Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:

A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,4 --- 39,5 2 39,5 --- 49,5 6 49,5 --- 59,5 13 59,5 --- 69,5 23 69,5 --- 79,5 36 79,5 --- 89,5 45 89,5 --- 99,5 50

Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y.

a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5 Boa sorte! Página 8 de 8

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 1 de 10 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE INTERPOLAÇÃO DA OGIVA

Olá, amigos! Nós, de novo! E ai? Resolveram as questões da última aula? Espero que tenham tentado ( e conseguido, obviamente!). Faremos apenas as resoluções e os comentários pertinentes àquelas questões e, nas próximas aulas avançaremos na matéria. Vamos lá!

Extraído do AFRF-2002.1

1. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balançco de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P(%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.

a) 62,5% d) 45,0%

b) 70,0% e) 53,4%

c) 50,0%

Sol.: Esta questão pede a resposta em valores percentuais, ou seja, ela quer que trabalhemos com freqüências relativas, mais especificamente com a freqüência relativa simples (Fi). Essa constatação foi fácil! Resta agora verificar se a coluna fornecida foi já a Fi, ou se foi alguma outra. Ora, o enunciado foi explícito, afirmando que a coluna P “representa a freqüência relativa acumulada”. Já aprendemos, neste caso, o que fazer para chegarmos à coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). Esse estudo já foi objeto do Ponto n.º 05 (“Trabalhando com as Freqüências Acumuladas”) e na segunda página do Ponto n.º 06 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”) trabalhamos exatamente este enunciado, de forma que chegamos ao seguinte:

Classes _Fac ↓ Fi 70-90 5% 5% 90-110 15% (15%-5%=) 10% 110-130 40% (40%-15%=) 25% 130-150 70% (70%-40%=) 30% 150-170 85% (85%-70%=) 15% 170-190 95% (95%-85%=) 10% 190-210 100% (100%-95%=) 5%

A questão quer saber valores “menores ou iguais a 145”. É fácil verificar que este valor (145) está inserido na quarta classe (130 |-- 150). Logo, trabalharemos a regra de três exatamente aí, tendo em vista que as freqüências relativas das três primeiras classes participarão integralmente da resposta.

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 2 de 10 Classes Fi

70-90 5% _{Æ participa integralmente da resposta!}

90-110 10% _{Æ participa integralmente da resposta!}

110-130 25% _{Æ participa integralmente da resposta!}

130-150 30% _{Æ participa parcialmente da resposta!}

150-170 15% 170-190 10% 190-210 5%

A primeira parte desta regra de três levará em conta a quarta classe completa. Temos uma amplitude de h=20 e uma freqüência relativa simples de Fi=30%. Daí:

20 --- 30% (vinte está para trinta por cento)

Na segunda parte da regra de três, trabalhamos com a classe “quebrada”. Ora, menores ou iguais a 145, nesta classe, nós temos de 130 até 145. Logo, para este enunciado, a amplitude aqui desejada será esta diferença: (145 – 130)=15. Daí, teremos:

15 --- X% (quinze está para X%)

Nossa regra de três completa ficará assim: 20 --- 30%

15 --- X%

Resolvendo, ficaremos com:

X = (15 . 30%)/20 Æ X = 450%/20 Æ X=22,5%

Logo, este valor encontrado será a parcela de participação da quarta classe na resposta! Contudo, é evidente que as freqüências relativas das três primeiras classes também participarão do resultado, e de forma integral, como vimos acima! Assim, teremos:

Æ Primeira classe:(70 |--- 90) Æ 5% dos elementos (Fi=5%) Æ Segunda classe: (90 |--- 110) Æ 10% dos elementos (Fi=10%) Æ Terceira classe:(110 |--- 130) Æ 25% dos elementos (Fi=25%) Æ Quarta classe: (130 |--- 150) Æ 22,5% dos elementos (X=22,5%) ---

Total: 62,5% dos elementos! Æ Resposta!

02. Extraída do AFRF-2001:

Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salários Freqüências

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 3 de 10 3 ; 6 12 6 ; 9 30 9 ; 12 50 12 ; 15 60 15 ; 18 65 18 ; 21 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número.

a) 150 b)120 c)130 d) 160 e)180

Sol.: Esta questão é para observadores! Pra começo de conversa, o enunciado vem falando que as freqüências representam uma amostra de 10% dos empregados, ou seja, apenas 10% dos elementos do conjunto estão representados na amostra.

Observado isto, a questão pede um resultado referente à “freqüência populacional”. Ora, “populacional” significa “da população”! Se a amostra representa 10% da população, qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao resultado correspondente da população. Claro:

10%(amostra) x 10 = 100%(população)

Outra coisa: os limites das classes são valores expressos na casa das unidades (3, 6, 9) e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em valores “iguais ou inferiores a 7.000”. A explicação está acima da tabela, quando a questão diz “freqüências... em milhares de reais”. Ou seja, onde existe um 3, leia-se 3.000; onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por diante. Tudo isso é feito para tentar complicar um pouco o raciocínio do aluno, todavia, na essência, a questão é fácil do mesmo jeito!

Feitas estas preleções exordiais (!), temos que passar àquele trabalho já conhecido nosso, de chegarmos aos valores da freqüência absoluta simples – fi. Isso já o fizemos no Ponto n.º6 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”), quando trabalhamos exatamente este enunciado. O resultado foi o seguinte:

Classes de Salários _fac ↓ fi

(3 ; 6] 12 12 (6 ; 9] 30 (30 – 12=) 18 (9 ; 12] 50 (50 – 30=) 20 (12 ; 15] 60 (60 – 50=) 10 (15 ; 18] 65 (65 – 60=) 5 (18 ; 21] 68 (68 – 65=) 3

Pois bem! Valores iguais ou inferiores a R$7.000,00 passarão a ser, para nós, valores iguais ou inferiores a 7 (conforme vimos acima a questão dos milhares de reais!). Pela simples observação, constataremos que participa integralmente da resposta a freqüência da primeira classe. Já a segunda classe participará apenas parcialmente do resultado.

Ou seja:

Classes de Salários

fi

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 4 de 10

Æ participa parcialmente da resposta!

(6 ; 9] 18

(9 ; 12] 20

(12 ; 15] 10

(15 ; 18] 5

(18 ; 21] 3

Daí, trabalhando a regra de três com a segunda classe (naturalmente!), teremos:

3 --- 18

1 --- X

Multiplicando em cruz, chegamos a: X = (1 . 18)/3 Æ X = 6

Acharemos a resposta somando ao X a participação integral da primeira classe. Daí:

Æ Primeira classe:(3 |--- 6) Æ 12 elementos (fi=12) Æ Segunda classe: (6 |--- 9) Æ 6 elementos (X=6)

--- Total: 18 elementos!

Conforme a observação que fizemos no início desta resolução, os resultados obtidos para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para chegarmos aos resultados da população. Em vista disso, faremos:

18 x 10 = 180 Æ Resposta da Questão!