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(4)

(5)

“A ciência, meu rapaz, é feita de erros, mas erros bons de cometer, pois levam aos poucos à verdade”.

Julio Verne - Viagem ao Centro da Terra.

(6)

Agradecimentos

• Ao Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana pela orienta¸c˜ao e sugest˜ao do projeto.

• A minha fam´ılia.`

• Aos amigos e amigas: Bruno, Crislaine, Fabiano, Luana, Marlon, Taline e Talita pelo apoio, conselhos e amizade.

• Aos meus colegas de p´os-gradua¸c˜ao.

• Aos membros da banca.

• A CAPES pelo suporte ﬁnanceiro.`

• Ao grupo FISUX pelo c´odigo de formata¸c˜ao dessa tese.

(7)

RESUMO

Nesta tese apresentamos uma formula¸cão generalizada para o equil´ıbrio MHD na presen¸ca de um campo gravitacional externo em sistemas simétricos com uma coordenada ignorável. Esta descri¸cão foi feita considerando processos isotérmicos e adiábaticos. So- lu¸cões anal´ıticas exatas são apresentadas para coordenadas retangulares, cil´ındricas e es- féricas. Adicionamos uma perturba¸cão no equil´ıbrio MHD cil´ındrico, para um processo isotérmico, por meio de campos magnéticos externos periódicos, afim de visualizar a forma¸cão de ilhas magnéticas. Considerando a superposi¸cão dos campos magnéticos de equi- l´ıbrio e perturbativo, obtemos se¸cões de Poincaré do espa¸co fase do sistema, por integra¸cão numérica das equa¸cões das linhas de campo. Empregando uma formula¸cão hamiltoniana

`

as linhas de campo magnético e, por meio de um tratamento perturbativo do problema, obtemos uma expressão anal´ıtica para a largura das ilhas magnéticas. Tal expressão foi obtida considerando que as ilhas magnéticas que surgem devido à perturba¸cão podem ser descritas pela aproxima¸cão do pêndulo. Por fim, comparamos resultados numéricos e ana- l´ıticos dos pontos fixos el´ıpticos, que surgem quando uma superf´ıcie magnética ressonante

é destru´ıda devido à perturba¸cão. Comparamos também as larguras das ilhas magnéticas obtidas pelas se¸cões de Poincaré, com as larguras dadas pela expressão anal´ıtica na aproxima¸cão do pêndulo.

Palavras-chave: equil´ıbrio MHD, perturba¸cão do equil´ıbrio MHD, linhas de campo mag- nético, ilhas magnéticas, se¸cões de Poincaré.

(8)

ABSTRACT

In this work we present a general formulation for MHD equilibrium in the presence of an external gravitational field in simmetric systems with one ignorable coordinate. Such description was made considering both adiabatic and isotherm process. Exact analytic solutions are presented for rectangular, cilindrical and espherical coordinates. By add an external and periodic perturbation field on MHD cilindrical equilibrium, for isotherm process, we visualize the magnetic islands in Poincaré’s sections. The Poincaré’s sections was obtained by numeric integration of the magnetic field lines, considering the superpo- sition of both equilibrium and perturbation fileds. By using a hamiltonian formulation for the magnetic field lines with a peturbation treatment of the problem, we obtained an analytical expression for magnetic islands widths. Such expression was obtained by pendulum’s approximation, which is an assumption that the magnetic islands resembles the pendulum phase space trajectories, if the perturbation is weak. We compared numerical and analytical results for the eliptic fixed points that arises when a ressonant magnetic surface is destroyed. At last we compared the numerical (Poincaré’s sections) and analytical results for the magnetic islands widths.

Keywords: MHD equilibrium, magnetic ﬁeld lines, perturbation of MHD equilibrium, magnetic islands, Poincar´e’s sections.

(9)

LISTA DE FIGURAS

2.1 Varia¸cão da grandeza f no tempo e no espa¸co.. . . 19 2.2 Elemento de área da superf´ıcieS0. . . 20 2.3 For¸cas de pressão sobre um fluido. . . 22 2.4 ReferencialKno qual o fluido está em repouso relativo e se movendo em rela¸cão

a K. . . 27 2.5 Deslocamento de uma superf´ıcie devido aos movimentos do plasma. Figura re-

tirada de [9]. . . 30 2.6 Ilustra¸cão do congelamento de fluxo magnético. Figura retirada de [9]. . . 31 3.1 Elemento de superf´ıcie poloidal dS^p em corte. Figura adaptada de [53]. . . 34 3.2 Linhas de campo e corrente sobre superf´ıcies isobáricas. Figura adaptada de [2]. 41 3.3 Campo gravitacional em coordenadas retangulares, ondeyé a coordenada igno-

rável. . . 44 3.4 Fun¸cão de fluxo Ψ para três valores do parâmetro τ, definido como a razão da

energia potencial gravitacional pela energia térmica do plasma em coordenadas retangulares, para um processo isotérmico.. . . 46 3.5 Componente Bz do campo magnético magnético em (a) e componente Jy da

densidade de corrente em (b), no sistema de coordenadas retangulares, para um processo isot´ermico. . . 47 3.6 Linhas de campo magn´etico no plano y= constante, em coordenadas retangu-

lares, para um processo isotérmico.. . . 48 3.7 Fun¸cão de fluxo Ψ para três valores do parâmetro Γ, definido como a razão da

energia potencial gravitacional pela energia térmica do plasma, para um processo adiabático em coordenadas retangulares. . . 50 3.8 Componente B^z do campo magnético em (a) e componente J^y da densidade de

corrente em (b), para um processo adiab´atico em coordenadas retangulares. . . 51 3.9 Linhas de campo magn´etico para diferentes valores de z0, para um processo

adiabático em coordenadas retangulares. . . 52 3.10 Campo gravitacional em coordenadas cil´ındricas, ondezé a coordenada ignorável. 53 3.11 Fun¸cão de fluxo Ψ para três valores do parâmetro ξ definido como a razão da

energia potencial gravitacional pela energia t´ermica do plasma, para um processo isot´ermico em coordenadas cil´ındricas. . . 54

(10)

3.12 Componente Bθ do campo magn´etico em (a) e componente J^z da densidade de

corrente em (b), em coordenadas cil´ındricas para um processo isot´ermico. . . 55

3.13 Linhas de campo magnético para o equil´ıbrio MHD isotérmico com geometria cil´ındrica, para três valores deξ. . . 56

3.14 Fun¸cão de fluxo magnético para três valores do parâmetro Λ, definido como a razão da energia potencial gravitacional pela energia térmica, para um processo adiabático em coordenadas cil´ındricas. . . 58

3.15 Componente Bθ do campo magnético em (a) e componente J^z da densidade de corrente em (b) para três valores do parâmetro Λ. . . 59

3.16 Linhas de campo magnético para o equil´ıbrio MHD adiabático com geometria cil´ındrica, para três valores de Λ.. . . 60

3.17 Representa¸cão do campo gravitacional em geometria esférica, onde o ângulo φé a coordenada ignorável. . . 61

3.18 Fun¸cão de fluxo Ψ para o equil´ıbrio MHD isotérmico esférico, para três valores do parâmetro definido como a razão da energia potencial gravitacional pela energia térmica do plasma: (a)= 0,5; (b)= 1,0 e (c)= 1,5.. . . 63

3.19 ComponenteB^r do campo magnético para o equil´ıbrio MHD isotérmico na geometria esférica, para três valores do parâmetro . . . 64

3.20 ComponenteBθ do campo magnético para o equil´ıbrio MHD isotérmico na geometria esférica, para três valores de.. . . 65

3.21 Componente B^φ do campo magnético para o equil´ıbrio MHD isotérmico na geometria esférica. . . 65

3.22 Superf´ıcies magnéticas para o equil´ıbrio MHD isotérmico no sistema de coordenadas esféricas, para três valores de , (a)= 0,5; (b)= 1,0 e (c)= 1,5. . 67

4.1 Inclina¸c˜ao local de uma linha de campo magn´etico representada bidimensional- mente. Figura adaptada de [38]. . . 69

4.2 Interseçcão de pontos discretos nas superf´ıcies magnéticas racionais. . . 70

4.3 Interseçcões cont´ınuas de pontos sobre superf´ıcies magnéticas irracionais. . . 72

4.4 Sequˆencia de pulsos quadrados do campo perturbativo. . . 76

4.5 Espa¸co de fase ΔJ×θˆdo pˆendulo . . . 80

4.6 Varia¸cão derm/ncom o expoenteξ(razão entre a energia potencial gravitacional e térmica do plasma) para m= 4 en= 3; 4 e 5. . . 81

