Fractalidade

Para verificar a fractalidade do modelo utilizamos como referência o fractal deter- minístico conhecido como conjunto de Cantor. (15, Apêndice H) Este fractal, como se

104 Capítulo 4 Região Criticamente auto-organizada (u ≥ 1)

Figura 47 – Para (u, p) = (19.7, 1) é apresentada a altura média dos clusters que ocupam uma janela de tamanho lateral l = 2 · (CS + 1). (_{) Altura média dos clusters que ocupam toda a rede}

l = L. (_{#)Altura média dos clusters que não ocupam toda a rede l < L. Os tamanhos das}

janelas foram escolhidos como l = 2m, com m um inteiro de forma que 8 ≤ l ≤ L. Fonte: Elaborada pelo autor.

(a) (b)

Figura 48 – Frequência N (CS, L) com que um cluster de tamanho CS ocorre em uma rede de tamanho

L usando (u, p) = (1, 1) (figura a) e (u, p) = (10, 1) (figura b). Em ambos os casos D = 1, τ = 1, Lref = 16000 e a distribuição foi medida no estado estacionário do P ARP M com

condições livres de contorno. Fonte: Elaborada pelo autor.

ilustra na figura49, é construído eliminando-se indefinidamente o terço central de cada segmento de linha existente. Como se observa, podemos dizer que os intervalos vazios neste fractal ocupam toda a rede e portanto a medida dos segmentos de linha é zero. Para este fractal determinístico a probabilidade P (l) de encontrarmos intervalos vazios de tamanho

l escala como

4.6 Fractalidade e parâmetro de ordem 105

Figura 49 – Primeiras 3 iterações na construção do fractal determinístico conhecido como conjunto de Cantor. Em cada iteração é eliminado o terço central dos segmentos de linhas existentes. Fonte: HENKEL et al. (15, p. 298)

sendo df denominado por dimensão fractal e que para o caso do conjunto de Cantor possui

valor df = ln (2) / ln (3) ≈ 0.63. Para verificar se este comportamento estatisticamente é

observado no P ARP M mediu-se em condições livres de contorno a frequência Nv(sv, L)

com que um intervalo vazio sv acima do substrato é observado. O tamanho sv de cada

Figura 50 – Frequência absoluta Nv(sv, L) com que dois clusters consecutivos se encontram separados

por sv mínimos. Estas medidas foram tomadas no estado estacionário usando-se condições

livres de contorno e fixando (u, p) = (2, 1). A rede de referência foi Lref = 16000 e o expoente

df= 0.303.

Fonte: Elaborada pelo autor.

intervalo foi definido como o número de mínimos consecutivos entre dois clusters. Como vemos da figura 50 para (u, p) = (2, 1) existe um decaimento exponencial exp (−sv/ξv)

em lugar de uma lei de potência, indicando que a separação média entre clusters tem uma escala típica ξv que diminui conforme u aumenta (dados não apresentados). Portanto no

limite termodinâmico a razão ξv/L vai a zero. Assim a separação entre clusters seria o

análogo dos segmentos de linha no conjunto de Cantor (figura 49). Em outras palavras os clusters de tamanho lateral CS seriam o análogo aos intervalos vazios do conjunto de Cantor. De fato, como se observa da figura 48, existe um decaimento em lei de potência para a frequência N (CS, L) com que um cluster de tamanho lateral CS é encontrado acima do estado substrato. Na figura 48 os expoentes D = 1 e τ = 1 poderiam dar a impressão que a dimensão fractal fosse df = 0, porém como diria Christensen (12, p. 274)

106 Capítulo 4 Região Criticamente auto-organizada (u ≥ 1)

o expoente τ não necessariamente está relacionado com o decaimento da distribuição mas com o decaimento de uma característica distintiva, o valor do mínimo ou máximo observado na figura48antes de se perceber o tamanho do sistema. Ao medir-se o expoente com que a frequência N (CS, L) decai com CS, se observa que de fato este é, em valor absoluto, maior do que 1 para valores de u ' 1. Como vemos da figura 51 a dimensão

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20

u

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

d

Figura 51 – Dimensão fractal obtida ajustando-se uma lei de potência à frequência N (CS, L) com que um cluster de tamanho CS ocorre em uma rede de tamanho L. O ajuste foi realizado no domínio 100 ≤ CS ≤ 1000 em uma rede de tamanho L = 16000. Este resultado ainda precisa de um estudo em função do tamanho da rede.

Fonte: Elaborada pelo autor.

fractal obtida por este método inicia em ' 2/3 para u = 1 e diminui gradualmente com u. Esta dimensão foi obtida ajustando-se uma lei de potência ao decaimento de N (CS, L) no domínio 100 ≤ CS ≤ 1000 para a rede com L = 16000 sítios. Em outras palavras, este resultado ainda precisa de uma análise mais acurada em função do tamanho finito do sistema. Deixando isto claro, observa-se que à medida que u aumenta é mais difícil de se determinar a dimensão. Problema que possivelmente seja solucionado aumentando-se o tamanho da rede e o número de amostras nas simulações de Monte Carlo. Para L = 16000 foi possível medir a dimensão fractal até u = 17 observando um comportamento decrescente que sugere o fim da fractalidade para u > 17. Ainda mais, a dimensão fractal df coincide

com o crescimento de Nv(sv, L) em função de L de forma que Nv(sv, L) ∼ Ldf exp −

sv ξv

!

,

implicando que o comportamento do número de pontos de contato, definido como

K (L, t) = * _L X i=1 δhi(t),0 + ,

esteja descrito no estado estacionário (t → ∞) por

K (L, t → ∞) − 1 =

Z

svNv(sv, L) dsv

4.6 Fractalidade e parâmetro de ordem 107

Deste modo a fractalidade desaparece para u > 17. Assim, acima de certo valor de u a propriedade K (L, t → ∞) − 1 seria independente de L e só dependeria de u através de ξv.

Como se observa na figura52para tamanhos de rede entre 1026 ≤ L ≤ 16386 a propriedade

0,1

1

10

100

1000

u

10

10

10

10

10

K(L, t

→∞) −1

L=16386

L=8194

L=4098

L=2050

L=1026

Figura 52 – Número médio dos pontos de contato K (L, t → ∞) encontrados no estado estacionário. Para tamanhos de rede entre 1026 ≤ L ≤ 16386 não se observa uma dependência com L para

u & 44.4. O valor 1 é subtraído para não contarmos o ponto de contato na posição j = L.

Fonte: Elaborada pelo autor.

K (L, t → ∞) −_{1 depende de L para valores de u . 44.4. Acima deste valor não se observa}

uma dependência com L, o que sugere a perda da fractalidade possivelmente por que os clusters ocupam praticamente toda a rede, aparecendo eventualmente alguns pontos de contato por dessorções não locais com avalanches da ordem do tamanho do sistema. A diferença entre o expoente df medido para u < 1 e u ≥ 1 se encontra propriamente na

fractalidade, pois para u ≥ 1 se observa que df ≤ 2/3 mas para u < 1 se obtém df = 1,

em outras palavras só a região no digrama de fase compreendido por 1 ≤ u . 44.4 é fractalmente não trivial.