Otimização Combinatória Multiobjetivo

Critério de Convergência

Como os algoritmos estocásticos não são capazes de indicar se foi encontrado o ótimo global, é necessário determinar critérios de convergência para que se limite o tempo de execução do algoritmo.

O critério utilizado neste trabalho é encerrar o algoritmo após um número má-ximo de gerações. Assim, quando o AG alcança uma determinada geração, é fina-lizado, e a solução é o melhor indivíduo obtido até então. Para obter o número máximo de gerações, geralmente são realizadas análises de convergência para várias simulações.

3.4.3 Algoritmos Genéticos Híbridos

Os AG, em sua forma original, são eficientes para solucionar diversos problemas de otimização. No entanto, para problemas de grande complexidade, seu desempenho, seguindo a formulação original, não tem se mostrado satisfatório.

Entretanto, devido à facilidade, apresentada pelos AG, de combinação com ou-tros métodos, em especial com métodos de busca local, diversos pesquisadores têm proposto modificações na estrutura básica do algoritmo, nas quais são incorporadas, aos AG, técnicas de busca local, ou, de outro modo, são incluídos conceitos de ou-tras metaheurísticas, como, por exemplo, Simulated Annealing,Tabu Search (busca tabu) ouIterated Local Search. São obtidas, assim, versões conhecidas como Algorit-mos Genéticos Híbridos, AlgoritAlgorit-mos Meméticos (Moscato, 1989) ou, simplesmente, Algoritmos Evolutivos (AE).

A aplicação de busca local nos indivíduos está relacionada com a combinação de aprendizado e evolução (Whitley, 1992). O aprendizado seria uma busca local pela solução mais próxima, e a incorporação das modificações ocorridas pelo indivíduo. O que ocorre, portanto, é a conservação das características evolutivas dos AG associ-adas a utilização de heurísticas que provocam melhorias individuais nos indivíduos. O algoritmo evolutivo resultante, portanto, possui as características básicas dos AG, mas são mais especializados para determinadas aplicações.

Neste trabalho é desenvolvido um algoritmo evolutivo híbrido, que combina um AG em sua formulação clássica com as metaheurísticas ILS e Multi-Start, para a resolução do Problema de Corte com Dimensão Aberta. Os detalhes do método são descritos no Capítulo 4.

O Problema de Corte de Estoque Bidimensional também foi solucionado por um método evolutivo desenvolvido para resolução de problemas multiobjetivos. A descrição do método é apresentada no Capítulo 5.

Em ambos os casos, optou-se pela utilização de métodos evolutivos devido à sua flexibilidade e simplicidade de implementação, além do sucesso que apresentaram quando aplicados à diversos problemas de difícil resolução.

3.5 Otimização Combinatória Multiobjetivo

Um problema de otimização multiobjetivo (POMO) consiste em minimizar (ou maximizar) simultaneamente um conjunto de critérios (objetivos) satisfazendo um conjunto de restrições. Em otimização multiobjetivo, não existe uma única solução

3.5 Otimização Combinatória Multiobjetivo 39 que otimize cada um dos objetivos, mas sim um conjunto de soluções eficientes, ou soluções Pareto-ótimas, no qual nenhuma solução é melhor que outra solução para todos os objetivos. Assim, o decisor é o responsável pela escolha de uma solução eficiente particular que satisfaça os objetivos globais do problema.

Um problema geral de otimização multiobjetivo consiste em encontrar um vetor de soluções que satisfaça restrições e otimize uma função vetorial cujos elementos representam as funções objetivos. Os objetivos considerados, geralmente, são con-flitantes entre si. Neste contexto, portanto, o termo “otimizar” significa encontrar soluções nas quais os valores de todos objetivos não podem ser melhorados simulta-neamente.

Um enunciado geral para um POMO é o seguinte:

max/min {f₁(x) =z₁, . . . , fn(x) =zn} (3.1)

sujeito a x∈X (3.2)

em que a solução x é um vetor de variáveis de decisão eX é o conjunto de soluções factíveis presentes no espaço de decisões.

A imagem da soluçãoxno espaço objetivo factível, denotado por Z, é um ponto

zx = [zx

1, zx

2, . . . , zx

n] =f(x), tal que zx

j =fj(x), j = 1, . . . , n.

