Quantidade de itens por padrão
LAltura utilizada
2.4.3 Formulação Matemática
O modelo de Lodi et al. (2004) trata do PCDA guilhotinado, de forma que os itens alocados no objeto formam faixas ou níveis (com altura corresponde à altura do item mais alto da faixa), conforme indicado na Fig.2.9. Assim, minimizar a perda de material corresponde, nesta formulação, à minimização da soma das alturas das faixas.
1ª Faixa 2ª Faixa
2.4 Formulação Matemática 16 As seguintes observações acerca do modelo são feitas no trabalho de Lodi et al. (2004):
(i) Os itens são previamente ordenados de forma decrescente com relação à altura; (ii) Em cada faixa, o item mais à esquerda é o mais alto;
(iii) A primeira faixa é a faixa mais alta.
Sejam, então, os seguintes dados de um PCDA: - L: comprimento do objeto;
- li: comprimento do item, para i= 1, . . . , n. - hi: altura do item, para i= 1, . . . , n;
Sendo n o número de faixas formadas para alocar todos os itens demandados, pode-se definir a seguinte variável de decisão:
• yi: é uma variável binária que assume valor 1 se o item i inicializa a faixa i e assume valor 0 caso contrário.
Deve-se observar que, devido à observações (i) e (iii), somente os itens j, tais que j > i, podem ser alocados na faixa iniciada pelo item i. Essa condição se deve ao fato de que, se um itemj, tal quej =i, inicializa a faixai, não pode ser atribuído novamente a essa faixa. Assim sendo, uma segunda variável de decisão é dada por:
• xij: variável binária, que assume valor 1 se o item j estiver alocado na faixa i
e assume valor 0 caso contrário,j > i.
O modelo de Programação Linear Inteira, segundo Lodi et al. (2004), é apresen-tado a seguir: minf = n X i=1 hiyi (2.1) sujeito a j−1 X i=1 xij +yj = 1, (j = 1, . . . , n); (2.2) n X j=i+1 ljxij ≤(L−li)yi, (i= 1, . . . , n); (2.3) xij, yi ∈ {0,1}, ∀i, j (2.4)
A função objetivo, representada pela expressão (2.1), tem, como critério de oti-mização, a minimização da altura utilizada do objeto. A restrição (2.2) garante que cada item é alocado apenas uma vez, ou seja, ou o item inicializa a faixa ou está
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 17 numa faixa inicializada por outro item. A restrição (2.3) garante que, em cada faixa, o comprimento L do objeto não será ultrapassada. A restrição (2.4) define o tipo das variáveis do problema.
Ressalta-se que o modelo de Lodi et al. (2004) trata do PCDA restrito, enquanto o presente trabalho considera o caso irrestrito. O modelo de Lodi et al. (2004) é restrito, pois considera que todos os itens são de tipos diferentes, mesmo que tenham as mesmas dimensões, ou seja, mesmo que sejam itens idênticos. Neste trabalho, apesar de se considerar que os métodos propostos são aplicavéis a problemas irres-tritos, utilizou-se, para validar tais métodos, o modelo de Lodi et al. (2004). Isso pode ser feito, sem maiores problemas, porque é possível solucionar um problema irrestrito utilizando o modelo de Lodi et al. (2004). Para isso, basta considerar os itens com uma demanda d, tal que d > 1, com d itens com demanda igual a 1. Assim, tranforma-se um problema irrestrito em um problema restrito.
O capítulo 4 apresenta a metodologia utilizada para a resolução do PCDA.
2.5 Problema de Corte de Estoque Multiobjetivo
2.5.1 Caracterização do Problema
Os problemas de corte de estoque bidimensionais (PCEB) consistem, de um modo geral, em determinar a melhor maneira de se cortar objetos em estoque, com dimensões L×H, de forma a produzir um conjunto de itens com uma demanda di, de dimensões li×hi, e otimizar uma função objeto de interesse, como, por exemplo, minimizar a perda de material. Neste trabalho, considera-se o comprimento (L)
como a dimensão horizontal e a altura (H) como a dimensão vertical. A Fig. 2.10 mostra um exemplo de problema de corte de estoque bidimensional.
hi 1 2 3 4 5 6 li C Itens demandados L Objetos em estoque H 7
Figura 2.10: Problema de corte de estoque bidimensional.
