Livro - Estatística Básica - Sérgio Carvalho

ESTATÍSTICA **** Ponto 2 – PRIMEIROS CONCEITOS **** Pág. 1 de 7

PRIMEIROS CONCEITOS

Daremos início a nossas aulas pelo seu alicerce: os conceitos iniciais, aquelas noções básicas, cujo conhecimento se faz essencial ao desenrolar da matéria.

Quero deixar claro que nosso objetivo será o de atacar o programa do AFRF (Fiscal da Receita), tendo em vista, inclusive, a expectativa de novos concursos em breve! Neste intuito, serei o mais objetivo possível, de forma que estarei ressaltando certos assuntos e explicando outros de forma menos enfática, conforme estejam ou não inseridos no espírito das últimas provas realizadas pela ESAF!

Esta primeira aula é a mais, digamos, enfadonha... pelo fato de ser teórica em sua essência. Mas sua importância é indiscutível, para nos dar a noção inicial da disciplina.

Passemos, pois, aos primeiros conceitos: Æ Estatística:

Trata-se de um ramo da Matemática Aplicada, uma metodologia, uma técnica científica, adotada para se trabalhar com dados, ou seja, com elementos de pesquisa. Esta metodologia consiste em uma série de etapas, que serão explicadas por meio do exemplo abaixo:

Se eu pretendo realizar uma pesquisa para saber dos alunos de um colégio, quantos livros cada um deles lê por ano, o primeiro passo seria, obviamente, coletar esta informação, questionando um a um dos alunos. Feito isto, verei que as respostas estão desordenadas, desorganizadas, ou seja, estão fora de uma ordem (por exemplo: 8, 4, 7, 9, 5, 3, 15, 12, etc). Até aqui, os dados são chamados dados brutos, com os quais sequer podemos trabalhar. Surge, pois, a necessidade de se proceder a uma organização dos dados, para enfim passarmos à sua apresentação. Podemos, então, dispor estes dados brutos em um arranjo crescente (que poderia ser também decrescente!), a que chamaremos de rol. E o nosso rol seria, neste caso: {3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15, ...}.

Estas três etapas iniciais resumem-se em um único termo: síntese dos dados!

Realizada a síntese dos elementos, chegamos a uma fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados, com a qual descobriremos, por exemplo, quantos livros em média lêem por ano os alunos daquele colégio. Por fim, a partir da análise realizada, poderemos chegar a uma tomada de decisão, para, suponhamos, investir ou não em uma livraria naquela cidade ou naquela redondeza.

Os autores fazem, dentre estas etapas, uma classificação da estatística, a qual já foi objeto de questões teóricas em algumas provas passadas!

Æ Estatística Descritiva ou Dedutiva:

Lembraremos dela como a Estatística do D. É aquela encarregada dos primeiros passos do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização e a descrição (ou apresentação) dos dados. Conforme dito acima, estas etapas iniciais podem ser resumidas apenas como síntese dos dados. Portanto, se a questão perguntar se a estatística descritiva é responsável pela síntese dos dados, isto estará correto!

Æ Estatística Indutiva ou Inferencial:

Será, para efeitos mneumônicos, a Estatística do I. É a responsável pelas etapas finais do processo estatístico: a análise e a tomada de decisões. É a parte mais profunda, mais elaborada, enfim, mais complexa da estatística!

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Dica de Prova: para distinguir a estatística descritiva da indutiva, basta lembrar-se do D (de descritiva) e do I (de indutiva) e pensar que, no alfabeto, o D vem antes do I, logo, a estatística do D vem antes, ou seja, abraça os primeiros passos do método estatístico, enquanto a do I vem depois, ficando com as etapas finais.

Æ População:

Também chamada de Conjunto Universo. É aquele conjunto do qual se deseja extrair a informação, e cujos elementos têm, pelo menos, uma característica comum.

Naquele exemplo do colégio, em que íamos pesquisar o número de livros que os alunos lêem por ano, fica claro que a população seria o conjunto dos estudantes daquela escola. Primeiramente, porque é deste conjunto que se deseja extrair a informação; em segundo lugar, apresentam a característica comum de serem todos alunos do mesmo colégio.

Observe que o significado estatístico de população difere do seu significado geográfico! Se a questão afirmar somente que população é um conjunto de pessoas, isto estará incompleto, portanto errado!

Æ Censo:

É uma das formas de se processar um estudo estatístico. Suponha que aquele mesmo colégio do exemplo acima tenha precisamente mil estudantes. Se, na minha pesquisa, eu resolver consultar todos os alunos, ou seja, todos os elementos da minha população, fazendo o questionamento a cada um deles, sem exceção, estarei realizando um censo.

Ou seja, o censo é o tipo de estudo estatístico que abrange todos os elementos da população.

Æ Amostragem:

É o tipo de estudo estatístico que se contrapõe ao censo. Como o próprio nome indica, aqui será utilizada uma amostra, ou seja, uma parte, um subconjunto da população, que terá o condão de representar o conjunto inteiro. Ou seja, para que se possa considerar uma parte da população como uma amostra, é preciso que esta parte seja representativa do todo.

Se a questão afirmar que amostra é uma parte da população, e apenas isso, então a questão estará errada! É preciso frisar a característica essencial de uma amostra, que é a representatividade. Assim, estaria correta a assertiva: amostra é uma parte da população (um subconjunto), a partir da qual podemos auferir conclusões acerca desta mesma população. Observa-se, assim, o caráter de representatividade da amostra.

Æ Algumas Razões para a Adoção da Amostragem:

São todas elas intuitivas:

a) Quando a população é muito grande. Por exemplo, uma pesquisa eleitoral, realizada em um município com milhões de eleitores. Seria quase impossível entrevistar cada eleitor! Coleta-se, pois, uma amostra.

b) Quando se deseja o resultado da pesquisa em curto espaço de tempo. Vale o mesmo exemplo da pesquisa eleitoral. Às vezes se deseja atualizar o resultado destas pesquisas de dois em dois dias, ou mesmo diariamente. Não seria possível se entrevistar milhões de eleitores neste intervalo.

c) c) Quando se deseja gastar menos. Evidentemente, sai mais barato entrevistar algumas centenas ou mesmo milhares de pessoas, que entrevistar alguns milhões.

ESTATÍSTICA **** Ponto 2 – PRIMEIROS CONCEITOS **** Pág. 3 de 7 Æ Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Evento:

Surgem aqui três conceitos, que serão apresentados conjuntamente, por estarem intrinsicamente relacionados.

O significado de Experimento Aleatório poderá ser mais bem compreendido, se separado em três pontos:

1.º) É todo experimento que pode ser realizado indefinidas vezes, mantidas as mesmas condições iniciais;

2.º) Antes de ser realizado, não é possível afirmar qual será o resultado do experimento aleatório.

Observe que este segundo ponto é uma condição imprescindível para que um experimento seja considerado aleatório. A priori, ou seja, antes de acontecer, não se pode ter certeza de qual será o resultado do experimento aleatório!

3.º) Embora não conhecendo a priori o resultado do experimento aleatório (2.º ponto), mesmo antes de realizar o experimento aleatório é possível descrever todos os resultados possíveis deste experimento.

Ora, imaginemos o lançamento de um dado (daqueles que a gente joga na mesa), e analisemos se isto poderia ser considerado um experimento aleatório...

1.º) É possível repetir a experiência de lançar um dado indefinidas vezes, mantidas as mesmas condições? Ora, claro que sim! Se eu quisesse (tenho coisa melhor a fazer), poderia dedicar o resto dos meus dias a lançar o mesmo dadinho sobre a mesma mesa, sempre nas mesmas condições.

