Extraída do AFRF-2002.2:

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,4 --- 39,5 4 39,5 --- 49,5 8 49,5 --- 59,5 14 59,5 --- 69,5 20 69,5 --- 79,5 26 79,5 --- 89,5 18 89,5 --- 99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.

a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900

Sol.: Esta questão é mais trabalhosa, mas igualmente fácil! Apenas que teremos dois trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de três, com as duas classes que participarão parcialmente do resultado! Vamos lá!

Novamente nesse enunciado, a questão veio com aquela história de amostra e população! Disse que a amostra é de 100 e que a população é de 1000 indivíduos! Ora, deduzimos que a população é “10 vezes” o tamanho da amostra. Logo, qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao correspondente resultado da população! Até aqui, tudo bem!

EST ICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 5 de 10

A questão ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela já forneceu a freqüência absoluta simples (fi), e pediu como resposta um “número de indivíduos”, ou seja, ela quer que trabalhemos exatamente com esta fi.

ATÍST

Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que participarão desta resposta? Vejamos:

Classes Freqüência (f) 29,4 --- 39,5 4 39,5 --- 49,5 8 49,5 --- 59,5 14 Æ participa parcialmente! 59,5 --- 69,5 20 Æ participa integralmente! 69,5 --- 79,5 26 _{Æ participa integralmente!} 79,5 --- 89,5 18 Æ participa integralmente! 89,5 --- 99,5 10 Æ participa parcialmente!

Daí, teremos que fazer duas regras de três: uma para cada classe que participa apenas parcialmente da resposta. Ficarão assim:

Primeira Regra de Três, referente à terceira classe: 10 --- 14

9 --- X

Daí: X = (9 . 14)/10 Æ X = 126/ 10 Æ X = 12,6 Segunda Regra de Três, referente à última classe:

10 --- 10 6 --- Y

Daí: Y = (6 . 10)/10 Æ Y = 60 / 10 Æ Y = 6

Finalmente, passamos à composição do resultado:

Æ Terceira classe: (49,5|--- 59,5) Æ 12,6 elementos (X=12,6)

Æ Quarta classe: (59,5|--- 69,5) Æ 20 elementos (fi=20)

Æ Quinta classe: (69,5 |--- 79,5) Æ 26 elementos (fi=26)

Æ Sexta classe: (79,5 |--- 89,5) Æ 18 elementos (fi=18)

Æ Sétima classe: (89,5 |--- 99,5) Æ 6 elementos (Y=6)

---

Total: 82,6 elementos!

Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos que multiplicar a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima!

Ficaremos assim:

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04. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:

A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas.

Classes de Salários Freqüências

(5.000 – 6.500) 12 (6.500 – 8.000) 28 (8.000 – 9.500) 52 (9.500 – 11.000) 74 (11.000 – 12.500) 89 (12.500 – 14.000) 97 (14.000 – 15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.

a)R$10.000,00 b)R$9.500,00 c)R$12.500,00 d)R$11.000,00 e)R$11.500,00 Sol.: Novamente aqui se faz necessário trabalhar as colunas de freqüências para se chegar à freqüência absoluta simples, fi. Como isso já foi feito no Ponto n.º06 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”), partiremos para o resultado, como segue abaixo:

Classes de Salários _fac ↓ fi

(5.000-6.500) 12 12 (6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 (8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 (9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 (11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 (12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 (14.000-15.500) 100 (100-97=) 3

Aqui, precisaremos ir além, uma vez que o enunciado pede os salários “não ultrapassados por 79% da população”. Quero dizer que precisaremos encontrar a coluna da freqüência relativa simples (Fi). Para isso, usamos a relação que há entre esta Fi e a freqüência absoluta simples (fi). No caso desta questão, será facílimo este trabalho, pois o número de elementos da questão é n=100. Daí, teremos:

Classes de Salários _fac ↓ fi Fi

(5.000-6.500) 12 12 12% (6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 16% (8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 24% (9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 22% (11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 15% (12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 8% (14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 3%

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Pois bem! Você já deve ter percebido que esta questão é exatamente semelhante àquele exemplo da aula passada (Ponto 08), a quem denominamos “Variação Importante”. É isso mesmo!