4.7 Varia¸cão de ΔJm/n em fun¸cão do parâmetroξ para m= 4, com intensidade de perturba¸cão ε= 0,0025 en= 3; 4 e 5. . . 82

4.8 Varia¸c˜ao derm/n com npara trˆes valores do expoente ξ. . . 82

4.9 Varia¸cão de ΔJm/n em fun¸cão den para três valores do expoenteξ, com intensidade de perturba¸cão ε= 0,0025. . . 83

4.10 Varia¸cão de ΔJm/n com a intensidade de perturba¸cão ε, para três valores do expoente ξ, quando n= 1. . . 84

(11)

4.11 Varia¸cão de ΔJm/n com a intensidade de perturba¸cão ε, para três valores do expoente ξ, paran= 2. . . 84 4.12 Interseçcão de pontos em superf´ıcies racionais e irracionais. . . 85 4.13 Se¸cão de Poincaré em um cilindro. Figura adaptada de [52]. . . 85 4.14 Superf´ıcies magnéticas na ausência de perturba¸cão externa no plano (x×y). . . 86 4.15 Superf´ıcies magnéticas na ausência de perturba¸cão externa no plano (r×θ). . . 87 4.16 Espa¸co de faser×θ, param = 4 eξ = 0,5, com intensidade de perturba¸cão

ε = 0,0025. . . 88 4.17 Espa¸co de fase r ×θ, para m = 4 e ξ = 1,0, com intensidade de perturba¸c˜ao

ε= 0,0025. . . 88 4.18 Espa¸co de fase r ×θ, para m = 4 e ξ = 1,5, com intensidade de perturba¸c˜ao

ε= 0,0025. . . 89 4.19 Esquema de medida numérica do centro de uma ilha magnética, a figura repre-

senta uma magnifica¸cão da figura4.16.. . . 90 4.20 Esquema de medi¸cão da largura de uma ilha magnética, a figura representa a

magnifica¸cão da figura4.16. . . 91 A.1 Coordenadas covariantes e contravariantes. Figura adaptada de [54]. . . 99 A.2 Coordenadas covariantes e contravariantes num sistema de três eixos.Figura re-

tirada de [55]. . . 100 A.3 Superf´ıcies coordenadas. Figura retirada de [55] . . . 100

(12)

LISTA DE TABELAS

4.1 Valores num´ericos e anal´ıticos de rm/n paraξ= 0,5.. . . 90

4.4 Valores num´ericos e anal´ıticos de ΔJm/n paraξ = 0,5 e ξ= 1,5. . . 91

(13)

SUM ´ ARIO

1 Introdu¸c˜ao 14

2 Equa¸c˜oes da MHD ideal 19

2.1 Equa¸cões da Hidrodinâmica Clássica . . . 19

2.1.1 Derivada convectiva . . . 19

2.1.2 Equa¸c˜ao da Continuidade . . . 20

2.1.3 Fluidos ideais: equa¸c˜ao de Euler . . . 21

2.1.4 Fluidos ideais: ﬂuxo de energia . . . 23

2.2 Equa¸c˜oes do eletromagnetismo . . . 23

2.2.1 Equa¸c˜oes de Maxwell no v´acuo . . . 23

2.2.2 Equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da carga . . . 25

2.2.3 For¸ca de Lorentz e Potenciais . . . 25

2.2.4 Lei de Ohm generalizada . . . 26

2.3 Equa¸c˜oes da MHD ideal . . . 27

2.4 Teorema de Alfv´en . . . 29

3 Equil´ıbrio MHD em plasmas simétricos com campo gravi- tacional externo 32 3.1 Condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático . . . 32

3.1.1 Fun¸cão de fluxo magnético transversal . . . 33

3.1.2 Fun¸c˜ao de ﬂuxo de corrente . . . 36

3.2 Equa¸c˜ao de equil´ıbrio MHD est´atico na presen¸ca de campo gravitacional . . . 38

3.2.1 Equa¸c˜ao para um processo isot´ermico . . . 42

3.2.2 Equa¸c˜ao para um processo adiab´atico . . . 42

3.3 Solu¸cões anal´ıticas para processos isotérmicos e adiabáticos . . . . 43

3.3.1 Solu¸c˜oes em coordenadas retangulares . . . 44

3.3.2 Solu¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas . . . 52

3.3.3 Solu¸c˜ao em coordenadas esf´ericas . . . 60

4 Perturba¸c˜ao do equil´ıbrio MHD 68 4.1 Fator de seguran¸ca e superf´ıcies ressonantes . . . 69

(14)

4.1.1 Superf´ıcies invariantes - Teorema KAM . . . 71

4.2 Formalismo Hamiltoniano das linhas de campo magn´etico . . . 73

4.2.1 Parte integr´avel . . . 73

4.2.2 Parte n˜ao-integr´avel . . . 74

4.3 Forma¸c˜ao de ilhas magn´eticas . . . 78

4.4 Se¸c˜oes de Poincar´e . . . 85

4.4.1 Mapeamento na ausˆencia de perturba¸c˜ao . . . 85

4.4.2 Mapeamento na presen¸ca de perturba¸c˜ao . . . 87

5 Considera¸c˜oes Finais e Perspectivas Futuras 93 Referˆencias 95 A Coordendas curvil´ıneas generalizadas 99 A.1 Coordenadas e vetores de base . . . 99

A.2 Elementos de linha, ´area e volume . . . 103

A.3 O tensor m´etrico . . . 103

A.4 Componentes vetoriais . . . 104

A.5 Operadores diferenciais . . . 107 B Formalismo hamiltoniano para as linhas de campo magn´e-

tico em coordenadas curvil´ıneas generalizadas 108

C Artigo publicado 112

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸ c˜ ao

A descri¸cão de fluidos condutores sob a a¸cão de campos magnéticos pode ser feita conciliando equa¸cões da hidrodinâmica clássica com as equa¸cões do eletromagnetismo, resultando nas equa¸cões magnetohidrodinâmicas (MHD). Se considerarmos um fluido condutor ideal, podemos então obter um conjunto de equa¸cões da MHD ideal [1]. Um fluido condutor pode ser um gás aquecido a uma temperatura muito elevada afim de provocar a dissocia¸cão das suas moléculas atômicas, fazendo com que este fique ionizado. Designamos por plasma um gás ionizado que apresenta: comportamento coletivo, o que possibilita que ele possa ser adequadamente descrito como um fluido cont´ınuo, e a quase-neutralidade [2, 3]. No contexto astrof´ısico existem diversas aplica¸cões da MHD ideal, em particular na descri¸cão de várias estruturas da atmosfera solar, onde a condutividade elétrica do plasma é muito alta e sua viscosidade suficientemente baixa [4–6].

O plasma possui habilidade em blindar campos elétricos externos. Quando o plasma é sujeito a um potencial elétrico externo rapidamente forma-se uma nuvem de blindagem eletrônica no seu interior [2,3]. Contudo, essa blindagem eletrônica não é perfeita devido ao seu movimento térmico [2]. Nas regiões da nuvem de blindagem eletrônica em que a energia potencial elétrica é da ordem da energia térmica do plasma, algumas part´ıculas escapam do potencial elétrico e carregam campos elétricos para o interior do mesmo [2].

Dizemos que o plasma é quase-neutro, isto é, neutro o suficiente para tomarmos o número de elétrons aproximadamente igual ao número de ´ıons em seu interior, porém não neutro o suficiente para que todas as for¸cas eletromagnéticas de interesse desapare¸cam [2]. Além disso, em um plasma a frequência das suas oscila¸cões eletromagnéticas deve ser maior que a sua frequência colisional com átomos neutros. Deste modo, o movimento será governado predominantemente por for¸cas eletromagnéticas e não por for¸cas hidrodinâmicas [2, 7].