Para introduzir a formulação do problema de corte de estoque aqui tratado, é necessário definir formalmente um padrão de corte.
Definição 2 Cada arranjo geométrico dos itens dentro do objeto é chamado de padrão de corte.
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 18 A Fig. 2.11 representa um exemplo de padrão de corte bidimensional, utilizando o objeto e os itens mostrados na Fig. 2.10.
1 1
4 2
3 6 6 6
1
Figura 2.11: Padrão de corte bidimensional.
A cada padrão de cortej está associado um vetor n-dimensional:
aj = (α1j, α2j, . . . , αnj)
em que αij corresponde ao número de vezes que o item i aparece no padrão j. O vetor correspondente ao padrão mostrado da Fig. 2.11, considerando que são demandados 7 itens diferentes, é dado por (3 1 1 1 0 3 0). As partes do objeto cortado não utilizadas com o corte dos itens são denominadas perdas (representada pela parte cinza na Fig. 2.11). Com elas, parte da matéria-prima, muitas vezes, fica inutilizada, por não possuir as dimensões requeridas para a produção.
Considerando, então, conhecidosa priori todos osppadrões de corte possíveis, o problema de corte de estoque pode ser formulado como (Gilmore e Gomory, 1961):
min p X j=1 cjxj (2.5) sujeito a p X j=1 αijxj ≥di, (i= 1, . . . , n); (2.6) xj ≥0e inteiro, (j = 1, . . . , p); (2.7) em que cj é o custo associado ao padrão j,xj é o número de vezes que o padrãoj é utilizado e di é a demanda de cada um dos itens. A função objetivo (2.5) minimiza o custo dos objetos, as restrições (2.6) garantem que toda a demanda seja atendida e as restrições (2.7) garantem que o número de vezes que cada padrão de corte é utilizado é um número inteiro não-negativo.
O custocj tem valorcj = 1,∀ j, no caso da minimização do número de objetos. Caso o objetivo seja a minimização da perda, esse custo é substituído pela soma da perda dos padrões que integram a solução. No caso de padrões bidimensionais, o custo cj é dado por:
cj =LH −
n
X
i=1
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 19 Esta formulação apresenta duas dificuldades em termos computacionais. A pri-meira, é a resolução deste problema de programação linear inteira; a segunda, é a determinação de todos os padrões, que em casos práticos, pode ser um número muito grande, o que inviabiliza solucionar o problema otimamente.
Apesar da extensa literatura que trata do problema de corte com o objetivo de minimizar a perda de material, na prática, existem outros objetivos importantes a serem considerados. Um objetivo pouco citado na literatura, mas que tem consi-derável importância em diversas indústrias, é a redução no número de padrões de corte distintos.
A troca de padrões em um plano de corte demanda tempo (setup), podendo aumentar consideravelmente o tempo total do processo de corte. Isso ocorre, por exemplo, quando é preciso preparar um equipamento para cada novo padrão. Du-rante o tempo de preparação, os equipamentos se encontram ociosos, o que pode ocasionar uma diminuição na produtividade (Figueiredo, 2006). Segundo Fogliatto e Fagundes (2003), em média, 6,5% do tempo total de operação no setor de corte é gasto pelo setup, podendo chegar a mais de 8%.
Assim, quando o custo de preparação para o corte de um novo padrão é signifi-cativo, pode-se estar disposto a aceitar uma solução com um desperdício levemente maior, mas com um número menor de padrões distintos.
Isso ocorre, geralmente, porque reduzir o número de padrões distintos aumenta a perda de material, ou seja, há um conflito de objetivos entre o diminuição da perda de material e a diminuição do número de padrões de corte distintos. Daí o interesse em avaliar os efeitos destes fatores em uma minimização global de custo (Limeira, 2003).
