Modelos matemáticos usam símbolos no lugar de componentes físicos, procurando representar as principais características e comportamentos do sistema-alvo que se
deseja analisar. A estrutura de um modelo matemático é formada por um conjunto de equações e/ou representações lógicas, que representam variáveis e relacionamentos qualitativos e quantitativos do referido sistema.
As equações e representações lógicas são tratadas e resolvidas visando analisar como o modelo reage sob determinadas condições, definidas pela atribuição de valores aos parâmetros do modelo. Os resultados obtidos da execução do modelo podem, posteriormente, ser comparados com dados obtidos no próprio sistema alvo (Berends e Romme, 1999).
De acordo com Law e Kelton (1991), há duas formas de solução de modelos mate- máticos: a solução analítica e a solução numérica, via simulação.
Na solução analítica o problema matemático é resolvido encontrando-se a solução exata para a(s) equação(ções) que descreve(m) o modelo. Em casos como estes as teorias geralmente utilizadas são de Pesquisa Operacional, Teoria das Filas, Equações Diferenciais, dentre outras. Por exemplo, imagine que queremos achar a solução de um sistema que pode ser dada por uma equação de segundo grau, do tipo ax2+bx+c,
e que a solução do nosso problema consista em encontrar quais são as raízes deste polinômio. Neste cenário, podemos empregar a solução analítica para encontrar as raízes da equação, ou ainda uma solução numérica, via simulação.
Vamos começar encontrando uma solução analítica utilizando a fórmula de Bhaskara. Tomemos o polinômio da Equação 8.1.
2x2 – 8x + 2
Utilizando a fórmula de Bhaskara, nas equações 8.2 e 8.3, teremos como soluções as raízes 3,732 e 0,2679.
Entretanto, há sistemas complexos cujos modelos não apresentam respostas precisas e definitivas, sendo necessário uma abordagem mais holística e sistêmica. Em tais casos uma solução exata não é possível. Nestes casos, simplificações podem ser feitas para viabilizar a construção de um modelo através de métodos empregados em simulações. Por exemplo, em Raczynski (2004) tem-se um estudo sobre como se organizam e interagem estruturas terroristas e anti-terroristas. Para tanto, o autor modelou elementos tais como: terroristas, agentes anti-terror, pessoas neutras, agentes anti-terror infiltrados em ambientes terroristas, etc. A execução do modelo deve atuar como um laboratório para o teste de hipóteses e um melhor entendimento do sistema alvo. Sendo assim, a possibilidade de executar o modelo várias vezes, simular diversas situações, elaborar e explorar hipóteses, etc., será o foco do uso do modelo matemático (não apenas uma solução analítica exata). Os modelos que apresentam este objetivo são denominados modelos de simulação e resolvidos via solução numérica, que são o foco de estudo deste capítulo.
(8.3) (8.2) (8.1)
Vamos retomar ao problema do cálculo das raízes de um polinômio. Caso uma solução analítica não fosse possível, poderíamos ainda estimar os valores das raízes de um modo relativamente preciso utilizando um método numérico via simulação. Neste exemplo, empregaremos o método de Newton-Raphson para estimar estas raízes. O método consiste em “chutar” um valor inicial para a raiz e melhorar a estimativa deste valor inicial através da Equação 8.4.
Aqui, f(xn) e f'(xn) representam o valor do polinômio para os valores de x cal-
culados e o valor da derivada do polinômio, respectivamente. A derivada de uma função y=f(x), com relação à variável x, é usualmente escrita na forma e mede a taxa com a qual o valor de y varia em função de uma variação de x. Assim, podemos verificar a taxa de variação (derivada) de y com relação a x através da Equação 8.5.
Isto é, para um dado valor de x, calculamos o valor de y correspondente. Em seguida, calculamos um novo valor de y, mas, desta vez, somamos uma pequena diferença (Δx) no valor de x. Desta forma, teremos dois valores de y, calculados para x e para x+Δx. Podemos, finalmente, avaliar a taxa de variação da função y em razão da alteração que fizemos em x ao somar um Δx, através da relação mostrada na Equação 8.5. A derivada também pode ser vista, graficamente, como a inclinação da reta tangente à curva da função y=f(x).
Se repetirmos a operação da Equação 8.5 para valores muito pequenos (infinitésimos) de Δx, trocamos a notação da derivada para a Equação 8.6.
Nesta situação limite, na qual Δx tende a zero, algumas regras de derivação podem ser desenvolvidas para cada tipo de função.
A relação de Newton-Raphson mostra que, para uma solução inicial xn, uma nova solução xn+1pode ser calculada, refinando a estimativa inicial da raiz do polinômio. Após alguns ciclos de refinamento, uma solução precisa pode ser atingida através deste método. Por outro lado, vale dizer também que somente as raízes reais de um polinômio podem ser obtidas através deste método.