Embora a transi¸cão de um gás para um plasma não seja considerada uma transi¸cão de fase no sentido termodinâmico [3], uma vez que, não ocorre à temperatura constante,

é frequente nos depararmos com a designa¸cão de plasma como o quarto estado da ma- téria. Isto se deve a sua ocorrência espontânea na natureza. A maior parte da matéria no universo existe no estado de plasma [2, 3, 8]. Os gases no interior das estrelas estão

14

(16)

15 ionizados devido a sua alta temperatura [9]. A camada mais externa da atmosfera solar, a corona solar, tem uma alta temperatura, da ordem de T ∼3×10⁶K e baixa densidade, n∼10²⁰m⁻³ [9–11]. Deste modo, todo o Hidrogênio e Hélio lá existentes estão completa- mente ionizados, formando um plasma [9–12]. Como a corona solar constitui a parte mais externa da atmosfera solar, é nela que são observadas as proeminências solares, as quais são estruturas na forma de al¸cas, que surgem devido ao campo magnético solar [10–12].

Quando essas estruturas solares se rompem formam o vento solar [9,10,12]. Sendo assim, a composi¸c˜ao de estrelas, nebulosas, o vento solar, s˜ao formas de plasmas [2,12].

No núcleo de estrelas, como o Sol, ocorrem constantemente processos de fusão nuclear, com temperaturas da ordem de 10⁶K, sendo as rea¸cões com isótopos de hidrogênio,²H, as mais comuns, na qual o principal produto gerado é o isótopo de Hélio,⁴He[3,13]. Devido a enorme quantidade de energia liberada em um processo de fusão nuclear, ocorre a expansão térmica da estrela. A densidade no centro da estrela torna-se muito elevada, gerando um campo gravitacional intenso. Este campo gravitacional contrabalan¸ca a expansão térmica mantendo a estabilidade da estrela. Portanto, na descri¸cão de problemas astrof´ısicos em que é poss´ıvel tratar o plasma como um fluido condutor ideal, além das equa¸cões usuais da MHD ideal é necessário adicionar uma equa¸cão para o campo gravitacional. De modo geral, o problema em acoplar equa¸cões hidromagnéticas e gravitacionais consiste na dificuldade em resolvê-las, ainda que numericamente. Contudo, uma simplifica¸cão útil surge quando o campo gravitacional não depende do plasma em si, ou seja, quando ele

é externo [14]. Esta é uma considera¸cão razoável se a densidade da região de plasma considerada no problema for muito pequena [15]. Deste modo, a influência da densidade do plasma sobre o próprio campo gravitacional deve ser desprez´ıvel quando comparada com a influência do campo gravitacional externo.

O equil´ıbrio hidromagnético de plasmas em um campo gravitacional uniforme foi considerado no trabalho de Kippenhahn e Schlüter de 1957, descrevendo proeminências solares quiescentes em coordenadas retangulares [16]. Solu¸cões anal´ıticas para coordenadas retangulares foram estudadas por Khater et al., utilizando o método de análise de Painlevé [17].

Outros tipos de fenômenos astrof´ısicos, como jatos extragalácticos, podem ser descritos fazendo o uso de coordenadas cil´ındricas [18]. As coordenadas esféricas, que são escolhas naturais para investigar o plasma coronal solar, foram tratadas por Hundhausen et al.

[19, 20], Tsinganos et al. [21], e Neukirch [22], que obtiveram solu¸cões anal´ıticas para as equa¸cões MHD ideais. Vlahakis e Tsinganos propuseram um método sistemático para a obten¸cão de classes gerais de equil´ıbrio MHD com simetria azimutal [23]. A estabilidade de plasmas gravitantes em repouso em um campo magnético foi discutida em [24] para plasmas ideais e em [25] para plasmas dissipativos.

As equa¸cões da MHD ideal podem ser escritas de forma geral usando um sistema de coordenadas curvil´ıneas arbitrárias, desde que o sistema tenha uma coordenada ignorável, ou seja, uma assimetria de eixo generalizada [26]. Uma formula¸cão relacionada foi dada

(17)

16 por Kucinski e Caldas [27]. Nestes casos, o equil´ıbrio do plasma é descrito por duas fun¸cões de superf´ıcie, denominadas como o fluxo magnético transversal e as fun¸cões de corrente transversal, obedecendo a uma versão generalizada da equa¸cão de Grad-Shafranov [28,29].

Na literatura não é conhecida uma descri¸cão geral do equil´ıbrio MHD (estático) na presen¸ca de um campo gravitacional externo, para sistemas axissimétricos, em fun¸cão de uma fun¸cão de fluxo magnético transversal. Portanto, um dos objetivos deste trabalho consiste em: obter uma equa¸cão em um sistema de coordenadas curvil´ıneas generalizadas que descreva o equil´ıbrio MHD ideal estático na presen¸ca de um campo gravitacional externo, em sistemas com simetria axial. Para isso, utilizaremos o formalismo geral para equil´ıbrio MHD estático ideal descrito em [27] para sistemas com simetria axial, adicio- nando o campo gravitacional produzido por uma fonte externa. Isso equivale a incluir uma terceira fun¸cão, ou seja, o potencial gravitacional (ou a fun¸cão equivalente para uma for¸ca externa geral). Para fechar o sistema de equa¸cões, é necessário ter alguma informa¸cão termodinâmica para determinar a densidade do plasma. Portanto, para seguir na dedu-

¸cão da equa¸cão consideramos, apenas como modelos, processos isotérmicos e adiabáticos.

Com a obten¸cão das equa¸cões para processos isotérmicos e adiabáticos o próximo objetivo consistem em: obter solu¸cões anal´ıticas em alguns sistemas de coordenadas. Considera- mos as geometrias retangulares, cil´ındricas e esféricas, tanto para casos isotérmicos como adiabáticos. Em alguns desses processos, existem solu¸cões anal´ıticas para a fun¸cão de fluxo transversal, utilizando perfis espec´ıficos para as fun¸cões de superf´ıcie restantes.

O terceiro e último objetivo deste trabalho é observar a quebra de simetria no equil´ıbrio MHD cil´ındrico em um processo isotérmico, sob a influência de uma perturba¸cão externa e periódica. Fisicamente uma perturba¸cão do equil´ıbrio MHD é responsável pela quebra de simetria do sistema [11,30,31], de modo que, torna-se imposs´ıvel definir superf´ıcies mag- néticas. Perturba¸cões podem ser originadas por instabilidades que ocorrem no interior do plasma [9,11], ou por meio de campos magnéticos externos que dependam explicitamente da coordenada que hav´ıamos considerado ignorável [11].

Muitos matemáticos pensavam que uma ligeira perturba¸cão em um sistema integrá- vel destruiria sua integrabilidade e consequentemente este passaria a ser não-integrável [30–32]. Contudo, o espa¸co de fase de um sistema perturbado mostra que a maioria dos toros invariantes sobrevivem a uma perturba¸cão, ainda que tenham uma forma distorcida [30–32]. Em 1962-1963 foi demonstrado rigorosamente por Vladimir I. Arnold e Jürgen Moser, de acordo com sugestões de Kolmogorov em 1954, que para uma perturba¸cão de intensidade suficientemente baixa os toros que apenas têm suas formas modificadas devido a perturba¸cão, preenchem a maior parte do espa¸co de fase. Já os toros destru´ıdos distribuem-se de maneira irregular no espa¸co de fase entre os toros preservados, e seus vo- lumes tendem a zero [30]. Essa demonstra¸cão ficou conhecida como teorema Kolmogorov- Arnold-Moser, o bem conhecido teorema KAM [31,32]. Os toros que são destru´ıdos com a perturba¸cão possuem uma rela¸cão de comensurabilidade entre suas frequências, sendo

(18)

17 portanto chamados de toros racionais. Os toros destru´ıdos são também mencionados como superf´ıcies ressonantes, pois são destru´ıdos devido a uma ressonância entre sua frequência com os modos da perturba¸cão.

E poss´ıvel utilizar uma representa¸c˜´ ao hamiltoniana das linhas de campo magnético de modo que, a conserva¸cão do fluxo magnético ao longo da coordenada ignorável x³ (a qual faz o papel do tempo) implique em uma conserva¸cão das áreas no espa¸co de fase do sistema. Uma formula¸cão hamiltoniana para a equa¸cão das linhas de campo magnético em coordenadas curvil´ıneas generalizadas foi encontrada nos trabalhos de Janaki e Ghosn (1987) [33], Pina e Ortiz (1988)[34], Cary e Littlejohn (1983) [35]. No caso de perturba¸cões suficientemente pequenas o emprego de tal formalismo para as linhas de campo magnético possibilita tratar o problema simétrico como exatamente solúvel, através de um tratamento perturbativo do mesmo. Uma representa¸cão hamiltoniana das linhas de campo magnético perturbativo em plasmas de fusão foi realizada em [36–39]. De acordo com o teorema de Poincaré-Birckhoff [31] toros racionais dão lugar à pontos fixos el´ıpticos e hiperbólicos na região de destrui¸cão da superf´ıcie ressonante. Ao redor desses pontos el´ıpticos formam-se estruturas na forma de ilhas.

