 Uma limitação superior para entropia de difeomorsmos genéricos den-tro dos Anosovs
O que mostramos nesta subseção é o seguinte.
Proposição 2.1.1. Existe um subconjunto F C1−aberto e denso dentro dos difeomorsmos de Anosov conservativos tal que para todo f ∈ F com dim(Eu) =u temos
h(f)< sup p∈P er(f)
u
X
i=1
χ+i (p, f)
onde a soma é sobre todos os expoentes de Lyapunov positivos de p para f.
Antes de demonstrarmos a proposição acima, convém observarmos que durante o texto quando dissermos quef pode ser perturbada a m de se obter alguma informação, quer dizer que em toda vizinhança de f existe um difeomorsmo com esta propriedade. E normalmente, pensando em não complicar a notação, muitas vezes continuamos a denotar o difeomorsmo (perturbado) por f.
Demonstração. Seja f um difeomorsmo de Anosov conservativo qualquer. Depois de uma C1−perturbação, se necessário, podemos assumir que f é um difeomorsmo de Anosov C2. Isto é devido ao resultado de regularização de Avila [6].
Agora, sabemos que para difeomorsmos de Anosov conservativos a medida de Lebesgue m é o único estado de equilíbrio para o potencial φu(x) = −logJuf(x), x ∈ M, onde Juf(x) :=|detDf|Eu(x)|.Para maiores detalhes veja [13]. Lembremos também que a medida que maximiza entropia é exatamente o estado de equilíbrio para o potencial identicamente nulo.
Sendo assim, usando o resultado de Bowen temos queµ, a medida que maximiza entropia para f, coincide com a medida de Lebesgue se, e somente se, o potencial φu é cohmólogo a uma função constante. Então, perturbando f na topologia C1, podemos assumir que µ seja
2.1 Entropia e expoentes de Lyapunov dos pontos periódicos 15
Lembremos também que por Bowen, veja [14], a medida que maximiza entropia no caso Anosov é obtida como limite de distribuições periódicas. Isto é,
µn:=
X
p∈P ern(f)
δp
#P ern(f)
→µ,
ondeP ern(f) é o conjunto dos pontos periódicos de períodon.
Sendo assim, por continuidade e denição deφu(.) temos que
Z
−φu(x)dµ(x) = lim
n→∞
Z
−φu(x)dµn(x)
e
Z
−φudµn≤ sup p∈P ern(f)
u
X
i=1
χ+i (p, f). Logo,
Z
−φudµ≤ sup p∈P er(f)
u
X
i=1
χ+i (p, f). (2.1)
Comof é um difeomorsmo Anosov C2, a pressão de φu(.) é zero. Sendo assim, usando o princípio variational temos
0 =Pf(φu) =hm(f) +
Z
φu dm
> hµ(f) +
Z
φudµ
=h(f) +
Z
φu dµ.
E portanto, por(2.1)
h(f)<
Z
−φu dµ≤ sup p∈P er(f)
u
X
i=1
χ+i (p, f).
Por m, armamos que qualquer perturbação de f também satisfaz uma desigualdade similar. De fato, como neste caso a entropia topológica é localmente constante (pela esta-bilidade estrutural dos difeomorsmos de Anosov) e f 7→ supp∈P er(f)Pu
i=1χ+i (p, f) é uma
função semicontínua inferior, concluímos que para todog C1−próximo def temos que
h(g)< sup p∈P er(g)
u
X
i=1
16Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
2.1.3 Uma limitação superior genérica para entropia e a demonstração do Teorema A
Se f é um difeomorsmo C1 sobre M e µ é uma medida ergódica paraf, dizemos queµ
é uma medida hiperbólica se os expoentes de Lyapunov de µsão todos não nulos.
Suponhamos agora f um difeomorsmo C1+α, α > 0, e µ uma medida ergódica hiper-bólica. Neste contexto, Katok provou que existe uma sequência de pontos periódicos pn tal
que as medidas Dirac sobre as órbitas depnconvergem a µe ainda os expoentes de Lyapunov
depnconvergem aos expoentes de Lyapunov deµ, [31]. Agora, lembremos que sehµ(f)é a
en-tropia métrica def com respeito aµ, pelo princípio variational temos queh(f) = supµhµ(f),
onde o supremo é tomado sobre as medidas ergódicas, e pela desigualdade de Ruelle temos que hµ(f) ≤Pχ+i (µ, f), onde a soma é sobre todos os expoentes de Lyapunov positivos de
µ. E assim, se o supremo no princípio variational fosse atingido por medidas hiperbólicas, então concluiríamos que
h(f)≤ sup p∈P er(f)
X
χ+i (p, f).
O resultado seguinte nos diz que isto é, de fato, o que acontece no caso conservativo C1−genérico.
