Equil´ıbrio MHD em plasmas sim´ etricos com campo gravitacional externo
3.3 Solu¸c˜ oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´ aticos
3.3.1 Solu¸c˜ oes em coordenadas retangulares
No sistema de coordenadas retangulares temos, x1 =x, x2 =z, x3 =y,
(3.79)
onde estamos considerando y como coordenada ignor´avel, portanto todas as grandezas envolvidas depender˜ao de x e z apenas. Essa escolha ´e compat´ıvel com um campo gra-vitacional uniforme na dire¸c˜ao z, como mostra a figura 3.3, na qual o plano xy pode representar a superf´ıcie do Sol, por exemplo.
Figura 3.3: Campo gravitacional em coordenadas retangulares, ondey´e a coordenada ignor´ a-vel.
O campo gravitacional ´e dado por,
g =−geˆz, (3.80)
com o seguinte potencial gravitacional,
Φ = Φ0 +gz. (3.81)
O tensor m´etrico covariante desse sistema ´e dado por,
gij =
⎛
⎜⎝
1 0 0 0 1 0 0 0 1
⎞
⎟⎠, (3.82)
a equa¸c˜ao para um processo isot´ermico em coordenadas retangulares assume ent˜ao a seguinte forma, uma vez queD= 0,
Δ∗Ψ = ∂2Ψ
∂x2 + ∂2Ψ
∂z2 =−1 2μ20dI2
dΨ − 1 2μ0dp0
dΨe−gz/RT¯ . (3.83)
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 45
• Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao isot´ermica
Considerando os perfis para a press˜ao e da corrente dados respectivamente por:
p0(Ψ) = κ
2μ0e2Ψ, (3.84)
ondeκ ´e uma constante,
I2(Ψ) =I02 =const, (3.85)
substituindo-os na equa¸c˜ao de equil´ıbrio isot´ermico (3.83) resulta em, Δ∗Ψ = −κ exp
2Ψ− gz RT¯
. (3.86)
De acordo com a equa¸c˜ao acima observamos que ´e conveniente realizar a seguinte mudan¸ca de vari´avel,
ψ = Ψ− gz
2 ¯RT, (3.87)
e obtemos:
Δ∗ψ=−κe2ψ, (3.88)
com a seguinte solu¸c˜ao,
ψ =−ln cosh(√
κx). (3.89)
A qual na vari´avel original resulta em,
Ψ =−ln cosh(√
κx) + gz
2 ¯RT, (3.90)
esta ´e a solu¸c˜ao de Kippenhahn-Schl¨uter [16], a qual descreve proeminˆencias da superf´ıcie solar. Onde assume-se que as distˆancias da superf´ıcie solar com as proeminˆencias sejam pequenas o suficiente, tal que, o campo magn´etico solar possa ser considerado aproxima-damente uniforme ao longo da dire¸c˜ao z [16]. O termo 2 ¯gzRT representa a raz˜ao entre a energia potencial gravitacional e t´ermica do plasma, logo definimos como:
τ ≡ gz 2 ¯RT, reescrevendo Ψ,
Ψ =−ln cosh(√
κx) +τ, (3.91)
assumimos alguns valores paraτ, afim de representar graficamente Ψ em duas dimens˜oes, como mostra a figura3.4, comκ= 4.
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 46
5 1 1 5 2 2 5 3
5 4 3 2 1 1 2
ψ
τ=1,5 τ=1,0 τ=0,5
Figura 3.4: Fun¸c˜ao de fluxo Ψ para trˆes valores do parˆametro τ, definido como a raz˜ao da energia potencial gravitacional pela energia t´ermica do plasma em coordenadas retangulares, para um processo isot´ermico.
De acordo com a figura 3.4 a fun¸c˜ao de fluxo magn´etico atinge uma amplitude maior quando a energia potencial gravitacional ´e maior que a energia t´ermica do plasma. As componentes dos campos magn´eticos podem ser calculadas atrav´es da fun¸c˜ao Ψ de acordo com (3.14) e (3.15),
B =
− g 2 ¯RT,√
κtgh(√
κx),∓μ0I0
, (3.92)
com as componentes do campo podemos obter a densidade de corrente J tomando o rotacional de B,
J =
0,0,−κ μ0
1 cosh2(√
κx)
. (3.93)
As fun¸c˜oes de B e J est˜ao representadas na figura 3.5.
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 47
5 1 1 5 2 2 5 3
1 4 2
B
5 1 1 5 2 2 5 3
1 4 2
Figura 3.5: ComponenteBzdo campo magn´etico magn´etico em (a) e componenteJy da densi-dade de corrente em (b), no sistema de coordenadas retangulares, para um processo isot´ermico.
De acordo com os gr´aficos na figura 3.5 a medida que o campo magn´etico na dire¸c˜ao z diminui a densidade de corrente na dire¸c˜aoy aumenta, atingindo um valor de satura¸c˜ao Jy = 0. O campo magn´etico atinge um valor de satura¸c˜ao negativo, conforme mostra 3.5.