Considere, o seguinte exemplo de um problema bidimensional de corte de estoque, mostrado na Fig. 2.12, que tem objetos de dimensões (L× H) em quantidade ilimitadas em estoque, que devem ser cortados em itens menores de dimensões (li×
hi), i= 1,2,3, para atender uma demanda di de cada item.
35 30 Objetos Itens (l ,hi i) 3 8 5 2 13 10 d1=12 d2=10 Demanda (di) d3=40 1 15 16
Figura 2.12: Exemplo de problema de corte de estoque.
A partir dos itens, foram construídos os padrões de corte mostrados na Fig. 2.13, a serem usados na solução do problema:
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 20 Padrões de Corte 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6
Figura 2.13: Padrões do exemplo de problema de corte de estoque.
Uma solução viável para este exemplo pode ser obtida utilizando-se cinco pa-drões, mostrados na Fig. 2.14, que esquematiza uma solução viável, indicando a freqüência de cada padrão, de modo a atender à demanda, além da perda de mate-rial da solução. Solução 1 Perda padrão = 14,3% 23% 18,3% 15,2% 8,6% Freqüência = 1 2 2 2 1 Perda total = 17,0 % 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 Padrão: 1 2 3 5 6
Figura 2.14: Solução viável com 5 padrões.
No entanto, é possível encontrar uma outra solução viável alternativa com um nú-mero menor de padrões de corte distintos (apenas 4), atendendo à mesma demanda, conforme esquematizado na Fig. 2.15.
Tomando-se a segunda solução, pode-se obter uma redução nos custos produtivos em que o tempo de preparação de máquina é significativo. No caso do exemplo acima, o índice de perda de material foi menor na primeira solução. Esse fato é comum em problemas práticos (maior número de itens), pois geralmente a redução do número de padrões produz soluções com maior índice de perda.
Os trabalhos que tratam do problema de redução de padrões geralmente apre-sentam as seguintes prioridades relativas aos critérios de otimização:
• considerar como objetivo principal a redução de padrões. Conforme já dito, isso resulta em soluções que utilizam uma quantidade maior de objetos. Ape-nas quando o custo da matéria-prima for realmente insignificante, o número de padrões deve ser individualmente minimizado.
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 21 Perda padrão = 23% 18,3% 22,3% 8,6% Freqüência = 3 3 2 1 Perda total = 19,7 % Solução 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Padrão: 2 3 4 6
Figura 2.15: Solução viável com 4 padrões.
melhor para a realidade das aplicações industriais. Esta abordagem leva em conta o compromisso (trade-off) entre a perda e o número de padrões.
Observou-se, com relação aos problemas de corte bidimensionais multiobjetivos, que a literatura mostra-se bastante limitada com respeito aos problemas de corte bidimensional. Este fato, aliado à dificuldade de resolução do problema, são as moti-vações para que este trabalho tenha seu foco no problema de, conjuntamente, reduzir os padrões e a perda de material num problema de corte de estoque bidimensional. Neste trabalho, o problema de corte de estoque bidimensional, considerando-se os objetivos de minimizar a perda de material e o número de padrões, foi resolvido através de uma abordagem multiobjetivo. Deve-se ressaltar que, na pesquisa biblio-gráfica realizada, não foram encontrados artigos que tratassem desse problema para o caso de objetos e itens bidimensionais.
A seguir, é apresentada uma revisão sobre o problema de corte de estoque e sobre o problema de redução de padrões.
2.5.2 Revisão Bibliográfica
O problema de corte de estoque foi formulado inicialmente por Gilmore e Gomory (1961) e Gilmore e Gomory (1963). A partir de então, diversos estudos foram realizados, principalmente nas duas ultimas décadas. Existe, portanto, uma vasta literatura sobre os problemas de corte de estoque.