2.º) É possível, antes de lançar o dado, afirmar qual será exatamente o seu resultado? Claro que não, se considerarmos que o dado é normal (um dado de seis faces, com um valor diferente, de 1 a 6, em cada face). Poderemos tentar adivinhar, que dará um 6 ou um 4, mas afirmar com absoluta certeza, isso não podemos.

3.º) Antes de lançar o dado, é possível descrever o conjunto dos resultados possíveis? Claro! No caso, este conjunto será {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabemos que, se o dado é convencional, os resultados possíveis são de 1 a 6.

Conclusão: o lançamento de um dado (convencional, não viciado) é um experimento aleatório!

Com esta conclusão, e para efeitos mneumônicos, lembraremos da Teoria do Dado, para trabalharmos os três conceitos que estamos agora estudando!

O segundo conceito é o de Espaço Amostral (ou Espaço Amostra), que é um conceito, digamos, anterior à realização do experimento aleatório, e nada mais é do que o conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório!

Com a Teoria do Dado nos lembraremos que antes de jogar o dadinho, sabemos que os resultados possíveis deste experimento aleatório são {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pois bem: este é o espaço amostral daquele experimento aleatório! Repito: observemos que o espaço amostral já é conhecido, mesmo antes do experimento ser realizado!

O terceiro conceito é o de Evento, o qual, por sua vez, é um conceito posterior à realização do experimento aleatório, pois consiste simplesmente no resultado do experimento! Quando eu lancei o dado, e caiu o número 5, este é o evento: {5}. Logicamente, como vimos, o evento só será conhecido a posteriori, ou seja, após a realização do experimento.

Uma questão interessante de concurso falava sobre experimento aleatório com espaço amostral uniforme, definindo-o como aquele espaço amostral cujos elementos seriam todos iguais... Vamos pensar sobre isso! Imaginemos um dado

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viciado, ou seja, um dado que traga o número 6 em todas as faces. Isto estaria de acordo com este conceito criado pela questão. Neste caso, o espaço amostral – o conjunto dos resultados possíveis – seria: {6, 6, 6, 6, 6, 6}. Ora, deste modo seria possível prever o resultado do lançamento deste dado? Claro que sim! Seria 6, certo? Uma vez que todas as faces trazem este valor, não seria possível outro resultado! Agora, recordando o segundo ponto do conceito de experimento aleatório, vemos que, uma das condições deste conceito é a imprevisibilidade do resultado! Concluímos, daí, que espaço amostral uniforme é uma ficção, não existe, uma vez que destrói o próprio conceito de experimento aleatório!

Æ Variável:

É o objeto da pesquisa! É aquilo que estamos investigando. Por exemplo, se eu pergunto quantos livros você lê por ano, esta é a minha variável: número de livros lidos por ano; se a pesquisa questiona qual a sua altura, então altura será a variável; da mesma forma, pode-se pesquisar uma infinidade de outras variáveis: nível de instrução, religião, cor dos olhos, peso, estado civil, nacionalidade, raça, número de pessoas que moram na sua casa etc, etc. O objeto da pesquisa, do estudo estatístico, será, pois, a variável!

Æ Classificação das Variáveis:

Há, inicialmente, uma divisão principal para as variáveis estatísticas, que consiste em considerá-las como: Variáveis Quantitativas e Variáveis Qualitativas. Esta divisão é de facílima compreensão: será quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico! Ou seja, se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então, variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa. Agora, se a pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um número, daí estaremos tratando de uma variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico.

Dentro desta classificação inicial, há uma outra, outrora bastante explorada em provas, e que diz respeito às variáveis quantitativas.

As Variáveis Quantitativas podem ser: discretas ou contínuas.

Variável Discreta é a variável quantitativa que não pode assumir qualquer valor, dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um intervalo! Ou ainda, as respostas possíveis seriam sempre descontínuas.

Este acima é o conceito formal de variável discreta! O conceito mneumônico é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras palavras: a variável discreta você conta!

Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem em sua estante? Quantos carros importados você tem na sua garagem? Se, para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta (ou descontínua).

Por sua vez, a Variável Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,357kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável contínua pode ser obtida por uma medição, ou seja, a

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variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para resolução de uma prova, pressão, temperatura etc, etc.

Æ Dados Brutos:

Como o próprio nome indica, são os dados obtidos da pesquisa, dispostos da mesma forma como foram coletados, sem que tenha sido feito com eles qualquer ordenamento. Em outras palavras, podemos dizer que são os resultados das variáveis dispostos aleatoriamente, isto é, sem nenhuma ordem de grandeza crescente ou decrescente.

Æ Rol:

Vimos que uma das etapas do processo estatístico consiste em organizar os dados. Inclusive, já sabemos que organizar os dados é um dos passos da Estatística Descritiva ou Dedutiva (a Estatística do D!). Daí, uma forma de organizar os dados brutos consiste em dispor estes dados em uma ordem crescente ou decrescente. Daí, rol nada mais é que a ordenação dos dados brutos, de um modo crescente ou decrescente.

Uma questão de prova afirmava apenas que o rol é um arranjo dos dados brutos. E aí, certo ou errado? Vejamos que arranjo pode ser qualquer forma de dispor os dados. Para ser rol, teria a questão que falar em arranjo em ordem crescente ou decrescente. Errado, portanto, este item.

Æ Séries Estatísticas:

São nada mais que tabelas, as quais expressam o resultado de um estudo estatístico. Se, olhando para esta tabela, pudermos identificar três elementos, quais sejam: o objeto do estudo, o local e a época da pesquisa, então estaremos diante de uma série estatística. É, portanto, uma maneira de apresentar os dados estatísticos, de uma forma tabulada.

São três, pois, os elementos de uma série estatística: 1) o fato: é o fenômeno que foi investigado, e cujos valores estão sendo apresentados na tabela; 2) o local: indica o âmbito geográfico ou a região onde o fato aconteceu; 3) a época: refere-se ao período, data ou tempo, quando o assunto foi investigado.

Logo, ao apresentarmos uma série estatística, devemos apresentar respostas às seguintes perguntas: O quê? Quando? Onde? Tais perguntas serão respondidas, respectivamente, pelos elementos: descrição do fato, época e local.

Na série estatística haverá sempre um elemento que sofrerá variações. A partir deste elemento, estabeleceremos uma classificação para as séries estatísticas.

Æ Classificação das Séries Estatísticas:

Dependendo do elemento que varia e dos elementos que permanecem fixos, as séries serão classificadas em: Históricas, Geográficas, Específicas e Distribuição de Freqüências.

Serão chamadas Séries Históricas aquelas cujo elemento que sofrerá variação é a época, permanecendo fixos o local e a descrição do fenômeno.

Vejamos o exemplo abaixo:

PRODUÇÃO DE MINÉRIO DE MANGANÊS ---- PARÁ

Anos Quantidade (*) (toneladas) (*) Valores hipotéticos. 1978 12.104.375 1979 13.072.942 1980 18.739.223 1981 16.435.838

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Observemos que, olhando esta tabela acima, saberemos dizer qual foi o fenômeno estudado, qual o local e a época da pesquisa. Verificamos ainda que,

destes elementos, o objeto do estudo é fixo (produção de manganês), o local é fixo (Pará), porém a época da pesquisa varia de 1978 a 1981, determinando, por isso, que se trata de uma série histórica.