Aplicamos uma perturba¸cão no equil´ıbrio MHD cil´ındrico, para um processo isotér- mico, por meio de campos externos perturbativos com dependência nas três coordenadas cil´ındricas. Do ponto de vista teórico abordamos esse problema por meio do formalismo hamiltoniano das linhas de campo magnético e adotamos um tratamento perturbativo para a hamiltoniana do sistema. O objetivo dessa abordagem teórica é obter uma expres- são aproximada para a largura das ilhas magnéticas, conforme descrito em [40], afim de visualizar como a largura das mesmas são modificadas em um sistema sob a¸cão de um campo gravitacional. Quando o sistema é não-degenerado e a intensidade da perturba¸cão

é suficientemente fraca o teorema KAM é válido, nesse caso uma descri¸cão qualitativa das superf´ıcies magnéticas ressonantes e irracionais pode ser feita. Deste modo, as ilhas magnéticas possuirão formas que lembram o espa¸co de fase de um pêndulo. Obtemos se¸cões de Poincaré, por meio da integra¸cão numérica da equa¸cão das linhas de campo, com a superposi¸cão dos campos magnéticos de equil´ıbrio e perturbativos. Comparamos o resultado teórico da largura das ilhas magnéticas com uma estimativa feita através dos retratos de fase obtidos numéricamente.

Esta tese est´a organizada da seguinte maneira: no cap´ıtulo 2 apresentamos as equa-

¸cões básicas da hidrodinâmica e do eletromagnetismo e em seguida chegamos às equa¸cões da magnetohidrodinâmica ideal. No cap´ıtulo 3 apresentamos a dedu¸cão de equa¸cões que descrevem o equil´ıbrio MHD em processos adiabáticos e isotérmicos, para sistemas axissi- métricos, na presen¸ca de um campo gravitacional externo. No cap´ıtulo 4 apresentamos o emprego do formalismo hamiltoniano em um sistema descrito pela equa¸cão de equil´ıbrio MHD isotérmica em geometria cil´ındrica, de acordo com o cap´ıtulo 3, quando o mesmo está sob a¸cão de uma perturba¸cão periódica externa. O cap´ıtulo 4 também apresenta

(19)

18 se¸cões de Poincaré para este sistema na ausência e na presen¸ca de uma perturba¸cão.

Por ﬁm, o cap´ıtulo 5 apresenta as conclus˜oes obtidas deste trabalho e as perspectivas de futuros trabalhos.

(20)

Cap´ıtulo 2

Equa¸ c˜ oes da MHD ideal

A magnetohidrodinâmica (MHD) é o estudo da dinâmica de fluidos condutores sob a a¸cão de campos magnéticos, em particular em plasmas [11]. É poss´ıvel obter um conjunto de equa¸cões magnetohidrodinâmicas que descrevem o plasma, através das equa¸cões da hidrodinâmica clássica e das equa¸cões de Maxwell. Se considerarmos um fluido condutor perfeito e que a sua viscosidade é desprez´ıvel podemos obter um conjunto de equa¸cões da MHD ideal [10]. O objetivo deste cap´ıtulo é mostrar a dedu¸cão de tais equa¸cões.

Primeiramente serão apresentadas as equa¸cões da hidrodinâmica clássica, em seguida do eletromagnetismo e, por fim, a união da hidrodinâmica com as equa¸cões de Maxwell resultando nas equa¸cões da MHD ideal.

2.1 Equa¸c˜ oes da Hidrodinˆ amica Cl´ assica

2.1.1 Derivada convectiva

Sejaf(r, t) uma grandeza f´ısica qualquer (como pressão, entropia, velocidade, etc) em um ponto r =r(x, y, z) e instante de tempo t. Sendo f(r+dr, t+dt) o valor da mesma grandeza f na posi¸cãor+dr e no tempo t+dt, a varia¸cão totaldf é dada por,

Figura 2.1: Varia¸c˜ao da grandeza f no tempo e no espa¸co.

19

(21)

2.1. Equa¸cões da Hidrodinâmica Clássica 20

df =f(r +dr, t+dt)−f(r, t), df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy+∂f

∂zdz+∂f

∂tdt.

Tomando a derivada temporal:

df dt = ∂f

∂x dx

dt +∂f

∂y dy dt +∂f

∂z dz dt +∂f

∂t, df

dt = ∂f

∂xv_x+∂f

∂yv_y +∂f

∂zv_z+ ∂f

∂t, df

dt = (v_x+v_y +v_z)· ∂f

∂xxˆ+ ∂f

∂yyˆ+∂f

∂zzˆ

+ ∂f

∂t, df

dt = (v· ∇)f +∂f

∂t, (2.1)

onde v =dr/dt é a velocidade do elemento de volume ao se deslocar de dr. Portanto, o operador que dá a varia¸cão total por unidade de tempo de uma grandeza qualquer é:

d

dt =v· ∇+ ∂

∂t, (2.2)

que ´e chamado de derivada convectiva [10,41].

2.1.2 Equa¸c˜ ao da Continuidade

Denotando por μ= f /V a densidade de uma grandeza f´ısica qualquer em um fluido e considerando uma superf´ıcie fixa S₀ no interior do fluido, essa superf´ıcie envolve um volume V₀ do mesmo. em um instante de tempo t temos uma quantidade

V₀μdV da grandeza f no volume V₀. Seja μv·dA o fluxo def através de um elemento de área dA da superf´ıcie S₀, conforme mostra a figura 2.2.

V0

dA S0 v

Figura 2.2: Elemento de ´area da superf´ıcieS0.

Se no interior de V₀, a quantidade f é criada ou destru´ıda em uma razão: Q=f /V.t, devemos ter, admitindo que haja conserva¸cão de f,

∂

∂t

V₀

μdV =−

μv·dA+

V₀

QdV.

(22)

2.1. Equa¸cões da Hidrodinâmica Clássica 21 Usando o teorema do divergente e sendoV₀ fixo no tempo,

V₀

∂μ

∂tdV =−

V₀

∇ ·(μv)dV +

V₀

QdV,

V₀

∂μ

∂t +∇ ·(μv)−Q

dV = 0.

SendoV₀ arbitrário, temos a equa¸cão de conserva¸cão da grandeza f genérica:

∂μ

∂t +∇ ·(μv) =Q. (2.3)

No caso particular em que a grandeza f representa a massa, μ é a densidade de massa volumétricaρdo fluido. Admitindo que a massa não seja criada nem destru´ıda (no âmbito não relativ´ıstico) temos Q= 0, o que resulta na equa¸cão da continuidade,

∂ρ

∂t +∇ ·(ρv) = 0. (2.4)

Um fluido incompress´ıvel é caracterizado por uma densidade constante ∂ρ/∂t = 0 e uniforme ∇ρ= 0 (ρ não depende da posi¸cão nem do tempo). De (2.4),

∂ρ

∂t +ρ(∇ ·v) +v· ∇ρ= 0, resulta que para ﬂuidos incompress´ıveis:

∇ ·v= 0. (2.5)

De acordo com (2.5) para qualquer superf´ıcie fechadaS, o ﬂuxo total da velocidade atrav´es da superf´ıcie deve ser zero:

S

v·dA= 0 (2.6)

2.1.3 Fluidos ideais: equa¸c˜ ao de Euler

Um fluido ideal é caracterizado pela ausência de dissipa¸cão de energia, e pela ausência de trocas de calor. Vamos deduzir a equa¸cão de movimento de um fluido ideal, considerando um elemento de volume δV imerso no fluido, figura 2.3. Em fluidos ideais identificamos dois tipos de for¸cas envolvidas:

• for¸cas de press˜ao ,

• for¸cas externasF =fδV ,

ondef ´e a for¸ca externa por unidade de volume.