8.3 definição de modelo
De acordo com Shannon (1975), um modelo é uma representação parcial de um objeto, sistema ou ideia. A construção de um modelo é útil quando um sistema pode (8.6) (8.4)
ser simplificado/reduzido em um nível tratável, tornando clara a estrutura essencial do sistema e como seus componentes interagem entre si.
Um ponto importante na construção de um modelo é a definição de quais e como simplificações são introduzidas. Tais simplificações envolvem, por exemplo, a escolha dos elementos do sistema alvo a serem considerados, quais relacionamentos serão modelados, como delimitar o ambiente do sistema, etc. Esta escolha deve levar em consideração um ponto de equilíbrio, pois, muito embora a exatidão do modelo aumente em uma relação direta com as informações consideradas, sabe-se que uma parcela destas informações consegue explicar adequadamente o sistema de estudo. Assim, o ponto-chave do processo de modelagem é descobrir as variáveis principais e a relação entre elas.
Dentre as variáveis a serem inseridas em um modelo têm-se as variáveis de entrada e de saída. Espera-se que o modelo consiga estabelecer relações entre estas variáveis. Para tanto, é necessário entender quais aspectos do sistema alvo o modelo procura descrever, e quais são as limitações do modelo decorrentes das simplificações. A modelagem deve manter, com o maior grau de aderência e fidedignidade possível, o relacionamento entre o sistema alvo e o sistema resultante da modelagem.
8.3.1 construção de modelos
Os passos principais para a construção de um modelo estão descritos a seguir. Para ilustrar cada passo da construção de modelos, será apresentado o exemplo da mo- delagem de um sistema de robôs móveis exploradores.
Detectar o problema de interesse: Uma das principais etapas consiste em
detectar o problema a ser modelado.
Para a modelagem dos robôs exploradores, o problema pode ser definido em como programar robôs móveis capazes de se deslocarem em um ambiente dinâmico e desconhecido, reconhecerem e planejarem seus movimentos. Na solução deste problema a infraestrutura teórico-técnica da área de Inteligência Artificial (IA) pode ser utilizada, mais especificamente no que se refere aos algoritmos de busca. Segundo Russell e Norvig (2004), o processo da busca por diferentes sequências de ações, e depois a escolha da melhor sequência, é conhecido como busca. Assim, ao final da execução de um algoritmo de busca tem-se a definição de uma sequência de ações possíveis de serem executadas.
Definição dos objetivos de estudo do sistema: Os objetivos indicam o que
se pretende alcançar. Os objetivos direcionarão a construção do modelo, e geralmente são elaborados na forma de hipóteses a serem testadas, efeitos a serem analisados, etc.
Como objetivos do modelo dos robôs exploradores, tem-se que, em um ambiente desconhecido, um grupo de robôs procura mapear o ambiente na intenção de encontrar a saída. Para o mapeamento do ambiente os robôs compartilham suas informações, criando uma memória coletiva. Além de detectar e mapear
os objetos do ambiente, os robôs devem evitar trafegar em locais já conhecidos, evitar choques, bem como determinar o melhor trajeto até a saída.
Delimitação do escopo do modelo: O escopo limita a abrangência do estudo.
Como exemplo de delimitação do escopo tem-se: estudar o tema (i) criminalidade, (ii) a criminalidade em termos de homicídio, (iii) os homicídios no Estado de São Paulo, (iv) qual a relação que existe entre o perfil dos assassinos e as condições sócio-econômicas do Estado, (v) no período de 1980 à 2011.
Como delimitação do escopo do exemplo dos robôs móveis, os robôs andarão em um labirinto.
Configurações do sistema a ser modelado: As configurações estabelecem
para o modelo seus limites, restrições, etc. Dentre as principais configurações e premissas do sistema de navegação dos robôs exploradores tem-se:
• A modelagem do robô deve considerar suas características e limitações físicas; • O robô possui quatro sensores que podem identificar obstáculos nas seguintes direções: para frente, para trás, à direita e à esquerda;
• As paredes são detectadas por estes sensores e adicionadas ao mapa; • O mapa é compartilhado por todos os robôs, e todos contribuem para a formação dele;
• O mapa é confiável, ou seja, a informação fornecida por todos os robôs é real; • Caminhos já percorridos devem ser evitados. Caminhos desconhecidos são priorizados;
• Quando há informação suficiente para encontrar a saída, algoritmos mais eficientes devem ser utilizados.
Construção do modelo propriamente dito: Aqui se tem a elaboração dos
elementos principais do modelo, bem como seus relacionamentos. A seguir são apresentados os principais elementos do sistema de navegação dos robôs exploradores em um labirinto.