Existem alguns sinônimos para este tipo de série estatística, e que devem ser cuidadosamente memorizados, para o caso de uma questão teórica. São eles: séries cronológicas, temporais ou de marcha.

Serão chamadas Séries Geográficas aquelas cujo elemento variável será o local, permanecendo fixos o tempo e a descrição do fenômeno. São igualmente chamadas de séries espaciais, territoriais ou de localização. Convém dedicarmos especial atenção a estes sinônimos! Vejamos o exemplo abaixo:

PRODUTO INTERNO BRUTO - 1980

Países US$ (bilhões) (*) (*) valores hipotéticos. Holanda 126,3 Itália 106,3 França 103,6 Portugal 92,0

Verifica-se, facilmente, que são fixos o fenômeno estudado (produto interno bruto) e a época da pesquisa (1980). Todavia, o elemento local sofre variação, caracterizando, por isso, esta série estatística como série geográfica.

Chamar-se-ão Séries Específicas aquelas cuja descrição do fenômeno sofrerá variação, permanecendo fixos os elementos local e tempo. Recebem ainda os sinônimos de séries especificativas ou categóricas. Analisemos o exemplo abaixo: Número de alunos concludentes.

UFPE – 2000

Cursos n.º alunos (*) (*) valores hipotéticos

Direito 238 Medicina 125 Engenharia 74 Estatística 1

Observemos que permanecem fixos o local da pesquisa (UFPE – Universidade Federal de Pernambuco) e a época (ano 2000). Todavia, o fenômeno estudado está sofrendo uma variação, em diversas categorias (daí o nome categóricas), dando ensejo a esta classificação das séries específicas.

A quarta e última espécie de série estatística é, de longe, a mais importante delas. Trata-se da chamada Distribuição de Freqüências! A maioria das provas de estatística trabalha as questões tomando por base dados apresentados sob esta forma, ou seja, dados dispostos na Distribuição de Freqüências. Por este motivo, daremos redobrada ênfase a este tópico, reservando, inclusive, uma aula inteira para tratarmos deste assunto. Na Distribuição de Freqüências, os dados são ordenados segundo um critério de magnitude, em classes ou intervalos, permanecendo fixos o fato, o local e a época. Isto é, embora o fenômeno estudado seja único, este sofrerá uma subdivisão em classes! Vejamos o exemplo a seguir:

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Altura dos alunos do curso X. – 27/08/2002

Alturas (m) Nº de alunos

1,50 |--- 1,60 14

1,60 |--- 1,70 29

1,70 |--- 1,80 37

1,90 |--- 2,00 2

Observemos que o fenômeno estudado é único (altura dos alunos), todavia está se subdividindo em várias classes! Temos, pois, a classe dos alunos com altura variando entre 1,50m e 1,60m; a classe dos alunos com altura entre 1,60m e 1,70m, e assim por diante. Quando formos detalhar, em uma próxima aula, a Distribuição de Freqüências, voltaremos a falar sobre as classes e sobre todos os demais elementos deste tipo de série estatística!

OK! Chega de teoria por hoje... Ficamos agora com algumas questões de concursos, e o gabarito comentado iniciará a aula seguinte. Até lá, e um grande abraço!

EXERCÍCIOS DE HOJE 1. (TCU-93) Assinale a opção correta:

a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos.

b) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada população recebe o nome de censo.

c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus

componentes.

e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra aleatória.

2. (TCDF-95) Assinale a opção correta:

a) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.

b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.

c) Freqüência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável.

d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. e) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. 3. (TTN-94) Marque a opção correta:

a) Um evento tem, no mínimo, dois elementos de espaço-amostra de um experimento aleatório.

b) Em um experimento aleatório uniforme todos os elementos do espaço-amostra são iguais.

c) Dois experimentos aleatórios distintos têm, necessariamente, espaços-amostra distintos.

d) Uma parte não-nula do espaço-amostra de um experimento aleatório define um evento.

e) Um experimento aleatório pode ser repetido indefinidamente, mantidas as condições iniciais.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 1 de 8

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

Conforme combinado na aula passada, iniciamos hoje com o comentário dos exercícios que ficaram. Vamos a eles:

1. (TCU-93) Assinale a opção correta:

a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à tese de dados numéricos.

sín

FALSO. Vimos que síntese é a palavra que resume as primeiras etapas do processo estatístico (coleta, organização e descrição dos dados), que fazem parte da Estatística Dedutiva (a Estatística do D).

b) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de população recebe o nome de censo.

uma dada

VERDADEIRO. É exatamente o conceito de censo, que abrange a totalidade dos elementos da população investigada.

c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são das decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. toma

FALSO. Análise dos dados e tomada de decisões são as etapas finais do processo estatístico, e pertencem à Estatística Indutiva ou Inferencial (a Estatística do I). Percebamos que os itens (a) e (c) vieram com os conceitos invertidos!

d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes.

FALSO. Vimos que existe a possibilidade de se trabalhar apenas com uma parte da população, um subconjunto, que deverá ser representativo do todo. Estamos falando da amostra, e o estudo correspondente, a amostragem.

e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de mostra aleatória.

uma a FALSO.

2. (TCDF-95) Assinale a opção correta:

a) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.

FALSO. De graça esta! Faltam aqui as duas características que definem uma população: o interesse em se extrair dela uma informação e que todos os seus elementos tenham ao menos uma característica comum.

b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.

FALSO. É esse justamente o conceito de variável contínua (aquela que se mede!). Contrariamente, a variável discreta ou descontínua (aquela que se conta) não pode assumir qualquer valor.

c) Freqüência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável.

FALSO. Ainda não falamos sobre isso. Este assunto, dos tipos de freqüências, só será visto na quarta aula, então vamos por eliminação!

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 2 de 8 d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.

VERDADEIRO. Isso já vimos e está totalmente de acordo. Só recordando, outros sinônimos de série cronológica são: séries temporais, históricas ou de marcha. Nelas, o elemento que sofre variação é a época.

e) Ampli

FALSO. Também não falamos ainda sobre Amplitude Total, mas por eliminação já matamos que é falsa. Este conceito surgirá no final da aula de hoje! Então, após estudar a presente aula, retorne a este item para comprovar que está errado!

tude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.

3. (TTN-94) Marque a opção correta:

a) Um evento tem, no mínimo, dois elementos de espaço-amostra de um experimento aleatório.

FALSO. Para resolver esta questão, vamos nos lembrar da Teoria do Dado. O Evento é o resultado do experimento aleatório. Joguei o dado e deu {5}. Logo, {5} é o evento. Ora, {5} é apenas um dos elementos do Espaço Amostral deste experimento, logo a opção é incorreta.

b) Em um experimento aleatório uniforme todos os elementos do espaço-amostra são iguais.

FALSO. Inclusive já comentamos este item na aula passada. Se todos os elementos do Espaço Amostral fossem iguais, já se poderá conhecer, a priori, qual será o resultado do Experimento Aleatório. Isso vai de encontro, como sabemos, ao próprio conceito de Experimento Aleatório.

c) Dois experimentos aleatórios distintos têm, necessariamente, espaços-amostra intos.

dist

FALSO. Tomemos dois experimentos aleatórios distintos: o lançamento do dado A, e o lançamento do dado B. Lancei o dado A, e o resultado, ou seja, o evento foi {3}. Lancei o dado B, e o resultado foi, adivinhem, {3} também. O “necessariamente” do enunciado matou o item...

d) Uma parte não-nula do espaço-amostra de um experimento aleatório define um evento.