A literatura a respeito dos problemas de corte de estoque bidimensionais também é bastante extensa, conforme mostram os artigos de revisão e edições especiais em Bischoff e Wäscher (1995), Dyckhoff et al. (1997), Arenales et al. (1999), Wang e Waescher (2002), Hifi (2002) e Lodi et al. (2002). Também tratam desse tema os seguintes trabalhos: Gilmore e Gomory (1965), Christofides e Whitlock (1977), Wang (1983), Beasley (1985), Morabito e Arenales (1992), Yanasse et al. (1991), Morabito e Arenales (1996), Gramani (1996), Pinto (1999), Katsurayama (2002), dentre outros.
No que se refere ao problema de redução de padrões, uma das referências mais antigas é a de Haessler (1975), que propôs uma formulação para o problema de
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 22 corte de estoque unidimensional, considerando os custos da troca de padrões. Neste método, um padrão é repetido se satisfizer determinados níveis de aspiração com relação à perda e à freqüência.
O problema de redução de padrões é fortemente NP-difícil, mesmo quando o problema de corte de estoque correspondente tem uma solução trivial (McDiarmid, 1999). Por essa razão, geralmente são encontradas abordagens heurísticas para sua resolução. Uma revisão detalhada sobre os principais métodos heurísticos aplicados ao problema de redução de padrões pode ser encontrada em Limeira (2003).
Dentre estes métodos, está aquele desenvolvido por P. e Gascon (1995). Nele, os autores analisam quatro diferentes abordagens para o problema de corte de estoque:
1. Heurística de Haessler (1975);
2. Heurística utilizada pela companhia (estudo de caso);
3. SGPI: heurística baseada no método de resolução de Gilmore e Gomory, mi-nimizando apenas a perda;
4. SGPI*: heurística baseada na adaptação da heurística de Haessler (1975) à SGPI.
Foram realizados testes com as quatro heurísticas, em que foram calculadas, para cada uma, as perdas de material e o número de padrões distintos. O estudo concluiu que a heurística de Haessler (1975) é a mais vantajosa, pois diminui a quantidade de padrões distintos (em alguns casos, reduções maiores que 50%), mantendo o índice de perda em um nível aceitável.
Em Diegel et al. (1993) é apresentado um método que identifica pares de padrões que podem ser substituídos por um único padrão. Uma generalização deste método foi feita por Foerster e Wäscher (2000), surgindo assim a heurística KOMBI, que apresentou resultados melhores (apesar de um aumento no tempo computacional).
Morabito e Arenales (2000) analisam o compromisso entre cortar padrões mais simples de serem produzidos e padrões que resultam em menores perdas de material, apesar de reduzir a produtividade do equipamento de corte.
Vanderbeck (2000) apresenta um método exato para o problema de minimização da troca de padrões de corte para problemas com um número pequeno de itens.
Umetami et al. (2003) apresentam um procedimento baseado na metaheurística Iterated Local Search (ILS), em que, a priori, o número de diferentes padrões de corte é limitado.
Em um estudo recente, Yanasse e Limeira (2006) apresentaram um algoritmo híbrido para reduzir a quantidade de padrões de corte. Inicialmente, são gerados padrões de corte com perda limitada, atendendo a demanda de no mínimo dois itens. Em seguida, estes padrões são cortados o número máximo de vezes possível, sem que ocorra produção excedente. Resta, então, um problema residual, sobre o qual é aplicada uma técnica de redução de padrões.
Quanto à literatura sobre a aplicação de métodos de otimização multiobjetivo, destaca-se que foram encontrados apenas os trabalhos de Kolen e Spieksma (2000) e Golfeto et al. (2007), que tratam de problemas de corte de estoque unidimensionais.
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 23 O primeiro trabalho utiliza um método baseado em branch-and-bound para so-lucionar problema de pequeno porte, com até 8 tipos de itens, sendo que os próprios autores afirmam que o método somente se aplica a esta dimensão de problemas.
No segundo artigo, os autores desenvolveram um algoritmo genético simbiótico, com uma estratégia de nicho, e testaram o método em problemas com até 20 ti-pos de itens. Entretanto, não foram encontrados trabalhos que tratassem do corte bidimensional através de um tratamento multiobjetivo.
