Perturba¸ c˜ ao do equil´ıbrio MHD
4.1 Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes
4.1 Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes
A equa¸c˜ao das linhas de campo,
B×d= 0, (4.1)
onde d ´e um elemento de linha na dire¸c˜ao das linhas de campo magn´etico, ´e escrita no sistema cil´ındrico como,
ˆ
r θˆ zˆ Br Bθ Bz dr rdθ dz
= 0, (4.2)
uma vez que,Br =0 no equil´ıbrio, (4.2) resulta em:
rdθ Bθ = dz
Bz. (4.3)
No caso do equil´ıbrio MHD com simetria cil´ındrica a combina¸c˜ao resultante dos campos na dire¸c˜aoz e na dire¸c˜ao poloidalθ resulta em linhas de campo com trajet´oria helicoidal.
De acordo com a equa¸c˜ao (4.3) e com a figura 4.1 ´e poss´ıvel definir uma inclina¸c˜ao local de uma linha de campo como,
dz
dθ =rBz
Bθ, (4.4)
Figura 4.1: Inclina¸c˜ao local de uma linha de campo magn´etico representada bidimensional-mente. Figura adaptada de [38].
Definimos o fator de seguran¸ca como a inclina¸c˜ao m´edia das linhas de campo, de
4.1. Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes 70 acordo com a equa¸c˜ao (4.4) podemos escrevˆe-lo como:
q= 1 2π
2π 0
dz
dθdθ = 1 2π
2π 0
rBz
Bθdθ. (4.5)
Em coordenadas cil´ındricas o fator de seguran¸ca toma a seguinte forma, qc ≡ 1
L dz
dθ = rBz
LBθ, (4.6)
onde L´e um comprimento caracter´ıstico na dire¸c˜ao z (comprimento da coluna cil´ındrica de plasma). Podemos interpretar a equa¸c˜ao (4.6) como a distˆancia em z percorrida por uma linha de campo magn´etico ap´os uma volta de 2π na dire¸c˜ao poloidal, ou seja como o passo de uma h´elice. Para superf´ıcies cil´ındricas com r =constante qc ´e constante,
Δz =qc(R)2π. (4.7)
Para valores racionais do fator de seguran¸ca associado a uma linha de campo magn´etico, este pode ser representado como a raz˜ao entre dois inteiros,
q= m
n, (4.8)
onde m ´e o n´umero de voltas na dire¸c˜ao z e n ´e o n´umero de voltas na dire¸c˜ao poloidal necess´arias para que uma dada linha de campo magn´etico feche-se sobre si mesma. Neste caso, sendo q um n´umero racional, a superf´ıcie magn´etica asscociada a este valor de q = m/n ´e dita racional e ter´a um conjunto de n pontos discretos de intersec¸c˜oes das linhas de campo, como mostra a figura4.2.
Figura 4.2: Intersec¸c˜ao de pontos discretos nas superf´ıcies magn´eticas racionais.
Quanto maior for o valor deqmais est´avel ser´a a superf´ıcie magn´etica associada `a linha de campo [13]. Para um sistema multiperi´odico as trajet´orias no espa¸co de fase ocorrem sobre toros invariantes [32]. No contexto da MHD a frequˆencia de um toro invariante est´a relacionada `a frequˆencia das linhas de campo magn´etico que jazem sobre uma dada superf´ıcie magn´etica, associada a um valor q do fator de seguran¸ca. Dizemos que essa
4.1. Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes 71 frequˆencia ´e o inverso do fator de seguran¸ca [31] [33],
Ω(J) = 1
q. (4.9)
Para qualquer intensidade da perturba¸c˜ao, o teorema de Poincar´e-Birkhoff afirma que os toros racionais ser˜ao destru´ıdos. Se o modo dominante da perturba¸c˜ao ´e caracterizado pelos inteiros (m, n), no lugar do toro racional haver´a a cria¸c˜ao de 2m pontos fixos, sendo metade destes pontos fixos el´ıpticos e metade hiperb´olicos [31]. Deste modo, quando o sistema ´e sujeito a uma perturba¸c˜ao peri´odica tanto em z como na dire¸c˜ao poloidal θ, com modos m e n por exemplo, todas as superf´ıcies magn´eticas caracterizadas por um valor racional do fator de seguran¸ca q = m/n ser˜ao destru´ıdas, pois entrar˜ao em ressonˆancia com a perturba¸c˜ao externa. Dizemos que essas superf´ıcies destru´ıdas s˜ao superf´ıcies ressonantes ou superf´ıcies racionais.