FALSO. Esta é boa! Bastante sutil! Para entendê-la tínhamos que lembrar que Espaço Amostral e Evento são conceitos que surgem em momentos distintos. Ou seja, o Espaço Amostral é conhecido antes da realização do Experimento Aleatório; enquanto que Evento só é conhecido após a sua realização. Daí, podemos passar o resto da vida a jogar um dadinho na mesa, e nunca – em tempo algum – o resultado dar {5}. Ou seja, um valor do Espaço Amostral, enquanto não se tornar resultado de um Experimento Aleatório, jamais será tomado por Evento. e) Um experimento aleatório pode ser repetido indefinidamente, mantidas as

condições iniciais.

VERDADEIRO. O item mais fácil da questão. Quem começou a resolvê-la de trás para frente, matou esta questão na hora! Temos aqui apenas uma parte do conceito de Experimento Aleatório.

A bem da verdade, as últimas provas da ESAF não têm exigido diretamente os conceitos que aprendemos na aula passada. Todavia, não poderíamos jamais deixar de conhecê-los, por serem o alicerce do programa.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 3 de 8

Hoje, mergulharemos na Distribuição de Freqüência, para conhecê-la aprofundadamente.

Não tenho receio em afirmar que estas primeiras aulas são as mais importantes do nosso curso. Em breve, comprovaremos isso mais concretamente!

Vamos à Distribuição de Freqüências...

Conforme vimos na aula passada, a Distribuição de Freqüências é um tipo de série estatística, ou seja, uma tabela que informa o resultado de uma pesquisa estatística, de forma que, olhando-se para ela, sabe-se o objeto da pesquisa – a variável –, além do local e da época em que foi esta pesquisa realizada.

Vimos também que, na Distribuição de Freqüências, a variável estudada é única, não varia; contudo, esta mesma variável estará subdividida em classes.

A grande maioria dos livros e apostilas ensina a forma de se construir uma Distribuição de Freqüências, a partir dos elementos fornecidos. Aqui nos diferenciaremos destes autores, por uma razão bem simples: se o programa do concurso já pede que se calcule tantas e tantas medidas, então o elaborador não vai querer que você perca tempo para construir a Distribuição. Ela já vem pronta, ou quase!

Veremos nas duas próximas aulas que existe, sim, um trabalho preliminar a ser feito na Distribuição de Freqüências, que diz respeito às colunas de freqüência, e que deve anteceder à resolução da prova. Mas isso só aprenderemos nas aulas que virão!

Partiremos, portanto, de uma Distribuição de Freqüências já fornecida. Vejamos abaixo um exemplo, que nos mostra a variável “altura” dos alunos de uma classe.

Altura dos alunos (m) Freqüências 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00 6 11 19 10 4 Total 50

Observe que neste exemplo, trabalhamos com a variável “estatura”, a qual classifica-se, conforme já visto, como uma variável quantitativa contínua! O entendimento das mesas elaboradoras, para efeito de uma questão teórica, é que em uma Distribuição de Freqüências só se pode trabalhar com variáveis contínuas, nunca com as discretas. Obviamente adotaremos esta corrente.

Olhando a tabela acima, talvez surja a pergunta: onde estão as identificações de lugar e época da pesquisa, que devem constar numa série estatística? O questionamento procede, porém saibamos, desde já, que muitas questões de prova costumam trazer apenas a tabela, com as classes e freqüências, sem maiores esclarecimentos acerca sequer da variável que se está apresentando. Daí, concluímos: para identificar que os dados apresentados estão em forma de uma Distribuição de Freqüências, bastará observar o fato de os elementos estarem agrupados em classes. Se estiverem agrupados em classes, pronto: é uma Distribuição de Freqüências.

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Analisemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma Distribuição de Freqüências. Posso afirmar, sem medo de cometer exageros, que este tópico é a base da resolução de uma prova de estatística. Sem se dominar, sem se conhecer a fundo estes elementos de uma Distribuição, pouco se pode fazer numa prova!

Æ Classes:

Consistem em um conceito intuitivo: são aquelas subdivisões dos elementos do conjunto. As classes são sempre definidas por dois limites – inferior e superior. No exemplo das alturas dos alunos, temos que aquela distribuição apresenta cinco classes.

Vemos que a primeira classe é a que vai de 1,50m a 1,60m; a segunda classe vai de 1,60m a 1,70m e assim por diante. A quinta classe vai de 1,90m a 2,00m.

Não há dificuldades em identificar as classes de uma Distribuição de Freqüências. Aprenderemos em breve que convém verificar se o número de classes da Distribuição é par ou ímpar, para efeito de analisar a existência de simetria no conjunto. (Veremos isso a seu tempo!).

Æ Intervalo de Classe:

Existe uma diferença sutil entre o que entendemos por classe e por intervalo de classe! Um exemplo simples elucidará o fato: se tomarmos, por exemplo, a quarta classe do nosso exemplo de Distribuição de Freqüências, veremos que esta classe vai de 1,80m a 1,90m. Eis a questão: um aluno que meça exatamente 1,90m integrará esta quarta classe? Ora, olhando-se atentamente, vemos que este valor 1,90m também faz parte da quinta classe (como limite inferior!). E aí? O aluno com 1,90m será computado na quarta ou na quinta classe? Aí é que entra o conceito de intervalo de classe! Dependendo da nomenclatura utilizada pela questão para construir as classes, teremos definidos os intervalos de classe, e saberemos responder à questão colocada. São as seguintes as nomenclaturas possíveis para o intervalo:

i) 1,80 |⎯ 1,90 : diz-se intervalo fechado à esquerda e aberto à

direita.

O tracinho na vertical indica intervalo fechado; a ausência deste tracinho indica intervalo aberto. O intervalo fechado significa inclusão, enquanto o intervalo aberto significa exclusão. Daí, neste caso, teremos que o presente intervalo inclui o limite inferior desta classe e exclui o seu limite superior. Logo, um aluno com exatamente 1,90m não estaria participando desta classe. Note bem: para este exemplo, a classe vai de 1,80m a 1,90m; porém, o intervalo de classe vai somente de 1,80m a 1,89m.

ii) 1,80 ⎯| 1,90 : aqui temos a situação inversa, ou seja,

intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Esta nomenclatura implica na exclusão do limite inferior e inclusão do limite superior da classe. Neste caso, aquele aluno de exatos 1,90m estaria participando desta classe, cujo intervalo está variando de 1,81m a 1,90m.

iii) 1,80 |⎯| 1,90 : intervalo fechado à esquerda e à direita. Vêem-se aqui incluídos neste intervalo tanto o limite inferior quanto o limite superior da classe. É o único caso em que o intervalo de classe se confunde com a própria classe. Um aluno com 1,90m estaria participando desta classe, bem como um aluno com 1,80m.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 5 de 8

iv) 1,80 ⎯ 1,90 : intervalo aberto à esquerda e à direita.

da classe. Neste caso, somente seriam computados nesta classe alunos cuja altura variasse entre 1,81m a 1,89m.

Conhecidas as possibilidades para a definição dos intervalos de classes, uma boa notícia: 99,99% das Distribuições de Freqüências presentes nas questões de concurso usam uma mesma nomenclatura para esta definição, qual seja: intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (linf |⎯ lsup ). Esta é a nomenclatura clássica, incluindo-se no intervalo o limite inferior da classe e excluindo-se o superior.

Considerando-se, pois, esta nomenclatura clássica, observamos que, uma vez que o limite superior da classe não está incluído no intervalo, faz-se necessário que o limite inferior da classe seguinte seja, necessariamente, igual ao limite superior da classe precedente. Se assim não fosse, haveria uma descontinuidade, e como já foi citado, trabalhamos aqui com dados contínuos!

