Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo aplicado ao PCEB
5.1 Geração de Padrões
No capítulo 2 é visto que uma das etapas da modelagem matemática do Problema de Corte de Estoque é a definição de todos os possíveis padrões de corte. Trata-se de um problema combinatório no qual, para algumas dezenas de tipos de itens, podem ser encontrados milhões ou bilhões de padrões distintos. Entretanto, a etapa de geração dos padrões não precisa ser realizada completamente, ou seja, é possível encontrar boas soluções a partir de um número finito de padrões.
Neste trabalho, optou-se por gerar um tipo de padrão de corte conhecido na literatura como padrão de corte guilhotinado bidimensional em 2-estágios não-exato. Considera-se que o padrão é não-exato quando ao menos um item necessitar de ajuste, o que ocorre quando os tipos de itens requeridos não são cortados em sua totalidade na guilhotina. Além disso, o problema de corte aqui tratado é irrestrito, ou seja, não há limitações para o número de vezes em que um mesmo tipo de item pode aparecer no padrão.
Para gerar os padrões (guilhotinados bidimensionais em 2-estágios não-exatos), foi utilizado um método exato de duas fases, baseado nos trabalhos de Hifi e Hallah (2006) e Morabito e Garcia (1998). O uso de modelos de duas fases é comum na literatura, devido ao êxito obtido pelo modelo proposto em Gilmore e Gomory (1965) para o corte de chapas retangulares.
Morabito e Garcia (1998) apresentam uma abordagem para o problema de corte numa fábrica brasileira de chapas de fibra de madeira reconstituída, na qual estão envolvidas restrições pouco usuais, como limitações para a diferença entre o maior
5.1 Etapa de Geração das Faixas 64 e menor comprimento dos tipos presentes no padrão. O problema é modelado em duas fases, cada uma por meio de um problema de otimização inteira, e resolvido utilizando-se um método baseado em enumeração implícita. Em seu trabalho, Hifi e Hallah (2006) também utiliza um método de duas fases para solucionar um problema de corte restrito.
O método de duas fases, com base nos autores citados, é utilizado neste tra-balho na geração dos padrões de corte. Com respeito aos dados do problema, são considerados:
- objetos com comprimento L e alturaH;
- um conjunto de itens I = 1, . . . , n, tendo cada item i ∈ I comprimento li e altura hi.
Além disso, considera-se que os itens estão ordenados de forma crescente com relação à altura, ou seja, h1 ≤h2 ≤. . .≤hn.
As duas fases da modelagem do problema de geração de padrões são as seguintes: (i) Escolha dos itens que serão arranjados ao longo de faixas de comprimento
L e alturas variáveis, especificadas a seguir. Com esse processo são obtidas, portanto, as faixas que integrarão o padrão.
(ii) Escolha das faixas que serão arranjadas ao longo da altura H do objeto de dimensões (L, H).
As duas etapas do método são descritas nas seções a seguir.
5.1.1 Etapa de Geração das Faixas
Para geração das faixas, foram utilizadas três abordagens, detalhadas a seguir. Abordagem 1
Nesta abordagem, são geradas faixas uniformes, ou seja, faixas com comprimento
L que possuem itens com a mesma altura. Para tanto, inicialmente, os itens são ordenados de forma crescente com relação à altura. Em seguida, os itens (i ∈ I) são agrupados em função de sua altura em r grupos, que formam o conjunto J =
{1, ..., r}, no qual cada itemi do grupo j ∈J possui altura hi = ¯hj.
Para cada grupo j ∈ J, deseja-se encontrar a melhor combinação de itens do tipo i, para cada uma das r faixas (L, hj). Deve-se observar, ainda, que uma faixa uniforme só será construída para grupos j ∈J que tenham ao menos um item i tal que hj =hi, j 6= i, ou seja, são formadas faixas uniformes com dois ou mais itens de mesma altura, mas de comprimentos distintos. Sejam:
• F1
hj: valor da melhor combinação de itens na faixa (L, hj).