Em vista das motivos apresentados, este trabalho traz uma abordagem multiob-jetivo que visa encontrar soluções para o PCEB, que mostrem o compromisso entre os seguintes objetivos:
(i) Minimização da perda de material;
(ii) Minimização do número de padrões distintos.
Neste trabalho, optou-se pela utilização de um algoritmo evolutivo multiobje-tivo, em virtude dos bons resultados encontrados por este método em problemas da mesma natureza. Na seção 3.5, é feita uma breve revisão sobre estes métodos.
Resta ainda observar que, conforme dito na seção anterior, os problemas de corte bidimensional apresentam outras restrições, definidas pelo processo de corte. No estudo do Problema de Corte Bidimensional, considera-se, no presente trabalho, que os cortes são guilhotinados, irrestritos e com a rotação ortogonal dos itens permitida.
2.5.3 Formulação Matemática do Problema
Considere os seguintes os seguintes dados de um PCEB:• L: comprimento do objeto;
• H: altura do objeto;
• li: comprimento do item i= 1;
• hi: altura do item i;
• di: demanda do item i.
O problema de otimização multiobjetivo que visa minimizar o número de padrões e a perda de material pode ser formulada como:
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 24 min(f1, f2) = p X j=1 cjxj, p X j=1 δ(xj) ! (2.9) sujeito a p X j=1 αijxj ≥di, (i= 1, . . . , n); (2.10) xj ≥0 e inteiro, (j = 1, . . . , p); (2.11) δ(xj) = 1,sexj >0; 0,caso contrário. (2.12) cj =LH − n X i=1 αijlihi (2.13)
em que p é o número de padrões de corte do problema, n é número total de itens,
αij é número de vezes que o item iaparece no padrão j exj é a variável de decisão que representa o número de vezes que o padrão j é utilizado (freqüência).
A expressão (2.9) minimiza os dois objetivos considerados: a perda de material, dada pela funçãof1(que avalia a perda em área, dada pela soma da perdacj de cada padrão mutiplicada pelo número de vezes que o padrão aparece na solução (xj)) e o número de padrões distintos, dado por f2. A restrição 2.10 garante que a demanda de todos os itens é atendida. A restrição 2.11 garante que o número de vezes que cada padrão é cortado é um número inteiro não negativo. As expressões 2.12 e 2.13, mostram, respectivamente, a função que indica o uso ou não do padrão j e a função que calcula a perda em área de cada padrão j.
Conforme apresentado na seção 2.5.1, os padrões bidimensionais possuem carac-terísticas especiais, em função dos equipamentos de corte e do tipo de material a ser cortado. Algumas destas características podem ser introduzidas como restrições no problema apresentado acima. Considerando que neste trabalho é permitida a rotação ortogonal dos itens (desde que li < H ouhi < L), para o caso de n itens, a restrição (2.10) do problema de corte de estoque será dada por:
p
X
j=1
(αij+α(i+n)j)xj ≥di, (i= 1, . . . , n); (2.14) em que o item (i+n) corresponde ao item i rotacionado.
Segundo Golfeto et al. (2007), em problemas multiobjetivos discretos, mesmo que lineares, como é o caso do problema descrito acima, nem sempre é possível obter soluções através da resolução de problemas de programação linear, ao contrário de problemas lineares multiobjetivos (em que as soluções eficientes são obtidas pela resolução de um problema ponderado).
Encontrar soluções que apresentam um compromisso entre os objetivos citados pode ser de fundamental importância na prática, pois os custos envolvidos com o
2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 25 processo de corte (material, tempo de preparação de máquinas) podem variar de acordo com a variação da demanda. A partir disso, pode-se afirmar que a apre-sentação destas soluções ao decisor pode contribuir de forma significativa para o planejamento da produção (Golfeto et al., 2007). Fica demonstrada, assim, além da relevância teórica, a importância prática deste problema. O capítulo 5 apresenta a metodologia proposta de resolução do PCBE.