Segundo bloco de aulas lecionado sobre Funções Racionais

A aula seguinte teve menor duração, porque antes foram abordados assuntos relacionados com a Direção da Turma. Foi áudio-gravada, mas a sua gravação não ficou disponível, o que limitou a recolha de dados. Começou com a correção do trabalho que tinha ido para casa, com ênfase no estudo da influência do parâmetro

a

nas Funções Racionais definidas por

x

a

x

f(

)

com x0e a0.

Na calculadora gráfica representou-se a função

f

definida por

 

x

x

f



1

, x0, e as

duas funções que foram para trabalho de casa definidas por

 

x

x

f



3

, x0, e por

 

x

x

f

2

, x0. A visualização com o programa TI-Nspire permitiu mais facilmente

confrontar as funções em estudo para trabalho de casa com a que tinha sido analisada na aula anterior.

Os alunos repararam que o gráfico das funções em que o parâmetro

a

é positivo se encontrava no primeiro e no terceiro quadrantes e aquelas em que

a

é negativo se encontrava no segundo e no quarto quadrantes. Também notaram que com o aumento do valor absoluto do parâmetro

a

a curva (hipérbole) ficava mais afastada da origem do referencial e a sua curvatura era menos acentuada. Em conclusão, o que determina o parâmetro

a

nesta família de funções? Determina o tipo de monotonia da função em cada intervalo contido no domínio, consoante o sinal de

a

, e a curvatura e o afastamento da origem do referencial, consoante o valor absoluto de

a

.

De resto, os alunos referiram que o estudo era semelhante ao da função

f

definida por

 

x

x

f



1

, x0, à exceção do sinal e da monotonia que apareciam “trocados”.

Durante o breve estudo dessas funções chamou-se atenção para a necessidade de completar os raciocínios, não bastando dizer por exemplo que uma função é ímpar, mas sim basear o raciocínio na definição e justificar.

De seguida, relembraram-se as transformações do gráfico de funções que já tinham sido objeto de estudo no ano anterior.

Numa translação vertical, se g(x) f(x)b , o gráfico da função g obtém-se deslocando o gráfico da função

f

de

b

unidades na vertical, para baixo ou para cima, consoante

b

é negativo ou positivo. O gráfico da função g obtém-se a partir do gráfico da função

f

efetuando uma translação associada ao vector de coordenadas

( b0,

)

. Numa translação horizontal, se

g(x)

f(xa)

, o gráfico da função

g

obtém-se deslocando o gráfico da função

f

de

a

unidades na horizontal, para a esquerda ou para a direita, consoante

a

é negativo ou positivo. O gráfico da função g obtém-se a partir do gráfico da função

f

efetuando uma translação associada ao vector de coordenadas

) 0 ,

(a . Se g(x)af(x), o gráfico da função g obtém-se a partir do gráfico da função

f

através de uma expansão na vertical, se

a

é maior que 1, ou uma contração na vertical, se

a

está entre 0 e 1. Se g(x) f(ax), o gráfico da função g obtém-se a partir do gráfico da função

f

através de uma contração na horizontal, se

a

é maior que 1, ou uma expansão na horizontal, se

a

está entre 0 e 1. Se

g x



f x

, o gráfico da função g é simétrico ao gráfico da função

f

em relação ao eixo dos yy. Se

g x

f x

, o gráfico da função g é simétrico ao gráfico da função

f

em relação ao eixo dos

xx

. Foi distribuída uma ficha informativa, com estas transformações dos gráficos de funções.

Foi distribuída a ficha de trabalho 21A (Anexo 3) e já só houve tempo para fazer o primeiro exercício, no qual se pretendia fazer a correspondência entre a expressão

analítica e a representação gráfica de funções definidas por

c

x

a

x

f





)

(

, a0 e 0   c

x , sem a utilização da calculadora, recorrendo aos conhecimentos das transformações dos gráficos de funções. Esta tarefa decorreu sem grandes problemas para a maioria dos alunos. O estudo dessas funções foi para trabalho de casa.

Na revisão das transformações dos gráficos de funções, os alunos mostraram que alguns conhecimentos anteriormente adquiridos estão latentes e podem ser invocados, se bem que ficou a sensação de que alguns tinham memorizado regras para as transformações e as sabiam aplicar bem às Funções Quadráticas. A sua aplicação às Funções Racionais não foi imediata, mas mediante a verificação, por exemplo, por substituição de pontos no gráfico das funções acabou por ser compreendida.

A aula seguinte correu bem e foi, como habitual, participada. Em geral, os alunos conseguiram compreender o papel do parâmetro

a

nas Funções Racionais definidas por

x

a

x

f(

)

, x0e a0, que tinha sido o objetivo do trabalho de casa, não totalmente

conseguido, uma vez que alguns alunos se tinham limitado a decalcar as características da função

f

definida por

 

x

x

f



1

, x0, para as outras funções.

A revisão das transformações dos gráficos de funções fluiu bem, dado que os alunos evidenciaram ter esses conhecimentos relativamente interiorizados, e a sua aplicação às Funções Racionais acabou por se tornar eficaz.

Esta aula recorreu muito ao apoio da visualização da representação gráfica desta família de Funções Racionais para mais facilmente evidenciar as diferenças e as semelhanças entre elas com a variação do parâmetro

a

e para rever as transformações dos gráficos de funções. Por sua vez, a ficha de trabalho obrigava à utilização simultânea da expressão analítica e da representação gráfica para levar à compreensão e agilização do processo de tradução entre ambas.

Tanto o Miguel, como a Neusa, como o Tiago foram dos alunos que participaram mais ativamente nestas aulas, conseguindo rapidamente compreender qual a influência do parâmetro nesta família de Funções Racionais. Quanto ao estudo das funções definidas por

x

a

x

f(

)

, x0e a0, a Neusa mostrou ter os conteúdos interiorizados mais

solidamente, enquanto o Lourenço, o Miguel e o Tiago o faziam mais por reprodução do estudo da aula anterior. O Miguel, a Neusa e o Tiago relembraram com relativa facilidade os conceitos estudados no 10º ano relativamente às transformações e aplicaram-nos às

funções em estudo, sendo inicialmente não tão evidente para o Tiago. O Lourenço seguiu as intervenções na aula e evidenciou que os conteúdos do ano anterior respeitantes às transformações dos gráficos de funções necessitavam ser relembrados, trabalhados e consolidados, de modo que a sua aplicação às Funções Racionais não foi evidente.

4.1.4. Terceiro bloco de aulas lecionado sobre Funções Racionais

No documento Orientador: Professor Doutor António Manuel Dias Domingos, FCTUNL Co-orientadora: Maria de Lourdes Ventura Fernandes, ESFLG (páginas 101-104)