(23)

2.1. Equa¸cões da Hidrodinâmica Clássica 22

Z(Z + _Z)

Z( )Z z

x

y

x

y

Z

0

Figura 2.3: For¸cas de press˜ao sobre um ﬂuido.

No caso da MHD as for¸cas externas podem ser de natureza eletromagnética (for¸cas de Lorentz) e gravitacional. Se Φ é o potencial gravitacional agindo sobre δV a for¸ca correspondente é F_g = −ρδV∇Φ. As for¸cas de pressão são perpendiculares às faces do cubo, como mostra a figura3.3. As resultantes dessas for¸cas ao longo dex, yez são dadas respectivamente por: δx, δy e δz [41].

δx=x(x)− x(x+δx) =p(x)δyδz−p(x+δx)δyδz,

δy =y(y)− y(y+δy) =p(y)δxδz−p(y+δy)δxδz, δz =z(z)− z(z+δz) =p(z)δxδy−p(z+δz)δxδy.

Onde p é a pressão do fluido, igual à for¸ca normal por unidade de área da superf´ıcie na qual é aplicada. Negligenciando as for¸cas de cisalhamento (fluido isotrópico) podemos expandir as componentes das for¸cas de pressão em série de Taylor. Retendo os termos de primeira ordem, temos:

δx = p(x)−p(x)− ∂p

∂x

y,z

δyδz =−∂p

∂xδV,

δy = p(y)−p(y)− ∂p

∂y

x,z

δxδz=−∂p

∂yδV, δz = p(z)−p(z)−

∂p

∂z

x,y

δxδy =−∂p

∂zδV, sendoδV= δxδyδz o elemento de volume. Vetorialmente temos:

δ=δxxˆ+δyyˆ+δzzˆ=− ∂p

∂xxˆ+ ∂p

∂yyˆ+∂p

∂zzˆ

δV,

δ=−∇pδV. (2.7)

(24)

2.2. Equa¸c˜oes do eletromagnetismo 23 Pela segunda lei de Newton, a for¸ca resultante que age sobre um elemento de volume de massa δm=ρdV ´e,

δma=δmdv

dt =δ+F −ρδV∇Φ,

com a for¸ca externa por unidade de volume f = F/δv, a equa¸cão (2.7) e a derivada convectiva de v resulta na equa¸cão de movimento, a equa¸cão de Euler,

dv dt = ∂v

∂t + (v· ∇)v =−∇p ρ +f

ρ − ∇Φ. (2.8)

2.1.4 Fluidos ideais: ﬂuxo de energia

Uma vez que não há trocas de calor para fluidos ideais em um elemento de volumeδV, a entropia do elemento de volume permanece constante (δS = constante). Definindo a entropiaS por unidade de massa, s=δS/δm, a condi¸cão de adiabaticidade é dada por:

ds dt = ∂s

∂t +v· ∇s= 0. (2.9)

Como a entropia total do fluido é conservada, neste caso podemos usar a equa¸cão (2.3) de conserva¸cão genérica com μ→ρs e Q= 0, que resulta em:

∂(ρs)

∂t +∇ ·(ρsv) = 0. (2.10)

A eq. (2.10) leva à condi¸cão de fluido adiabático,

pρ⁻^γ =constante, (2.11)

onde γ é a razão entre os calores espec´ıficos do fluido à pressão e volume constantes. A constanteγ pode ser expressa como,

γ= 2 +N

N , (2.12)

onde N é o número de graus de liberdade do gás. Para um gás monoatômico, N = 3 e γ = 5/3.

2.2 Equa¸c˜ oes do eletromagnetismo

2.2.1 Equa¸c˜ oes de Maxwell no v´ acuo

Considerando que o plasma é um gás muito rarefeito podemos desprezar sua mag- netiza¸cão e assumir que é um meio não magnético. Portanto utilizamos as equa¸cões de Maxwell no vácuo para sua descri¸cão.

• Lei de Gauss el´etrica

∇ ·E= ρ_c

ε₀ (2.13)

(25)

2.2. Equa¸cões do eletromagnetismo 24 onde E é o campo elétrico e ρ_c é a densidade de carga elétrica e ε₀ é a permissividade elétrica no vácuo. Para um sistema de cargas puntiformes e_a, nas posi¸cões r_a sobre uma superf´ıcie S,

ρ_c =

a

e_aδ(r−r_a).

Integrando em um volume V e utilizando o teorema do divergente em seguida,

V

∇ ·EdV = 1 ε₀

ρ_cdV =

a

e_a

dV δ(r−r_a),

E·dA= 1 ε₀

a

e_a, (2.14)

onde

E · dA é o fluxo de campo elétrico e

ae_a, é a carga l´ıquida envolvida pela superf´ıcie S. Portanto, de acordo com (2.14) a lei de Gauss elétrica nos diz que o fluxo do campo elétrico em uma dada superf´ıcie é proporcional à quantidade de cargas elétricas presentes na superf´ıcie.

• Lei de Gauss Magn´etica

∇ ·B= 0, (2.15)

B ´e o campo magn´etico. Integrando em um volume V e utilizando o teorema da diver-

gˆencia temos:

v

∇ ·BdV =

B·dA= 0,

o fluxo do campo magnético é nulo sobre uma superf´ıcie fechada. Portanto o campo magnético é solenoidal e não há na natureza “cargas magnéticas isoladas”, as linhas de campo magnético nunca come¸cam ou terminam e sim circulam.

• Lei de Faraday

∇ ×E =−∂B

∂t . (2.16)

Integrando em uma superf´ıcie aberta S, limitada pela curva C e usando o teorema de

Stokes:

s

(∇ ×E)·dA=

c

E·dl=−

∂B

∂t ·dA,

comoS ´e ﬁxa,

c

E·dl=−∂

∂t

s

B·dA, (2.17)

onde

cE·dl é a circula¸cão do campo elétrico, a for¸ca eletromotriz ao longo da curva C e

sB·dAé o fluxo do campo magnético pela superf´ıcie S. A equa¸cão (2.17) é a forma integral da lei da indu¸cão de Faraday. De acordo com (2.17) a varia¸cão do fluxo magnético dá origem a uma for¸ca eletromotriz, tal que, se opõe à varia¸cão do fluxo magnético.

• Lei de Amp`ere-Maxwell

(26)

2.2. Equa¸c˜oes do eletromagnetismo 25

∇ ×B=μ₀J +μ₀ε₀∂E

∂t , (2.18)

onde μ₀ é a permeabilidade magnética no vácuo, J é a densidade superficial de corrente elétrica e ε₀^∂E_∂t é a corrente de deslocamento. Integrando na superf´ıcie S e utilizando o teorema de Stokes:

s

(∇ ×B)·dA=

c

B·dl=μ₀

s

J ·dA+μ₀ε₀

s

∂E

∂t ·dA.

Para um sistema de cargas puntuais:

J =

a

e_avδ(r−r_a), (2.19)

c

B·dl=μ₀

s

∂D

∂t +μ₀J

·dA. (2.20)

cB·dl é a circula¸cão do campo magnético, D é o vetor deslocamento elétrico e J_t =

s

_∂_D

∂t +J

·dAé a corrente elétrica l´ıquida através da superf´ıcieS. Deste modo, campos magnéticos podem ser gerados através de correntes elétricas e pela varia¸cão de um campo elétrico.

2.2.2 Equa¸c˜ ao de conserva¸c˜ ao da carga

Tomando o divergente de ambos os membros da Lei de Amp`ere-Maxwell, temos:

∇ ·(∇ ×B) =μ₀∇ ·

ε₀∂E

∂t +J

,

como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, substituindo a lei de Gauss resulta na equa¸cão da continuidade de carga, representando a conserva¸cão da carga elétrica:

∂ρ_c

∂t +∇ ·J = 0. (2.21)

Integrando em um volume V temos:

v

∂ρ_c

∂t dV = ∂

∂t

v

ρ_cdV =−

v

∇ ·JdV =−

s

J ·dA, onde

vρ_cdV ´e a carga total l´ıquida em um volumeV.

