No artigo de Reiprich[10] uma compila¸c˜ao dos dados do HIFLUGCS (uma amostra de algomerados de gal´axias com fluxo de raios-X limitado, baseada nos dados do ROSAT, como
descrito anteriormente) foi estabelecida. A fun¸c˜ao de massa desses dados observacionais foi comparada com a da aproxima¸c˜ao te´orica de PS. Reiprich realiza ent˜ao um procedimento estat´ıstico padr˜ao de χ2 e acha os parˆametros de melhor ajuste abaixo:
Ωm = 0.12+0.06−0.04 e σ8 = 0.96+0.15−0.12 (5.25)
Vemos que Ωm ´e muito baixo, completamente fora de alcance, comparado com os mais
recentes resultados independentes da RCF[158, 4, 5], e o σ8 ´e muito alto, tamb´em fora dos
limites, baseado nos mais atualizados dados do WMAP[5]; tais dados da RCF s˜ao mostrados abaixo:
Ωm = 0, 234+0,035−0,035 e σ8 = 0, 76+0,05−0,05 (5.26)
Tabela 5.1: Parˆametros do modelo ΛCDM de Lei de Potˆencias e intervalos de confian¸ca de 68%. Os ajustes do 3◦ ano do WMAP, nesta tabela, n˜ao assumem contribui¸c˜oes de
SZ (ASZ = 0), de modo a permitir compara¸c˜oes diretas com os resultados do 1◦ ano do
WMAP.
Parˆametro Primeiro Ano Terceiro Ano
M´edia M´edia 100Ωbh2 2.38+0.13−0.12 2.23 ± 0.08 Ωmh2 0.144+0.016−0.016 0.126 ± 0.009 H0 72+5−5 74+3−3 τ 0.17+0.08−0.07 0.093 ± 0.029 ns 0.99+0.04−0.04 0.961 ± 0.017 Ωm 0.29+0.07−0.07 0.234 ± 0.035 σ8 0.92+0.1−0.1 0.76 ± 0.05
As novas estimativas do WMAP acima podem ser sintetizadas, com outros parˆametros cosmol´ogicos, na tabela 5.1, da Ref.[5].
N´os realizamos exatamente o mesmo procedimento χ2 que o Reiprich fez, seguindo as
mesmas condi¸c˜oes e arcabou¸co te´orico geral, mas ao inv´es de usarmos a fun¸c˜ao de massa de PS n´os usamos nossa aproxima¸c˜ao PL (equa¸c˜ao (5.12), onde no termo Mρ , ρ ´e a densidade m´edia de mat´eria no presente e M ´e a massa de Virial do halo). Reiprich usa a fun¸c˜ao de massa de PS multiplicada por 2 (para corrigir a normaliza¸c˜ao), e fazemos ent˜ao do mesmo modo com nossa fun¸c˜ao de massa PL. Como temos dois intervalos em nossa aproxima¸c˜ao ( [−1 < q < 1] e [1 < q < 3] ), os resultados ser˜ao apresentados em rela¸c˜ao a cada um deles. No intervalo [−1 < q < 1], quando fixamos q = 0, 93 e realizamos o teste de χ2 para
os parˆametros de Ωm− σ8, encontramos como melhor ajuste Ωm = 0, 109 (ou seja, ainda
menor do que usando o m´etodo de PS) e σ8 = 1, 058, que ´e maior do que o valor esperado
atualmente, em rela¸c˜ao aos dados da RCF (topo da figura 5.5). `A medida que aumentamos o valor de q, temos maiores valores de Ωm e menores valores de σ8 como parˆametros de
melhor ajuste (os primeiros 3 pain´eis de cima para baixo da Fig. 5.5), at´e o limite m´aximo do intervalo, em q = 1, 0, quando obtemos os mesmos parˆametros do m´etodo de PS, como era esperado (Fig. 5.5, ´ultimo painel inferior). Como conclus˜ao, o intervalo [−1 < q < 1] em nosso m´etodo PL apresenta ainda piores parˆametros cosmol´ogicos do que usando o m´etodo padr˜ao de PS.
