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Na análise de qualquer série temporal uma questão importante prende-se com a esta- cionariedade da mesma, pois a aplicação de alguns modelos assume este pressuposto, tal como exposto no capítulo anterior. A resposta a esta questão pode ser obtida através da análise das representações gráficas das funções de Autocorrelação (FAC) e de Autocorrelação parcial (FACP), que se encontram representadas na Figura 4.6. Pela análise da FAC e da FACP, verifica-se que esta série não apresenta um compor- tamento estacionário, o que pode justificar a aplicação do operador diferenciação à série temporal original. Por outro lado, a partir da representação gráfica da FAC e da FACP verifica-se também que existe correlação entre os valores, ou seja, um modelo autorregressivo poderá ser adequado para modelar os dados. O valor-p produzido

Capítulo 4 Modelação de dados

Figura 4.6: FAC e FACP da série de exportações para a base de dados abx pelo Teste de Box-Ljung é inferior a 0,05, o que permite rejeitar a hipótese nula de que os valores da série são independentes, com 95% de confiança. O comportamento da série ao longo dos trimestres considerados em cada ano sugere um padrão sazonal, o que pode ser verificado pela análise da Figura 4.7. Assim, qualquer modelo que se considere terá que incluir uma componente sazonal.

Figura 4.7: Gráfico da evolução sazonal das exportações por trimestre (abx)

Modelação através de um modelo SARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s

Após considerar várias variações de modelos SARIMA, o modelo que melhor se ajustou aos dados da base de dados abx relativamente às exportações, foi um modelo

4.2 Valores das empresas abx

SARIMA (1,0,0)(2,1,0)4 com drift, apresentando um AIC de 1164,4. As estimativas

dos parâmetros obtidas assim como os respetivos erros padrão associados encontram- se na Tabela 4.6. A escolha do período 4 teve em conta o facto de a sazonalidade estar associada ao ano e de as observações serem trimestrais.

Parâmetro estimado Erro padrão

Autorregressivo 1 0.8515 0.1014

Autorregressivo sazonal 1 -0.5755 0.1648 Autorregressivo sazonal 2 -0.4494 0.1594

Drift 1.7×106

Tabela 4.6: Parâmetros estimados e respetivos erros padrão do modelo SARIMA (1,0,0)(2,1,0)4 com drift quando aplicado aos dados da variável exp da base de

dados abx

Verifica-se que os três parâmetros estimados são significativamente diferentes de zero e portanto estatisticamente significativos. Por conseguinte, a equação (3.14) pode neste caso ser simplificada conforme apresentado em (4.1), sendo Yt o total

exportado no trimestre t.

(1 − 0.8515B)(1 + 0.5755B4_{+ 0.4494B}42

)(1 − B4_)(Y

t− 1.7 × 106) = Ôt (4.1)

Relativamente aos resíduos Ôtassociados a este modelo, verifica-se que estes se com-

portam como ruído branco, sendo razoável considerá-los como não correlacionados temporalmente e como provenientes de uma distribuição normal. As funções de au- tocorrelação e de autocorrelação parcial destes resíduos encontram-se representadas na Figura 4.8 e confirmam a não rejeição da hipótese nula do Teste de Ljung-Box, cujo valor-p apurado foi 0.66. A normalidade destes resíduos pode ser verificada através do histograma e do gráfico Q-Q Normal apresentados na Figura 4.9.

Capítulo 4 Modelação de dados

Figura 4.8: FAC e FACP dos resíduos do modelo SARIMA (1,0,0)(2,1,0)4 com drift

quando aplicado aos dados das exportações da base de dados abx

Figura 4.9: Histograma e gráfico Q-Q Normal dos resíduos do modelo SARIMA (1,0,0)(2,1,0)4 com drift quando aplicado aos dados das exportações da base de

dados abx

O histograma apresenta um valor extremo à esquerda associado à existência de um valor outlier que resulta de um ponto associado ao ano de 2009, onde o modelo apurado parece não explicar o comportamento da variável em estudo. De referir

4.2 Valores das empresas abx

que este ano marcou uma alteração bastante significativa no comportamento desta variável, a qual não seria previsível tendo em conta apenas o histórico existente desta variável associada ao valor das exportações. Excluindo este valor atípico, os resíduos resultantes da aplicação deste modelo apresentam um valor-p de 0.25 quando se recorre ao teste de Shapiro-Wilks, pelo que é razoável assumir que seguem uma distribuição normal como pretendido.

Modelação através de suavização exponencial

Iremos agora proceder à modelação dos mesmos dados através de suavização expo- nencial, por forma a comparar os resultados com os anteriormente obtidos através dos modelos SARIMA. De entre os vários modelos testados, foi selecionado o modelo com erros multiplicativos e tendência e sazonalidade aditivas, ou seja, o modelo do tipo MAA (ver secção 3.1.2). Foi encontrado um modelo alternativo apresentando menor AIC, no entanto, o modelo eleito MAA originou resíduos com comportamento mais próximo de ruído branco. O modelo selecionado decompõe a série observada em três partes: o nível da série (level), a tendência (slope) e o padrão sazonal (seasonal). Essa decomposição pode ser observada na Figura 4.10.