∂q

∂t =−

s

J ·dA (2.22)

2.2.3 For¸ca de Lorentz e Potenciais

A for¸ca eletromagn´etica sobre uma part´ıcula de carga e ´e dita for¸ca de Lorentz,

F =e(E+v×B), (2.23)

(27)

2.2. Equa¸cões do eletromagnetismo 26 de forma que a equa¸cão do movimento para uma carga de massa mé:

mdv dt = dp

dt =eE+e(v×B), (2.24)

onde p =mv é o momentum linear da carga. Podemos expressar os campos E e B em termos dos potenciais escalar e vetor,E =∇Φ−^∂_∂tÂ;B = (∇ ×A). Podemos generalizar a for¸ca de Lorentz para uma distribui¸cão de correntes caracterizada pela densidade super- ficialJ. Considerando um sistema de cargas puntuais (distribui¸cão singular de correntes) temos que:

J =

a

e_av_aδ(r−r_a). (2.25)

Para uma distribui¸c˜ao cont´ınua de correntes a for¸ca de Lorentz ´e:

dF =dq(E+v×B), (2.26)

ondedF ´e a for¸ca sobre um elemento de carga dq. Dividindo pelo volume do mesmo, com dq=ρ_cdV,

dF dV = dq

dV (E+v×B), portanto a for¸ca de Lorentz por unidade de volume ´e:

f =ρ_c(E+v×B). (2.27)

Supondo que todas as cargas tenham a mesma velocidade v_a=v, temos de (2.25):

J =v

a

e_aδ(r−r_a) =ρ_cv. (2.28)

A qual vale tamb´em para uma distribui¸c˜ao cont´ınua de carga, f =ρ_cE+ρ_cv×B

f =ρ_cE+J ×B, (2.29)

e a for¸ca de Lorentz sobre toda a distribui¸c˜ao ´e:

F =

fdV =

dV (ρ_cE+J ×B). (2.30)

2.2.4 Lei de Ohm generalizada

A lei de Ohm é uma rela¸cão constitutiva entre a densidade de corrente J e o campo elétricoE para condutores lineares. Se o condutor é anisotrópico a condutividade elétrica do material será não uniforme, de modo que, a melhor maneira de descrevermos a condutividade do material será através do tensor de condutividade elétrica ¯σ^∗, a lei de Ohm

(28)

2.3. Equa¸c˜oes da MHD ideal 27 nesse caso ´e dada por:

j = ¯σ^∗E. (2.31)

E se o material for isotrópico a condutividade elétrica é um escalar, teremos:

J =σE. (2.32)

Em um fluido condutor em movimento a lei de Ohm vale para o campo elétrico no referencial de Lorentz do fluido K (o referencial no qual o fluido está em repouso relativo).

j = E

x y

Z

K

0

x y

Z

K

0 I I

I I

I

v = vx

Figura 2.4: Referencial K no qual o fluido está em repouso relativo e se movendo em rela¸cão aK.

As equa¸cões de transforma¸cão dos campos eletromagnéticos são obtidas da Teoria da Relatividade Especial. Para um deslocamento ao longo da dire¸cão x com velocidade v constante (no caso de baixas velocidades v << c) temos [42]:

E =E+B×v, (2.33)

B=B−E×v, (2.34)

as transforma¸c˜oes inversas s˜ao obtidas trocando v por−v:

E =E−B×v (2.35)

B =B+E×v (2.36)

logo a lei de Ohm, para o referencial do laboratórioK (onde o fluido está em movimento relativo) é:

J =σ(E−B×v), (2.37)

que ´e a lei de Ohm generalizada.

2.3 Equa¸c˜ oes da MHD ideal

Conforme exposto anteriormente podemos obter um conjunto de equa¸cões da MHD ideal que descrevem o plasma através das equa¸cões da hidrodinâmica e das equa¸cões de Maxwell. Considerando um fluido condutor ideal, as equa¸cões da MHD ideal são:

(29)

2.3. Equa¸c˜oes da MHD ideal 28

• Equa¸c˜ao da continuidade

∂ρ

∂t +∇ ·(ρv) = 0. (2.38)

• Equa¸cão de Euler (desconsiderando viscosidade e condu¸cão térmica)

∂v

∂t + (v· ∇)v=−∇p ρ +f

ρ − ∇Φ (2.39)

onde:

f =ρ_cE+J ×B (2.40)

´e a for¸ca de Lorentz. Substituindo (2.40) em (2.39), temos,

∂v

∂t + (v· ∇)v=−∇p ρ + 1

ρ(ρ_cE+J ×B)− ∇Φ. (2.41)

• Condi¸c˜ao de adiabaticidade ds dt = ∂s

∂t +v· ∇s= 0. (2.42)

• Equa¸c˜ao de estado (por exemplo do g´as ideal)

p=p(ρ, T). (2.43)

• Lei de Ohm generalizada

J =σ(E−B×v), (2.44)

para um condutor ideal n˜ao h´a efeito Joule e a condutividade σ→ ∞, logo a lei de Ohm generalizada assume a seguinte forma [43]:

E+v×B= J σ →0,

E =−v×B. (2.45)

Sendo o plasma um condutor ideal, não há cargas livres no seu interior, então supomos ρ_c = 0, portanto a lei de Gauss elétrica é desnecessária para a descri¸cão do plasma. Os campos elétricos, se forem provenientes de ondas eletromagnéticas de frequência ω, são da forma:

E(r, t) =E(r)e⁻^iωt. (2.46) Logo,

∂D

∂t = ∂

∂t[ε₀E(r)e⁻^iωt],

∂D

∂t =−iωε₀E,

se considerarmos fenomênos de baixas frequências (ω << ω_c), ou seja, frequência das ondas eletromagnéticas muito menor que a frequência ciclotrônica ω_c, temos [2]:

∂D

∂t =−iωD →0. (2.47)

(30)

2.4. Teorema de Alfv´en 29 De acordo com (2.47) a lei de Amp`ere-Maxwell torna-se simplesmente:

∇ ×B =μ₀J. (2.48)

• Substituindo (2.45) na Lei de Faraday (2.16) temos:

∇ ×E=−∇ ×(v×B) =−∂B

∂t ,

∂B

∂t =∇ ×(v×B). (2.49)

Substituindo (2.48) na equa¸c˜ao de Euler (2.41) (comρ_c = 0) temos:

∂v

∂t + (v· ∇)v =−∇p ρ + 1

ρμ₀ (∇ ×B)×B− ∇Φ. (2.50) Deste modo chegamos nas equa¸c˜oes da MHD ideal:

∇ ·B= 0, (2.51)

∂B

∂t =∇ ×(v×B), (2.52)

∂ρ

∂t +∇ ·(ρv) = 0, (2.53)

∂v

∂t + (v· ∇)v =−∇p ρ − 1

ρμ₀B×(∇ ×B)− ∇Φ, (2.54) ds

dt = ∂s

∂t +v· ∇s = 0 ⇒ pρ⁻^γ=constante, (2.55)

p=p(ρ, T). (2.56)

2.4 Teorema de Alfv´en

Ao considerarmos que o plasma é um condutor ideal, a equa¸cão da indu¸cão magnética (2.52) leva a um importante resultado conhecido como teorema de Alfvén, ou congelamento do fluxo magnético. Considerando uma superf´ıcie S₁ dentro de um plasma, em um tempot₁, o fluxo do campo magnético relacionado a esta superf´ıcie é:

S₁B·dS. Em um tempo t₂ a por¸cão de plasma que estava em S₁ se move e estará agora em S₂. O fluxo magnético relacionado a esta superf´ıcie será

S₂B ·dS. O teorema Alfv´en aﬁrma que

[3, 9]:

S₁

B·dS =

S₂

B·dS, (2.57)

d dt

S

B·dS = 0. (2.58)

(31)

2.4. Teorema de Alfvén 30 A varia¸cão do fluxo magnético sobre uma superf´ıcie S pode ocorrer devido à varia¸cão de B, ou devido ao movimento da superf´ıcie S, assim escrevemos (2.58) como,

d dt

S

B·dS =

S

∂B

∂t ·dS+

S

B· ∂

∂t(dS). (2.59)

A ﬁgura2.5 mostra os elementos de ´area dS e dS, que formam as bases de um cilindro.

De acordo com 2.5 um elemento de área variou de dS em um tempo t para dS em um tempot+δt. O vetor da área lateral desse cilindro é−δt v×δ, ondeδé um elemento de comprimento sobre a curva que cerca o elemento de áreadS.

Figura 2.5: Deslocamento de uma superf´ıcie devido aos movimentos do plasma. Figura retirada de [9].