Agora analisamos o intervalo [1 < q < 3]. Na figura 5.6 fixamos dois valores diferentes de q, um muito pr´oximo ao limite inferior do intervalo (q = 1, 03) e outro um pouco maior (q = 1, 30), e realizamos o teste χ2 para os parˆametros Ω
m− σ8. Notamos que uma relati-
vamente pequena varia¸c˜ao em q produz imensa varia¸c˜ao nas duas constantes cosmol´ogicas, possibilitando-nos fixar o intervalo f´ısico de q entre os limites [1, 03 ≤ q < 1, 30].
Na figura 5.7 mostramos como nosso m´etodo PL ´e melhor do que o de PS. Nesta figura, as interse¸c˜oes dos espa¸cos entre as linhas (horizontais e verticais) marcam os atuais limites, m´ınimos e m´aximos, do 3◦ ano do WMAP. No painel superior, temos os resultados usando
PS (vemos que mesmo em 3σ o modelo n˜ao consegue uma interse¸c˜ao com os limites m´aximos e m´ınimos do WMAP). Nos demais pain´eis temos os resultados usando PL (`a medida que aumentamos o parˆametro livre q, obtemos um Ωm mais alto e um σ8 mais baixo como best-
Figura 5.5: O intervalo [−1 < q < 1]. Fixamos q e realizamos um teste χ2 para os
parˆametros Ωm− σ8. `A medida que aumentamos o valor de q, temos maiores Ωm e menores
do WMAP, pois tal interse¸c˜ao est´a claramente relacionada n˜ao com o alongamento da elipse, mas sim com o deslocamento vertical e horizontal da mesma, mostrando a maleabilidade de ajuste proporcionada pelo parˆametro livre q). O painel inferior mostra o limite m´aximo do parˆametro q, a partir do qual nosso m´etodo PL n˜ao intercepta mais os limites do WMAP. Apesar de possuir um alongamento maior da elipse, em rela¸c˜ao aos pain´eis anteriores, o painel inferior novamente mostra que o ajuste aos dados do WMAP n˜ao ´e uma quest˜ao de erros estat´ısticos, mas de parametriza¸c˜ao adeq¨uada. Pelos dois pain´eis intermedi´arios, vemos claramente que podemos obter parˆametros cosmol´ogicos compat´ıveis com os dados do WMAP, para os mesmos dados observacionais, apenas modificando a distribui¸c˜ao PS pela Lei de Potˆencia.
Figura 5.6: O intervalo [1 < q < 3]. Fixamos q e realizamos um teste χ2 no plano Ω
m− σ8.
Fixamos dois valores diferentes de q, um muito pr´oximo do limite do intervalo inferior (q = 1, 03) e o outro um pouco maior do que o primeiro (q = 1, 30). Notamos que uma pequena varia¸c˜ao em q produz uma imensa varia¸c˜ao nos dois parˆametros cosmol´ogicos. N´os fixamos o intervalo f´ısico de q nos limites [1, 03 ≤ q < 1, 30].
Na figura 5.8, fixamos Ωm = 0, 20 e realizamos um teste χ2 no plano q − σ8; como
resultado temos um contorno estat´ıstico transversal e quase plano, mostrando uma clara dependˆencia linear entre q e σ8. Veremos o mesmo comportamento no plano q −Ωm, fixando
σ8.
Outro exemplo, mostrando como nossa aproxima¸c˜ao PL ´e poderosa para limitar os parˆametros, ´e dado na figura 5.9; fixamos σ8 e realizamos um teste χ2 no plano q − Ωm.