Resolvendo a equa¸c˜ao das linhas de campo magn´etico,
B×d= 0, (3.94)
onde d ´e um elemento de comprimento na dire¸c˜ao do campo B, para o sistema de
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 48
4 2 2 4
1 2 3 4 5
Figura 3.6: Linhas de campo magn´etico no planoy=constante, em coordenadas retangulares, para um processo isot´ermico.
coordenadas retangulares, temos, dx
dy = g
2 ¯RT μ0I0, (3.95)
dz dy =
√κ
μ0I0tgh(√
κx), (3.96)
as quais podem ser integradas e resultam na equa¸c˜ao (3.97) para as linhas de campo magn´etico, para o planoy =constante.
z =z0− g 2 ¯RT κln
cosh(√ κx) cosh(√
κx0)
. (3.97)
A equa¸c˜ao (3.97) est´a graficamente representada em 3.6, para diferentes valores de z0. O campo magn´etico agindo sobre a superf´ıcie do plasma, comprime as linhas de campo magn´etico, como consequˆencia do congelamento de fluxo magn´etico, expresso pelo teorema de Alfv´en. Desta forma, s˜ao observados esses dobramentos das linhas de campo magn´etico, de acordo com a figura 3.6. As linhas de campo magn´etico representadas na figura 3.6 apresentam uma semelhan¸ca com as estruturas formadas por proeminˆencias solares [16].
• Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao adiab´atica
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 49 Utilizando agora a equa¸c˜ao para o equil´ıbrio adiab´atico,
Δ∗Ψ =−μ0dp0
com os seguintes perfis para a press˜ao e corrente respectivamente,
p0(Ψ) =KΨη, I2(Ψ) =I02, (3.99) conforme expressa na eq. (3.75) K ´e uma constante que depende da entropia, e η foi definido de acordo com (3.78), a equa¸c˜ao torna-se,
Δ∗Ψ = −μ0Kη
Como no caso anterior, fazemos a seguinte mudan¸ca de vari´avel:
ψ = Ψ− gz
ηK, (3.101)
obtendo a seguinte equa¸c˜ao para a nova vari´avel,
Δ∗ψ =−μ0Kηψη−1. (3.102)
Novamente identificamos o termo gz/ηK como a raz˜ao entre a energia potencial gravita-cional e t´ermica, logo estabelecemos alguns valores para esta raz˜ao definindo-a como,
Γ≡ gz ηK, e reescrevendo Ψ,
Ψ(x) =cx2/(2−η)−Γ. (3.105)
E interessante observar o comportamento da fun¸c˜´ ao Ψ quando a raz˜ao entre a energia potencial gravitacional e t´ermica ´e menor, igual e maior que a unidado. Deste modo, a figura3.7 mostra o comportamento da fun¸c˜ao Ψ para trˆes valores de Γ, onde η= 5/2 e o valor da constante multiplicativa foi escolhido como a unidade, sem perda de generalidade.
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 50
5 1 15 2
5 1 1 5 2 2 5
ψ
Γ=1,5 Γ=1,0 Γ=0,5
Figura 3.7: Fun¸c˜ao de fluxo Ψ para trˆes valores do parˆametro Γ, definido como a raz˜ao da energia potencial gravitacional pela energia t´ermica do plasma, para um processo adiab´atico em coordenadas retangulares.
A fun¸c˜ao de fluxo para um equil´ıbrio MHD adiab´atico com geometria retangular de-cresce rapidamente e passa a ser dominada pelo parˆametro constante Γ, conforme mostra 3.7. Logo, se a energia potencial gravitacional assume um valor maior que a energia t´er-mica a fun¸c˜ao Ψ ´e mais intensa. As componentes do campo magn´etico e da densidade de corrente s˜ao, respectivamente:
B=
− g ηK, 2c
2−ηxη/(2−η),∓μ0I0
, (3.106)
J =
0,0, 2
(2−η)μ0ηcx(η/(2−η))−1
, (3.107)
e est˜ao representadas em3.8.
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 51
2 4 1
2 4 1
B
1 2 3 4
2 4 1
Figura 3.8: Componente Bz do campo magn´etico em (a) e componente Jy da densidade de corrente em (b), para um processo adiab´atico em coordenadas retangulares.
De acordo com a figura 3.8 o campo Bz decai abruptamente com x, j´a a densidade de corrente Jy decai de forma mais suave. Integrando a equa¸c˜ao das linhas de campo magn´etico obtemos a seguinte equa¸c˜ao para o plano y=constante,
z =z0− 4ηKc
g(2−η)2(x2/(2−η)−x20/(2−η)), (3.108) a qual est´a representada na figura 3.9 para diferentes valores dez0.
3.3. Solu¸c˜oes anal´ıticas para processos isot´ermicos e adiab´aticos 52
Figura 3.9: Linhas de campo magn´etico para diferentes valores de z0, para um processo adiab´atico em coordenadas retangulares.
De acordo com a figura 3.9, quando a press˜ao satisfaz a hip´otese adiab´atica as linhas de campo magn´etico na presen¸ca de um campo gravitacional externo s˜ao praticamente constantes no planoy=const., tendo um decaimento emz quandoxse aproxima de zero, na forma de dobramentos. Essa estrutura observada para as linhas de campo magn´etico, de acordo com a figura3.9, tamb´em est´a associada com a presen¸ca do campo gravitacional externo, que comprime a superf´ıcie de plasma. Deste modo, devido ao congelamento do fluxo magn´etico, as linhas de campo s˜ao comprimidas junto com a superf´ıcie de plasma.