Em palavras mais fáceis: onde acaba uma classe, começa a próxima! Ou ainda: o limite superior de uma classe coincide com o limite inferior da classe seguinte. Observemos:

Altura dos alunos 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

Æ Limites de uma classe:

São os seus extremos, mais conhecidos como limite inferior (linf) e limite superior (lsup). Já vimos que classe nem sempre é o mesmo que intervalo de classe, todavia, para se definir os limites (inferior e superior) de uma classe, basta olhar onde ela começa e termina, não se levando em conta a

uestão do intervalo de classe. q

Por exemplo, para a seguinte classe: 1,80 |---- 1,90 , teremos que o limite inferior é 1,80 e o limite superior é 1,90. Só isso!

Olhando para a Distribuição acima, qual seria o limite superior da quarta classe? Naturalmente que a resposta será 1,90!

Æ Ponto Médio de uma Classe:

Como o próprio nome indica, Ponto Médio é aquele elemento que está no meio da classe, ou seja, que divide a classe em duas partes iguais. Doravante, designaremos Ponto Médio por PM, e o calcularemos do seguinte modo:

2 inf sup l l PM = +

Considerando a primeira classe do nosso exemplo: (1,50 |--- 1,60). Ora, neste caso até no olho se pode afirmar que entre 1,50 e 1,60 estará o 1,55, certo? Certíssimo! Ocorre que nem sempre dá para se dizer o resultado sem fazer as contas.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 6 de 8

Daí, faríamos:

(1,50 + 1,60) / 2 = 3,10 / 2 = 1,65 = PM

Construamos, agora, a coluna dos Pontos Médios da nossa Distribuição de Freqüências! Teremos o seguinte:

Altura dos alunos PM 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

1,55

1,65

1,75

1,85

1,95

Se observarmos bem, constataremos que os Pontos Médios de uma distribuição estão dispostos em uma progressão aritmética, ou seja, a diferença entre dois pontos médios consecutivos é sempre uma constante! Observemos que essa diferença entre dois pontos médios consecutivos, neste exemplo, é igual a 0,10 (gravemos este valor!).

Guardemos, desde já, mais esta seguinte informação: o Ponto Médio é o legítimo representativo de uma classe, ou seja, é o elemento que melhor representa cada classe! Usaremos este dado no futuro.

Æ Amplitude de um Intervalo de Classe:

Tomaremos a palavra amplitude como sinônimo da palavra tamanho. Se estamos falando em amplitude da classe, trata-se do tamanho da classe. Um conceito muito simples e útil!

Designaremos a amplitude da classe por h, e a determinaremos da seguinte maneira:

inf sup l l h= −

Determinemos a amplitude das classes do nosso exemplo: 1,50 |--- 1,60 Æ h = 1,60 – 1,50 Æ h = 0,10

1,60 |--- 1,70 Æ h = 1,70 – 1,60 Æ h = 0,10 1,70 |--- 1,80 Æ h = 1,80 – 1,70 Æ h = 0,10 1,80 |--- 1,90 Æ h = 1,90 – 1,80 Æ h = 0,10 1,90 |--- 2,00 Æ h = 2,00 – 1,90 Æ h = 0,10

Observamos, pois, que as classes todas têm mesma amplitude! Ou seja, o h é sempre o mesmo! Neste caso, o h é igual a 0,10 (já vimos este valor antes?). Ora, agora há pouco vimos que para esta mesma Distribuição a distância entre dois pontos médios consecutivos era igual a 0,10! Coincidência? Nenhuma!

Concluímos que a diferença entre dois Pontos Médios consecutivos é igual à Amplitude da Classe!

Daí, descobrimos uma nova forma, mais prática, de construir a coluna dos pontos médios: basta calcularmos o primeiro Ponto Médio – o PM da primeira classe –, e depois, sairmos somando sempre o valor da amplitude da classe h. Senão, vejamos: no nosso exemplo, o primeiro Ponto Médio é 1,55 e a amplitude da classe h=0,10. Teremos, pois:

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 7 de 8 1,50 |--- 1,60 Æ PM = 1,55 Æ 1,55 + 0,10 = 1,65 = o próximo PM! 1,60 |--- 1,70 Æ PM = 1,65 Æ 1,65 + 0,10 = 1,75 = o próximo PM! 1,70 |--- 1,80 Æ PM = 1,75 Æ 1,75 + 0,10 = 1,85 = o próximo PM! 1,80 |--- 1,90 Æ PM = 1,85 Æ 1,85 + 0,10 = 1,95 = o próximo PM! 1,90 |--- 2,00 Æ PM = 1,95

Descobriremos agora algumas relações possíveis que envolvem Ponto Médio, Amplitude da Classe e os limites inferior e superior de uma classe!

Imaginemos que a classe é a reta seguinte, iniciando no limite inferior e terminando no limite superior. Vejamos:

linf lsup

| |

Agora lembremo-nos que o Ponto Médio – PM – é aquele elemento que está no centro da classe. Então teremos:

linf PM lsup

| | |

Agora nos lembramos: Amplitude é o mesmo que tamanho. O tamanho da classe é o h. Vejamos também que, uma vez que o Ponto Médio divide a classe em duas partes iguais, a distância do limite inferior até o PM será (h/2); assim como será (h/2) a distância do PM até o limite superior. Teremos:

h/2 h/2

linf PM lsup

| | |

h

Apenas olhando para a figura acima, concluímos que o limite superior de uma classe é o Ponto Médio do intervalo dessa classe somado com a metade da Amplitude de classe, ou seja:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 sup PM h l

Concluímos ainda que o limite inferior de uma classe é o Ponto Médio do intervalo dessa classe subtraído da metade da amplitude de classe, ou seja:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 inf PM h l

Æ Amplitude Total da Distribuição:

Chamamos antes amplitude de tamanho. Logo, Amplitude Total, designada por AT, consiste simplesmente no tamanho do conjunto inteiro. É um conceito facílimo e há duas formas de se calcular.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 8 de 8

A primeira forma é fazer o cálculo da diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).

min

max L

L

AT

=

−

A segunda maneira de determinarmos a Amplitude Total será simplesmente multiplicarmos o valor da Amplitude da Classe – h – pelo número de classes da Distribuição. O resultado será o mesmo.

AT = (número de classes).h

Difícil é decidir qual destas duas maneiras é a mais fácil para se chegar ao valor da AT. Adiante veremos que a Amplitude Total é também considerada uma Medida de Dispersão! A seu tempo...

De conversa por hoje já chega!!! Agora, passemos aos exercícios... Gabarito comentado, você já sabe, só no início da próxima aula. Até lá, e um grande abraço!