Na otimização mono-objetivo, o espaço dos objetivos é inteiramente ordenado, ou seja, dados dois elementos x e y ∈ X, existem apenas duas possibilidades: ou

f(x)≥f(y) ouf(x)≤f(y).

Na otimização multiobjetivo, no entanto, não existe uma solução que seja ótima para todos os objetivos. Pode ocorrer, por exemplo, que a minimização de um determinado objetivo provoque um aumento nos outros objetivos.

Apesar do espaço objetivo não ser, em geral, completamente ordenado, é possível ordená-lo parcialmente (Pareto, 1896). Essa ordenação parcial permite diferenciar as soluções de um problema de otimização multiobjetivo. Em um conjunto parcial-mente ordenado, dadas duas soluções x e y ∈X, existem três possibilidades:

• f(x)≤f(y)

• f(y)≤ f(x)

• (f(x)f(y)e f(y)f(x)

em que () é o operador de não-dominância. Assim, pode-se dizer que uma solução

x, domina uma solução y, se:

(a) A soluçãoxnão é pior que a soluçãoyem nenhum dos objetivos, ou seja,fj(x)

≤ fj(y), para j = 1, . . . , n, onde n é número de objetivos.

(b) A soluçãoxé estritamente melhor que a soluçãoyem pelo menos um objetivo, ou seja, fj(x) < fj(y)para algum j ∈ {1, . . . , n}.

Assim, uma solução eficiente, ou Pareto-ótima, é uma solução não-dominada por nenhuma outra solução factível. O conjunto de todas as soluções não-dominadas, dentre as soluções factíveis, é chamado de Conjunto Pareto-ótimo. Os pontos no espaço das funções-objetivo que correspondem ao conjunto Pareto-ótimo formam a Fronteira de Pareto.

3.5 Otimização Combinatória Multiobjetivo 40 Caso não exista diferença na relevância relativa entre os objetivos a serem aten-didos, todos os pontos na Fronteira de Pareto são qualitativamente equivalentes, sob a perspectiva de otimização.

As Fronteiras de Pareto podem apresentar diversas conformações, incluindo des-continuidade. Além disso, durante o processo de busca, o fato de uma solução ser não-dominada frente às propostas de solução já investigadas não implica que a mesma pertença à Fronteira de Pareto. Assim sendo, o processo de busca terá sempre dois objetivos principais:

(i) Convergir para a fronteira de Pareto;

(ii) Manter uma distribuição tão uniforme quanto possível das soluções não-domi-nadas.

O segundo objetivo é o principal motivo pelo qual as heurísticas populacionais são reconhecidas como as mais adequadas para a busca de solução de problemas de otimização multiobjetivo de elevada dimensão.

A resolução de problemas multiobjetivo é dividida, basicamente, em duas etapas:

• Etapa de determinação das soluções eficientes;

• Etapa de decisão.

A primeira etapa consiste na busca de soluções Pareto-ótimas dentro do espaço factível. A segunda etapa, consiste em selecionar a solução que representa um com-promisso final dentre aquelas soluções de Pareto. Nessa fase, o decisor faz uma escolha externa ao processo de otimização. Dependendo de como e quando o pro-cesso de otimização e a etapa de decisão são combinados, os métodos de resolução podem ser classificados em três categorias:

(a) Decisão antes do processo de busca (a priori): o decisor opta pelo compromisso que ele quer obter antes de iniciar o método de resolução. Basicamente, o que se faz é transformar um problema multiobjetivo em uma aproximação objetivo. Após está transformação, pode-se aplicar qualquer técnica mono-objetivo para a resolução do problema. Entretanto, a adequação dos pesos atribuídos a cada objetivo não é trivial, principalmente quando os objetivos são extremamente conflitantes.

(b) Decisão durante o processo de busca (progressivo): é o procedimento de decidir durante o processo de obtenção das soluções não-dominadas. A escolha do decisor é utilizada na busca de novas soluções eficientes. Esta abordagem exige certa experiência do decisor, já que as escolhas deverão ser tomadas de modo a orientar o processo de otimização no sentido de formar a fronteira Pareto-ótima.

(c) Decisão após o processo de busca (a posteriori): é considerada a opção mais ló-gica, pois as escolhas serão feitas de acordo com os resultados encontrados. Ou seja, com o conjunto Pareto-ótimo definido, torna-se possível conhecer o com-portamento do problema em relação aos objetivos em questão. Conhecendo-se as relações de dependência entre eles, a escolha torna-se mais fácil.