Ficha de trabalho nº 19A (Anexo 1)

Na aula anterior à primeira aula lecionada sobre Funções Racionais, a investigadora entregou uma ficha para trabalho de casa, solicitando que os alunos descrevessem duas representações de funções, uma na sua expressão analítica (uma Função Afim) e outra na sua representação gráfica (uma Função Quadrática). A palavra função não foi, propositadamente, referida. Esta ficha de trabalho tinha por objetivo compreender se os alunos conseguiam elaborar um texto matemático, de que forma abordavam duas representações diferentes de funções já estudadas em anos anteriores e que procedimentos usavam.

No caso da função representada pela sua expressão analítica, y 2x3, regra

geral, os alunos fizeram a representação gráfica através da determinação de dois pontos. Apenas dois alunos, nos quais se inclui Tiago, o fizeram usando mais pontos. No caso do Tiago, como o próprio já o afirmou, a escolha de um terceiro ponto serve como verificação. Três alunos não apresentaram representação gráfica da função. Apenas uma

aluna não conseguiu fazer uma transposição correta, se bem que identifique que se trata de uma recta. A maioria dos alunos, à exceção de quatro, apresenta características da função. A Neusa descreveu por palavras o processo de tradução da representação analítica para gráfica. O Tiago não indicou características da função.

No caso da função representada graficamente (Figura 1), todos os alunos, à exceção de uma aluna, conseguiram chegar a uma expressão analítica correta da função, representada por uma parábola, partindo da equação

ya(xh)

2

k

na qual identificaram o parâmetro

a

como definidor do sentido da concavidade e os parâmetros

h

e

k

como indicadores das coordenadas do vértice da parábola. Apenas uma aluna não calculou a expressão analítica da função. À exceção de três alunos, todos os outros descreveram características da função. Novamente, Neusa descreve por palavras o processo de tradução da representação gráfica para analítica. Cinco dos alunos apresentam a expressão final na forma

yax

2

bxc

e Neusa chega mesmo a dizer que esta é que é a forma correta. O Tiago não apresentou características da função.

Dum modo geral, este tipo de funções, cujo estudo foi iniciado em anos anteriores, parece estar relativamente bem interiorizado e consolidado e a tradução entre representações parece ser feita com aparente facilidade, em especial para a Função Afim, o que foi também confirmado por diversas vezes em sala de aula, uma vez que era comum a Orientadora Pedagógica aproveitar para relembrar a construção e tradução entre representações de funções estudadas em anos anteriores, sempre que aplicável.

No caso da Função Afim, tantas vezes invocada ao longo do ano, como por exemplo na definição das restrições aquando do capítulo da programação linear ou na elaboração do quadro de estudo de sinal das Funções Racionais, em que alguns dos fatores eram polinómios de primeiro grau, os alunos não mostraram dificuldade em identificar o papel dos parâmetros

a

e b na família de funções representadas por y axb, tanto em termos da representação algébrica como da representação gráfica. Os alunos passavam

sem dificuldade e indiferentemente duma representação para a outra. A representação tabular aparecia apenas para poucos e como apoio para a representação gráfica, outros atribuíam valores aos pontos mentalmente.

No caso das funções quadráticas, descritas por todos os alunos como tratando-se de uma função cuja representação gráfica é uma parábola, apenas o parâmetro

a

tem um significado imediato na família de funções do tipo

y

ax

2

bxc

com a ≠ 0, sendo identificado com o sentido da concavidade. Afirmam os alunos, se a0 a concavidade

será virada para cima, se a0 a concavidade será virada para baixo. De resto, os

alunos recorrem à calculadora para traçar o gráfico da função. Alguns alunos resolvem a equação

ax

2

bxc0

de modo a calcular os zeros da função e a maioria identifica estes zeros como as abcissas dos pontos em que a função intersecta o eixo dos

xx

. Se a função está representada por uma equação do tipo

ya(xh)

2

k

com a ≠ 0, quase todos a associam à representação gráfica de uma parábola e qual o tipo de concavidade. Alguns alunos indicam, de imediato, quais são as coordenadas do vértice dessa parábola. Já na passagem da representação gráfica para a algébrica, os alunos usam exclusivamente a expressão

ya(xh)

2

k

, com a ≠ 0, se bem que alguns tenham de recorrer aos manuais ou ao caderno como apoio. A representação tabular nunca foi usada para este tipo de funções.

No caso da Função Afim, a Neusa começou por identificar qual a sua forma e qual a ordenada na origem e o que esta significa. Depois passou para o processo de descrição da representação gráfica, definindo as coordenadas de mais um ponto. No caso da Função Quadrática, começou por nomear a curva e identificar as coordenadas do vértice. Passou depois para o processo de determinação da sua expressão analítica do tipo

k

h

x

a

y

(



)

2



, substituiu na expressão as coordenadas do vértice, considerou as coordenadas de mais um ponto que leu no gráfico e explicou o porquê do sentido da concavidade, todo o processo sendo acompanhado de uma descrição. Resolveu a equação para apresentar a função na forma

yax

2

bxc

, que entendeu ser a correta. O Tiago, no caso da Função Afim, determinou três pontos e desenhou o gráfico. Na Função Quadrática começou por escrever a expressão

ya(xh)

2

k

e identificar as coordenadas do vértice, substituindo-as depois na expressão. Considerou as coordenadas de mais um ponto que leu no gráfico e substituiu na expressão para calcular o parâmetro

a

. Apresentou depois a expressão analítica da Função Quadrática. Já o Lourenço e o Miguel não realizaram esta tarefa.

No documento Orientador: Professor Doutor António Manuel Dias Domingos, FCTUNL Co-orientadora: Maria de Lourdes Ventura Fernandes, ESFLG (páginas 113-116)