Então, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqüência relativa – Fi -, a fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos nossa regra de três.

Vejamos: na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto; somando aos 28% da segunda classe, passamos a 40%; somando agora esses 40% acumulados com os 24% da terceira classe, passaríamos então a 52% dos elementos; somando a esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos aos 74% do total de elementos; finalmente, somando os 74% já acumulados aos 15% da quinta classe, passaríamos já aos 89% dos elementos deste conjunto! Ou seja, quando chegamos à quinta classe, se adicionarmos toda a sua freqüência relativa, ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado! Conclusão: trabalharemos a regra de três com a quinta classe da nossa distribuição!

Atenção agora: antes de chegarmos à quinta classe, tínhamos acumulados 74% do total dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questão, teremos que “avançar” mais quanto? Ora, a diferença: (79% - 74%)=5%. Ou seja: faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa resposta!

Nossa situação, portanto, é a seguinte: Classes de Salários fac ↓ fi Fi (5.000-6.500) 12 12 12% Æ 12% acumulados (6.500-8.000) 28 16 16% _{Æ 28% acumulados} (8.000-9.500) 52 24 24% Æ 52% acumulados (9.500-11.000) 74 22 22% _{Æ 74% acumulados}

(11.000-12.500) 89 15 15% Æ faltam 5% para chegarmos aos 79%!

(12.500-14.000) 97 8 8%

(14.000-15.500) 100 3 3%

Trabalhando a regra de três na quinta questão, ficaremos com: 1500 --- 15%

X --- 5%

Daí, teremos:

X = (1500.5%)/15% Æ E: X=500

Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de elementos do conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta quinta classe, para chegarmos aos 79% desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado!

Como havíamos visto na aula passada, este valor X=500 será somado ao limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí, ficaremos com:

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 8 de 10 05. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:

A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,4 --- 39,5 2 39,5 --- 49,5 6 49,5 --- 59,5 13 59,5 --- 69,5 23 69,5 --- 79,5 36 79,5 --- 89,5 45 89,5 --- 99,5 50

Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y.

a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5

Sol.: Aqui, mais uma questãozinha no modelo da anterior! Deseja-se encontrar o valor não superado por 80% dos elementos. Já sabemos, portanto, que vamos trabalhar com a freqüência relativa simples, Fi! A análise da coluna de freqüência fornecida já foi realizada no Ponto n.º06, em que trabalhamos este enunciado, para chegarmos à freqüência absoluta simples. O resultado foi o seguinte:

Classes fac ↓ fi 29,5 – 39,5 2 2 39,5 – 49,5 6 (6-2=) 4 49,5 - 59,5 13 (13-6=) 7 59,5 – 69,5 23 (23-13=) 10 69,5 – 79,5 36 (36-23=) 13 79,5 – 89,5 45 (45-36=) 9 89,5 – 99,5 50 (50-45=) 5

Feito isso, passaremos à construção da coluna da Freqüência Relativa Simples. Basta usarmos a relação (Fi=fi/n) para chegarmos ao seguinte:

Classes _fac ↓ fi Fi 29,5 – 39,5 2 2 4% 39,5 – 49,5 6 4 8% 49,5 - 59,5 13 7 14% 59,5 – 69,5 23 10 20% 69,5 – 79,5 36 13 26% 79,5 – 89,5 45 9 18% 89,5 – 99,5 50 5 10%

Observemos que o “n” neste caso foi igual a 50, que é o valor da fac da última classe! Já sabemos disso, naturalmente!

