3.4 Modos de instabilidade
3.4.1 Instabilidade global
3.4.1.1 Instabilidade por flexão
3.4.1.1.2 Flambagem elasto-plástica (ou inelástica)
Aqui também será utilizado o termo “flambagem” pelo mesmo motivo do item anterior. Neste regime elasto-plástico, algumas fibras da seção transversal estão sob tensão acima da tensão de proporcionalidade, enquanto que outras encontram-se ainda no regime elástico. Portanto, é mais correta a utilização do termo elasto-plástico em vez do termo inelástico.
Entende-se por regime inelástico, ou elasto-plástico, o trecho do diagrama tensão- deformação para tensões superiores a tensão de proporcionalidade fp. Acima deste trecho
ocorre a perda de linearidade no traçado do gráfico entre a tensão de proporcionalidade fp e a
resistência ao escoamento do aço fy, fato este decorrente principalmente da existência de
tensões residuais presentes nos perfis (Figura 2.2 e Figura 3.6).
Trecho 1: patamar de escoamento bem definido Trecho 2: encruamento
OBS.: Em escala, trecho 2 >> trecho 1
Figura 3.6 Diagrama tensão-deformação para aços com patamar de escoamento
2
f
pf
u1
f
yσ
ε
Para a análise do fenômeno da instabilidade neste regime existem alguns conceitos utilizados, como o módulo tangente e o módulo reduzido (duplo módulo), que podem ser melhor entendidos, por exemplo, em BLEICH (1952), GALAMBOS (1988), TIMOSHENKO (1961). Estes conceitos são aqui abordados de maneira sucinta, por serem métodos clássicos e já amplamente conhecidos, valendo lembrar que estas teorias são muito importante para o estudo de barras submetidas à compressão com imperfeições iniciais e tensões residuais, propensas ao enquadramento neste regime.
3.4.1.1.2.1 Teoria do módulo tangente
Conforme esta teoria, no regime elasto-plástico (Figura 2.2) não mais o módulo de elasticidade E, mas sim o módulo de elasticidade tangente Et (cujo valor varia ponto a ponto no
diagrama tensão-deformação de acordo com a derivada Et = dσ / dε), governa o
comportamento na flambagem, como ilustrado na Figura 3.7. Obviamente, algumas hipóteses fundamentais governam esta teoria, mas não são apresentadas aqui pois são amplamente conhecidas na literatura.
Figura 3.7 Curva típica tensão-deformação do aço
Após resolvidas as equações diferenciais inerentes a esta teoria, são obtidas as expressões relativas à força normal e à tensão crítica de flambagem elasto-plástica, respectivamente apresentadas nas expressões (3.3) e (3.4).
( )
E e E KL I E TN
N
=
T=
T 2 2 π (3.3) 2 2 , λ πσ
ET T cr=
(3.4)Conforme relatado na literatura, apesar das forças críticas obtidas pela teoria do módulo tangente serem próximas aos resultados de ensaios, o conceito inicial apresentado por Engesser em 1889 era incorreto, pois afirmava que no regime elasto-plástico os trechos de carregamento e descarregamento do diagrama tensão-deformação são governados pelo módulo de elasticidade tangente Et.
Admitindo-se a configuração deformada por flexão, uma parte da seção transversal apresenta alívio de compresão (descarregamento) e a outra aumento. Na parte que sofre o alívio, o módulo de elasticidade volta a ser E, o que contradiz a expressão (3.3), fato que conduziu à modificação introduzida por Engesser em 1898 que resultou na proposição da teoria do módulo reduzido (duplo módulo), apresentada a seguir.
3.4.1.1.2.2 Teoria do módulo reduzido ou duplo módulo
De acordo com esta teoria, no regime elasto-plástico o trecho de carregamento do diagrama tensão-deformação é governado pelo módulo de elasticidade tangente Et, enquanto
que o descarregamento é governado pelo módulo de elasticidade E, o que mostrou ser mais coerente conceitualmente, assim como apresentado na Figura 3.7.
Após resolvidas as equações diferenciais inerentes a esta teoria, são obtidas as expressões relativas à força normal e à tensão crítica de flambagem elasto-plástica, respectivamente apresentadas nas expressões (3.5) e (3.6). É importante salientar que Er > ET
e também que Nr > NT.
( )
E e E KL I E rN
N
=
r=
r 2 2 π (3.5) 2 2 , λ πσ
Er r cr=
(3.6)Algumas considerações quanto à adequação das duas teorias supracitadas são apresentadas pelo modelo de SHANLEY (1947) na Figura 3.8, sendo este um modelo
consistente para análise do comportamento pós-flambagem no regime elasto-plástico, com análise de uma configuração de equilíbrio na vizinhança da trajetória fundamental, admitindo que a bifurcação poderá ocorrer em equilíbrio não neutro: ∆N ≠ 0.
Este modelo de Shanley apresenta algumas conclusões citadas a seguir, visualisadas na Figura 3.9 na qual o diagrama força normal N versus deslocamento v para uma barra biapoiada submetida à compressão centrada é ilustrado. Do modelo de Shanley constata-se:
• Um dos fatores quanto aos resultados dos ensaios serem mais próximos aos previstos pelo conceito do módulo tangente do que pelo conceito do duplo módulo é que na prática não existe barra sem imperfeição inicial geométrica, sendo que o ensaio reproduz na verdade uma flexo-compressão. Portanto, a flexão da barra existe desde o início do carregamento fazendo com que o alívio das tensões na seção transversal não seja tão pronunciado como admitido no conceito do módulo reduzido;
• A força normal crítica é maior que a obtida pelo módulo tangente (NT), mas é inferior à
referente ao módulo reduzido ou duplo módulo (Nr);
• Quando N > NT deslocamentos laterais v (perpendiculares ao eixo da barra) ocorrerão;
• Na prática, devido ao fato das condições reais quanto à excentricidades no carregamento e imperfeições iniciais não serem claras, a opção pela força normal crítica referente ao módulo tangente (NT) é recomendada, por ser a favor da segurança.
Figura 3.9 Força normal versus deslocamento: barra biapoiada submetida à compressão centrada
Como informação adicional é válido dizer que BLEICH (1952) propôs uma equação parabólica, ilustrada na Figura 2.2 no trecho denominado flambagem elasto-plástica (inelástica), para servir de aproximação para a equação da tensão crítica obtida pelo módulo tangente.
A Figura 3.10 ilustra algumas das curvas propostas para a análise da instabilidade global por flexão. Apresenta-se para o trecho elástico a curva proposta por Euler. Para o trecho elasto-plástico, as curvas propostas pelas teorias do módulo tangente, módulo reduzido, e a parábola aproximadora do módulo tangente apresentada por Bleich.
Ressalta-se que esta parábola apresentada por Bleich é uma curva conservadora aproximada do conceito do módulo tangente, representada por σ = fy(1 – fy / 4σe), proposta pelo
CRC (atual SSRC) para aços laminados a quente considerando-se fp = 0,5.fy. Foi também
Figura 3.10 Curva tensão versus esbeltez: flambagem por flexão para barras submetidas à compressão [adaptado de YU (2000)]