No painel superior, para σ8 = 0, 70, temos Ωm ∼ 0, 20 como melhor ajuste. Quanto mais
aumentamos σ8, mais diminuimos o valor de Ωm (pain´eis do meio e inferior). Apenas σ8≤
0, 70 d´a Ωm≥ 0, 20 (o que ´e um bom valor para ambos os parˆametros, aceito atualmente em
medi¸c˜oes das massas em ´optico e raios-X, e tamb´em compat´ıveis com os dados da RCF). Quando realizamos um teste χ2 sobre todos os parˆametros de nosso modelo (q, Ω
m e
σ8), encontramos o melhor ajuste aos dados do HIFLUGCS em q = 1, 1, Ωm = 0, 16 e
σ8 = 0, 82. Podemos ver o plano Ωm− σ8 destes parˆametros de melhor ajuste no segundo
painel (de cima para baixo) da figura 5.7, e o plano aproximado de q − Ωm pode ser visto
no painel do meio da figura 5.9.
Na figura 5.9 fixamos σ8 = 0, 70 e obtemos Ωm = 0, 20 e q = 0, 19 como parˆametros de
melhor ajuste. Apenas para mostrar qu˜ao bom ´e esse ajuste aplicado diretamente aos dados do HIFLUGCS, mostramos a figura 5.10. Os triˆangulos mostram a fun¸c˜ao de massa em raios-X observacional binada do cat´alogo HIFLUGCS, e as linhas s˜ao os modelos te´oricos da fun¸c˜ao de massa (todos eles usando os dados do HIFLUGCS como pontos, e realizando sobre tais pontos um procedimento de ajuste). A linha s´olida ´e o nosso m´etodo PL com os parˆametros de melhor ajuste citados acima. A linha de tracejados longos mostra o procedi- mento de Reiprich usando a aproxima¸c˜ao de PS com Ωm= 0, 12 e σ8 = 0, 96 (que se ajustam
bem aos dados do HIFLUGCS mas, como j´a dissemos, s˜ao parˆametros incompat´ıveis com os dados mais atuais da RCF, fornecidos pelo WMAP). Apenas como curiosidade, apre- sentamos na linha pontilhada o procedimento de Reiprich (com a aproxima¸c˜ao de PS), mas usando agora os melhores parˆametros cosmol´ogicos obtidos com o nosso m´etodo PL (comparando com os triˆangulos notamos claramente o desajuste da aproxima¸c˜ao de PS em rela¸c˜ao ao HIFLUGCS, usando parˆametros cosmol´ogicos dentro dos limites dos dados do
Figura 5.7: Aplicando o teste χ2 usando os dados do cat´alogo HIFLUGCS. No painel
superior, temos os resultados usando PS; nos demais pain´eis temos os resultados usando PL. As interse¸c˜oes dos espa¸cos entre as linhas marcam os limites atuais do 3◦ano do WMAP.
Figura 5.8: Fixamos Ωm e realizamos um teste χ2 no plano q − σ8; como resultado temos
um contorno estat´ıstico transversal e quase plano, mostrando uma clara dependˆencia linear entre q e σ8. Veremos o mesmo comportamento no plano q − Ωm, fixando σ8.
Figura 5.9: Fixamos σ8 e realizamos um teste χ2 no plano q − Ωm. No painel superior,
para σ8 = 0, 70, temos Ωm∼ 0, 20 como melhor ajuste. Quanto mais aumentamos σ8, mais
Figura 5.10: Os triˆangulos representam a fun¸c˜ao de massa do cat´alogo HIFLUGCS, e as linhas s˜ao os modelos te´oricos. A linha de tracejado longo ´e o m´etodo PS com Ωm= 0, 12
e σ8 = 0, 96 (incompat´ıveis com os recentes resultados do WMAP, como vimos). A linha
s´olida ´e o m´etodo PL com σ8 = 0, 70 e Ωm = 0, 20 (parˆametros de acordo com os dados
recentes da RCF). A linha pontilhada ´e a aproxima¸c˜ao de PS com os mesmos parˆametros do m´etodo PL (vemos claramente a falta de ajuste aos dados observacionais).
WMAP). Vemos facilmente nesta figura como nosso m´etodo PL ´e flex´ıvel, em rela¸c˜ao ao PS.