As equações (4.2), (4.3) e (4.4) identificam as componentes nível, tendência e sazo- nalidade respetivamente do modelo MAA adotado. A realização de previsões é feita de acordo com a equação (4.5).

lt= 0.7056 (yt− st−4) + (1 − 0.7056) (lt−1+ bt−1) (4.2)

bt= 0.0601 (lt− lt−1) + (1 − 0.0601) bt−1 (4.3)

st = 0.0001 (yt− lt−1− bt−1) + (1 − 0.0001)st−4 (4.4)

ˆ

yt+k = lt+ kbt+ st−4+k (4.5)

Sendo este um modelo recursivo são necessários valores iniciais que, neste caso, são os que se apresentam de seguida:

Capítulo 4 Modelação de dados

l = 9.56 × 107

b= 1.53 × 106

s1 = 2.4 × 107; s2 = −1.2 × 107; s3 = −4.06 × 106; s4 = −7.5 × 106

Figura 4.10: Decomposição resultante da aplicação do modelo ETS(M,A,A) para os dados das exportações das empresas abaixo dos limiares

Os resíduos deste modelo não estão correlacionados como se pode verificar através da representação gráfica das funções de autocorrelação e de autocorrelação parcial, apresentadas na Figura 4.11. Considera-se que estes resíduos seguem uma distribui- ção normal, o que se pode verificar através do histograma dos mesmos, assim como do gráfico Q-Q Normal apresentados na Figura 4.12. À semelhança do que acon- tece com o modelo SARIMA obtido anteriormente, também o modelo de suavização exponencial dá origem a um valor outlier nos resíduos associado a um trimestre do ano 2009, cujo valor apurado difere bastante do valor previsto por este modelo.

4.2 Valores das empresas abx

Figura 4.11: FAC e FACP para os resíduos obtidos aquando da aplicação do mo- delo ETS(M,A,A) aos dados das exportações das empresas abaixo dos limiares

Figura 4.12: Histograma e gráfico Q-Q Normal dos resíduos do modelo ETS(M,A,A) aplicado aos dados das exportações das empresas abaixo dos limiares

Capítulo 4 Modelação de dados

Previsão segundo os dois modelos

Uma vez que o grande objetivo deste estudo se centra na possibilidade de prever valores futuros tendo em conta os observados no passado, os dois modelos estima- dos foram utilizados para realizar previsões. Posteriormente, as quatro primeiras previsões serão comparadas com os valores observados no ano de 2013. Assim, para o modelo SARIMA(1,0,0)(2,1,0)4 com drift, a previsão para os 8 trimestres que su-

cedem à última observação utilizada na criação do modelo estão representados na Figura 4.13, assim como os intervalos a 80% e 95% de confiança para essas mesmas estimativas.

Figura 4.13: Previsão para 8 trimestres recorrendo ao modelo SARIMA(1,0,0)(2,1,0)4 com drift para os dados das exportações abx

A representação gráfica da previsão feita com o modelo ETS(M,A,A) é a que se pode observar na Figura 4.14.

4.2 Valores das empresas abx

Figura 4.14: Previsão para 8 trimestres recorrendo ao modelo ETS(M,A,A) para os dados das exportações da base de dados abx

Uma vez que, entretanto, se teve acesso a valores para cada um dos trimestres de 2013, torna-se possível comparar as previsões de cada modelo com valores observados mais recentes para este período não considerado na modelação dos dados.

Previsão

Trimestre Observado Modelo 1 IC 95% Modelo 2 IC 95% 1.º 166.1 150.3 ]117.5; 183.1[ 172.6 ]144.8; 200.4[ 2.º 179.3 163.4 ]120.3; 206.6[ 176.7 ]140.2; 213.2[ 3.º 169.8 154.6 ]105.3; 258.4[ 168.5 ]124.9; 212.1[ 4.º 211.9 205.1 ]151.8; 258.4[ 206.4 ]152.2; 260.6[ Tabela 4.7: Dados das exportações da base de dados abx - comparação dos

valores observados em 2013 com as previsões obtidas debaixo dos modelos SARIMA(1,0,0)(2,1,0)4 e ETS(M,A,A)

Capítulo 4 Modelação de dados

paração entre o “observado” e o “estimado” é considerada uma forma de aferir a qualidade de ajustamento do modelo de previsão proposto. Os resultados dessa comparação são apresentados na Tabela 4.7. Os valores apresentados estão em mi- lhões de euros. O modelo SARIMA(1,0,0)(2,1,0)4 com drift está identificado como

Modelo 1 e o modelo ETS(M,A,A) está identificado como Modelo 2. A análise da Tabela 4.7, mostra que o modelo obtido por suavização exponencial apresenta pre- visões mais próximas do apurado, contudo, em ambos os modelos o valor observado para 2013, ainda que não definitivo, insere-se dentro dos intervalos de predição a 95% de confiança.