Uma vez que, a área vetorial de uma superf´ıcie fechada é zero, as superf´ıcies do cilindro satisfazem a equa¸cão [9],

dS =dS−dS −δt

v×δ = 0, (2.60)

onde a integral de linha ´e realizada ao redor do elemento de ´area dS. De acordo com (2.60), segue que,

d

dt(dS) = lim

δt→0

dS−dS

δt =

v×δ= 0. (2.61)

Portato, o ´ultimo termo de (2.59) pode ser escrito como,

S

B· d

dt(dS) =

B·(v×δ) =

(B×v)·δ, (2.62)

utilizando o teorema de Stokes, (2.62) torna-se,

S

B· d

dt(dS) =

C

(B×v)·δ =

S

[∇ ×(B×v)]·dS, (2.63)

(32)

2.4. Teorema de Alfv´en 31 ondeC ´e um contorno fechado da superf´ıcie S. Substituindo (2.63) em (2.59), temos:

d dt

S

B·dS =

S

dS· ∂B

∂t − ∇ ×(v×B)

. (2.64)

Logo, de acordo com a suposi¸cão de que o plasma é fluido condutor perfeito, a equa¸cão (2.52),

∂B

∂t =∇ ×(v×B), implica que:

d dt

S

B·dS = 0, (2.65)

o fluxo magnético é constante.

O resultado (2.65) exprime o fato de que na ausência de resistividade, o plasma no interior de um tubo de fluxo magnético permanece sempre dentro do mesmo, na medida em que o tubo se move. Dizemos que o plasma no interior do tubo está “congelado”com o próprio fluxo magnético. Isso significa que se o plasma se move, as linhas de campo magnético se movem junto com o plasma e vice-versa [11]. A figura 2.6 ilustra esse comportamento.

Figura 2.6: Ilustra¸cão do congelamento de fluxo magnético. Figura retirada de [9].

De acordo com a figura 2.6(a), as linhas retas de campo magnético estão atravessando uma coluna de plasma. Se a coluna de plasma é dobrada, então de acordo com o teorema de Alfvén, as linhas de campo também são, conforme mostra 2.6(b). Se a coluna de plasma é torcida, como na figura 2.6(c), as linhas de campo magnético também o serão [9]. Portanto, na presen¸ca de uma for¸ca externa, como em um campo gravitacional, por exemplo, as linhas de campo magnético serão deformadas junto com o plasma, de modo a manter o fluxo magnético constante.

(33)

Cap´ıtulo 3

Equil´ıbrio MHD em plasmas sim´ etricos com campo gravitacional externo

Considerando o plasma um fluido de condutividade infinita e ausente de trocas de calor nos seus processos termodinâmicos, ou seja, um gás adiabático, podemos estudar a condi¸cão de equil´ıbrio MHD (quando todas as grandezas f´ısicas não dependem do tempo).

Este cap´ıtulo apresenta a descri¸cão matemática do equil´ıbrio MHD estático em plasmas com simetria axial na presen¸ca de um campo gravitacional externo. Os resultados desse cap´ıtulo, como a dedu¸cão de uma equa¸cão de equil´ıbrio em coordenadas curvil´ıneas generalizadas na presen¸ca de um campo gravitacional externo, para modelos de processos isotérmicos e adiabáticos, bem como as solu¸cões anal´ıticas dessas equa¸cões para algumas geometrias particulares podem ser encontradas no artigo publicado resultante dessa tese [45]¹.

3.1 Condi¸c˜ ao de equil´ıbrio MHD est´ atico

Aplicando a condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático, v =0, no conjunto de equa¸c˜oes da MHD ideal, a equa¸cão de Euler torna-se:

∇p ρ = 1

ρμ₀ [B×(∇ ×B)]− ∇Φ, (3.1)

assim temos o seguinte conjunto de equa¸c˜oes da MHD ideal para o equil´ıbrio est´atico:

∇ ·B= 0, (3.2)

∇ ×B =μ₀J, (3.3)

∇p ρ = 1

ρμ₀ [B×(∇ ×B)]− ∇Φ. (3.4)

1vide apˆendice C

32

(34)

3.1. Condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático 33 Substituindo (3.3) em (3.4) temos a condi¸cão básica de equil´ıbrio,

∇p=J ×B−ρ∇Φ, (3.5)

a for¸ca de Lorentz e a for¸ca gravitacional devem contrabalancear o gradiente de press˜ao.

Considerando uma formula¸cão geral para descrever plasmas em sistemas que possuem uma coordenada ignorável, todas as fun¸cões de equil´ıbrio, que possuem significado f´ısico, dependerão apenas de duas variáveis, sendo chamadas de grandezas de superf´ıcie [27].

Introduzindo coordenadas curvil´ıneasx¹, x²ex³, para um sistema de coordenadas gen´erico temos:

• xⁱ =constante s˜ao superf´ıcies coordenadas;

• Uma curva coordenadax^k ´e uma curva ao longo da qualxⁱ e x^j s˜ao constantes.

• As coordenadas x¹ e x² são escolhidas a fim de que o eixo magnético do sistema coincida com uma curva coordenada x³ e que x² seja uma coordenada transversal.

• x³ será uma coordenada ignorável e está relacionada a um comprimento caracter´ıs- tico do sistema, como a comprimento de uma coluna de plasma por exemplo;

• dire¸c˜oes longitudinais ser˜ao dadas pela curva coordenada x¹.

3.1.1 Fun¸c˜ ao de ﬂuxo magn´ etico transversal

E conveniente introduzir uma fun¸c˜´ ao de fluxo magnético transversal, que é o fluxo mag- nético por unidade de comprimento que atravessa a superf´ıcie coordenadax² =constante, também chamada de superf´ıcie poloidal, como mostra a figura 3.1,

Ψ = 1 L

S₂

B·dS⁽²⁾. (3.6)

Em coordenadas curvil´ıneas generalizadas, de acordo com a equa¸cão (A.37) do apêndice, dS_p =dS⁽²⁾ =√gdx¹dx³eˆ², sendo g o determinante do tensor métrico de um sistema de coordenadas genérico, L é um comprimento caracter´ıstico na dire¸cão x³ e B é o campo magnético.

(35)

3.1. Condi¸c˜ao de equil´ıbrio MHD est´atico 34

Figura 3.1: Elemento de superf´ıcie poloidal dSp em corte. Figura adaptada de [53].

Reescrevendo a fun¸c˜ao Ψ, temos:

Ψ = 1 L

x¹ 0

dx¹ L

0

√gB²dx³, (3.7)

onde B² é o campo magnético transversal e x¹ = 0 é o eixo magnético. Derivando (3.7) em rela¸cãox¹ obtemos:

∂Ψ

∂x¹ = 1 L

_L

0

√gB²dx³. (3.8)

Escrevendo a lei de Gauss magn´etica, de acordo com (A.75) temos:

∇ ·B = ∂

∂x¹(√

gB¹) + ∂

∂x²(√

gB²) = 0,

onde a derivada de B³ em rela¸cão a x³ foi omitida, uma vez que x³ é a coordenada ignorável. Portanto, temos,

∂

∂x¹(√

gB¹) =− ∂

∂x²(√

gB²). (3.9)

Derivando a fun¸cão de fluxo agora em rela¸cão a x² obtemos,

∂Ψ

∂x² = 1 L

_x¹

0

dx¹ _L

0

∂

∂x²(√

gB²)dx³, (3.10)

susbtituindo (3.9) em (3.10),

∂Ψ

∂x² =−1 L

L 0

dx³ x¹

0

∂

∂x¹(√

gB¹)dx¹. (3.11)

(36)

3.1. Condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático 35 Como o integrando da integral em rela¸cão a x¹ torna-se a diferencial d(√

gB²), temos:

∂Ψ

∂x² =−1 L

L 0

dx³ x¹

0

d(√

gB¹), (3.12)

supondo que B¹ ´e zero sobre o eixo magn´etico,

∂Ψ

∂x² =−1 L

L 0

(√

gB¹)dx³. (3.13)

Podemos tirar os integrandos de (3.8) e (3.13) para fora das integrais, uma vez que ne- nhuma grandeza depende da coordenada ignor´avelx³. Fazendo isso chegamos aos seguin- tes resultados:

∂Ψ

∂x¹ =√

gB², (3.14)

∂Ψ

∂x² =−√

gB¹. (3.15)

Tomando o produto escalar entre o campo B e ∇Ψ, de acordo com os resultados acima resulta em,

B· ∇Ψ = 0, (3.16)

essa equa¸cão nos diz que as linhas de campo magnético são perpendiculares ao gradiente do fluxo magnético. Portanto, não há varia¸cão do fluxo magnético sobre uma dada super- f´ıcie magnética e Ψ é uma constante para cada superf´ıcie, sendo então uma grandeza de superf´ıcie. As linhas de campo magnético jazem sobre as superf´ıcies magnéticas.