Faremos agora a análise dos valores acumulados da Fi, para descobrirmos com qual das classes trabalharemos a nossa regra de três. Na primeira classe, temos 4% dos elementos; somando com os 8% da segunda classe, passamos a 12%; somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira classe, passamos a 26%; somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta classe, chegamos aos 46% dos elementos do conjunto; (...calma, ta

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 9 de 10

chegando!); somando os 46% acumulados com os 26% da quinta classe, chegamos a 72% do total dos elementos; finalmente, somando estes 72% acumulados até aqui com os 18% da sexta classe, já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado!

Ou seja, até a quinta classe já acumulamos 72% do total dos elementos. Quanto falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença: (80% - 72%) = 8%. Traduzindo: teremos que “avançar” 8% na sexta classe, para chegarmos à resposta!

Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na sexta classe desta distribuição. A situação é a seguinte:

Classes fac fi Fi 29,5 – 39,5 2 2 4% _{Æ 4% acumulados} 39,5 – 49,5 6 4 8% Æ 12% acumulados 49,5 – 59,5 13 7 14% Æ 26% acumulados 59,5 – 69,5 23 10 20% Æ 46% acumulados 69,5 – 79,5 36 13 26% Æ 72% acumulados

79,5 – 89,5 45 9 18% _{Æ faltam 8% para chegarmos aos 80%!}

89,5 – 99,5 50 5 10%

A regra de três que faremos é a seguinte: 10 --- 18%

X --- 8%

Daí, teremos que:

X = (10 . 8%)/18% Æ E: X=4,4

Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos à resposta:

79,5 + 4,4 = 83,9 Æ Resposta da Questão!

E aí, meus bons amigos, como nos saímos? Espero que bem! De qualquer forma, ninguém sai perdendo: quem acertou, porque já começa a sentir segurança; quem errou, porque não vai errar mais, e com isso, já garantiu um ponto extra na próxima prova!

Tenho recebido vários e-mails me pedindo pra apressar o passo. Outros tantos pedem que eu continue nesse ritmo... O fato é que estou trabalhando nossas aulas na medida que o tempo me permite!

Peço licença agora para fazer uma pequena propaganda ao pessoal de Fortaleza: estou tentando formar uma turma preparatória de Estatística e Matemática Financeira. Aproveito o ensejo para lembrar que apenas com este curso o aluno já estará se preparando para várias provas, como Fiscal da Receita, Fiscal de Fortaleza (ISS), Fiscal do Estado do Ceará (ICMS) e Fiscal do INSS, além de outros... Início IMEDIATO!! Aos interessados (se houver algum), peço que me mandem um e-mail. Obrigado!

Próxima aula, começaremos as medidas de posição! A primeira a ser vista será a Média! O bonde está andando, minha gente!

EST ICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 10 de 10

O “dever de casa” de hoje é revisar todas as aulas passadas, e refazer todos os exercícios que foram propostos até aqui! Isso é importante que seja feito, porque daqui pra frente, a matéria vai se acumulando, se acumulando... e quem não revisar o que já aprendeu, vai esquecendo, esquecendo... até não saber mais nem o que é um rol! Fico por aqui. Um grande abraço e até a próxima!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 1 de 8

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS

Olá amigos! Eu havia dito na última aula que iniciaríamos, na seqüência, as medidas de posição, a começar pela Média! Ocorreu-me, todavia, que seria mais interessante e mais conveniente apresentar um tópico bastante simples da nossa matéria, e que, eventualmente, nos poderá ser extremamente útil,

sobretudo na determinação destas mesmas medidas – média, moda e mediana!

Destarte, embora o estudo da Média fique adiado para a próxima aula, estou certo de que não sairemos perdendo com isso! (Vocês mesmos me dirão no futuro!). Hoje, portanto, iremos analisar a Distribuição de Freqüência, quanto a um aspecto da maior relevância: a Simetria do conjunto.

Falar em simetria de uma distribuição é falar, a grosso modo, de como os elementos do conjunto se “distribuem” entre as classes. Se o fazem de uma forma “eqüitativa” ou não, ou por outra, de uma forma simétrica ou assimétrica.

Para que o assunto seja mais “palpável”, apresentaremos o gráfico mais importante da Estatística (pelo menos, para nós concurseiros!): o chamado HISTOGRAMA!