Teorema 2.1.2. Existe um subconjunto residual R ⊂Diff1m(M) (M com dimensão qualquer d) tal que para todo f ∈ R
h(f)≤ sup p∈P er(f)
np
X
i=1
χ+i (p, f)
onde a soma é sobre todos os expoentes de Lyapunov positivos do ponto periódico p para f, contando multiplicidade.
O Teorema A será uma consequência dos Teoremas 1 e 2.1.2. Vejamos assim, sua demons-tração.
Demonstração do Teorema A:
Tomemos Rcomo sendo o subconjunto residual resultado da interseção entre os subcon-juntos residuais dados pelos Teoremas 1 e 2.1.2. Se o supremo no Teorema 2.1.2 fosse tomado sobre os pontos periódicos hiperbólicos então este sup em dimensão dois seria exatamente a funçãos(f), e portanto o Teorema A estaria provado. A m de superarmos isto, dividimos a prova em dois casos.
Dado um difeomorsmo f ∈ R, se h(f) = 0, então pelo Teorema 1 temos a igualdade buscada,h(f) =s(f), desde que s(f)≥0. Por outro lado, como em dimensão dois, para um ponto periódico de um difeomorsmo conservativo ser hiperbólico é suciente que ele possua um expoente de lyapunov positivo, se h(f)>0 temos que o supremo no Teorema 2.1.2 é de fato sobre os pontos periódicos hiperbólicos. Portanto temos a igualdade entreh(f)es(f), o que concluí a demonstração.
2.2 Estimativa para a entropia de difeomorsmos simpléticos 17
Para demonstrarmos o Teorema 2.1.2, vamos precisar do resultado seguinte de Abde-nur, Bonatti e Crovisier em [1]. Antes de enunciá-lo, se µ é uma medida ergódica para um difemorsmo f sobre Md denimos o vetor de Lyapunov L(µ) de µ, como sendo o
ve-tor(χ1(µ, f), . . . , χd(µ, f))emRd, sendoχi(µ, f) os expoentes de Lyapunov de µ em ordem
crescente.
Proposição 2.1.3. Existe um subconjunto residual R ⊂ Diff1m(M) tal que se f ∈ R e µ é uma medida ergódica para f, então existem medidas periódicas µp ∈ M(f) convergindo para
µ na topologia fraca∗, e mais ainda os vetores formados pelos expoentes de Lyapunov de µ
p,
L(µp)∈Rd, também convergem ao vetor de LyapunovL(µ)∈Rd.
Na verdade, eles provam este resultado no caso dissipativo, Teorema 3.8 em [1], no en-tanto os argumentos perturbativos usados lá também são válidos no caso conservativo. Veja Apêndice A para maiores detalhes.
Demonstração do Teorema 2.1.2: Seja f ∈ R, ondeR é o subconjunto residual dado na Proposição 2.1.3. Para qualquerε >0, pelo princípio variational existe uma medida ergódica
µ∈ M(f) tal que
h(f)< hµ(f) +ε.
Pela desigualdade de Ruelle hµ(f) ≤ Pχ+i (µ, f), onde a soma é sobre todos os expoentes
de Lyapunov positivos deµ. Agora, usando a Proposição 2.1.3 podemos encontrar um ponto periódicop def tal queP
χ+i (µ, f)<P
χ+i (p, f) +ε. E então, temos que h(f)< sup
p∈P er(f)
X
χ+i (p, f) + 2ε. Portanto, comoεé arbitrariamente pequeno provamos o teorema.
¤
2.2 Estimativa para a entropia de difeomorsmos simpléticos
Sef é um difeomorsmoC1 sobre uma variedadeM, epé um ponto periódico hiperbólico de f, denotamos por H(p, f) o conjunto dos pontos homoclínicos transversais de p, onde q6∈o(p)é um ponto homoclínico transversal se ele é um ponto de interseção transversal entre
Ws(o(p), f) e Wu(o(p), f). Se temos uma interseção não transversal entre estas variedades dizemos queq é um ponto de tangência homoclínica . Lembremos que
Ws(u)(o(p), f) =
τ(p,f)−1
[
i=0
Ws(u)(fi(p), f).
18Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
homoclínicos transversais de p são densos nas variedades estável e instável da órbita de p, i.e., Ws(o(p), f)∪Wu(o(p), f) ⊂H(p, f). Vamos agora enunciar a proposição central deste capítulo e a partir dela provar os Teoremas B e D. A demonstração da proposição se encontra na próxima seção.
Lembremos queχ(p, f) = 1/τ(p, f) logλ(p, f),é o menor expoente de Lyapunov positivo do ponto periódico hiperbólico pde f.