• xij: número de vezes que o item i aparece na faixa j.
5.1 Etapa de Geração das Faixas 65 Cada valorF1
hj pode ser obtido com a solução do seguinte Problema da Mochila Irrestrito P MI1: P MI1 maxFh1j = X i∈S¯hj lihixij (5.1) sujeito a X i∈S¯hj lixij ≤L (5.2) xij ≥0e inteiro (5.3)
Após a resolução do problema acima, caso o modelo não tenha utilizado todo o comprimento da faixa, o comprimento restante Lrest é completado, resolvendo-se o
(P MI2)com os próximos itens i tal que {i∈Q¯hj ={i∈I, hi <¯hj}}.
P MI2 maxFh2j = X i∈Q¯hj lihix′ ij (5.4) sujeito a X i∈Qhj¯ lix′ ij ≤Lrest (5.5) x′ ij ≥0e inteiro (5.6)
Verificou-se, experimentalmente, que a tentativa de utilizar o comprimento res-tante da faixa gera resultados melhores do que aqueles obtidos apenas com o primeiro modelo.
Os itens que compõem as faixas, assim como sua freqüência, são dados pelo valor obtido para as variáveis xij e x′
ij. Portanto, o cálculo da perda de cada faixa, em área, é dado por:
P erda=L¯hj −(Fh1j +Fh2j)
Para exemplificar a abordagem, considere a formação de faixas uniformes em um problema de corte com as seguintes características: objetos com dimensões(100,100)
e 4tipos de itens, com as dimensões (li, hi)constantes na Fig. 5.1.
No exemplo, tem-seI = 1,2,3,4eJ = 1, com h1 =h2 (existe, portanto, apenas um grupo de dois itens distintos que têm a mesma altura). Considerando os itens
1 e 2, é, então, solucionado o P MI1, que resulta na faixa mostrada na Fig. 5.2. A solução para o P MI1 é x11 = 2, x12 = 2, com F1
h1 = 3000 e P erda = 0. Como a faixa é completamente utilizada, não é solucionado o P MI2.
O pseudocódigo do procedimento é apresentado na Fig. 5.3. Abordagem 2
Esta abordagem se inicia com a construção de n faixas, que contém, cada uma, apenas um item i, i ∈ I. Em seguida, o comprimento restante da faixa (L −
li) é completado, resolvendo-se um Problema da Mochila Irrestrito com os itens
5.1 Etapa de Geração das Faixas 66 100 100 1 30 30 30 2 20 3 20 40 4 Objeto Itens (l ,hi i) 15 10
Figura 5.1: Exemplo da Abordagem 1.
1
1 2 2
Figura 5.2: Faixa formada pela Abordagem 1.
Procedimento 1
1 Para j = 1até r faça 2 S¯hj ={i∈I, hi = ¯hj}; 3 (F1 hj, xij)←Resolva (P MI1); 4 Lrest=L− X i∈S¯hj lixij; 5 Se (Lrest>0)faça 6 Q¯hj ={i∈I, hi <¯hj}; 7 (F2 hj, x′ ij)←Resolva (P MI2); 8 fim-se;
9 Crie a faixa j usandoxij e x′ ij ; 10 P erda= ¯hjL−(F1 hj +F2 hj) 11 fim-para; fimProcedimento 1;
Figura 5.3: Pseudocódigo da Abordagem 1 para a geração de faixas.
estarão presentes no conjunto de faixas. O Problema da Mochila Irrestrito (P MI3)
5.1 Etapa de Geração das Faixas 67 P MI3 maxF3 = n X k=i+1 lkhkxki (5.7) sujeito a n X k=1+1 lkxki ≤L−li (5.8) xki ≥0 e inteiro (5.9)
Neste problema, xki representa o número de vezes que o item k aparece na faixa iniciada por i e n é o número de itens.