EXERCÍCIOS DE HOJE 1. Para o conjunto abaixo, determine o que se pede:

Xi fi 10 !--- 25 2 25 !--- 40 7 40 !--- 55 11 55 !--- 70 13 70 !--- 85 8 85 !--- 100 4

a) Qual a amplitude da classe? b) Qual a amplitude total?

c) Construa a coluna dos Pontos Médios

2. Se os pontos médios de uma distribuição de freqüências dos pesos dos estudantes de uma classe são: 52, 58, 64, 70, 76 e 82, determine a amplitude e os limites da quinta classe:

a) 5; (61 !--- 66) b) 6; (73 !--- 79) c) 5; (79 !--- 84) d) 6; (67 !--- 73)

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 1 de 9

TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS

Oi, pessoal! Vamos retomar, pelos exercícios que ficaram da aula passada. 1. Para o conjunto abaixo, determine o que se pede:

Xi fi 10 !--- 25 25 !--- 40 40 !--- 55 55 !--- 70 70 !--- 85 85 !--- 100 2 7 11 13 8 4

Sol.: Questão das mais fáceis, apenas para efeitos de fixação! a) Qual a am

Resp.) h=15 Basta lembrar que “amplitude da classe = tamanho da classe”. Daí: (25-10=15; 40-25=15; ...)

plitude da classe?

b) Qual a am

Resp.) AT=90 Claro! Amplitude Total é o tamanho de todo o conjunto. Assim, podemos fazer: (Lsup – Linf)=100–10=90, ou ainda AT={h.(número de classes)}=6x15=90

plitude total?

c) Cons

Resp.) Basta fazermos a conta do PM para a primeira classe (a mais de cima), e daí, sairmos somando com o valor do h, que é 15. Vejamos:

trua a coluna dos Pontos Médios

Xi fi

PM

2. Se os pontos médios de uma distribuição de freqüências dos pesos dos estudantes de uma classe são: 52, 58, 64, 70, 76, 82, determine a amplitude e os limites da quinta classe:

a) 5; (61 !--- 66) b) 6; (73 !--- 79) c) 5; (79 !--- 84) d) 6; (67 !--- 73)

Sol.: Aqui precisamos lembrar dos conceitos e da relação que existe entre Amplitude de Classe – h – e os Pontos Médios – PM.

Sabemos que a distância entre dois Pontos Médios é igual à Amplitude da Classe. Assim, já matamos que o h=6. (58-52=6; 64-58=6; 70-64=6 e assim por diante).

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 2 de 9 Ora, conhecendo o h, trabalharemos para descobrir a primeira classe, cujo PM é igual a 52. Façamos o desenho desta classe, para podermos enxergar melhor:

(h/2)=3 (h/2)=3

linf PM=52 lsup

| | |

h=6

Daí, tomaremos aquelas duas relações entre PM, Amplitude h e os limites da classe, quais sejam...

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

2

sup

PM

h

l

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

2

inf

PM

h

l

... e chegaremos aos seguintes valores:

Æ lsup = (52 + 3) = 55 e linf = (52 – 3) = 49

Pronto! Conhecendo a primeira classe, praticamente matamos a questão! Vamos desenhar a estrutura desta Distribuição de Freqüências, e ver o que já temos: Xi PM 49 !--- 55 ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? 52 58 64 70 76 82

Como já sabemos da aula passada, onde acaba uma classe começa a próxima, ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte. Logo, na segunda classe, o limite inferior será 55, ok? Daí, ficaremos assim: Xi PM 49 !--- 55 55 !--- ? ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? 52 58 64 70 76 82

Para completar a segunda classe, ou seja, para descobrir o seu limite superior, bastará somar o limite inferior com a Amplitude da Classe, o h. Não é claro isso? Teremos que, para esta segunda classe, lsup = 55 + 6 = 61.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 3 de 9 Ficaremos agora com:

Xi PM 49 !--- 55 55 !--- 61 ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? ? !--- ? 52 58 64 70 76 82

Para determinarmos o restante das classes, só precisaremos continuar com este mesmo procedimento:

Æ O limite inferior da classe é igual ao limite superior da classe anterior; e

Æ o limite superior da classe é o seu limite inferior somado à Amplitude da Classe, h.

Daí, ao final, teremos a seguinte Distribuição de Freqüências: Xi PM 49 !--- 55 55 !--- 61 61 !--- 67 67 !--- 73 73 !--- 79 79 !--- 85 52 58 64 70 76 82

A questão perguntou a respeito da quinta classe, e as respostas são as seguintes:

Resp.) h=6 ; linf=73 e lsup=79 Æ Letra B.

Entraremos neste instante em um tópico crucial do programa: o conhecimento dos diferentes tipos de freqüências – as colunas de freqüência – que podem ser construídas e utilizadas em uma Distribuição!

Direi porque este tópico é fundamental: sem saber como trabalhar com as colunas de freqüências, de nada servirá conhecermos todas as fórmulas que usaremos na prova; corremos o risco de errar uma questão após a outra...!

Agora que consegui prender sua atenção, vamos ao que interessa.

Por primeiro, saibamos que trabalharemos com freqüências que podem ser absolutas ou relativas. Designadas pela letra f, minúscula ou maiúscula, como segue:

f Æ Freqüência Absoluta.

F Æ Freqüência Relativa.

O que diferencia a freqüência absoluta (f) da freqüência relativa (F) é o fato de que, na absoluta trabalha-se com número de elementos; enquanto que na relativa trabalha-se com percentual de elementos! Logo entenderemos isso melhor!

Existem seis tipos de freqüências, sendo três freqüências absolutas e três freqüências relativas! São elas as seguintes:

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág.4 de 9

fi Æ freqüência absoluta simples

Absolutas fac Æ freqüência absoluta acumulada crescente

fad Æ freqüência absoluta acumulada decrescente

Fi Æ freqüência relativa simples

Relativas Fac Æ freqüência relativa acumulada crescente

Fad Æ freqüência relativa acumulada decrescente

Aprenderemos como se construir essas colunas de freqüências e o que significa cada uma delas! Antes, porém, é preciso conhecer o Caminho das Pedras, que será usado para se construir tais freqüências. Ei-lo:

fad

fi fad ⇒ Caminho das Pedras!

Fac

Fi

Fad

Este caminho indica o seguinte: a freqüência absoluta simples, fi, é a

mãe, por assim dizer, direta ou indiretamente, de todos os outros tipos de freqüências.

São diretamente originadas por ela (fi) as freqüências absolutas acumuladas, crescente (fac) e decrescente (fad), bem como a freqüência relativa simples (Fi)! Desta última originam-se as freqüências relativas acumuladas, crescente (Fac) e decrescente (Fad).

Além de ser a mãe das demais freqüências, a absoluta simples (fi) é a mais importante delas: seu conhecimento se faz necessário na determinação de praticamente tudo o que se costuma cobrar numa prova de Estatística, como cálculo da média, moda, mediana, desvio-padrão, variância, coeficiente de variação, medidas de assimetria, medidas de curtose, medidas separatrizes etc.

Daí a pergunta: se a fi é assim tão essencial numa prova, será ela sempre fornecida pelas questões? Eis o ponto! Até alguns anos atrás, era já um fato costumeiro que os enunciados trouxessem (de bandeja) a coluna da fi. Tornou-se algo tão comum, que muita gente foi surpreendida quando isso deixou de acontecer! De fato, em provas ocorridas nos últimos três ou quatro anos, os enunciados passaram a fornecer outras freqüências, que não a fi, embora as questões continuassem a exigir todas aquelas medidas cujo conhecimento da freqüência absoluta simples seria essencial.

E então? Como proceder? Simples! Basta percorrer o caminho das pedras ao contrário, ou seja, o caminho de volta, para se chegar da freqüência fornecida à freqüência absoluta simples.

Vamos antes conhecer cada uma das freqüências!

Æ Freqüência Absoluta Simples (fi)

Indica, simplesmente, quantos elementos do conjunto pertencem a cada classe.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 5 de 9 Tomemos nosso exemplo dos alunos de uma sala de aula:

Altura dos alunos fi 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

11

19

10

4

A fi da primeira classe é 6, o que indica que há 6 elementos do conjunto que participam da primeira classe. Traduzindo, para este caso: há 6 alunos com altura entre 1,50m e 1,60m (na verdade, até 1,59m! Vide intervalo de classe!)