Proposição 2.2.1. (Proposição técnica principal) Seja p um ponto periódico hiperbólico de algum difeomorsmo não Anosov f ∈ H. Dado n > 0 e uma vizinhança qualquer N ⊂ Diff1ω(M) de f, existe um subconjunto aberto U ⊂ N tal que se g ∈ U, então g possui um conjunto hiperbólico básico Λ(p(g), n) ⊂ H(p(g), g), onde p(g) é a continuação do ponto periódico hiperbólico p de f para g, tal que as propriedades a seguir são verdadeiras
a) h(g|Λ(p(g), n))> χ(p(g), g)− 1
n.
b) Existe uma medida ergódica µ∈ M(Λ(p(g), n)) tal que
hµ(g)> χ(p(g), g)− 1
n.
c) Para toda medida ergódica µ∈ M(Λ(p(g), n)), temos que
ρ(µ, µp(g))<
1
n.
onde ρ é a métrica padrão que gera a topologia fraca∗.
d) Para todo ponto periódico q∈Λ(p(g), n), temos que
χ(q, g)> χ(p(g), g)− 1 n.
Observação 2.2.2. Convém observarmos agora que para conseguirmos as perturbações acima passamos pela criação de intervalos de tangência homoclínica, o que a priori conseguimos fazer apenas na topologia C1 (veja o Passo 2 da demonstração da Proposição 2.2.1). No entanto, no caso bidimensional através de resultados de Kaloshin [30] e Gonchenko-Shilnikov-Turaev [26] é possível conseguir intervalos de tangência, a partir de tangências homoclínicas, para perturbações também em topologias altas, e usando isto Downarowicz e Newhouse [23] conseguiram também obter resultados de estimativas para entropia dentre outros para difeo-morsmos genéricos sobre superfícies munidos da topologia Cr, r≥2.
2.2.1 Demonstração do Teorema B
2.2 Estimativa para a entropia de difeomorsmos simpléticos 19
Para inteiros positivos n e m, seja Bn,m o conjunto dos difeomorsmos f em D tal que
existamp∈Hn(f) e um conjunto hiperbólico básico Λ⊂H(p, f),satisfazendo
h(f|Λ)> sn(f)− 1
m.
O Teorema B segue imediatamente da armação abaixo.
Armação: Bn,m é um subconjunto aberto e denso deD, para quaisquer inteiros positivos
ne m.
Para provarmos a armação, é suciente encontrar abertos de Bm,n próximo dos
difeo-morsmos f ∈ D ∩ H, desde que estamos num espaço de Baire, e por Newhouse [38] todo difeomorsmo não Anosov pode ser aproximado por um difeomorsmo possuindo um ponto periódico 1−elíptico o qual é robusto no mundo simplético. Sendo assim, xemos um difeo-morsmof qualquer nesta interseção, e sejamn, m∈Nquaisquer.
Por denição desn, existe p0 ∈Hn(f) tal que
sn(f) =χ(p0, f).
Usando agora a Proposição 2.2.1, podemos encontrar f1 C1−próxima de f tal que f1
possua um conjunto hiperbólico básicoΛ⊂H(p0(f1), f1), tal que
h(f1|Λ)> χ(p0(f1), f1)−
1
3m. (2.2)
Finalmente, usando a robustez de Λ e p0, a invariância da entropia topológica e que sn é
contínua, temos que vale a seguinte desigualdade para difeomorsmosg C1−próximos de f1:
h(g)≥h(g|Λ(g))
=h(f1|Λ)
> χ(p0(f1), f1)−
1
3m
≥χ(p0, f)−
2
3m
=sn(f)− 2
3m
> sn(g)− 1
m,
o que prova a armação e portanto o Teorema B.
¤
2.2.2 Demonstração do Teorema D
20Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
superior para entropia, esta pode passar informações exageradas com respeito a real dinâmica do sistema.
Em vista disto, denimos
hsex(f) =
(
inf{h(σ|Y) : (Y, σ, π)∈S(f)} seS(f)6=∅
∞ seS(f) =∅
onde S(f) é o conjunto de todas as possíveis extensões simbólicas(Y, σ, π) de (M, f). Dize-mos que S(f) = ∅ se não existem extensões simbólicas de (M, f). Convém observar que as extensões simbólicas principais minimizam estas funções.
Denimos assim a entropia residual de um sistema da seguinte forma:
hres(f) =hsex(f)−h(f).
A partir disto, precisamos mostrar quehsex(f) =∞para todo difeomorsmofnão Anosov
num subconjunto residualB ⊂Diff1ω(M) para provarmos o Teorema D.