Das equa¸cões (3.14) e (3.15) vemos que é poss´ıvel determinar as componentes transversal e longitudinal do campo magnético se conhecermos a fun¸cão de fluxo Ψ. Uma expressão para o vetor B também pode ser derivada em termos da fun¸cão de fluxo Ψ. Fazendo o produto vetorial entre o vetor de base covarianteeˆ³ com o gradiente ∇Ψ, de acordo com (A.15) temos:

ˆ

e₃× ∇Ψ =eˆ₃×(∂₁Ψˆe¹+∂₂Ψˆe²) (3.17) ˆ

e₃× ∇Ψ = −eˆ¹×eˆ₃∂₁Ψ−eˆ²×eˆ₃∂₂Ψ, (3.18) Utilizando as equa¸c˜oes (A.63) e (A.64) do apˆendice A,

ˆ

e¹×eˆ₃ = 1

√g(g₃₂eˆ₃−g₃₃eˆ²), (3.19)

ˆ

e²×eˆ₃ = 1

√g(−g₃₁eˆ₃−g₃₃eˆ¹), (3.20) substituindo-as em (3.18) e multiplicando termo a termo, chegamos ao seguinte resultado:

ˆ

e₃× ∇Ψ =B²eˆ₂+B¹eˆ₁− g₃₁

g₃₃B¹+ g₃₂ g₃₃B²

ˆ

e₃. (3.21)

(37)

3.1. Condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático 36 Da conven¸cão de soma (A.61),

A_i =g_ijA^j, (3.22)

a componente B₃ ﬁca,

B₃ =g₃₁B¹+g₃₂B²+g₃₃B³, (3.23) dividindo a equa¸c˜ao acima por g₃₃, o termo entre parˆenteses de (3.21) pode ser escrito

como,

g₃₁

g₃₃B¹+g₃₂ g₃₃B²

= B₃

g₃₃ −B³. (3.24)

Substituindo esse resultado em (3.21) e observando que B = B¹eˆ₁+B²eˆ₂ +B³eˆ₃, chegamos à seguinte expressão para o campo magnético:

B= eˆ₃

g₃₃ × ∇Ψ + B₃

g₃₃eˆ₃. (3.25)

A fun¸cão de fluxo Ψ pode ser expressa em termos do potencial vetor magnético. Sendo B = ∇ × A e utilizando a fórmula (A.76) do rotacional em coordenas curvil´ıneas, a componente transversal B² do campo magnético será dada por,

B² = 1

√g

∂A₁

∂x³ −∂A₃

∂x¹

, (3.26)

o primeiro termo de (3.26) se anula devido a x³ ser a coordenada ignor´avel, portanto a componente B² ser´a:

B² =− 1

√g ∂A₃

∂x¹

. (3.27)

Substituindo (3.27) em (3.7) temos:

Ψ =−1 L

L 0

dx³ x¹

0

∂A₃

∂x¹dx¹, (3.28)

Ψ =−1 L

L 0

dx³ x¹

0

d(A₃), (3.29)

sendoA₃ zero no eixo magn´etico, Ψ ser´a:

Ψ =−A₃(x¹, x²). (3.30)

3.1.2 Fun¸c˜ ao de ﬂuxo de corrente

Analogamente, define-se uma fun¸cão de fluxo de corrente, que é a menos de uma constante a corrente total, de acordo com [27] dada por:

I = (I_t−I_eixo) = 1 L

S₂

J ·dS⁽²⁾, (3.31)

(38)

3.1. Condi¸cão de equil´ıbrio MHD estático 37 ondeI_té a corrente total,I_eixoé a corrente no eixo magnético,dS_p=dS⁽²⁾=√

gdx¹dx³eˆ², g o determinante do tensor métrico de um sistema de coordenadas genérico e Lé o comprimento caracter´ıstico da coordenada ignorável x³. Reescrevendo a fun¸cão de corrente,

I = 1 L

x¹ 0

dx¹ L

0

J²dx³, (3.32)

derivando a equa¸c˜ao acima em rela¸c˜ao a x¹, sabendo que J satisfaz ∇ ·J = 0, teremos:

∂I

∂x¹ = 1 L

L 0

x¹ 0

J²dx³, (3.33)

de∇ ·J = 0,

∂

∂x¹(√

gJ¹) =− ∂

∂x²(√

gJ²). (3.34)

Substituindo esse resultado na defini¸cão da fun¸cão de fluxo de corrente, análogamente como foi procedido para a fun¸cão de fluxo magnético, obtém-se resultados correspondentes:

∂I

∂x¹ =√

gJ², (3.35)

∂I

∂x² =−√

gJ¹. (3.36)

Deste modo, podemos determinar as componentes das densidades de corrente longitudinal e transversal a partir da fun¸c˜ao de ﬂuxo de corrente. Tomando o produto escalar, de J por∇I, de acordo com os resultados acima temos,

J · ∇I = 0, (3.37)

exprimindo o fato de que a fun¸c˜ao de corrente transversal ´e uma constante de superf´ıcie.

A fun¸c˜ao de ﬂuxo de corrente satisfaz:

μ₀J =∇ ×B. (3.38)

Deste modo, integrando ambos os lados de (3.38) em rela¸c˜ao a um elemento de ´area poloidaldS_p =dS⁽²⁾ =√

gdx¹dx³eˆ² tem-se:

μ₀

S₂

J ·dS⁽²⁾ =

S₂

(∇ ×B)·dS⁽²⁾, (3.39) fazendo o produto escalar, a equa¸c˜ao acima torna-se:

μ₀ x¹

0

dx¹ L

0

J²dx³ =− L

0

dx³ x¹

0

√g 1

√g

∂B₃

∂x¹

dx¹, (3.40)

 H       +/FE +E 9:)+./ 09G 9),)E  9<,:9)( =)-)(; .) ,9>'+(9.).' '.'+)? ./ )+),@; :/6/ +'A09(9-/ *)+:9)? B/D-',35/ ./ -7-0?/ .' /0-/+) '6 7(9:)E +9',-)./+  '(')*+'(',-).) )/  0+(/ .' 1(2 +).0)35/ '6 7(9:); '-/+ .'       

Agradecimentos

RESUMO

ABSTRACT

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

SUM ´ ARIO

Cap´ıtulo 1

Introdu¸ c˜ ao

Cap´ıtulo 2

Equa¸ c˜ oes da MHD ideal

2.1 Equa¸c˜ oes da Hidrodinˆ amica Cl´ assica

2.1.1 Derivada convectiva

2.1.2 Equa¸c˜ ao da Continuidade

2.1.3 Fluidos ideais: equa¸c˜ ao de Euler

2.1.4 Fluidos ideais: ﬂuxo de energia

2.2 Equa¸c˜ oes do eletromagnetismo

2.2.1 Equa¸c˜ oes de Maxwell no v´ acuo

2.2.2 Equa¸c˜ ao de conserva¸c˜ ao da carga

2.2.3 For¸ca de Lorentz e Potenciais

2.2.4 Lei de Ohm generalizada

K

K

2.3 Equa¸c˜ oes da MHD ideal

2.4 Teorema de Alfv´en

Cap´ıtulo 3

Equil´ıbrio MHD em plasmas sim´ etricos com campo gravitacional externo

3.1 Condi¸c˜ ao de equil´ıbrio MHD est´ atico

3.1.1 Fun¸c˜ ao de ﬂuxo magn´ etico transversal

3.1.2 Fun¸c˜ ao de ﬂuxo de corrente

H +/FE +E 9:)+./ 09G 9),)E 9<,:9)( =)-)(; .) ,9>'+(9.).' '.'+)? ./ )+),@; :/6/ +'A09(9-/ )+:9)? B/D-',35/ ./ -7-0?/ .' /0-/+) '6 7(9:)E +9',-)./+ '(')+'(',-).) )/ 0+(/ .' 1(2 +).0)35/ '6 7(9:); '-/+ .'