De acordo com as equa¸c˜oes (4.6) e (3.117), o fator de seguran¸ca associado com o sistema em que aplicaremos a perturba¸c˜ao ´e dado por,
q= B0(2−ξ)
onde omitimos a constanteμ0Ada equa¸c˜ao (3.117). B0 ´e o campo de equil´ıbrio na dire¸c˜ao z,L´e o comprimento da coluna de plasma,r0 ´e o raio da coluna de plasma. O parˆametro ξ foi definido no cap´ıtulo anterior como a raz˜ao entre a energia potencial gravitacional e t´ermica do plasma, para um processo isot´ermico (na geometria cil´ındrica):
ξ= 2Gλ RT¯ .
Sejaq =m/n um n´umero racional, podemos escrever para uma superf´ıcie ressonante, m
Podemos localizar os pontos fixos el´ıpticos criados com a destrui¸c˜ao de um toro racional isolando r em (4.11), denotando-os como rm/n.
rm/n =
4.1.1 Superf´ıcies invariantes - Teorema KAM
Quando o fator de seguran¸ca assume um valor irracional, uma determinada linha de campo n˜ao fechar´a sobre si mesma. Neste caso, n intersec¸c˜oes cobrir˜ao densamente a superf´ıcie magn´etica e a superf´ıcie ´e dita irracional, como mostra a figura 4.3.
4.1. Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes 72
Figura 4.3: Intersec¸c˜oes cont´ınuas de pontos sobre superf´ıcies magn´eticas irracionais.
O teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser) afirma que a maioria das superf´ıcies irracionais ser˜ao preservadas sob perturba¸c˜ao, mesmo tendo suas formas bastante modi-ficadas. Para isso, a intensidade da perturba¸c˜ao ε deve ser suficientemente baixa, o fator de seguran¸ca associado ao toro irracional deve ter um n´umero suficientemente irracional e o perfil do fator de seguran¸ca deve ser uma fun¸c˜ao monotˆonica crescente ou decrescente [11] [31].
Entende-se um n´umero suficientemente irracional como aquele que ´e pior representado por um racional em uma fra¸c˜ao continuada. Quando consideramos a representa¸c˜ao de um n´umero irracional q em uma fra¸c˜ao continuada temos,
qn= rn
sn ≈a0+ 1 a1+ 1
a2+a 1
3+.. 1 an
= (a0, a1, a2, a3..., an). (4.13)
Sendo (a0, a1, ...an) n´umeros naturais, temos uma sequˆencia rn/sn de n´umeros racionais sucessivos de aproxima¸c˜oes para um irracionalq. Se esta sequˆencia converge rapidamente signifca que o n´umero irracional q´e bem aproximado por racionais, dizemos que ele ´e um
“bom irracional”. Contudo, se esta sequˆencia converge lentamente diz-se que o n´umero q ´e um “mau irracional”, n˜ao sendo, portanto, bem aproximado por n´umeros racionais.
Neste ´ultimo caso q´e considerado um n´umero suficientemente irracional e, de acordo com o teorema KAM, o toro a ele associado ser´a preservado da destrui¸c˜ao. Nesse sentido, o n´umero ´aureo σ = (√
5−1)/2 ´e o “pior irracional”, pois sua sequˆencia de aproximantes sucessivos representada em uma fra¸c˜ao continuada tem a seguinte forma [11],
σ= 1 + 1
1 + 1
1+1+..11
1
= (1,1,1,1,1...), (4.14)
a qual converge muito lentamente. Como superf´ıcies irracionais s˜ao caracterizadas por uma incomensurabilidade entre frequˆencias, o teorema KAM afirma que para estas super-f´ıcies vale a seguinte rela¸c˜ao:
ωz ωθ − r
s
> k(ε)
s5/2, (4.15)