Sef :M →M é um homeomorsmo sobre um espaço métrico compactoM, uma sequência crescente α1 ≤α2 ≤. . . de partições deM é chamada essencial paraf se
1. diam(αk)→0quando k→ ∞, e
2. µ(∂αk) = 0 para todo µ∈ M(f). Onde ∂αk denota a união das fronteiras de todos os
elementos da partição αk.
Uma sequência de partições simpliciais é uma sequência encaixada S = {α1, α2, . . .} de
partições cujos diâmetros tendem a zero, e cadaαké dada por uma triangularização suave de
M. Pela Proposição 4.1 em [23] existe um subconjunto residual RS ⊂ Diff1ω(M) tal que se
f ∈ RS então S é uma sequência essencial de partições de M paraf.
Sendo assim, para todok xo, a função
hk(µ) =hµ(αk),
é o ínmo de funções contínuas sobreM(f), e logo é semicontínua superior. Ondehµ(αk)é a
entropia da partiçãoαkporf. Usando estas funções e suas propriedades, Boyle e Downarowicz
[11] provaram um resultado estrutural para extensões simbólicas, e a partir deste Downarowicz e Newhouse provaram em [23] o resultado seguinte que nos fornece um caminho para provar a não existência de extensões simbólicas.
Proposição 2.2.3 (Proposição 4.4 em [23]). Seja f ∈ RS e suponhamos que E seja um
subconjunto compacto de M(f) tal que exista um número real positivo ρ0, e para cada µ∈ E
e k >0,
lim sup ν∈E,ν→µ
[hν(f)−hk(ν)]> ρ0.
Então,
2.2 Estimativa para a entropia de difeomorsmos simpléticos 21
Lembremos queHn(f) denota o conjunto dos pontos periódicos hiperbólicos com período
menor ou igual a n, e seja H(f) =∪nHn(f). Apesar deH(f) poder ser um conjunto vazio,
é sabido que o conjunto dos difeomorsmos R1 formado pelos difeomorsmos simpléticos f
tal que H(f) 6= ∅ é aberto e denso em Diff1ω(M), veja [39]. Sendo assim, ca bem denido
τ(f)como sendo o menor período dos pontos periódicos em H(f) para todof ∈ R1, e desta
forma seja R1,m ⊂ R1 o conjunto dos difeomorsmos f com τ(f) = m. Notemos que R1 é
uma reunião disjunta dosR1,m's.
Agora, para cada f ∈ R1 denimos
χ(f) = sup{χ(p, f) : p∈H(f) eτ(p, f) =τ(f)}.
Então,χ(f) depende continuamente def ∈ R1 e χ(f)>0.
Lembrando que A ⊂Diff1ω(M) é o conjunto dos difeomorsmos de Anosov, seja R2,m =
R1,m\A.LogoR1\A=SmR2,m.
Suponhamos agora que Λ seja um conjunto periódico f-invariante com base Λ1, i.e.,
fk(Λ
1) = Λ1 e Λ = ∪k0−1fi(Λ1) para algum k > 0, e seja α = A1, A2, ..., As alguma
par-tição nita de M. Dizemos que Λ é subordinado aα se para todo inteiro positivo n, existe um elementoAin ∈α tal quefn(Λ1)⊂Ain. Sendo assim, seµ∈ M(f|Λ)então hµ(α) = 0.
Dado um inteiro positivo n, dizemos que um difeomorsmo f ∈ Diff1ω(M) satisfaz a propriedadeSn se para todo p∈Hn(f) comχ(p, f)>
χ(f)
2 , o seguinte se verica: 1. Existe um conjunto hiperbólico básico Λ(p, n) para f tal que
Λ(p, n)∩∂αn=∅ e Λ(p, n) é subordinado a αn.
3. Existe uma medida ergódicaµ∈ M(Λ(p, n)) tal que
hµ(f)> χ(p, f)− 1
n.
4. Para toda medida ergódica µ∈ M(Λ(p, n)), temos que
ρ(µ, µp)< 1
n.
5. Para todo ponto periódico q∈Λ(p, n), temos
χ(q, f)> χ(p, f)− 1 n.
E assim, para um inteiro positivo m ≤ n denotemos por Dm,n o subconjunto de R2,m
contendo os difeomorsmosf satisfazendo a propriedadeSn.
Desde que os pontos periódicos em Hn(f) possuindo expoentes de lyapunov positivos
maiores do que χ(f)/2 são nitos, temos direto da Proposição 2.2.1 que as condições (3), (4) e (5) acima são satisfeitas para difeomorsmos num subconjunto aberto e denso deR2,m.
22Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
hiperbólico Λ(p, n) (veja demonstração da Proposição 2.2.1), pode ser tomado de tal forma que o conjuntoΛ(p, n)seja subordinado aαn. Portanto, como esta é uma propriedade robusta
direto da Proposição 2.2.1 temos o seguinte lema.
