PL
Vimos que o m´etodo PS tem um problema intr´ınseco de normaliza¸c˜ao. Integrando sobre toda a massa M , a quantidade dF(M ) ´e igual `a 12 , ao inv´es de 1. PS argumentou que
em seu formalismo n˜ao levamos em conta corretamente as regi˜oes subdensas em um dado tempo t,e tais regi˜oes podem se tornar parte de uma regi˜ao ligada em um tempo posterior t + dt, alcan¸cando metade da massa total usando a estat´ıstica Gaussiana. Para corrigir isso, PS simplesmente multiplicou o resultado por 2, sem qualquer raz˜ao f´ısica aparente. A busca de um tratamento correto das regi˜oes subdensas, de modo a resolver o problema do fator corretivo 2, foi nomeada de problema de nuvens-dentro-de-nuvens, ou cloud-in-cloud problem.
Peacock & Heavens[143] (daqui por diante PH90) e Bond et al.[7] (referido a partir daqui como Bond) trataram o problema cloud-in-cloud de uma forma bastante rigorosa. Em seu tratamento, pequenas estruturas podem ser inclu´ıdas em outras estruturas colapsadas maiores, mesmo se suas densidades n˜ao tiverem ainda alcan¸cado o limite cr´ıtico, e elas aumentam conseq¨uentemente a fra¸c˜ao de massa colapsada total. ´E importante notar que esse tratamento aumenta o n´umero de objetos colapsados se usamos diferentes fun¸c˜oes de filtragem, mas apenas no caso especial dos filtros agudos no espa¸co dos k (sharp k-space filters) o fator corretivo de 2 ´e realmente recuperado por Bond[143]. Esse tipo de formalismo tamb´em d´a uma forma diferente `a fun¸c˜ao de massa (comparado `a fun¸c˜ao de massa de PS): temos muito mais objetos de baixa massa do que na f´ormula original de PS[143]. Precisamos
tamb´em notar a falta de simplicidade do formalismo PH90, comparado ao f´acil m´etodo de PS.
No importante trabalho de Bond, o espa¸co ´e continuamente filtrado por v´arios filtros afiados (agudos) passa-baixa no espa¸co dos k, e assumindo isso, a densidade em qualquer ponto do espa¸co obedece um processo de caminhante aleat´orio, `a medida que a escala de filtragem decresce. Podemos ent˜ao usar uma equa¸c˜ao de difus˜ao para derivar a probabili- dade P (δ, σ2) de que a trajet´oria fique entre δ e δ + dδ quando a variˆancia do campo de
densidade for σ2 (veja a Ref.[7]):
∂P ∂σ2 = 1 2 ∂2P ∂δ2
Calculando a distribui¸c˜ao de probabilidade das trajet´orias que alcan¸cam (δ, σ) sem ex- ceder o valor cr´ıtico δc em pequenos σ, iremos excluir todos os sistemas n˜ao-lineares mais
massivos do que Mn, cujas trajet´orias atravessam δc sobre uma escala de filtragem kn. A
solu¸c˜ao cloud-in-cloud ser´a bem implementada, resolvendo a equa¸c˜ao de difus˜ao acima para δ = δc: P = √1 2πσ exp − δ 2 2σ2 − exp −(δ − 2δc) 2 2σ2
Integrando a equa¸c˜ao acima, a fra¸c˜ao de massa que colapsa em objetos n˜ao-lineares naturalmente alcan¸ca a mesma forma da solu¸c˜ao de PS multiplicada pelo fator corretivo 2, assim obtendo naturalmente a normaliza¸c˜ao correta. A solu¸c˜ao de difus˜ao proposta em Bond tamb´em possui um ajuste muito bom em compara¸c˜oes com simula¸c˜oes num´ericas. Infelizmente, a aproxima¸c˜ao s´o funciona para filtros sharp-k. Qualquer outro filtro apre- sentar´a correla¸c˜oes entre os passos das trajet´orias δ − σ2, e a evolu¸c˜ao de tais sistemas ´e
resolvida apenas numericamente.
Yano, Nagashima & Gouda[153] (YNG) mostraram que o problema cloud-in-cloud n˜ao foi considerado de forma completa por PH90 e Bond, porque esses ´ultimos consideraram apenas a probabilidade para as flutua¸c˜oes de densidade em um ponto do espa¸co, negligen- ciando as correla¸c˜oes espaciais destas flutua¸c˜oes; YNG mostra que este efeito de correla¸c˜ao espacial altera o formalismo de PS, mesmo usando o filtro sharp-k. Jedamzik[154] tratou
o problema cloud-in-cloud usando a equa¸c˜ao integral da fun¸c˜ao de massa, mas tamb´em ele n˜ao considerou as correla¸c˜oes espaciais em seu tratamento. YNG corrigiu o trabalho de Jedamzik, derivando os mesmos resultados de PH90 e Bond para o filtro sharp-k (sempre sem a correla¸c˜ao espacial) e, usando o m´etodo corrigido de Jedamzik e incluindo o efeito da correla¸c˜ao espacial - mas apenas no caso dos filtros sharp-k, YNG derivou a nova fun¸c˜ao de massa. Infelizmente, ´e muito complicado derivar numericamente a fun¸c˜ao de massa com esse novo tratamento de YNG. Essa falta de simplicidade ´e um problema bastante desagrad´avel do formalismo YNG, apesar de sua completude e efic´acia.
Vimos at´e agora que a solu¸c˜ao cloud-in-cloud n˜ao nos d´a um modelo simples para substituirmos o formalismo de PS, que ´e ainda o mais f´acil de usar e apresenta bons ajustes com diversos dados observacionais e num´ericos. Nosso m´etodo PL, contudo, ´e t˜ao simples quanto o de PS (pois propomos apenas uma modifica¸c˜ao da distribui¸c˜ao estat´ıstica original), com duas grandes vantagens: primeiro, ele apresenta uma forte conex˜ao te´orica com a entropia n˜ao extensiva (que trata sistemas de intera¸c˜ao de longa distˆancia, que ´e o caso das for¸cas gravitacionais envolvidas na forma¸c˜ao de estruturas; ou seja, n´os consideramos o “efeito de correla¸c˜ao” mencionado por YNG, de forma simples e anal´ıtica); segundo, temos um parˆametro livre q, que concede maleabilidade no ajuste aos dados de fun¸c˜ao de massa atuais. Essencialmente temos uma melhor parametriza¸c˜ao do que nas curvas de PS, com uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao fisicamente motivada, que retorna ao caso original de PS quando q tende a 1.
Mas o objetivo principal de todas as solu¸c˜oes cloud-in-cloud est´a na corre¸c˜ao da norma- liza¸c˜ao do m´etodo de PS. Precisamos realizar um estudo completo das normaliza¸c˜oes das fun¸c˜oes de massa para verificar se nossa distribui¸c˜ao apresenta o mesmo problema intr´ınseco da de PS, e se apresenta, tentar ent˜ao entender por que, e ainda, quais as dependˆencias da condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao com a distribui¸c˜ao estat´ıstica do campo de densidades primor- diais.