# Histograma:

Sempre que desejarmos representar graficamente uma Distribuição de Freqüências, o faremos por meio deste tipo de gráfico! Então, lembraremos que o Histograma é o gráfico que é um “retrato” da nossa distribuição! E é muito fácil de ser construído e interpretado.

No eixo das abscissas (o horizontal), estarão dispostos os elementos do conjunto – Xi – agrupados, naturalmente, em classes. Enquanto que nas ordenadas (eixo vertical) ficarão as freqüências absolutas simples – fi.

Vejamos abaixo:

fi (freqüência simples)

Xi (classes)

Daí, as classes serão representadas por retângulos (um para cada classe), cuja base será determinada pelos limites da classe (linf e lsup) e cuja altura, pela freqüência absoluta simples – fi. Vejamos o exemplo abaixo, considerando a seguinte Distribuição de freqüências:

Classes fi 0 |--- 10 2 10|--- 20 3 20|--- 30 6 30|--- 40 9 40|--- 50 12 50|--- 60 15 60|--- 70 12 70|--- 80 9 80|--- 90 6 90|--- 100 3 100|--- 110 2

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 2 de 8 Teremos para esse conjunto, o seguinte Histograma:

Percebamos que para cada classe haverá um retângulo, cuja altura nos dirá a freqüência correspondente! Mais simples, impossível! Só de olharmos para o Histograma, já temos uma excelente noção visual de como os elementos deste conjunto se distribuem. No caso desse nosso conjunto, se traçarmos um pontilhado dividindo o gráfico (verticalmente) em duas metades, teremos o seguinte:

O que um bom observador constataria neste momento? Que os elementos do conjunto estão distribuídos de uma forma simétrica, a considerar como referência a classe intermediária! Todos perceberam? É como se a linha pontilhada fosse um “espelho”. Notaram?

Outro exemplo! Façamos o mesmo procedimento, ou seja, encontremos o Histograma e tracemos uma linha divisória partindo da classe intermediária, para a seguinte Distribuição de Freqüência:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 3 de 8 Classes fi 0 |--- 10 2 10|--- 20 6 20|--- 30 11 30|--- 40 15 40|--- 50 8 50|--- 60 7 60|--- 70 6 70|--- 80 4 80|--- 90 3 90|--- 100 2 100|--- 110 1

Nosso Histograma agora será o seguinte:

Separando-o em duas metades a partir da classe intermediária, ficaremos com o seguinte:

Facilmente verificamos que, para esse último exemplo, não ocorreu a mesma simetria observada naquele primeiro conjunto que estudamos. Ou seja, tomando a classe intermediária da distribuição como referência, os elementos não se dispuseram de uma forma simétrica. Percebamos que aqui a linha pontilhada não funcionou como um “espelho”! Diz-se, nesse caso, que esta distribuição é assimétrica.

Surge a pergunta: precisaremos construir um Histograma sempre que desejarmos saber se uma Distribuição de Freqüências é simétrica? Claro que não! Apresentamos o Histograma com o intuito de proporcionar um melhor entendimento – uma melhor idéia inicial – do que vem a ser a simetria!

Quando, porém, desejarmos afirmar se uma distribuição é simétrica ou não, o faremos utilizando uma técnica que, aliás, não será encontrada em nenhum livro de Estatística (que se preze!): a Técnica do Elevador, que passamos a explicar neste momento.

# “Técnica do Elevador”:

Antes de mais nada, uma observação importante: doravante, sempre que nos depararmos com uma Distribuição de Freqüências, a primeira preocupação que teremos será justamente a seguinte: SABER SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA, ou não!

Qual a razão disso? Oportunamente, veremos as facilidades de se determinar as medidas de posição (média, moda e mediana) para uma distribuição simétrica, sem necessitar fazer uma só conta!

Por hora, nossa preocupação será apenas identificar quando a distribuição será simétrica. E isto é facílimo!