Lema 2.2.4. Para inteiros positivos m≤n, o subconjunto Dm,n é aberto e denso emR2,m.
Usando o lema acima vamos então demonstrar o Teorema D. Convém observar que usando o lema e a propriedade Sna demonstração a seguir é similar a demonstração do Teorema 1.3
em [23].
Demonstração do Teorema D: Seja
R2=
[
m≥1
\
n≥m
Dm,n.
Pelo Lema 2.2.4, temos que R=RS∩ R2 é um subconjunto residual emD.
O que vamos mostrar agora é que todo difeomorsmof ∈ Rnão possui extensão simbólica, i.e., hsex(f) =∞.
Seja f ∈ R um difeomorsmo não Anosov. Denimos então
E1=
½
µp; tal que p∈H(f) e χ(p, f)>
χ(f) 2
¾
,
e denotemos por E o seu fecho em M(f).
Usando este conjunto e as propriedades deSnvamos mostrar que as hipóteses da Proposição
2.2.3 são satisfeitas paraρ0= χ(f)
2 . Para tal, é suciente vericarmos as hipóteses para todo
µp ∈ E1, e algumk∈N arbitrariamente xado.
Sendo assim, dado n ∈ N grande o suciente, como f ∈ R existe um conjunto básico hiperbólicoΛ(p, n)paraf subordinado aαn, e uma medida ergódicaνn∈ M(Λ(p, n))tal que
ρ(νn, µp)<1/n e
hνn(f)> χ(p, f)−
1
n. (2.3)
Podemos supor sem perda de generalidade quen > k, e assim temos queαné mais na do
que αk o que implica Λ(p, n) ser também subordinado aαk. Agora, comoνn∈ M(Λ(p, n))
hk(νn) = 0.
Logo, usando isto juntamente com a desigualdade (2.3)temos que
|hνn(f)−hk(νn)|=hνn(f)> χ(p, f)−
1
n > ρ0,
onde a última desigualdade é satisfeita para valores grandes de n, desde queµp ∈ E1.
E portanto, como νn → µp, quando n → ∞, para completarmos a demonstração falta
mostrarmos queνn está de fato em E, para todon.
2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 23
periódicas. Mais precisamente, existem pontos periódicos hiperbólicosqm,n ∈Λ(p, n)def, tal
queµqm,n converge a νn, quando m → ∞, na topologia fraca
∗. Desta forma, nosso trabalho
é reduzido a mostrar queµqm,n ∈ E1, o que é direto do fato def estar em R e o item 5 da
propriedadeSn. Provamos assim o Teorema D.
¤
2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1
Antes de demonstrarmos a proposição lembremos alguns fatos de estrutura simplética. Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético de dimensão 2n. Dado um subespaço qualquer W ⊂V seu ortogonal simplético é denido como
Wω={v∈V;ω(v, w) = 0 para todo w∈W}.
O subespaçoW é chamado simplético seWω∩W ={0}. W e chamado isotrópico seW ⊂Wω,
isto é,ω|W ×W = 0.Um caso especial de subespaço isotrópico é um subespaço Lagrangiano, i.e., quandoW =Wω.
Como antes (M, ω) é uma variedade simplética e seja f um difeomorsmo simplético sobre M. A variedade estável (instável) de um ponto periódico hiperbólico de f é uma subvariedade Lagrangiana de M, i.e., o espaço tangente a variedade estável (instável) no ponto x é um subespaço Lagrangiano para todo ponto x na variedade estável (instável) de um ponto periódico hiperbólico. Veja Armação 4 no Apêndice B.
Demonstração da Proposição 2.2.1: A demonstração está dividida em três passos onde o segundo e o terceiro são os principais e usam estruturas simpléticas.
Seja f ∈ H um difeomorsmo não Anosov.
Passo 1- Encontramosg1 C1−próximo def tal que painda seja um ponto periódico hiperbólico
de g1, e g1 exiba uma tangência homoclínica entre Ws(o(p), g1) e Wu(o(p), g1). Mais
ainda, g1 =Df numa vizinhança pequena da órbita dep (em coordenadas locais).
Passo 2- Encontramos g2 C1−próximo de g1 onde g2 admite um intervalo de tangência
homo-clínica. Para tal, vão ser necessárias perturbações simpléticas em dimensões altas.
Passo 3- Finalmente, perturbamosg2 para obtermos um difeomorsmo simpléticogsatisfazendo
as propriedades requeridas pela proposição. Mais ainda, g é tal que as propriedades ainda são satisfeitas para difeomorsmosC1−próximos dele, provando assim a proposição.
24Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
compactas das variedades estável e instável para obtermos uma tangência homoclínica e uma linearização numa vizinhança do ponto periódico hiperbólico. Observemos que devido a di-mensão das variedades estável e instável, obter uma tangência homoclínica signica obter pelo menos uma direção comum (que pode ser única) entre os espaços tangente destas variedades no ponto de tangência. Pensando em manter o texto o mais completo possível, além de achar de grande valia a divulgação das técnicas envolvidas nesta demonstração vamos detalhá-la no Apêndice A.
Demonstração do passo 2: Para simplicarmos a notação suponhamos primeiro quepseja um ponto xo hiperbólico deg1, e sejaV uma vizinhança depondeg1, em coordenadas locais,
é linear, com Es
p = Rn× {0}n e Epu = {0}n×Rn. Mais ainda, pelo Teorema de Darboux
podemos também supor que em V,ω é a 2-forma padrão para R2n,ω =P
dxi∧dyi.
Seja q o ponto de tangência homoclínica entre Wlocs (p, g1) e Wu(p, g1), tal que q ∈ V e
g1−1(q) 6∈ V. Sendo assim, podemos tomar uma vizinhança pequena U ⊂ V de q tal que g1−1(U)∩V =∅. Denotemos porD a componente conexa deWu(p, g1)∩U que contémq.
Queremos agora perturbarg1 a m de conseguir um intervalo de tangência homoclínica.
Como a variedade estável (instável) é gráco, não é difícil fazer isto no caso conservativo usando o ponto de tangência q. No caso simplético isto pode ser feito usando o fato da variedade estável (instável) ser uma variedade lagrangiana como segue.
As perturbações feitas neste passo são feitas localmente em U, e portanto pensando em não complicar a notação vamos considerar uma outra coordenada simplética emU, tal queq seja a origem e tenhamos o seguinte
Wlocs (p, g1)∩U ={y1 =y2 =...=yn= 0} ∩U,
TqD={y1 =x2=...=xn= 0},
e então
Wlocs (p, g1)∩U∩TqD={e1},
onde consideramos {e1, ..., en, ...., e2n} como sendo a base canônica de R2n. Notemos que foi
usado quedim(TqWs(p, g1) +TqWu(p, g1)) = 2n−1, o que podemos supor ser verdade depois
de uma perturbação, se necessário.
O lema seguinte é o ponto técnico e chave que nos permite construir um intervalo de tangência homoclínica para difeomorsmos simpléticos em dimensões altas.
Lema 2.3.1. Existe um difeomorsmo simpléticoφ:U →R2nsobre sua imagem,C1 próximo
da aplicação identidadeIdnuma vizinhança pequena deq, tal queφ(D)∩Wlocs (p, g1)∩U contém
um segmento de reta.
Demonstração. Apenas aqui, usamos coordenadas(x, y)com respeito a seguinte decomposição do espaço R2n = E ⊕F, onde E e F são gerados por {e1, en+2, ..., e2n} e {e2, ..., en+1},
respectivamente. Note que desta forma E =TqD, e lembremos que q= (0,0)por escolha da
2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 25
Como D é localmente o gráco de uma função com mesma classe de diferenciabilidade queg1, existe uma aplicação C1 j:B ⊂Rn→R2n,j(x) = (x, r(x)), tal quej(B) =D. Mais
ainda, j é tal que Dr(0) = 0, e como D ⊂ Wu(p, g
1) é uma variedade Lagrangiana, temos
que j∗ω = 0, onde j∗ω é o pull-back da forma ω por j. Analogamente, se i : Rn → R2n é
a inclusão natural, i(x) = (x,0), temos que i∗ω = 0 (lembremos que ω em U é a 2-forma estandarte emR2n).
Denimos agoraφ:U →R2nporφ(x, y) = (x, y−r(x)). TomandoU menor, se necessário, é fácil ver queφé de fato um difeomorsmo deU sobre sua imagem eC1 próximo daIdnuma
vizinhança menor deq = (0,0), desde que Dr(0) = 0. Sendo assim, para concluirmos o lema precisamos mostrar queφé de fato simplético. Denotando a projeção da primeira coordenada porπ:R2n→Rn,π(x, y) =x, podemos reescreverφda seguinte maneiraφ=Id+i◦π−j◦π. Então,
φ∗ω=ω+π∗i∗ω−π∗j∗ω =ω,
onde usamos quei∗ω=j∗ω= 0 na segunda igualdade. Portanto, o lema está provado. ¤
Voltando a demonstração do passo 2, podemos usar o pasting lema no caso simplético, Observação 1.1.3, e a aplicação φ dada pelo Lema 2.3.1, para encontrar R : U → U C1 próximo daId, comR=φem alguma vizinhança deq, e R=Id no complementar de outra vizinhança pequena contendo a anterior. Fica portanto bem denido R˜ : M → M, com
˜
R = Id em Uc e R˜ = R em U, e assim tomando g2 = ˜R◦g1 temos uma C1−perturbação
deg1 que coincide com g1 em (g−11(U))c. O diferencial desta perturbação é que ela exibe um
intervalo de tangência homoclínica como queríamos. Mais precisamente, existe um segmento de reta I ⊂ Wlocs (p, g2)∩Wu(p, g2)∩U. Para uso futuro, observemos que I está contido
no espaço gerado pelo vetor unitárioe1, e a menos de uma mudança de coordenadas em U,
podemos suporI ⊂ {(x1,0, ...,0),−2a≤x1 ≤2a}, para alguma > 0 pequeno o suciente e
coordenadas usuais deR2n.