A fi da segunda classe é 11, ou seja, há 11 elementos do conjunto que participam da segunda classe. Ou ainda: são 11 alunos que medem entre 1,60m e 1,70m (mais precisamente, até 1,69m). E assim por diante!

Uma observação importante: a soma das freqüências absolutas simples é chamada de freqüência total ou tamanho do conjunto e corresponde, obviamente, ao número total de elementos do conjunto. Este total de elementos é, geralmente, designado pela letra n. No nosso exemplo, temos que n = 50, ou seja, nosso conjunto tem 50 elementos (50 alunos na sala!).

Quando a questão apresentar a Distribuição de Freqüências já com a coluna da fi construída, então ótimo! Já poderemos até começar a resolver nossa prova! Contudo, quando isto não acontecer e, em vez de ser fornecida a fi, a prova trouxer uma das outras freqüências – fac, fad, Fi, Fac ou Fad – será necessário, antes que se inicie a resolução das questões, que se determine a coluna da fi, perfazendo o caminho de volta do Caminho das Pedras!

Æ Freqüência Absoluta Acumulada Crescente (fac)

A fac é de fácil compreensão se utilizarmos um exemplo! Primeiramente, aprendamos como se constrói esta coluna de freqüência. Pelo caminho das pedras, sabe-se que isto se faz partindo-se da fi.

Precisamos saber que a fac tem um apelido, qual seja, a freqüência do “abaixo de”. Como seu apelido é “abaixo de”, indicaremos esta coluna também com uma setinha para baixo, e assim, lembraremos que ela será construída de cima para baixo (no mesmo sentido da seta!). Tudo o que precisamos saber é que, na primeira classe (a mais de cima), a freqüência absoluta acumulada crescente (fac) tem o mesmo valor que a freqüência simples (fi)! Vejamos:

Altura dos alunos fi _fac ↓ 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

11

19

10

4

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 6 de 9 Agora, para construir o restante da coluna da fac, nos bastará apenas somar com a diagonal. Portanto, somaremos a fac com a próxima fi, ou seja, somaremos com a fi da classe seguinte! Vejamos:

Altura dos alunos fi _fac ↓

1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00 6 11 19 10 4 6 (= à primeira fi) 17 (= 6 + 11) 36 (= 17 + 19) 46 (= 36 + 10) 50 (= 46 + 4) Total n=50

Se você é bom observador (e eu já dei uma forcinha...), já terá visto que a fac da última classe é igual ao total de elementos do conjunto (n)! Isso não foi mera coincidência! Se ao construir a fac, o último valor dessa coluna for diferente do n, então refaça suas contas.

Como se vê, não há dificuldades em se construir a coluna da fac! Repete-se, na primeira clasRepete-se, a freqüência simples (fi), e daí soma-se sempre com a diagonal também da fi.

Agora, vejamos o significado desta freqüência absoluta acumulada crescente: conforme o próprio apelido desta freqüência indica, a fac de uma classe significa o número de elementos do conjunto que tem valor abaixo do limite superior da própria classe!

Tomando o nosso exemplo, se perguntarmos quantos alunos desta classe tem estatura abaixo de 1,80m, veremos que participam da resposta as freqüências envolvidas nas três primeiras classes desta Distribuição. Sendo que há 6 alunos na primeira classe, 11 alunos na segunda classe e 19 alunos na terceira. Somadas as freqüências simples destas três classes (6+11+19), chegamos a um total de 36 alunos. Exatamente o valor da freqüência absoluta acumulada crescente da terceira classe!

Ou seja, o valor 36 da fac da terceira classe significa que existem 36 alunos com altura abaixo de 1,80m (que é o limite superior desta terceira classe)! Não é fácil?

De novo: o que significa o valor 46 que está na fac da quarta classe? Significa que há 46 alunos com altura abaixo de 1,90m (limite superior desta quarta classe)! OK?

Como dito anteriormente, teremos, na resolução da prova, que conhecer a freqüência absoluta simples – fi. Precisaremos desta fi para calcular quase tudo o que as questões irão pedir! Logo, se na prova vier uma Distribuição de Freqüências que forneça a freqüência absoluta acumulada crescente – fac – em vez da freqüência simples, não poderemos começar a resolver nada, antes de encontrar a fi. Acima, aprendemos a construir a fac partindo da fi. Estávamos seguindo o caminho das pedras. Agora, faremos o caminho de volta: fac para fi!

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 7 de 9

Vejamos:

Altura dos alunos fac fi

1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

17

36

46

50

?

?

?

?

?

Neste caso, a volta do caminho das pedras se fará da seguinte forma: já sabemos que a fi e a fac têm, na primeira classe, o mesmo valor! Daí, repete-se a freqüência da primeira classe da fac na fi. Teremos:

Altura dos alunos fac fi

1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

17

36

46

50

6

?

?

?

?

Agora lembre-se: no caminho de volta do caminho das pedras nós não somaremos com a diagonal! Somar com a diagonal é o processo da ida no caminho das pedras! O caminho de volta é diferente!

Trabalharemos com a coluna da fac, fazendo apenas uma subtração: próxima fac menos fac anterior! Só isso: próxima fac menos fac anterior. O resultado da subtração vai ser a freqüência absoluta simples, fi.

Senão, vejamos:

Altura dos alunos fac fi

1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

17 (17-6=)

36 (36-17=)

46 (46-36=)

50 (50-46=)

6

11

19

10

4

Convém novamente ressaltar: antes de iniciarmos a resolução das questões, é preciso atentar para qual foi a freqüência fornecida. Caso tenha sido a freqüência absoluta simples (fi), então ótimo, já se poderá começar a resolver a prova. Caso contrário, não há o que pensar: será preciso encontrar a fi, antes de qualquer coisa!

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 8 de 9 Æ Freqüência Absoluta Acumulada Decrescente (fad)

Aprenderemos, inicialmente, como se constrói a freqüência absoluta acumulada decrescente e, depois, qual o seu significado. Retomando o caminho das pedras vemos que também a fad será construída a partir da freqüência absoluta simples (fi).

A freqüência absoluta acumulada decrescente (fad) também tem um apelido: freqüência do “acima de”. Com este apelido, usaremos para esta freqüência uma setinha apontada para cima! No mesmo sentido desta seta iremos construir esta coluna, ou seja, de baixo para cima. Desse modo, na última classe (a mais de baixo), a fad terá o mesmo valor que a fi. Vejamos:

Altura dos alunos (m) fi _fad ↑ 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

11

19

10

4

.

.

.

.

4

Para completar a coluna, basta subirmos sempre somando com a diagonal, ou seja,

somando a fad com a próxima fi (a fi da diagonal), do modo abaixo descrito:

Altura dos alunos fi _fad ↑ 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

11

19

10

4

50

(=44+6)

44 (=33+11)

33 (=14+19)

14 (=4+10)

4

Observe que, quando usamos o caminho das pedras para construir as freqüências acumuladas, utilizamos sempre esse artifício de somar na diagonal. No caso da fac, descemos somando com a fi da diagonal; no caso da fad, subimos!