Os itens que pertencem à faixa, assim como sua freqüência, são dados, portanto, pela valor da variável xki, além de uma unidade do item i. A perda em cada faixa é dada por:
P erda=Lhi−(lihi+F3)
O pseudocódigo do procedimento é apresentado na Fig. 5.4. Procedimento 2
1 Para i= 1 até n faça
2 Para k =i+ 1 até n faça(Percorre o restante dos itens) 3 (F3, xki)← Resolva (P MI3);
4 fim-para;
5 Crie a faixa i usando 1 unidade do item i exki ; 6 P erda=Lhi−(lihi+F3)
7 fim-para; fim Procedimento 2;
Figura 5.4: Pseudocódigo da Abordagem 2 para a geração de faixas.
Considerando o exemplo dado na Abordagem 1, com a aplicação da Abordagem 2 tem-se a formação das faixas mostradas na Fig. 5.5.
A solução doP MI3 para o exemplo é a seguinte:
- Primeira faixa: x21 = 3, x41= 3, F3 = 1950, P erda= 5%; - Segunda faixa: x32= 2, F3 = 1600, P erda= 26,66%; - Terceira faixa: x43= 6, F3 = 900,P erda= 15%; Abordagem 3
Na terceira abordagem do procedimento de formação das faixas, para cada item
i, i ∈ I, é construida uma faixa homogênea (i.e. faixa que contém apenas um tipo de item). Em seguida, é verificado o comprimento restante da faixa (Lrest =
L−(⌊L/li⌋li)). Caso seja possível (se Lrest for maior que o comprimento do item de menor li), o comprimento restante é completado resolvendo-se o P MI4 com os
5.1 Etapa de Geração das Faixas 68 2 3 3 3 4 4 4 4 4 4 1 2 2 4 2
Figura 5.5: Faixas formadas pela Abordagem 2.
próximos itens (itens k, k =i+ 1, . . . , n, tal que hk ≤hi). O Problema da Mochila Irrestrito (P MI4) é apresentado a seguir.
P MI4 maxF4 = n X k=i+1 lkhkxki (5.10) sujeito a n X k=i+1 lkxki ≤L− ⌊L/li⌋li (5.11) xki ≥0 e inteiro (5.12)
Neste problema, xki representa o número de vezes que o item k aparece na faixa homogênea de itens i. A perda de cada faixa é dada por:
P erda=Lhi−(⌊L/li⌋lihi+F4)
O pseudocódigo do procedimento é apresentado na Fig. 5.6. Procedimento 3
1 Para i= 1 até n faça
2 Para k =i+ 1 até n faça(Percorre o restante dos itens) 3 (F4, xki)← Resolva (P MI4);
4 fim-para;
5 Crie uma faixa i usando ⌊L/li⌋ itens ie xki ; 6 P erda=Lhi−(⌊L/li⌋lihi+F4)
7 fim-para; fim Procedimento 3;
Figura 5.6: Pseudocódigo da Abordagem 3 para a geração de faixas.
Considerando o exemplo referente à Abordagem 1, com a aplicação da presente abordagem formam-se as faixas mostradas na Fig. 5.7.
5.2 Etapa de Geração dos Padrões 69 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2
Figura 5.7: Faixas formadas pela Abordagem 3.
- Primeira faixa: x41 = 1, F4 = 150, P erda= 5%; - Segunda faixa: faixa homogênea (item 2); - Terceira faixa: x43= 2, F4 = 300,P erda= 5%; - Quarta faixa: faixa homogênea (item 4);
5.1.2 Etapa de Geração dos Padrões
A partir do conjunto de faixas obtidas pelos procedimentos descritos acima, são gerados os padrões de corte através dos mesmos três procedimentos, sendo que agora nos PMI’s serão considerados como itens as faixas geradas anteriormente. As faixas serão, então, combinadas ao longo da alturaH do objeto. Tomando o exemplo dado na formação das faixas, os padrões gerados pela primeira abordagem são aqueles mostrados na Fig. 5.8. 1 1 2 2 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2
5.2 Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo aplicado ao PCEB 70