Demonstração do passo 3: A idea agora é usar o intervalo de tangência para criarmos conjuntos hiperbólicos com as propriedades requeridas na proposição. Para tal, seja N um número inteiro positivo grande eδ >0um número real arbitrariamente pequeno. Como antes (construção deR˜) podemos encontrar um difeomorsmoΘ :M →M,δ−C1 próximo daId,
Θ =Id emUce
Θ(x, y) =
µ
x1, ..., xn, y1+Acosπx1N
2a , y2, ..., yn
¶
, para(x, y)∈B(0, r)⊂U,
comA= 2Kaδ
πN er >0pequeno o suciente, ondeKé uma constante dependendo apenas da coordenada simplética emU. Sendo assim,g= Θ◦g2 éδ−C1 próximo deg2, e mais, g=g2
26Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
Usando a função Θescolhemos agora estrategicamente dois pontos na variedade instável de p para g,z1 = Θ(−a,0,· · · ,0)e z2 = Θ(a,0,· · · ,0). Agora, tomamos γ1 eγ2 dois discos
transversais à variedade instável Wu(p, g) nos pontosz
1 e z2, respectivamente.
De agora em diante, voltamos a usar a coordenada simplética emV xada no começo da demonstração. Convém observar que gé igual ag1 emV, e portanto gé linear em V.
Dado um conjuntoE, denotemos porC(E, x)a componente conexa deEcontendox. Pelo λ−lema e a escolha deγ1 eγ2,C(g−j(γ1)∩V, g−j(z1))eC(g−j(γ2)∩V, g−j(z2))se acumulam
sobre Ws
loc(p, g) para valores grandes dej >0.
Sendo assim, tomandoDs=Wlocs (p, g)∩Upodemos denir o retânguloDj =Ds×Duj, para
j grande o suciente, como sendo o produto cartesiano entre Ds e Duj, onde Dju é o menor disco possível em {(0, . . . ,0, y1, . . . , yn), yi ∈ R} tal que π2(C(g−j(γi)∩V, g−j(zi))) ⊂ Dju,
para i = 1,2. Aqui, π2(x, y) = y é a projeção na segunda n−esima coordenada de R2n.
Lembremos que estamos considerandoV dentro do espaço euclidiano e aindaEs
p =Rn× {0}n
e Epu ={0}n×Rn.
Seja J ⊂ U algum disco pequeno na variedade instável Wu(p, g) contendo os N pontos homoclínicos transversais construídos anteriormente, e seja T >> 0 tal que g−T(J) ⊂ V, e
ainda g−T(γi), i = 1,2, esteja sucientemente próximo de Wlocs (p, g). Denotemos por Γ˜ a
A/2-vizinhança deJ, e denimosΓ =g−T(˜Γ), veja gura 2.1.
Agora, seja t0 o menor inteiro positivo tal queC(g−t0(γi), g−t0(zi))é A/2−C1 próximo
deWlocs (p, g),i= 1,2. Notemos que set′ ≥t0, egt
′−T
(Dt′)⊂Γ, entãogt ′
(Dt′)∩(Dt′)contém
N componentes conexas disjuntas, desde que Aé muito pequeno. Sendo assim, consideremos z3 = (b,0, ...,0)ez4 = (b′,0, ...,0)dois pontos na variedade estável local dep, onde be b′ são
as extremidades esquerda e direita, respectivamente, deWs
loc(p, g)∩U olhando para a primeira
coordenada. Como antes, seja γ3 e γ4 dois discos transversais a Wlocs (p, g) nos pontos z3 e
z4, respectivamente. Peloλ−lema novamente podemos denirt1 como sendo o menor inteiro
positivo possível tal que
C(gt1(γ
i), gt1(zi))∩C(g−T(γj), g−T(zj))∩Γ6=∅, paraj= 1,2e i= 3,4.
Finalmente, denimost= max{t0, t1+T}. Notemos quet depende deN desde que t0 e
t1 dependem, mais aindatvai para innito quando N vai.