E agora, qual o significado desta coluna? Por exemplo, vamos descobrir o que significa o valor 33 da terceira classe da fad. Se perguntarmos quantos elementos do conjunto apresentam valor maior que 1,70m, ou seja, quantos alunos desta classe tem estatura acima de 1,70m, perceberemos que participam da resposta a terceira, a quarta e a quinta classes. Teremos, então, 19 alunos na terceira classe, 10 alunos na quarta classe e 4 alunos na quinta classe, totalizando 33 alunos, estes com altura maior (ou igual) a 1,70m. Se formos diretamente na coluna da freqüência absoluta acumulada decrescente, na linha correspondente à terceira classe, acharemos justamente este valor: 33.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 9 de 9 Concluímos, pois, que a freqüência absoluta acumulada decrescente de uma classe (fad) indica o número de elementos do conjunto que tem valor acima do limite inferior desta mesma classe.

Outro exemplo: vejamos o que significa o valor 14 constante na quarta classe da coluna da fad? Significa exatamente que existem 14 alunos na classe, com valor acima de 1,80m, que é o limite inferior desta quarta classe! Entenda-se este “acima de 1,80m” como “maior ou igual a 1,80m”. Fácil, não? Somente isso!

As provas mais recentes têm trazido a seguinte cilada: fornecem a freqüência absoluta acumulada decrescente – fad – e pedem que sejam determinadas medidas de posição, de dispersão etc. Neste caso, obviamente, faz-se imprescindível o conhecimento da freqüência absoluta simples – fi – como já foi dito anteriormente.

Para isso, teremos que percorrer o sentido de volta do caminho das pedras. Partindo da última classe da coluna da fad (cuja freqüência é igual à da fi), faremos apenas uma subtração: próxima fad menos fad anterior! O resultado da subtração vai ser a freqüência absoluta simples, fi. Vejamos:

Altura dos alunos _fad ↑ fi 1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

50 (50-44=)

44 (44-33=)

33 (33-14=)

14 (14-4=)

4

6

11

19

10

4

Agora, sim! Após construída a coluna da freqüência absoluta simples, estamos prontos para iniciarmos a resolução da prova.

Em outras palavras: não basta ao candidato deter o conhecimento de todas as fórmulas (que já não são poucas!) das medidas de posição, dispersão, assimetria, curtose etc! É preciso saber trabalhar com as colunas de freqüência, sob pena de sair errando uma questão após outra, somente por uma desatenção!

Ficamos hoje por aqui, tendo concluído a apresentação das freqüências absolutas. Próxima aula, conheceremos as freqüências relativas e a forma de trabalhar com elas.

Deixarei os exercícios desta aula acumularem com os da aula seguinte, quando encerraremos esta teoria das colunas de freqüências. Até lá, e um grande abraço!

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 1 de 7 TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS

Oi, minha gente! Como não ficaram exercícios remanescentes da aula passada, partiremos imediatamente para o assunto de hoje, dando seqüência ao estudo das colunas de freqüência.

Æ Freqüência Relativa Simples (Fi)

Agora que conhecemos as três colunas de freqüências absolutas, passaremos às freqüências relativas. O que as diferencia – freqüências absolutas e relativas – é o fato de que as absolutas indicam (como o próprio nome sugere) valores absolutos, ou seja, indicam o número de elementos; enquanto que as relativas indicam percentuais de elementos.

Designam-se as freqüências simples com a letra “f ” (minúscula) e as relativas pela maiúscula “F”. Daí, não podemos nos esquecer: se a questão trata de número de elementos, pensaremos em freqüências absolutas; se a questão trata de percentual de elementos, pensaremos em freqüências relativas.

A primeira coluna de freqüência relativa que veremos é a Freqüência Relativa Simples – Fi, que será originada a partir da freqüência absoluta simples fi (conforme ilustra o caminho das pedras!) e, por sua vez, dará origem aos dois outros tipos de freqüência relativa. Relembremos esta parte do caminho das pedras:

Fac

fi Fi

Fad

A freqüência relativa simples – Fi – será determinada por meio de uma conta, uma divisão, que é a seguinte:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

∑

fi

fi

Fi

Onde fi é a freqüência absoluta simples da classe, e Σfi (somatório da freqüência absoluta simples) é o número de elementos do conjunto, ou seja, é o nosso “n”. Já vimos que este “n” será encontrado simplesmente somando-se a coluna da freqüência absoluta simples – fi.

Daí, teremos: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n fi Fi

Portanto, teremos que fazer esta divisão para cada uma das classes, para assim completarmos a coluna da freqüência relativa simples.

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 2 de 7

Altura dos alunos Fi Fi

1,50 |⎯ 1,60 1,60 |⎯ 1,70 1,70 |⎯ 1,80 1,80 |⎯ 1,90 1,90 |⎯ 2,00

6

11

19

10

4

0,12 ou 12% (=6/50)

0,22 ou 22% (=11/50)

0,38 ou 38% (=19/50)

0,20 ou 20% (=10/50)

0,08 ou 8% (=4/50)

Vamos ilustrar um exemplo de como estas contas foram elaboradas. Para a primeira classe, como tínhamos fi = 5, a conta foi a seguinte:

6 / 50 = 0,12 (= 12%)

Observemos que a resposta em termos unitários (0,12) significa a mesmíssima coisa que a resposta em termos percentuais (12%). Apenas é uma maneira diferente de se representar. Tanto é assim que, nas provas, podem vir fornecidas de qualquer dos dois formatos (12% ou 0,12). Para passar do modo unitário para o percentual, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita e acrescer o símbolo do percentual (%).

Atentemos para o seguinte fato: quando começamos a construir esta coluna da Fi, verificamos que o resultado da conta, neste nosso exemplo, é sempre – em termos percentuais – o dobro da freqüência simples fi. Vejamos: na primeira classe, a fi é 6 e a Fi é 12% (6x2=12); na segunda classe, a fi é 11 e a Fi é 22% (11x2=22). Ora, se o candidato quiser continuar fazendo sempre aquela divisão, irá constatar que, para este nosso exemplo, a regra já está estabelecida (uma vez que dividir por 50 resultaria o mesmo efeito que multiplicar por 2, acrescentando o símbolo do percentual!). Esta observação na hora da prova pode nos dar alguns segundos de vantagem sobre a concorrência!

Percebemos, portanto, que não há dificuldade alguma em se construir a Fi. Basta nos lembrarmos da divisão, e pronto! Agora, qual o significado desta coluna de freqüência? Muito simples: a Freqüência Relativa Simples indica o percentual de elementos que pertence a cada classe.

No nosso exemplo, o valor 20% presente na quarta classe da Fi significa apenas que 20% do total dos elementos do conjunto têm altura entre 1,80 e 1,90m (1,89m para ser mais exato. Vide intervalo de classe). Ou seja, fazem parte da quarta classe, 20% dos elementos do conjunto.

A Fi da segunda classe é 22%. Isto significa que há 22% do total de elementos do conjunto que estão compreendidos nesta classe, ou seja, com altura entre 1,60 e 1,70m (1,69m, exatamente). E assim por diante!

Eventualmente, pode a prova fornecer a Fi e precisarmos encontrar a fi, freqüência absoluta simples. Neste caso, mais uma vez, percorreremos o sentido de retorno do caminho das pedras. Aqui a coisa será bem simples. Basta usar a mesma fórmula que vimos acima, agora isolando a fi em vez da Fi.

Teremos que: fi = Fi . n

Ou seja, multiplicaremos, ao invés de dividirmos! Atenção: se isto acontecer na nossa prova (e já aconteceu!), observe que o enunciado terá, necessariamente, que fornecer o “n”, ou seja, terá que informar o número total de elementos do conjunto! Vejamos o nosso exemplo, e suponhamos que a questão informou que o número total de elementos do nosso conjunto é n=50.