Pelos comentários anteriores e escolha det, temos quegt(Dt)∩DtpossuiN componentes
conexas disjuntas, e aindaté o menor possível tal queDtéA/2−C1 próximo deWlocs (p, g)e
gt(Dt) é A/2−C1 próximo deJ ⊂Wu(p, g). Portanto, desde que temos uma ferradura com
N pernas, o conjunto maximal invariante emDt paragt
˜
Λ(p, N) = \
j∈Z
gtj(Dt)
é um conjunto hiperbólico com dinâmica conjugada ao shift deN símbolos. Logo,h(gt|Λ(˜ p, N)) = logN e tomando
Λ(p, N) =
t−1
[
j=0
2.3 Perturbações simpléticas: demonstração da Proposição 2.2.1 27
g
I
G
g (D )
J T-t
t
D~tu
D~s Dt
1 C(g (z ), g ( ))g1 g2
-j -j
1
Figura 2.1:
temos queh(g|Λ(p, N)) = 1
t logN.
O lema seguinte é o ponto chave neste passo.
Lema 2.3.2. Para A e t denidos como acima, existe um inteiro positivo K1 independente
deA, tal que
A < K1min{kDg−pt|Euk,kDgpt|Esk}.
Demonstração. Primeiro, lembremos queV é uma vizinhança deponde gé linear. Portanto, sem é o maior possível tal quegj(x)∈V para0≤j≤m, então existem constantesK2 e K3
dependendo da coordenada simplética emV tal que
K2kDgpm|Euk−1 ≤d(x, Wlocs (p, g))≤K3kDgp−m|Euk. (2.4)
Analogamente, sem é o maior possível tal que g−j(x) ∈V para0 ≤ j ≤ m, então existem constantesK4 e K5 tal que
K4kDgp−m|Esk−1 ≤d(x, Wlocu (p, g))≤K5kDgpm|Esk. (2.5)
Agora, pela escolha det, ou existe z∈Dttal que
d(g(z), Wlocs (p, g))≥A/2, (2.6)
ou existez∈gt(D
t) tal que
d(g−1(z), J)≥A/2. (2.7) Suponhamos o primeiro caso. Lembremos que paraj > T o retângulo Dj está bem denido
28Capítulo 2 Estimativas para entropia topológica e não existência de extensões simbólicas
desigualdade (2.4) temos que A
2 ≤K3kDg
−t+T+1
p |Euk.
Por outro lado, usando a desigualdade (2.5) e a vizinhança Γ, podemos fazer a mesma coisa para o segundo caso, obtendo
A
2 ≤K5kDg
t−1−T
p |Esk.
E então, comoDgé limitado eT é independente deApodemos encontrarK1 como armado.
¤
Fixemos agora um inteiro positivo granden.
Tomando δ > 0 sucientemente pequeno, como A= 2Kaδ
πN , podemos tomarN grande e usar o Lema 2.3.2 tal que
1
t logN >min
½
1
t logkDg
−t
p |Euk−1, 1
t logkDg
t p|Esk−1
¾
− 1 2n.
Observemos que quando t vai para innito o mínimo acima converge para o mínimo entre o menor expoente de lyapunov positivo, χ(p, g), e o maior expoente de Lyapunov negativo de
p para g. No entanto, como estamos no mundo simplético estes dois expoentes coincidem, e assim, desde quetvai para innito quandoN vai, podemos encontrar um inteiro positivoN1
tal que
1
t logN1> χ(p, g)−
1
n.
O que implica que é possível encontrar uma C1−perturbação g de f tal que h(g|Λ(p, N1))> χ(p, g)−
1
n.
No caso geral, quando p não é xo para g1, i.e., τ(p, g1) > 1, a diferença para o caso
anterior é que q ∈ Wlocs (p, g1)∩Wu(fj(p), g1), para algum 0 ≤ j < τ(p, g1). Então, como
feito anteriormente, podemos encontrar alguma perturbaçãog deg1 et=τ(p, g)˜t+jtal que
gt possua um conjunto hiperbólico Λ(˜ p, N) como antes. Mais ainda, vai existir uma relação entre a norma de Dgτ(p,g) e A como no Lema 2.3.2, só que neste caso com ˜t ao invés de t.
Sendo assim, analogamente temos N1 tal que
h(g|Λ(p, N))> χ(p, g)− 1
n, paraN ≥N1. (2.8) Agora, desde queΛ(p, N)é conjugado com o produto entre uma órbita periódica e o shift de N símbolos, existe uma medida ergódica µ(N) ∈ M(Λ(p, N)) que maximiza a entropia topológica
hµ(N)(g)> χ(p, g)− 1
